1º DE BACHARELATO MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS … · A estatística é o campo da matemática que...

Matemáticas aplicadas ás ciencias sociais I. 1º de bacharelato a distancia. Guía do alumno. 1

BACHARELATO SEMIPRESENCIAL E A DISTANCIA

GUÍA DO ALUMNADO

1º DE BACHARELATO

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS I

MATERIAS PROPIAS DE MODALIDADE

Matemáticas aplicadas ás ciencias sociais I. 1º de Bacharelato a distancia. Guía do alumno. 2

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 1 -É autor desta guía Miguel Ares Diñeiro.

1. A MATERIA

Dunha forma cada vez máis frecuente, as matemáticas están consideradas como unha ferramenta sumamente útil e eficaz, aplicable aos máis diversos e variados aspectos da realidade, un instrumento potente e capaz de resolver problemas nos distintos ámbitos da actividade humana, non só na científica e tecnolóxica, senón tamén nos aspectos sociais, económicos, laborais...

As matemáticas son útiles cando responden ás necesidades sociais, e estas necesidades non se limitan ás destrezas aritméticas, senón que son habilidades de índole máis xeral que poden desenvolverse traballando coas matemáticas.

A formación matemática que vas adquirir ao longo destes dous cursos débeche servir, entre outras cousas, para tomar decisións, para te enfrontar a novas situacións e a desenvolver a túa capacidade de razoamento, non só o dedutivo, senón tamén o indutivo e o intuitivo, xa que todos eles xogan un papel importante no traballo e na vida diaria.

Como o seu propio nome indica, matemáticas aplicadas ás ciencias sociais, a materia ten unha orientación eminentemente práctica que, como terás ocasión de comprobar ao longo do curso, queda perfectamente reflectida nas distintas unidades que o compoñen, pero non debes descoidar os aspectos teóricos que son os que en definitiva che permitirán adquirir os coñecementos e as destrezas necesarias para abordar os distintos problemas que se che van formular.

A materia está agrupada en tres bloques temáticos: aritmética e álxebra, análise e estatística e probabilidade, cun total de once unidades didácticas.

ARITMÉTICA E ÁLXEBRA

As matemáticas estudan as relacións, e gran parte destas relacións exprésanse de forma alxébrica, de aí a importancia de introducir símbolos que substitúan obxectos, co fin de representar unha situación e de comunicar información sobre ela, simbolizar cantidades coñecidas e descoñecidas, pero determinadas incógnitas mediante letras, expresar alxebricamente enunciados de problemas e obter métodos de resolución de ecuacións e inecuacións de primeiro e segundo grao, e de sistemas de ecuacións e inecuacións para resolvelos.

ANÁLISE

A análise é de grande utilidade para describir, ilustrar, interpretar, predicir e explicar fenómenos moi diversos: económicos, sociais, físicos..., mediante táboas, gráficas e


modelos matemáticos. Hai que lle prestar especial atención á confección e interpretación de gráficas, pola súa grande eficacia para comunicar información.

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

A estatística é o campo da matemática que trata de atopar as leis que rexen o mundo do azar, co fin de tomar as decisións oportunas naqueles aspectos do noso ámbito que parecen estar dominados polo aleatorio. A estatística trata, en primeiro lugar, de acumular a masa de datos numéricos provenientes da observación de multitude de fenómenos, procesándoos de modo razoable. Mediante a teoría da probabilidade, analiza e explora a estrutura matemática subxacente ao fenómeno do que estes datos proveñen e, mediante o coñecemento de tal estrutura, trata de sacar conclusións e predicións que axudan ao mellor aproveitamento do fenómeno para os fins que del se poden pretender.

A estatística é de enorme interese por si mesma e pola utilización que fan dela as demais disciplinas. Capacítanos para tomar decisións cando só dispoñemos de datos variables e afectados de incerteza, e proporciona unha filosofía do azar de grande alcance no mundo actual.

OBXECTIVOS ESPECÍFICOS

Inclúense, a continuación, os obxectivos que se pretenden conseguir co estudo destes tres bloques.

- Coñecer e distinguir os distintos tipos de números.

- Adquirir a suficiente destreza e habilidade para realizar as operacións habituais cos diferentes tipos de números.

- Representar e identificar sobre a recta real intervalos e desigualdades.

- Manexar os números reais e as súas operacións.

- Realizar correctamente as distintas operacións con radicais e potencias.

- Coñecer os logaritmos e as súas propiedades e realizar operacións con eles.

- Utilizar os conceptos matemáticos para o estudo da aritmética mercantil formulando, discutindo e resolvendo problemas de tipo financeiro, como incrementos e descontos, xuros, amortizacións, etc.

- Adquirir a suficiente destreza e habilidade para realizar as diferentes operacións matemáticas con polinomios e fraccións alxébricas.

- Coñecer e calcular as raíces enteiras dun polinomio, factorizar polinomios e resolver algunhas ecuacións de grao maior ca dous.

- Resolver con suficiente soltura ecuacións de primeiro e segundo grao.

- Interpretar e resolver sistemas de ecuacións lineais con dúas ou tres incógnitas.


- Traducir á linguaxe alxébrica situacións cotiás formulando e resolvendo problemas que orixinen sistemas de ecuacións lineais.

- Empregar métodos alxébricos, gráficos e numéricos para atopar a solución, interpretala dentro da situación formulada e valorar se é adecuada ao problema formulado.

- Resolver inecuacións cunha incógnita.

- Interpretar e resolver graficamente sistemas de inecuacións lineais con dúas incógnitas.

- Empregar con precisión os conceptos e a terminoloxía relacionada coas funcións.

- Coñecer e interpretar diferentes aspectos dunha función co estudo da súa gráfica.

- Distinguir se unha gráfica define ou non unha función.

- Representar graficamente funcións lineais e cuadráticas.

- Formular e resolver problemas sinxelos, asociados a situacións reais, que poidan ser descritos mediante funcións lineais ou cuadráticas.

- Coñecer e traballar con funcións específicas (polinómicas e racionais, exponenciais e logarítmicas, periódicas) e resolver problemas sinxelos que se axusten a este tipo de funcións.

- Calcular límites das funcións máis usuais, calcular límites laterais e resolver indeterminacións.

- Estudar a continuidade dunha función e clasificar as súas descontinuidades.

- Manexar e interpretar os conceptos de taxa de variación media e taxa de variación instantánea.

- Coñecer o significado xeométrico da derivada e utilizalo para calcular a ecuación da tanxente a unha curva nun punto.

- Obter as derivadas das funcións elementais e as súas composicións.

- Estudar as características dunha función mediante o estudo da súa derivada, e con elas obter a súa representación gráfica.

- Formular e resolver, con axuda das derivadas, problemas sinxelos de optimización.

- Estudar distribucións entre dúas variables.

- Aprender a descubrir a dependencia estatística entre dúas variables.

- Entender o significado da correlación lineal.

- Estimar o valor aproximado da correlación lineal a partir da nube de puntos.

- Saber que a correlación lineal pode medirse mediante o coeficiente de correlación.


- Empregar a recta de regresión para facer estimacións.

- Ler e confeccionar unha táboa de frecuencias.

- Confeccionar e interpretar os gráficos estatísticos usuais.

- Calcular e interpretar as medidas de centralización e dispersión máis usuais.

- Distinguir os distintos tipos de sucesos e as operacións con eles.

- Calcular probabilidades e probabilidades condicionadas.

- Calcular a probabilidade da unión e intersección de sucesos, distinguindo se son compatibles ou incompatibles, dependentes ou independentes.

- Coñecer os números combinatorios e traballar con eles.

- Adquirir a noción de distribución de probabilidade.

- Coñecer a función de masa de probabilidade e a función de distribución dunha variable aleatoria discreta.

- Calcular e interpretar a media e a varianza dunha función de probabilidade discreta.

- Coñecer as características dunha distribución binomial.

- Calcular probabilidades de fenómenos que se axusten a unha distribución binomial.

- Coñecer as características da función de densidade e da función de distribución dunha variable aleatoria continua.

- Calcular a media e a varianza dunha variable aleatoria continua.

- Coñecer as características dunha distribución normal.

- Tipificar unha variable ( )N µ σ, e calcular probabilidades de fenómenos que se axusten a ela.

- Calcular a probabilidade de sucesos de orixe binomial coa axuda da distribución normal.

2. O LIBRO DE TEXTO

O libro de texto que se utilizou para a elaboración desta guía e que se recomendou para o estudo da materia é:


Matemáticas aplicadas ás ciencias sociais 1.

Autores: J. Colera ; R. García e M. J. Oliveira.

Editorial Anaya.

Para preparar a materia serve calquera outro libro que cubra os obxectivos sinalados na guía.

2.1. Estrutura do libro

Cada unha das unidades didácticas está estruturada do seguinte xeito:

1. - Introdución, case sempre histórica, da unidade.

2. - Propostas de actividades para introducir os conceptos que se desenvolverán ao longo da unidade.

3. - Baixo o epígrafe “Nesta unidade verás”, preséntase o que se vai estudar na unidade.

4. - Desenvolvemento dos contidos teóricos da unidade.

5. - Exercicios de aplicación, resoltos e propostos, encamiñados a traballar cos coñecementos teóricos estudados.

6. - Problemas resoltos que cobren os aspectos máis notables de cada unidade.

7. - Problemas propostos similares aos anteriores, dos que se seleccionan as actividades para lle enviar ao titor ou á titora. Verás que algúns deles veñen sinalados en amarelo. Iso significa que poderás atopar a súa solución ao final do libro.

2.2. Método de traballo recomendado

En primeiro lugar, debes abordar esta materia con optimismo e convencido de que, aínda que no seu estudo xurdirán dificultades, con esforzo e constancia poderalas superar.

Le de vagar e con moita atención o apartado: “Resolución de problemas” ao principio do libro, nel aparecen a maioría das dificultades que vas atopar ao estudar matemáticas e as distintas estratexias para seguir, á hora de enfrontarse á resolución dun problema. Pensa que as matemáticas teñen unhas regras lóxicas e que as cousas non suceden porque si, senón que teñen un porqué lóxico.

Segue os consellos que che dan neste apartado, seranche de grande utilidade para estudar as outras unidades.

Utiliza sempre no teu estudo lapis e papel. Non te limites a ler, tes que facer, xa que como mellor asimilarás e consolidarás os conceptos estudados será facéndoos, pois o que se oe, esquécese, o que se ve recórdase, pero o que se fai sábese.


Debes ter a suficiente destreza e habilidade para facer con soltura as diferentes operacións matemáticas. Se non a tes, debes repasar a fondo estes aspectos ata alcanzala.

En cada unidade, comeza co estudo dos aspectos teóricos e procura entender os exercicios de aplicación deses conceptos. Aprende as estratexias usadas para resolvelos e trata de aplicalas aos do apartado “Problemas propostos”, algún dos cales ten o resultado no “Solucionario”, ao final do libro. Serviranche para que comprobes o grao de asimilación dos conceptos estudados

No apartado “Problemas resoltos”, estes están clasificados por tipos e cobren os aspectos máis interesantes de cada unidade. Primeiro intenta facelos sen axuda do libro e, se ves que non es capaz, recorre a el e non te desanimes. Ao principio é normal que pase iso, pero pouco a pouco comprobarás os teus progresos.

Atoparás diferentes tipos de exercicios: os de aplicación inmediata dos coñecementos e destrezas estudadas; e outros, que chamaremos problemas, que resultan algo máis complexos porque requiren unha formulación previa e, polo tanto, un estudo máis profundo. Para resolver este tipo de problemas debes elaborar unha estratexia que considere as seguintes etapas:

1. - Comprender o problema

Para entender o problema, hai que ler moi de vagar, e mesmo varias veces, o seu enunciado. A continuación debes formularte as seguintes cuestións: que me preguntan? Que datos me dan? Cal é a incógnita? Que condición relaciona unhas cousas con outras? É condición suficiente para determinar a incógnita? É insuficiente? (faltan datos) É redundante? (sobra algún dato) É contraditoria?

2. - Idear un plan

Agora, trátase de relacionar os datos coas incógnitas, pero pode ser que isto non resulte tan sinxelo; nese caso, adopta a seguinte estratexia: Atopei algunha vez un problema semellante? Enfronteime outras veces ao mesmo problema presentado de forma diferente? Coñezo algún problema relacionado con este? No apartado de “Problemas resoltos” hai un problema parecido a este, podería usalo? Podería usar o seu resultado? Podería empregar o seu método ou tería que introducir algún elemento auxiliar para poder empregalo? Coñezo algunha propiedade ou teorema que poida aplicar a este problema? Podería enunciar o problema de forma diferente e máis parecida a outro similar que xa está resolto? Podo resolver unha parte do problema? Empreguei todos os datos? Empreguei todas as condicións?

3. - Executar o plan

Unha vez concibido o plan, parece que todo é sinxelo, pero non te confíes e presta especial atención en utilizar correctamente os medios dos que dispós, non te confundas nas operacións, asegúrate da corrección de cada un dos pasos que dás, e non saltes as regras da linguaxe matemática, nin cometas erros absurdos á hora de realizar os cálculos.


4. - Examinar a solución alcanzada

Unha vez atopada a solución, cabe preguntarse: A solución alcanzada responde ao que me pedían? Podo comprobala? É lóxica ou carece de sentido? É coherente ou contradise con algún dos teoremas ou propiedades que coñezo? Se é así, haberá que revisar todo o proceso. Tamén é posible que o problema estea mal enunciado ou que teña erratas.

Aínda sendo correcta a solución alcanzada, cabe preguntarse se se podería obter de forma máis clara e con menos esforzo empregando outro método ou se se pode empregar este método noutros problemas.

As actividades que se propoñen en cada unidade para lle enviar ao titor están sacadas do apartado “Problemas propostos” e, aínda que non é obrigatorio, si é aconsellable o seu envío periódico ao titor, pois aínda que non van determinar a cualificación da materia, serven para comprobar a evolución do alumno e para corrixir os posibles erros.

As “Actividades de autoavaliación” que se propoñen en cada unidade, cuxa solución aparece no ”Solucionario”, ao final da guía, están sacadas do apartado “Problemas propostos” do libro de texto, e deben servir para que o alumno comprobe os coñecementos e as habilidades adquiridas co estudo da unidade.

2.3. Distribución trimestral dos contidos

Como xa se dixo ao principio desta guía, a materia está agrupada en tres bloques temáticos, cun total de once unidades didácticas. A distribución temporal destas unidades ao longo do curso será a seguinte:

PRIMEIRO TRIMESTRE (primeira avaliación).

Bloque temático I: aritmética e álxebra. Unidades 1, 2, 3 e 4.

SEGUNDO TRIMESTRE (segunda avaliación).

Bloque temático II: análise. Unidades 5, 6, 7 e 8.

TERCEIRO TRIMESTRE (terceira avaliación).

Bloque temático III: estatística e probabilidade. Unidades 9, 10 e 11.

Criterios de avaliación:

A avaliación está encamiñada a saber ata que punto se asimilaron os coñecementos e se alcanzaron os obxectivos marcados. Valóranse os coñecementos teórico- prácticos do alumno, o emprego adecuado das ferramentas matemáticas, así como o rigor nos razoamentos desenvolvidos e na terminoloxía empregada. No desenvolvemento dos exercicios e problemas valóranse os seguintes aspectos:

- A coherencia ordenada e razoada da resposta.


- A claridade na exposición.

- A utilización dunha axeitada terminoloxía e notación matemática.

- A facilidade, precisión e simplificación na realización dos cálculos.

- Se no desenvolvemento dun exercicio, ben por unha mala formulación ou por erros nos cálculos, o alumno obtén un resultado absurdo (o seno dun ángulo maior ca un, por exemplo), valórase positivamente que se decate dese feito e de que poña de manifesto o absurdo de tal resultado.

- Tamén se valora positivamente que o alumno explique cada un dos pasos que dá na solución dos exercicios.

En cada avaliación haberá un exame, que consistirá en resolver unha serie de exercicios de características similares ás que figuran no libro de texto recomendado.

Os alumnos que aproben as tres avaliacións teñen aprobada a materia. Se non as aproban todas, na convocatoria final do mes de xuño terán que examinarse das avaliacións suspensas. De non aprobaren nesta convocatoria, en setembro deberán examinarse de toda a materia, aínda que tivesen aprobada algunha das avaliacións.


3. - PROGRAMACIÓN. ORIENTACIÓNS E ACTIVIDADES

BLOQUE I: ÁLXEBRA

UNIDADE 1. - NÚMEROS REAIS

Os números enteiros, vinculados á necesidade de contar obxectos ou animais, son o xerme da matemática. Os números racionais, cocientes de enteiros, desempeñan así mesmo un papel básico. Xorden ao formalizar "reparticións" de obxectos entre varios individuos.

Sen embargo, hai outras magnitudes como a lonxitude dunha circunferencia, a diagonal dun cadrado, os xuros continuos anuais que produce un investimento de capital e outras moitas, que están intimamente vinculadas a outra clase de números: os números irracionais.

Con eles quedará completo o conxunto dos números reais. A súa representación gráfica sobre unha recta e o sistema de coordenadas derivado dela constitúen un soporte intuitivo vital na aplicación das matemáticas á ciencia e á tecnoloxía.

Criterios de avaliación

Ao finalizar o estudo desta unidade debes ser capaz de:

- Descubrir a existencia de números que non son racionais.

- Comprender a imposibilidade de expresar o seu valor exactamente.

- Representar os diferentes números sobre a recta.

- Razoar graficamente na recta real sobre distancias, orde e desigualdades.

- Estender aos números reais as operacións aritméticas elementais.

- Manexar correctamente as operacións con potencias e raíces.

- Coñecer o concepto de logaritmo dun número e traballar con logaritmos.

Actividades para lle enviar ao titor ou á titora

1. Calcula e simplifica:

a) 80232074561255 +−+ b) 3333 250

521542216 −−+

2. Di que valores de x cumpren: a) 52 =−x b) 74 ≤−x c) 63 ≥+x

3. Se xk =log , escribe en función de x :

a) 2log k b) 100

log k c) k10log


UNIDADE 2. - ARITMÉTICA MERCANTIL

A aritmética mercantil comprende unha serie de técnicas que resultan moi útiles para a relación do cidadán coas entidades financeiras. Dedícase esta unidade a entender as máis importantes e a aplicalas con soltura.

Revísanse os conceptos e as técnicas para obter, de forma áxil, aumentos e diminucións porcentuais e aplícanse as devanditas técnicas ao cálculo de xuros bancarios, tanto con períodos de capitalización anuais como mensuais. Para a realización de moitos destes cálculos utilizaremos unha nova ferramenta matemática: as progresións.



- Utilizar os conceptos matemáticos para formular, resolver e discutir problemas de tipo financeiro tomados da vida diaria, como incrementos e descontos, xuros bancarios, amortización de empréstitos, capitalizacións, etc.


1. Cantos anos se necesitan para que se dupliquen 50.000 euros colocados ao12% anual?

2. Nun exame de francés aprobaron o 60% dos estudantes. Na recuperación dos alumnos suspensos aprobou o 30%. En total, son 18 os aprobados. Cal é a porcentaxe de aprobados? Cantos estudantes son?

3. Calcula a TAE para un rédito anual do 10% con pagamentos mensuais de xuros.

Actividades de autoavaliación

1. Xustifica as igualdades que son verdadeiras. Escribe o resultado correcto nas falsas:

a) 122

22

=⋅⋅

−

−

baba

b) ( ) 12713

232 =

−−

c) 158

5353

11

22

=−−

−−

−−

d) ( )9

80331 2

2

=−−

−

−

2. Tres empresas invisten 1, 4 e 5 millóns de euros, respectivamente, nun negocio que produce 1.800.000 euros de beneficio ao cabo dun ano. Como se repartirán eses beneficios?


UNIDADE 3. - POLINOMIOS E FRACCIÓNS ALXÉBRICAS

Nesta unidade, igual que acontecía coa 1, trátase de repasar e afianzar coñecementos estudados en cursos anteriores.

Comezará co estudo dos polinomios e as operacións usuais entre eles: suma, resta, produto e cociente e dedicaralle unha atención especial á regra de Ruffini, á obtención das raíces dun polinomio e á factorización de polinomios.

Finalmente, estúdanse as fraccións alxébricas e incidirase nas operacións con fraccións e en simplificar os resultados



- Realizar con soltura as diferentes operacións con polinomios empregando, se é o caso, a regra de Ruffini.

- Coñecer e aplicar o teorema do resto e a súa relación co valor numérico dun polinomio.

- Calcular as raíces e factorizar polinomios.

- Realizar con fluidez as distintas operacións con fraccións alxébricas simplificando os resultados.


1. Descompón en factores o polinomio xx 165 − e di cáles son as súas raíces.

2. Efectúa as operacións indicadas e simplifica o resultado:

−⋅

−+

+11

12

11

2 xxx

x


1. Se o prezo do aluguer dun apartamento sobe un 10% cada ano: Cantos anos tardará en duplicarse?

2. Calcula o tanto por cento anual ao que se han de colocar 600 euros para que en dous anos se convertan en 699,84 euros.


UNIDADE 4. - ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

Nesta unidade estudarás métodos alxébricos e xeométricos para a resolución de ecuacións e inecuacións, e a formulación e resolución de problemas de aplicación destes métodos. A maioría xa son coñecidas de cursos anteriores, agora trátase de afianzalos e de corrixir os posibles erros.

Tamén se trata de repasar os diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuacións lineais con dúas ou tres incógnitas e interpretar graficamente a compatibilidade ou a incompatibilidade dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas. Debes recordar a representación gráfica de rectas no plano, que tamén utilizarás na resolución gráfica de sistemas de inecuacións lineais con dúas incógnitas.

Por último, debes ser capaz de formular e resolver problemas resolubles con estas técnicas.



- Resolver ecuacións de primeiro e segundo grao e as que se poidan reducir a elas.

- Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita.

- Representar graficamente os intervalos solución destas inecuacións.

- Formular e resolver problemas mediante ecuacións de primeiro e segundo grao.

- Resolver sistemas de ecuacións lineais con dúas e tres incógnitas.

- Estudar a compatibilidade ou incompatibilidade dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas. Interpretalo xeometricamente.

- Resolver graficamente sistemas de inecuacións lineais con dúas incógnitas.


1. Calcula o valor que ten que ter m para que o resto da división : )3(:)43( 23 −−++ xxmxx sexa 5.

2. Realiza as operacións e simplifica o resultado:

−⋅

−+

−+−

ab

ba

baba

baba

422

22

.


- Formular e resolver sistemas asociados a problemas reais. Valorar a solución.

- BLOQUE II: ANÁLISE

UNIDADE 5. - FUNCIÓNS ELEMENTAIS

O concepto de función é moi importante en matemáticas, intervén en todo tipo de fenómenos científicos e pode utilizarse para modelizar moitos de carácter social.

Coas funcións, intentamos representar e estudar cuantitativamente o cambio que experimenta unha magnitude determinada cando varía outra.

Nesta unidade estudarás as propiedades xerais, analíticas e gráficas, que debe cumprir unha expresión alxébrica ou unha curva para definir unha función.



- Coñecer o concepto de función.

- Representar graficamente funcións sinxelas.

- Saber interpretar unha gráfica.

- Distinguir se unha gráfica define ou non unha función.


1. Representa os puntos do plano que verifican as condicións dadas:

≤+−≤≥

131

yxxy

2. Resolve analítica e graficamente o seguinte sistema de ecuacións:

−=+−=−

153

2 yxxy


1. Unha tenda vende 60 ordenadores, que tiñan como prezo inicial 1.200 euros, cun desconto do 20% a uns e un 25%, a outros. Se se recadaron 56.400 euros, a cantos ordenadores se lles rebaixou o 25%?

2. Un granxeiro espera obter 36 euros pola venda de ovos. No camiño ao mercado rómpenlle catro ducias. Para obter o mesmo beneficio, aumenta en 0,45 euros o prezo da ducia. Cantas ducias tiña ao principio?


- Estudar e representar funcións definidas a anacos.

- Vincular as funcións a procesos de carácter económico (oferta, demanda, ingresos, gastos, beneficios...).

- Resolver problemas sinxelos con axuda das funcións.

- .

UNIDADE 6. - FUNCIÓNS TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS


1. Un rectángulo ten 20 cm de perímetro. Escribe a función que dá a área dese rectángulo en función da súa base x. Cal é o dominio desa función?

2. O custo de produción de x unidades dun produto é igual a 253541 2 ++

xx

euros, e o prezo de venda dunha unidade é 4

50 x− euros.

a) Escribe a función que nos dá o beneficio total, se se venden as x unidades producidas.

b) Calcula o número de unidades que deben venderse para que o beneficio sexa máximo.


1. Os gastos fixos mensuais dunha empresa pola fabricación de x televisores son xG 252000 += , en miles de euros, e os ingresos mensuais son

201,060 xxI −= , tamén en miles de euros. Cantos televisores deben fabricarse para que o beneficio (ingresos menos gastos) sexa máximo?

2. Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada un, e sabe que por cada 10 euros de suba venderá 2 electrodomésticos menos. a) Cales serán os ingresos se sobe os prezos 50 euros? b) Escribe a función que relaciona a suba de prezo cos ingresos mensuais. c) Cal debe ser a suba para que os ingresos sexan máximos?


Algunhas funcións que vas estudar nesta unidade, as funcións trigonométricas, presentan unha característica nova: son periódicas e, polo tanto, o seu comportamento repítese cada certo intervalo. Esta propiedade e o feito de que o periódico é unha constante na vida e na natureza, confírelles unha grande importancia, pois coñecer o comportamento e a duración dun ciclo permítenos facer predicións.

Tamén verás un tipo de funcións que serven para describir unha serie de fenómenos que se poden xeneralizar coa súa axuda: o crecemento dunha poboación, xuros bancarios, plans de pensións, anualidades, desintegración de substancias radioactivas..., son as funcións exponenciais e logarítmicas.



- Traballar coas razóns trigonométricas e as relacións fundamentais entre elas.

- Identificar as gráficas das funcións seno, coseno e tanxente e comprobar a súa periodicidade.

- Identificar a periodicidade dun fenómeno observando a súa gráfica.

- Resolver ecuacións trigonométricas sinxelas.

- Resolver problemas sinxelos asociados a situacións reais, empregando as funcións trigonométricas e as súas propiedades.

- Coñecer as funcións exponenciais e logarítmicas, as súas características e representación gráfica.

- Resolver ecuacións e sistemas de ecuacións exponenciais e logarítmicas.

- Empregar estas funcións para resolver problemas sinxelos asociados a situacións reais

- Manexar a calculadora para realizar os cálculos.


1. No contrato de traballo dun empregado figura que o seu soldo subirá un 6% anual. a) Se empeza gañando 10.000 euros anuais, canto gañará dentro de 10 anos? b) Calcula cánto tempo tardará en duplicarse o seu soldo.

2. Resolve o sistema de ecuacións

=

=+−

ee

yxyx 1

20lnlnln


UNIDADE 7. - LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE E RAMAS INFINITAS

O concepto de límite é un dos máis importantes do cálculo infinitesimal e o fundamento da maioría dos seus resultados. Trátase de atopar, se existe, o valor ao que se achega unha función cando a variable independente toma valores cada vez máis próximos a un determinado.

Unido ao concepto de límite está o de continuidade, cuxo significado coincide co dunha curva sen cortes na súa gráfica.



- Ter a noción intuitiva do concepto de límite dunha función nun punto.

- Calcular límites de funcións elementais.

- Resolver indeterminacións sinxelas da forma 00

e ∞∞

.

- Calcular límites laterais e coñecer a condición necesaria e suficiente para a existencia do límite dunha función nun punto.

- Comprender o significado gráfico da continuidade dunha función.

- Estudar e clasificar as descontinuidades dunha función.

- Calcular asíntotas.


1. Chámaselle inflación á perda de valor do diñeiro; é dicir, se un artigo que custou 100 euros, ao cabo dun ano custa 106 euros, a inflación foi do 6%. Supoñendo que a inflación se mantén constante no 6% anual, canto custará dentro de 5 anos un terreo que hoxe custa 5.000 euros?

2. Un cultivo de bacterias crece segundo a función 10/21 xy += ( y : miles de bacterias, x : horas).

a) Cantas había no momento inicial? b) E ao cabo de 10 horas? c) Calcula cánto tempo tardarán en duplicarse.


UNIDADE 8. - INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS

A observación dun fenómeno, dun cambio, conduce a unha función. Cando os científicos decidiron interesarse, non só polos cambios que se efectúan nas cousas, senón polo máis ou menos rapidamente que as cousas cambian, comeza o estudo das derivadas.

Os conceptos de taxa de variación media e taxa de variación instantánea (a derivada) é a axuda que a matemática lle presta á ciencia para medir e interpretar a magnitude dos cambios.

Intuitivamente, unha función con derivada en cada punto é aquela na que a gráfica non varía bruscamente de dirección en ningún punto.



1. Calcula o valor de a para que sexa continua a función

=

≠−−

=1

111

)(2

xsia

xsixx

xf

2. Nunha empresa fanse montaxes en cadea. O número de montaxes realizadas por un traballador sen experiencia depende dos días de adestramento, segundo

a función 4

30)(+

=tttM ( t en días).

a) Cantas montaxes realiza o primeiro día? E o décimo? b) Representa a función, sabendo que o período de adestramento é dun mes. c) Que acontecería co número de montaxes se nunca rematase o

adestramento?


