Problemas. Exponenciales y Logaritmos.

1 de bachillerato A y B. Curso 2011-12. Luis Rodriguez Aylln

Julio Garca-Serna Colomina

1) En una ciudad el nmero de ratas que hay en un momento determinado t (en

aos) es: ;22000)( 2t

tP P(t) es el nmero de ratas en el ao "t"

a) Cuntas ratas hay en el momento inicial t=0?

b) Cuntas ratas hay al cabo de 10 aos?

c) Cuntos aos tardarn las ratas en alcanzar el nmero de 10.000?

d) Cuntos aos tardarn las ratas en alcanzar el nmero de 1.000.000?

2) El crecimiento de una colonia de abejas est determinado por la siguiente

ecuacin, donde "t" es el tiempo transcurrido en meses: ;1500)(2tetP

a) Cuntas abejas haba inicialmente?

b) Cunto tiempo tardarn las abejas en tener una poblacin de 8.000 individuos?

3) La poblacin de cierta isla como funcin del tiempo (t) se encuentra dada por la

frmula: ;261

20000y

t1,0 Determina el incremento de poblacin entre t=10 y

t=20.

4) Un medicamento se elimina del cuerpo a travs de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad que queda en el cuerpo t horas despus, A(t), est dada por la

frmula: ;8.010)(ttA Para que el frmaco haga efecto debe haber en el

organismo, al menos, 2 mg. Determina cundo debe tomarse otra dosis de 10 mg

para que el medicamento siga haciendo efecto.

5) La longitud, en cm, de muchos peces comerciales de t aos de edad se puede aproximar bien mediante la funcin de crecimiento de Von Bertalandffy:

;1)( ktebatf en la que a, b y k son constantes. En el caso del pez hipogloso del pacfico a=200, b=0.956 y k=0.18. Determina:

a) el tamao de un hipogloso tpico de 10 aos de edad. b) La edad de un hipogloso de 30 cm.

6) El peso, P, expresado en kg, de una poblacin de elefantes africanos hembra est relacionado con su edad, t, expresada en aos, segn la frmula:

;5,012600)( 3075,0 tetP Determina: a) El peso de una elefanta recin nacida. b) La edad de un ejemplar de 1800 kg.

7) La intensidad del sonido que percibe el odo humano tiene diferentes niveles. Una frmula para hallar el nivel de intensidad, , en decibelios, que corresponde a la

intensidad del sonido, I, corresponde con la frmula: ;log100

I

I donde I0 es

la intensidad del sonido ms dbil que puede ser detectado por el odo bajo ciertas

condiciones.

Determina el valor de I, referido a I0 , que corresponde a un sonido de 50

decibelios.

Sabiendo que un nivel de intensidad del sonido de 141 decibelios produce dolor

en un odo humano comn. Cuntas veces, aproximadamente, debe ser I ms grande

que I0 para que alcance este valor ?

8) En un campo grande la lluvia cida ha depositado estroncio radiactivo 90Sr. Si a travs de la cadena alimentaria llegan al ser humano cantidad suficiente de este

elemento, puede provocar cncer en los huesos. Se ha encontrado que el nivel de

radiactividad en el campo es 2,5 veces el nivel de seguridad. El 90

Sr decrece

conforme a la frmula: ;0239,00teAtA en la que A0 es la cantidad actual

en el campo (A0 =0,25, en este caso) y t es el tiempo en aos. Durante cunto

tiempo estar contaminado el campo?

9) De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, un objeto se enfra en forma directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio

que le rodea. Si cierto objeto pasa de 125 C a 100 C en 30 minutos, cuando se

encuentra rodeado por aire a 75 C, la frmula que expresa la temperatura en cada

momento, f(t), respecto al tiempo, t, expresado en horas es: ;75250 2 ttf Calcula el tiempo que tarda en alcanzar la temperatura de 85 C.

10) El nmero de bacterias de cierto cultivo se incrementa de 600 a 1800 entre las 9 y las 11 am. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, t representa las horas

transcurridas desde las 7 am y el nmero de bacterias en cada instante, f(t), est

expresado mediante la frmula: ;3600)( 2t

tf Determina:

a) el nmero de bacterias a las 2 pm. b) El momento en que la poblacin alcanza el valor de 3200 bacterias.

11) El crecimiento de un bosque viene dado por la frmula F = A(1+i)t , donde F es la madera que habr dentro de t aos, A la madera actual e i la tasa de crecimiento

anual. Si esta tasa se mantiene, calcula el tiempo que tardar en duplicarse la mdera

del bosque, siendo i=0,02.

12) El crecimiento de un capital viene dado por la frmula F = C(1+i)t , donde F es el capital que habr dentro de t aos, C el capital inicial e i la tasa de crecimiento

anual o inters. Si esta tasa se mantiene, calcula el tiempo que tardar en duplicarse

el capital siendo el inters del 12% anual.

13) Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5% anual. Si actualmente uno de sus productos vale 18 euros, encuentra la funcin que

corresponde con el precio final del producto respecto a los aos transcurridos. A

partir de ella deduce:

a) Precio del producto dentro de cuatro aos. b) Precio del producto hace cuatro aos. c) Nmero de aos necesario para que el precio del producto se duplique.

14) La expresin x01981,0e5,01

5,22)x(P

proporciona la poblacin de un pas, desde

el ao 1860, en millones de personas. Determina:

a) La poblacin existente en los aos 1860, 1895, 1930 y 2000. b) Representa estos datos, y otros que consideres necesarios, en una grfica y

comprueba que la poblacin aumenta, pero nunca llega a alcanzar un valor

mximo.

15) En la frmula del capital final, en el inters compuesto C = c(1 + r)t , donde C es el capital final,c el capital inicial, r el tanto por uno y t el nmero de aos. Calcula el

nmero de aos que tienen que transcurrir para que un capital de 10000 colocado al 5 % se transforme en 15000.

16) La cantidad de un medicamento en la sangre viene dada por la frmula t85,050c , donde c se mide en miligramos y t en horas. Si cuando la cantidad baja

de 14 mg se tiene que administrar una nueva dosis, cada cunto tiempo hay que

administrar las dosis? Redondea el tiempo a horas.

17) Un cultivo de bacterias crece segn la frmula 5t

2y , donde y es el nmero de

miles de bacterias y t se mide en horas. Cunto tiempo tiene que transcurrir para

que haya ms de 28 000 bacterias?

18) La longitud de la circunferencia de un rbol crece segn la frmula t2,0e05,0C , donde c es la longitud de la circunferencia medida en metros y t el

nmero de aos. Cuntos aos tardar en medir 1 m?

19) Una determinada alga duplica su superficie cada semana, si inicialmente es de 0,5 m

2 , y se colocan cinco de estas algas en un lago de 6 km

2. Cunto tiempo

tardarn en colonizar todo el lago?

20) La frmula de revalorizacin de un sueldo viene dada por t)r1(sS , donde

S es el sueldo final, s el sueldo inicial, r el tanto por uno y t el nmero de aos.

Calcula el nmero de aos que tienen que transcurrir para que un sueldo anual de

20000 , con una revalorizacin del 3,5% anual,se transforme en 30 000 .

21) En un lago artificial se introducen 85 truchas, que se reproducen segn la

frmula t2e85N , donde N es el nmero de truchas y t el nmero de aos.

Cunto tiempo tiene que transcurrir para que haya ms de un milln de truchas?

22) La poblacin de una ciudad viene dada por la frmula t005,0e2p , donde p es

el nmero de millones de habitantes, y t, el tiempo en aos. Calcula cuntos aos

tienen que transcurrir para que la poblacin sea de 2,5 millones de habitantes.

23) La poblacin de una cierta especie animal en peligro de extincin se reduce

segn la frmula t3,025000P , donde P es la poblacin final, y t, el nmero de

aos. Si se considera que la extincin es inevitable cuando hay menos de 100

ejemplares, Cuntos aos deben transcurrir para que, si la situacin no cambia, su

extincin sea inevitable?

24) Un istopo del polonio tiene un perodo de semidesintegracin de 140 das, es decir, cada 140 das se transforma en la mitad de su peso. Si tenemos 200 g de

polonio, en cunto tiempo se transformar en 25 g?

