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一、主要内容框图

二、典型例题

第二章导数与微分

习题课


运算法则

基本公式导数

xy

x

0lim

微分

xydy 高阶导数

关系

)( xodyydxydyydxdy

一、主要内容框图


二、典型例题例1

).0(),100()2)(1()(

fxxxxxf

求

设

解10

)0()(lim)0(0

xfxff

x

)100()2)(1(lim0

xxxx

!100

解2 ])100()1[()100()1()( xxxxxxf

)100()2)(1()0( f !100


例2 设 )( xf 在 2x 处连续, 且 ,32)(lim

2

xxf

x

求 .)2(f

解 )2(f )(lim2

xfx

])2(

)()2[(lim2

x

xfxx

0

2)2()(lim)2(

2

x

fxffx

2)(lim

2

xxf

x3


例3 若 0)1( f 且 )1(f 存在 , 求 .tan)1(

)cos(sinlim2

0 xexxf

xx

解原式 = 2

2

0

)cos(sinlimx

xxfx

且

联想到凑导数的定义式

2

2

0

)1cossin1(limx

xxfx

1cossin2 xx

1cossin2 xx)1(f

)1(f )211( )1(

21 f


).(,)2()( xfxxxxf 求设例4

解先去掉绝对值

,2),2(

20),2(0),2(

)(2

2

2

xxxxxx

xxxxf

0)0()(lim)0(

0

x

fxffx

,0)2(lim2

0

xxx

x

0)0()(lim)0(

0

x

fxffx

,0)2(lim2

0

xxx

x

,0)0()0( ff ;0)0( f

2)2()(lim)2(

2

xfxff

x

2)2(lim

2

2

x

xxx

,4

2)2()(lim)2(

2

xfxff

x

2)2(lim

2

2

x

xxx

,4

),2()2( ff

.2)( 处不可导在 xxf


.

2,4320,43

0,00,43

)(

2

2

2

xxxxxx

xxxx

xf

解先去掉绝对值

,2),2(

20),2(0),2(

)(2

2

2

xxxxxx

xxxxf

,0)0()0( ff ;0)0( f

2)2()(lim)2(

2

xfxff

x

2)2(lim

2

2

x

xxx

,4

).(,)2()( xfxxxxf 求设例4

2)2()(lim)2(

2

xfxff

x

2)2(lim

2

2

x

xxx

),2()2( ff

,4

.2)( 处不可导在 xxf


例5 设其中可微 ,

解 y )(sin sin xx ee )(sinsin xx ee

)(sinsin sin xee xx )(cossin xxx eee

) sin(cossin xx exe xx ee cos


例6 .d),ln(sin2 yxey x 求设

解 ])ln([sin)ln(sin2 xexey xx

])[ln()]ln([cos)ln(sin2 xexexe xxx

)(1)]ln(2sin[

xexe

xe xx

x

)],ln(2sin[1 xexe

e xx

x

.d)]ln(2sin[1dd xxexe

exyy xx

x


.dd,

)0,0()(

2

2

xy

yxxyxfy yx

求所确定

由方程设函数例7

解两边取对数 ,ln1ln1 xy

yx

,lnln xxyy 即

,1ln)1(ln xyy ,1ln1ln

yxy

2)1(ln

1)1(ln)1(ln1

y

yy

xyxy

3

22

)1(ln)1(ln)1(ln

yxy

xxyy


.,)(sin cos yxxy x 求设例8

解 )(ln yyy

)sinlncos(ln xxxy

)sin

cossinlnsin1()(sin2

cos

xxxx

xxx x

yy

y 1)(ln


xy

dd

)cos1(sin

tata

txy )

dd(

])sin([])cos1([

ttata

.dd,

)cos1()sin(

2

2

xy

tayttax

求

例9

解 ,cos1

sint

t

)(

)dd(

dd

2

2

txxy

xy t

2)cos1()(sinsin)cos1(cos

ttttt

,

1cos1

t

.)cos1(

12ta


例10 设由方程

)10(1sin 2

2

2

yytttx

确定函数 ,)( xyy 求

解方程组两边对 t 求导, 得

tx

dd

t2

tx

dd

yt

ty

cos12

dd

故 xy

dd

)cos1)(1( ytt

22 t

ty

dd

ycosty

dd

0

)1(2 t

ty

dd

tx

dd


.,114 )(

2

2ny

xxy 求设

例11

解1

344114

2

2

2

2

x

xxxy

)1

11

1(234

xx

,)1(

!)1()1

1( 1)(

n

nn

xn

x ,

)1(!)1()