1. Calcula as asíntotas das funcións a)11)( 2

2

−+

=xxxf , b)

41)( 2

3

−+

=xxxg .

2. Calcula a para que sexa continua a función

>−≤+

=1411

)( 2 xsiaxxsix

xf



- Manexar os conceptos de taxa de variación media e instantánea.

- Coñecer o significado xeométrico da derivada.

- Calcular a ecuación da tanxente a unha curva nun punto.

- Coñecer a relación entre continuidade e derivabilidade.

- Calcular a derivada dunha función a partir da definición.

- Calcular a derivada de funcións sinxelas e das súas composicións.

- Calcular derivadas laterais.

- Calcular intervalos de crecemento e decrecemento, extremos relativos e asíntotas.

- Representar graficamente funcións polinómicas e racionais sinxelas.


1. A ecuación da recta tanxente a unha función )(xf no punto de abscisa 2=x é .0134 =+− yx Cal é o valor de )2´(f ? E o de )2(f ?

2. Estuda e representa a función 4252

−−

=xxy .

3. Un banco lanza ao mercado un plan de investimento, cuxa rendibilidade, )(xR , en miles de euros, vén dada en función da cantidade que se inviste, x , en miles de euros, por medio da seguinte expresión:

5,304,0001,0)( 2 ++−= xxxR

a) Que cantidade de diñeiro se debe investir para obter a máxima rendibilidade?b) Que rendibilidade se obterá?


1. Calcula o valor de x para que as tanxentes ás curvas 523)( 2 +−= xxxf e xxxg 6)( 2 += sexan paralelas e escribe as ecuacións das tanxentes.

2. O custo total de fabricación de q unidades de certo artigo é:

7553)( 2 ++= qqqC euros. O custo medio por unidade é qqCqM )()( = .

a) Cantas unidades se deben fabricar para que o custo medio por unidade sexa mínimo?

b) Calcula )(qC e )(qM para o valor de q obtido no apartado a).


BLOQUE III: ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

UNIDADE 9. - DISTRIBUCIÓNS BIDIMENSIONAIS

O obxectivo perseguido ao estudar distribucións bidimensionais é determinar se existe relación estatística entre as dúas variables consideradas; é dicir, comprobar se os cambios nunha das variables inflúen nos da outra. Cando sucede isto, diremos que as dúas variables están correlacionadas ou que hai correlación entre elas. Se a correlación é forte, a partir dunha variable pode estimarse a outra. A correlación considérase forte, cando o grao de dependencia é alto e como débil no caso contrario.



- Distinguir entre relacións funcionais e estatísticas.

- Comprender o concepto de correlación lineal.

- Entender que o grao de correlación informa sobre a influencia dunha variable sobre outra.

- Decidir, segundo o valor de r, se pode facerse unha estimación fiable.

- Utilizar a recta de regresión para estimar unha variable a partir doutra.



1. A seguinte táboa mostra o número de xermes patóxenos por centímetro cúbico dun determinado cultivo, segundo o tempo transcorrido:

Nº DE HORAS 0 1 2 3 4 5

Nº DE XERMES 20 26 33 41 47 53

a) Calcula a recta de regresión para predicir o número de xermes por 3cm en función do tempo.

b) Que cantidade de xermes por 3cm é predicible atopar cando transcorran 6 horas? É boa esa predición?

2. Nun depósito cilíndrico, a altura da auga que contén varía conforme pasa o tempo, segundo a seguinte táboa:

TEMPO (h) 8 22 27 33 50

ALTURA (m) 17 14 12 11 6

a) Calcula o coeficiente de correlación lineal entre o tempo e a altura e interprétao.

b) Cal será a altura da auga cando transcorran 40 horas? c) Cando a altura da auga é de 2 m, soa unha alarma. Que tempo ha de pasar

para que avise a alarma?


UNIDADE 10. - DISTRIBUCIÓNS DE PROBABILIDADE DE VARIABLE DISCRETA. A BINOMIAL

A tarefa de describir e procesar de modo axeitado a masa de datos proveniente das observacións e experimentos é o obxecto da estatística descritiva.

Realízase mediante gráficos ou ben mediante números ou parámetros estatísticos que esquematizan a información.

Nesta unidade aprenderás a elaborar táboas e gráficos e a calcular os principais parámetros estatísticos.

A teoría da probabilidade, que tamén estudarás nesta unidade, trata de establecer e de analizar matematicamente os estraños modos a través dos cales o que é imprevisible e azaroso nun fenómeno ou suceso individual, debido á multitude de causas diversas que nel interveñen e que non podemos controlar, pasa a ser previsible, ordenado, suxeito a leis matemáticas, cando se considera a repetición, por moitas veces, dese mesmo fenómeno. Non sabemos o que sairá ao lanzar un dado unha vez, pero sabemos que se o lanzamos 60.000 veces, cada número sairá aproximadamente 10.000 veces.

Unha distribución de probabilidade non é máis cá asignación a cada posible suceso dun experimento aleatorio da probabilidade que lle corresponde. Isto ten un sentido aceptable cando os sucesos posibles nun experimento son uns poucos, é dicir, hai un número finito. Cando isto é así, a variable que estudamos é discreta. Entre todas as distribucións de probabilidade discreta, a binomial é a máis sinxela e a máis básica. O estudo deste tipo de distribucións realizarémolo nesta unidade.


1. Calcula o coeficiente de correlación entre estas dúas variables:

x: altitude 365 450 350 220 150

y: litros de chuvia 240 362 121 145 225

2. A estatura media de 100 escolares de certo curso de ESO é de 155 cm, cunha desviación típica de 15,5 cm.

A recta de regresión da estatura respecto do peso é xy 5,180 += (x: peso; y: estatura). a) Cal é o peso medio deses escolares? b) Cal é o signo do coeficiente de correlación entre peso e estatura?




- Calcular e interpretar as medidas de centralización e dispersión.

