CARACTERSTICAS DE RESPUESTA DE LOS SISTEMAS

Ing. Vicente Pearanda

Una posible clasificacin de los sistemas de control puede darse conrespecto al principio fsico que los define. As, se tendran sistemasmecnicos, elctricos, hidrulicos, neumticos, trmicos, biolgicos,etctera. Otra probable clasificacin es con respecto al orden de laecuacin diferencial que define a cada sistema, siendo esta ltima opcinnuestro punto de partida.

Se dice que una ecuacin diferencial de orden cero corresponde a unarelacin proporcional entre variables de salida y entrada, por lo que setendr un sistema de orden cero; por ejemplo, el caso del potencimetro:

Los sistemas de primer orden son aquellos que quedan definidos pormedio de ecuaciones diferenciales de primer orden; por ejemplo, unsistema trmico, un sistema hidrulico, uno elctrico, etctera:

De manera anloga, los sistemas de segundo orden son aquellos que se definen porme dio de ecuaciones diferenciales de segundo orden, por ejemplo, el caso de lossistemas mecnicos, tanto de rotacin como de traslacin, o bien, la combinacin dedos sistemas de primer orden, por ejemplo, el caso de dos tanques (sean o nointeractuantes).

Los sistemas de orden superior (de tercer orden en adelante) se generancuando varios subsistemas interactan entre s; por ejemplo, el caso delsolenoide, considerado como un sistema hbrido, cuyo diagrama debloques se muestra en la figura siguiente, donde el sistema resultantequeda definido por medio de una ecuacin diferencial de tercer orden:

Diagrama de bloques de un sistema hbrido (solenoide) correspondiente a una ecuacin diferencial de tercer orden.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Un sistema de primer orden es aquel que queda definido por una ecuacin

diferencial de primer orden:

Al considerar constantes a los coeficientes a, b y c, se determinar la funcin detransferencia G(s) del sistema que transforma al dominio s la ecuacin,suponiendo cero a la condicin inicial y(0). Para obtener G(s) en trminos de lospolosdel sistema, se hace unitario el coeficiente de la mayor derivada contenidaen la ecuacin diferencial:

Una vez establecida la funcin de transferencia G(s) del sistema, se proceder adeterminar su respuesta o salida y(t) cuando se aplica una entrada escalnr(t ) = A.U(t)

Si el sistema es estable, su valor final ser:

Para determinar las caractersticas generales de la respuesta al escalnde un sistema de primer orden, se normalizar la ecuacin

haciendo AK = 1; adems, se considerar que a0 = 1/ t, con lo cual se obtiene:

donde la respuesta y(t) del sistema consta de dos trminos: un factorexponencial decreciente e^t [el cual queda definido por las caractersticasparticulares del sistema G(s), denominado componente transitorio] y un valorconstante igual a la unidad [que corresponde a la forma de onda de la entradar(t) y recibe el nombre de rgimen de estado estable]. La grfica de y(t) seobserva en la figura siguiente:

Elementos que forman la respuesta normalizada al escaln de un sistema de primer orden.

La figura muestra los regmenes transitorio (o respuesta natural) y deestado estable (o respuesta forzada) de y(t ) = 1 e^t.

Componentesde la respuestade un sistemaal escaln.

Haciendo AK = 1; adems, se considerar que ao = 1/ t, con lo cual se obtiene:

CONSTANTE DE TIEMPO

la cual ser cuantificada para diversos valores de ao.Para alcanzar el rgimen de estado estable, tericamente se requiere quet ; sin embargo, resulta importante determinar un valor prctico detiempo en el que el sistema alcance su valor final, por lo que se evaluar laecuacin

para distintos valores de tiempo: t = 1/ao, t = 2/ao, t = 3/ao y t = 4/ao. Lo anterior se muestra en la grfica de la figura siguiente:

Porcentaje de respuesta alcanzado para diversos valores de tiempo: t = 1/ao, t = 2/ao, t =3/ao y t = 4/ao.

se define al nmero y se le denomina constante de tiempo del sistema(segundos):

Para fines prcticos, se dice que el tiempo de asentamiento ta es el tiempoque requiere el sistema para alcanzar su valor final, y corresponde a cuatroconstantesde tiempo:

La figura muestra la respuesta al escaln de tres sistemas de primer orden paradiferentes constantes de tiempo:

Sistema de primer orden en lazo abierto y en lazo cerradoSistema de lazo abierto con ganancia ajustable K.

La figura muestra la respuesta del sistema al escaln unitario. Se observa que lasvariaciones de ganancia no afectan la velocidad de respuesta del sistema, ya que su polopermanece en la misma posicin; lo que s vara es la magnitud de la respuesta de estadoestable.

Anlisis en lazo cerradoPara el sistema con retroalimentacin unitaria de la figura, se consideran losmismosparmetrosque en el caso anterior:

La figura ilustra la respuesta al escaln del sistema de lazo cerrado para diversos valores de K.

Variacin en la ubicacin del polo de lazo cerrado como consecuencia del incremento deganancia.

Para la grfica de la figura, que representa lospolosde lazo cerrado deT(s) =0.25 K/ [s + (2 + 0.25 K)], por medio de Matlab, determine la gananciarequerida para que el sistema tenga una velocidad de respuesta de:a) 4. = 1.1560 segundos.b) 4. = 2.666 segundos.

Para T(s) = 0.25 K/ [s + (2 + 0.25 K)], la grfica de la figuraindica la variacin de posicin del polo de lazo cerradocuando vara K, ya que la ubicacin del polo es p = (2 +0.25 K); esto hace posible elegir cualquier punto en el ejereal ubicado a la izquierda del polo de lazo abierto p = 2.el polo en p = 3.46. La figura muestra que la gananciarequerida en el punto seleccionado es de K = 5.83unidades, si se ubica el puntero del ratn sobre la grficade Matlab.

a) Para que el sistema en lazo cerrado alcance el98.16% de y( ) en 4. = 1.1560 segundos, esnecesario determinar la constante de tiempocorrespondiente: = 1.1560/4 = 0.289 segundos. Elnmero 1/ es 3.46 y corresponde a colocar el poloen p = 3.46. La figura muestra que la gananciarequerida en el punto seleccionado es de K = 5.83unidades, si se ubica el puntero del ratn sobre lagrfica de Matlab.

b) Es imposible colocar al polode lazo cerrado p=1/(2.666/4)=1.5, ya que no existe lugargeomtrico en ese punto.

num=[0.25]den=[1 2]Sys=tf(num,den)rlocus=(sys)

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENUn sistema de segundo orden es aquel que queda definido por medio de una ecuacindiferencial de segundo orden:

considerando condiciones iniciales cero y aplicando una entrada r(t )

a) Polos reales distintos si a1 > 4 a0, sistema sobreamortiguado:

Al aplicar al sistema una entrada escaln unitario

Ejemplo:

b) Polos reales repetidos si a1 = 4 a0, sistema crticamente amortiguado :

Ejemplo

c ) Polos complejos si a1 < 4a0, sistema subamortiguado:

Ejemplo

Amortiguamiento y frecuencia natural no amortiguada

Caractersticas del sistema G(s) = 10/ (s2 + 2s + 5), as como su respuesta al escaln unitario.

Sistema de segundo orden masa-resorte amortiguador.

Todo polinomio caracterstico puede expresarse en trminos del amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada wn: