1994 Los Problemas de Sumar y Restar

Los Problemas de sumar y restar

Serv. De Publicaciones de la Universidad de Extremadura

Cáceres. ISBN: 84-7723-183-4

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Blanco Nieto, Lorenzo J.

Calderón Trujillo, Manuel A.

LOS PROBLEMAS

DE

SUMAR Y RESTAR



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Dpto. de Didáctica de las Ciencias Exp. y de las Matemáticas

Universidad de Extremadura



Cáceres. ISBN: 84-7723-183-4

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INDICE

Introducción

Capítulo I. Aspectos previos sobre los problemas de sumar y restar.

1. Las operaciones aritméticas y la resolución de problemas.

2. Realidad y lenguaje de los problemas

2.1. Los problemas en relación con la realidad

2.2. El lenguaje en la resolución de problemas

3. Metodología para la resolución de problemas

4. Clasificación de los problemas a partir de los enunciados.

Capítulo II. Problemas de Cambio

1. Análisis, estructura y tipología.

2. Relación de problemas.

Capítulo III. Problemas de Combinación



Capítulo IV. Problemas de Comparación.



Capítulo V. Problemas de Igualación.



Capítulo VI. Problemas en dos etapas

1. Análisis de los problemas


Capítulo VII. Otras consideraciones.

Bibliografía



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INTRODUCCION

A nadie se le escapa la importancia que se les da a las actividades de

sumar y restar en los primeros niveles de la enseñanza primaria. Estas

constituyen, junto con las actividades de lectura y escritura, una de las

primeras referencias de enseñanza que los padres consideramos para

evaluar el aprendizaje escolar de nuestros pequeños.

Recientemente, diversas investigaciones en Didáctica de las Matemáticas

han profundizado en las situaciones de enseñanza-aprendizaje en relación

con las operaciones y resolución de problemas de sumar y restar, dando

lugar a conclusiones interesantes que apenas son tenidas en cuenta en la

realidad escolar diaria.

Uno de los resultados más interesantes está relacionado con la

clasificación de problemas de una sola etapa, aquellos que se resuelven

con una sóla operación aritmética, frecuentemente considerada en

artículos y libros de investigación o divulgación de la Didáctica de las

Matemáticas, pero que no encuentra referente en los libros de textos,

cuadernillos de problemas, ni en la actividad docente que se desarrolla en

los centros de enseñanza primaria, al menos en la amplitud deseada.

La falta de concexión entre los resultados de la investigación educativa y

la realidad que se desarrolla en las aulas de enseñanza obligatoria ha sido

constantemente denunciada por los docentes que encuentran muchas

dificultades para desarrollar en su actividad profesional diaria las ideas y

conclusiones que surgen de las investigaciones educativas acabadas.

El trabajo que presentamos quiere establecer un puente de conexión

entre estas dos vertientes de la realidad educativa, investigación y

práctica, en relación a un aspecto muy concreto cual es los diferentes tipos

de problemas de sumar y restar. Por este motivo, y para mejor divulgación

y aprovechamiento práctico de los resultados referidos, nos ha parecido



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interesante desarrollar los aspectos teóricos en relación a la clasificación

establecida, donde se aportan diversos ejemplos y esquemas que aclaran

las definiciones y clases establecidas, junto con una relación útil y

numerosa de problemas, que pretenden servir de pauta para que los

profesores de los primeros niveles de enseñanza primaria puedan realizar

su propia propuesta de problema, a partir de cualquier situación o centro

de interés, que consideren. Estos mismos ejemplos, pueden ser utilizados,

igualmente, como una relación de problemas para proponer a los alumnos

de los niveles correspondiente.

Es nuestra intención proporcionar al lector-maestro un documento

fácilmente comprensible y manejable que le permita poder elaborar su

propio listado para su actividad diaria.

En primer lugar, hemos escogido el ejemplo de una granja y

considerando esta situación hemos establecido una relación de veinte

enunciados diferentes, uno para cada tipo, de tal manera que se pueda,

con un simple ejercicio de traducción y ante cualquier situación o centro

de interés, elaborar una propuesta similar. Estos problemas los

identificaremos como "Centro de interés: La Granja".

En el segundo caso, a partir de ejemplos de pájaros hemos elaborado

igualmente un listado de problemas donde para cada tipo hemos

propuesto diferentes enunciados de acuerdo a las referencias que

establecíamos en el análisis teórico sobre la utilización del lenguaje y la

estructura del enunciado. Estos problemas serán identificados como

"Centro de interés: Los Pájaros".

Somos conscientes de los diferentes niveles de dificultad que tienen los

100 problemas propuestos. Igualmente, como ya señalamos anteriormente,

no todos los problemas aparecen en los libros de texto o cuadernillos de

problemas que usualmente se utilizan. En parte debido a esta situación

hemos querido proporcinar un documento que permita a nuestros



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maestros elaborar una propuesta de problemas completa, que podrán

adaptar a los diferentes niveles de maduración y conocimiento de los

alumnos de primaria.

En todo caso los problemas que describimos reflejan situaciones

fácilmente conocidas por nuestros alumnos de los primeros niveles.



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CAPITULO I.