11( 1

)(

n

nn

xn

x

].)1(

1)1(

1![)1(23

11)(

nn

nn

xxny


)(tx 22

2

)1(23)1(3

ttatta

.2

1313

2

2

2相应的点处的切线方程在求曲线

t

taty

tatx

例12

解 ),5

12,5

6( aa切点坐标为

,)1(

)1(322

2

tta

)(ty 22

22

)1(23)1(6

ttattat

,)1(

622t

at

)()(

dd

txty

xy ,

12

2tt

,34

dd

2

tx

yk

切线方程为

),5

6(34

512 axay

即 .01234 ayx


一、求下列函数的导数:

;11arctan)1( 2

2

xxy

);(cos)2( 2 xx eey

);1ln(1)3( 22 xxxxy

);1(1arccos1)4( 2 xx

xy

.1

)5(x

xxy

测试题


二、

.

002

sin123 2

相应的点处的切线方程

在求曲线

tyyt

tte x

三、

).(,0,sin20,

)( xfxaxxxe

xfx

求

.dd),

dd(

dd,

dd,

53

2

2

2

2

5

3

xy

xy

tty

ttyttx求

四、

测试题


五、

.

00,sin

0,1sin)(2

的值，求

可导，在点设

ba

xxxbe

xax

xxfx

六、设 )( xf 在 1x 处连续, 且 ,31ln)(lim 21

xxxf

x

求 .)1(f

测试题


一、求下列函数的导数:

测试题解答

4

2(1) ;1

xyx

(2) ( )sin2( );x x x xy e e e e

2(3) 2 1;y x 2 1(4) ;xyx

1(5) ln .1 1 1

xx xyx x x

;11arctan)1( 2

2

xxy

);(cos)2( 2 xx eey

);1ln(1)3( 22 xxxxy

);1(1arccos1)4( 2 xx

xy

.1

)5(x

xxy


二、

45 5,dy tdt

2

32 20 ,d y t

dt

23 3,dx tdt

4

22

( ) 5 5 5 ( 1),( ) 3 3 3

dy y t t tdx x t t

25 10( ) [ ( 1)] ,3 3

d dy t tdt dx

2

2 2

( ) 10 .( ) 9( 1)

tdy

d y tdxdx x t t

解

.dd),

dd(

dd,

dd,

53

2

2

2

2

5

3

xy

xy

tty

ttyttx求


三、

6 2,x dxe tdt

6 2 ,x

dx tdt e

sin cos 0,dy dyy t ydt dt

sin ,

1 cosdy ydt t y

0, 0, ,2

t x y

( )( )

dy y tdx x t

sin ,

(6 2)(1 cos )

xe yt t y

0, 0,2

1 ,2t x y

dykdx

所求切线方程为 1 .2 2

y x

解

.

002

sin123 2

相应的点处的切线方程

在求曲线

tyyt

tte x


四、

0lim ( ) (0) 1,x

f x f

0lim ( ) ,x

f x a

1. 当a≠1时, f (x) 在点x 0不连续, 从而不可导.

1, 0( ) .

2cos , 0

xe xf x

x x

解

1, 0( ) .

2cos , 0

xe xf x

x x

2. 当a 1时,

0

( ) (0)(0) lim0x

f x ffx

0

1lim 2,x

x

e xx

0

( ) (0)(0) lim0x

f x ffx

0

2sin 1lim 2,x

x ax

(0) (0) 2,f f Q(0) 2,f

).(,0,sin20,

)( xfxaxxxe

xfx

求


五、

解0

lim ( ) ,x

f x a

0

lim ( ) (0) 1,x

f x f

因 f (x) 在点 x 0 可导, 从而连续, 于是 a 1.

0

( ) (0)(0) lim0x

f x ffx

0

( ) (0)(0) lim0x

f x ffx

1 0,b 1.b 由 f(x) 在点 x 0 可导, 得

0

1lim sin 0,x

xx

0

sin 1limx

x

e b xx

1 ,b

.

00,sin

0,1sin)(2

的值，求

可导，在点设

ba

xxxbe

xax

xxfx


解1

lim[ ( ) ln ] 0x

f x x

(1) 0f

2 2 21 1 1

( ) ln ( ) lnlim lim lim1 1 1x x x

f x x f x xx x x

1 1

1 ( ) 1 lnlim lim2 1 2 1x x

f x xx x

1

1 ( ) 1lim 32 1 2x

f xx

1

( )lim 51x

f xx

0

( ) (1)(1) lim1x

f x ffx

六、设 )( xf 在 1x 处连续, 且 ,31ln)(lim 21

xxxf

x

求 .)1(f

1

( )lim 51x

f xx

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