25) El periodo de desintegracin del Carbono 14 es 5370 aos. En qu cantidad se convierten 10 g al cabo de 1000 aos?

26) Cuntos aos han de pasar para que una muestra de 30 g de 14C se convierta en 20,86 g.? (Periodo de desintegracin del C14 5370 aos).

27) Una muestra de 60 g. de una sustancia radiactiva se convierte en 35,67 g en 30 aos. Cul es el periodo de desintegracin?.

28) El tamao de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos. Si suponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias, dentro de cuntas

horas tendr 320 millones de bacterias?.

29) El tamao de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos, si al cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias, cuntas haba en el

instante inicial?

30) En un laboratorio de Biotecnologa se tiene un cultivo de bacterias en un fermentador durante 4 horas. La poblacin de bacterias crece rpidamente con el

paso del tiempo. La funcin que relaciona la cantidad de bacterias y el tiempo t

transcurrido en horas es: 2te025,0)t(C . Determina en cuanto se incrementa la

poblacin desde t=1 hasta t=3 horas.

31) Un medicamento se elimina del organismo a travs de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas despus est dada por

t8,010)t(A . a) Calcula la cantidad del frmaco restante en el organismo 8 horas despus de la

ingestin inicial.

b) Qu porcentaje del medicamento que est an en el organismo se elimina cada hora?

32) Un problema importante de oceanografa consiste en determinar la cantidad de luz que puede penetrar segn la profundidad ocenica; la cantidad de luz que se

transmite sigue la ley de Beer Lambert x

0 aI)x(I , donde I es la intensidad luminosa transmitida e I0 la intensidad luminosa inicial (que en nuestro caso

corresponde con la intensidad luminosa que llega a la superficie del agua).

Suponiendo que x4,010)x(I es la energa lumnica equivalente (en

2cm

scal )

que llega a una profundidad de x metros. Determina:

a) la energa que llega a una profundidad de 2 m b) Si se establece que la oscuridad corresponde con una energa lumnica 100 veces

inferior a la inicial, calcula la profundidad a la que comienza la oscuridad.

33) El trazador (o marcador) radiactivo 51Cr puede usarse para localizar la posicin de la placenta de una mujer embarazada. A menudo se debe pedir esta sustancia a un

laboratorio mdico. Si se envan A0 unidades (en microcuries), debido al

decrecimiento radiactivo, el nmero de unidades A(t) que queda despus de t das

est dado por t0249,0

0 eA)t(A . Determina:

a) Cuntas unidades se dispone para el anlisis si se envan 35 unidades del trazador y este tarda 2 das en llegar?

b) Cuntas unidades se deben enviar si se necesitan 49 unidades y tarda dos das en llegar el pedido?

34) Utilizando la frmula de la escala Richter

0I

IlogR . Determina:

a) la magnitud de un sismo cuya intensidad es 100 000 veces I0 .

b) Los terremotos de mayor magnitud registrados han estado entre 7 y 9 en la

escala de Richter. Calcula las intensidades correspondientes en trminos de I0 .

35) Las estrellas se clasifican en categoras de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas ms dbiles (con flujo luminoso L0) se les asigna magnitud 6. A las

estrellas ms brillantes se le asigna magnitud conforme a la frmula:

0L

Llog5,26m , en donde L es el flujo luminoso de la estrella. Determina la

magnitud de la estrella, m, si su flujo luminoso es 04,0 L10L .

36) En ciertas condiciones, la presin atmosfrica, P, expresada en pulgadas a la

altura de h pies est dada por h000034,0e29P . Cul es la presin a una altura

de 40 000 pies?

37) El istopo radiactivo 210Bi tiene una semivida (o vida media) de 5 das, es decir, el nmero de partculas radiactivas se reducir a la mitad del nmero original en 5

das. Si existen 100 g de 210

Bi en el instante t=0, entonces la cantidad f(t) restante

despus de t das est dada por 5t

2100)t(f

. Determina la cantidad que queda

despus de 5 das.

38) La cantidad inicial del istopo del polonio 210Po es de 50 mg. La cantidad

restante a los t das puede ser aproximada por t00495,0e50A . Calcula la

cantidad restante a los 365 das.