- Asignar probabilidades a sucesos e facer operacións con eles.

- Distinguir os distintos tipos de sucesos e avaliar a influencia dun suceso na probabilidade da realización doutros.

- Entender o significado da independencia e incompatibilidade entre sucesos.

- Calcular probabilidades condicionadas.

- Coñecer as características dunha distribución de probabilidade discreta.

- Asignar probabilidades a sucesos dos que se coñece a súa distribución de probabilidade.

- Coñecer as características dunha distribución binomial e distinguir este tipo de distribucións.

- Coñecer os parámetros da distribución binomial e o seu significado.

- Asignar probabilidades a sucesos mediante a distribución binomial.


1. Unha fábrica ten tres máquinas que fabrican parafusos. A máquina A produce o 50% do total de parafusos, a máquina B o 30% e a C o 20%. Da máquina A saen un 5% de parafusos defectuosos, da B un 4% e da C un 2%. Calcula a probabilidade de que un parafuso elixido ao chou sexa defectuoso.

2. A probabilidade de que un aparato de televisión, antes de revisalo, sexa defectuoso é 0,2. Ao revisar cinco aparatos: a) Cal é a probabilidade de que ningún sexa defectuoso? b) E de que haxa algún defectuoso?


UNIDADE 11. - DISTRIBUCIÓNS DE VARIABLE CONTINUA

Cando o experimento que se vaia estudar pode tomar, polo menos teoricamente, un número infinito de valores, a variable que estudamos é continua. A curva normal é a representación de probabilidade continua que aparece con maior frecuencia nas exploracións das que ordinariamente se ocupan científicos, tales como sociólogos, psicólogos, xeógrafos..., debido á enorme complexidade das causas que interveñen nas situacións que estudan as ciencias sociais e humanas.



- Coñecer as características dunha distribución continua.

- Manexar a función de densidade e a función de distribución.

- Coñecer as características básicas da distribución normal.

- Tipificar unha variable normal e, coa axuda da táboa normal tipificada, calcular probabilidades asociadas a ela.

- Utilizar, cando sexa adecuado, a distribución normal como aproximación da binomial.


1. O número de visitantes que diariamente acoden a unha exposición distribúese segundo unha normal N (2.000, 250). a) Calcula a probabilidade de que un día determinado o número de visitantes

non supere os 2.100. b) Calcula a probabilidade de que un día calquera os visitantes sexan máis de

1.500. c) Nun mes de 30 días, en cantos días cabe esperar que o número de visitantes

supere os 2.210?

2. A probabilidade de que unha xogadora de golf faga burato nun lanzamento a certa distancia é 0,2. Se lanzase 1.000 veces e a súa capacidade de acerto se mantivese, que probabilidade hai de que acerte máis de 220 veces?


1. Nunha festa hai tantos rapaces coma rapazas: a) Cal é a probabilidade de que nun grupo de seis persoas haxa tres rapazas? b) E o de que haxa menos de tres rapazas?

2. A probabilidade de que un torpedo lanzado por un submarino dea no branco é 0,4. Se se lanzan 6 torpedos, calcula a probabilidade de que: a) Só un dea no branco. b) Polo menos un dea no branco.



1. Os pesos de 2.000 soldados seguen unha distribución normal de media 65 kg e desviación típica 8 kg. Calcula a probabilidade de que un soldado elixido aochou pese: a) Máis de 61 kg. b) Entre 63 e 69 kg. c) Menos de 70 kg.

2. Un exame tipo test ten 50 preguntas cada unha, con tres posibles respostas, das que só unha é correcta. Para aprobar hai que responder correctamente 25 preguntas; para un notable 35 e para un sobresaínte 45 preguntas. Un estudante responde ao chou. Cal é a probabilidade de que aprobe? E de que saque un notable? E un sobresaínte?


UNIDADE 1

1. a) 4

4

22

22

ba

baba

=⋅⋅

−

−

b) 1313

271)3( 6

62

32 =⋅=

−−

c) 158

25925316

5335

259925

51

31

251

91

5353

11

22

=⋅⋅⋅⋅

=

⋅−⋅−

=−

−=

−−

−−

−−

d) 9

809

181313

)3(13)3(

31

22

222

2

=−

=−=−

−=−−

−

−

2. Investíronse 10 millóns de euros e obtivéronse 1.800.000 de beneficio. A cada millón de euros investido correspóndenlle 180.000 euros de beneficio. Ao que investiu 1 millón correspóndenlle 180.000 euros, ao que investiu 4 correspóndenlle 4 x 180.000 =720.000 e ao que investiu 5 correspóndenlle 5 x 180.000 =900.000 euros.

UNIDADE 2

1. Se p é o prezo do aluguer, npp )1,1(2 = ; simplificando p e tomando logaritmos,

2log1,1log =⋅n ; 827,71,1log

2log≈==n anos.

2. 2

100160084,699

+=

r; %81001

60084,669

=⋅

−=r .

UNIDADE 3

1. Resto = 325

97575943981)3(5 −=−=⇒−=⇒−++== mmmp .

2. abba

babababa

ab

ba

baba

baba

44

)2)(2()2()2(

422

22 2222 −

⋅−++−−

=

−

−+

−+−

=

SOLUCIONARIO


= 2)4(4)4(8

44

44444

22

2222

22

2222

−=−−−

=−

⋅−

−−−+−baabbaab

abba

bababababa

.

UNIDADE 4

1. Se x é o número de ordenadores aos que se lles rebaixou o 25%, x−60 serán os ordenadores aos que se lles aplicou un desconto do 20%. As condicións do problema dan lugar á seguinte ecuación:

56400)60(8,0120075,01200 =−⋅+⋅ xx . Resolvendo esa ecuación obtense 20=x .

20 ordenadores véndense cun desconto do 25% e 40 cun desconto do 20%.

Podes facelo mediante un sistema de ecuacións. Inténtao.

2. Se ao principio tiña x ducias, vendíaas a x

36 euros. Se rompen 4, quedan 4−x

ducias que vende a 45,036+

x euros. Como pola súa venda obtén 36 euros,

obtense a ecuación 03204,3645,036)4( 2 =−−⇒=

+− xxx

x . Resolvendo esa

ecuación obtense 16−=x , que non serve para o problema e 20=x . Ao principio tiña 20 ducias.

UNIDADE 5

1. A función que nos dá o beneficio (ingresos menos gastos), en función do número x de televisores fabricados é: xxxxGxIxB 25200001,060)()()( 2 −−−=−= =

20003501,0 2 −+− xx . Trátase dunha parábola. O máximo beneficio está na

abscisa do seu vértice: 175002,0

352

=−−

=−

=abx televisores.

2. a) Se sobe os prezos 50 euros, venderá 10 electrodomésticos menos. Polo tanto, venderá 90 electrodomésticos a 450 euros e obterá uns ingresos de 40.500 euros.

b) Se sobe os prezos x euros, venderá 5x

electrodomésticos menos, co que, a

función que dá os ingresos é: 40000205

)400(5

100)(2

++−=+

−= xxxxxI .


c) Os ingresos serán máximos na abscisa do vértice desa parábola:

505

220

2=

−

−=

−=abx . Para que os ingresos sexan máximos, a suba debe ser

de 50 euros.

UNIDADE 6

1. O custo dentro de 5 anos será 13,6691)06,1(5000 5 = euros.

2. a) Para 2000221,0 0 ⇒=+== yx bacterias.

b) Para 3000321,10 1 ⇒=+== yx bacterias.

c) 1685,153log102log32214 1010 ≈=⇒=⇒=⇒+= xxxx horas.

UNIDADE 7

1. a) Ten dúas asíntotas verticais, as rectas 1=x e 1−=x porque ±∞=

±→)(lim

1xf

x; ten unha asíntota horizontal, a recta 1=y porque 1)(lim =

∞→xf

x.

Non ten asíntotas oblicuas.

b) Ten dúas asíntotas verticais, as rectas 2=x e 2−=x porque ±∞=±→

)(lim2xg

x;

non ten unha asíntota horizontal porque ±∞=±∞→

)(lim xgx

; Ten unha asíntota

oblicua, a recta xy = porque 14

lim)(lim 3

3

=−

==∞→∞→ xx

xxxgm

xx;

1313

271)3( 6

62

32 =⋅=

−− .

2. Para que a función sexa continua en 1=x ten que verificar: )1()(lim)(lim

11fxfxf

xx==

+− →→. Como 2)1(lim)(lim

11=+=

−− →→xxf

xx y

aaxxfxx

−=−=++ →→

4)4(lim)(lim 2

11, tense que cumprir 2,24 =⇒=− aa .

UNIDADE 8

1. Para que as tanxentes sexan paralelas, as derivadas, pendentes das tanxentes, deben ser iguais: 2,6226),´()´( =⇒+=−⇒= xxxxgxf é a abscisa do punto de tanxencia.


A tanxente a )(xf en 2=x é a recta que pasa polo punto )13,2())2(,2( =f e a súa pendente é 10)2´( =f . A tanxente é )2(1013 −=− xy .

A tanxente a )(xg en 2=x é a recta que pasa polo punto )16,2())2(,2( =g e a súa pendente é 10)2´( =g . A tanxente é )2(1016 −=− xy .

2. a) Para que o custo medio por unidade sexa mínimo, 0)´( =qM .

qqqqM 7553)(

2 ++= , ⇒ 50753,0753)´( 2

2

2

±=⇒=−⇒=−

= qqqqqM .

3

150)´´(q

qM = ; 056)5´´( >=M . ⇒Para que o custo medio por unidade sexa

mínimo, débense fabricar 5 unidades.

b) 175)5( =C euros. 355

175)5( ==M euros.

UNIDADE 9

1.

x y 2x 2y xy

365 240 133225 57600 87600

450 362 202500 131044 162900

350 121 122500 14641 42350

220 145 48400 21025 31900

150 225 22500 50625 33750

1535 1093 529125 274935 358500

3075

1535==

−

x

6,2185

1093==

−

y

59,1073075

529125 2 =−=xσ

86,846,2185

274935 2 =−=yσ

8,45896,2183075

358500=⋅−=xyσ

5,086,8459,107

8,4589=

⋅=

⋅=

yx

xyrσσ

σ


2. a) 5,15;155 ==−

yy σ . ,5,1805,15,1155)(5,1 xxxxxyy +=+−=−+=−−−

50,805,1155 =⇒=−⇒−−

xx kg. O peso medio é 50 kg.

b) O signo é positivo porque coincide co do coeficiente de regresión (pendente da recta de regresión).

UNIDADE 10

1. Se D = “defectuoso”,

041,02,002,03,004,05,005,0)()/()()/()()/()(

=⋅+⋅+⋅==++= CPCDPBPBDPAPADPDP

O 4,1% saen defectuosos.

2. Trátase dunha distribución binomial )2,0;5(B .

a) 328,08,005

)0( 5 =

==xP .

b) 672,0328,01)0(1)0()1( =−==−=≠=≥ xPxPxP .

UNIDADE 11

1. a) [ ] [ ] [ ] 6915,05,05,08

656161 =<=−>=

−

>=> zPzPzPxP .

b) [ ] [ ] [ ] [ ] 2812,025,015,05,025,06963 =<+−<=<<−=<< zPzPzPxP .

c) [ ] [ ] 7341,0625,070 =<=< zPxP .

2. Trátase dunha distribución binomial )3/1;50(B . Pódese aproximar por unha

normal ( )310,3

50N .

a) [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 0091,036,239,5

39,536,25,34´5,243525=<−<=

=<<=<<=<≤zPzP

zPxPxP

b) [ ] [ ] 05,44´5,344535 =<<=<≤ xPxP .

c) [ ] 045 =≥xP .

1º DE BACHARELATO MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS … · A estatística é o campo da matemática que...

Documents

Transcript of 1º DE BACHARELATO MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS … · A estatística é o campo da matemática que...