ASPECTOS GENERALES SOBRE

LOS PROBLEMAS DE SUMAR Y RESTAR:

ESTRUCTURA Y CLASIFICACION.

1. Las operaciones aritméticas y la resolución de problemas.

La enseñanza/aprendizaje de los números y de las operaciones

aritméticas básicas constituye una referencia fundamental en los primeros

niveles de escolarización obligatoria. A este respecto, señalamos que la

enseñanza de la suma y de la resta aparecen expresamente en los dos

primeros ciclos de Primaria, como contenidos específicos.

En referencia a las operaciones aritméticas, en general, se establece una

diferenciación básica entre el concepto de operación, que en caso de la

suma y de la resta aparecen en primer ciclo de primaria, y el del algoritmo

cuya referencia aparece en el primer ciclo (suma y la resta sin llevar) y

segundo ciclo (suma y resta en general).

Por otra parte, en las nuevas propuestas curriculares se ha establecido

un bloque específico sobre la resolución de problemas (bloque 5), donde se

plantea, además, que esta actividad debe ser el contexto adecuado donde

tenga lugar el aprendizaje de las matemáticas. Son ya varias las

publicaciones que nos muestran las diferentes perspectivas que pueden

establecerse sobre la resolución de problemas y de las que podemos

encontrar una referencia en Blanco (1993).

Podemos afirmar que está universalmente aceptado que la resolución de

problemas puede tener una doble relación con la enseñanza/aprendizaje

de las operaciones aritmeticas.



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a) Así, partir de situaciones problemáticas sencillas puede ayudar a los

alumnos en la compresión de los conceptos de las respectivas operaciones.

Es decir, la resolución de problemas puede y debe ser considerada como

un motor del aprendizaje de las operaciones de sumar y restar.

Así, podemos señalar que situaciones como: "Tengo tres muñecos, y mi

hermano tiene cuatro. ¿Cuántos tenemos entre los dos?", se utilizan en la

adquisición del concepto de suma como reunión, favoreciendo su

aprendizaje, al mismo tiempo que "obliga" a los niños a desarrollar

estrategias de resolución de estos "sencillos" problemas.

Situaciones como la descrita, que constituye en sí mismo un problema

de sumar, serán simultáneas al aprendizaje de los números y por lo tanto

no tienen que ser consideradas necesariamente con posterioridad al

aprendizaje de la suma.

Esta primera perspectiva nos parece interesante, no sólo porque

determinados problemas puedan ser un elemento de motor, motivación

y/o apoyo, sino porque este planteamiento puede posibilitar la

comprensión de la realidad representada facilitando, la elaboración de una

estrategia propia para su solución. La experiencia concreta ayuda a un

mayor conocimiento del medio, desarrollando la reflexión lógica y

sentando las bases en las siguientes fases del aprendizaje matemático.

b) Desde otra perspectiva, los esfuerzos irían dirigidos a la manera en

que los conocimientos de Matemáticas, en nuestro caso los conceptos de

sumar y restar, que hayan sido previamente trabajados puedan tener una

aplicación útil a través de la solución de problemas. En esta línea estarían

aquellos profesores que consideran que aunque la adquisición de

conocimiento matemático es muy importante, el principal propósito de la

enseñanza de las Matemáticas debe ser saber su utilidad, para lo que se les

dará a los estudiantes oportunidades para aplicar sus recientes



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conocimientos en la resolución de problemas tomados de la vida diaria o

de la propia ciencia. En este caso tiene pleno sentido la colocación de los

problemas en el final de los capítulos o después de la introdución de algún

concepto o algoritmo.

La referencia a la realidad o la consideración de aspectos concretos en

Matemáticas ayuda a la consolidación de conceptos y habilidades que se

hayan adquirido con anterioridad. Es decir buscar una aplicación tangible

a los conocimientos matemáticos estudiados, y situaciones que lleven a

nuestros alumnos a dar sentido y a practicar las operaciones aprendidas.

2. Realidad y lenguaje de los problemas

En las actividades matemáticas, a desarrollar en el aula, podemos

destacar dos aspectos fundamentales que constituyen el nucleo de

referencia en la resolución de problemas, sobre todo en los primeros

niveles: por una parte, la situación representada de relación con la vida

cotidiana que creemos relacionada con algún aspecto de los contenidos del

currículum y, de otra, el lenguaje, comunicación y comprensión de la

situación representada.

2.1. Los problemas en relación con la realidad

a) Las operaciones matemáticas como reflejo de la realidad

Todos los problemas traducen situaciones concretas que se dan en un

espacio y en un tiempo determinado. Esta referencia a la situación

representada en el enunciado del problema debe ser un marco necesario

para el planteamiento de los mismos a los alumnos en los primeros

niveles. En esta línea, podemos observar como un problema conteniendo

las mismas cantidades, y que sugiere el mismo algoritmo para su solución,

puede representar situaciones distintas, lo que implica que necesariamente

esos problemas deban ser considerados de diferente manera cuando se



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trabaja en clase.

Así podremos considerar estos ejemplos sencillos que se resuelven con

el mismo procedimiento algorítmico: 3 + 4 = ?.

a) "Mi hermano tiene tres caramelos, compró cuatro. ¿Cuántos tiene

ahora?".

b) "Tengo tres caramelos y mi hermano tiene cuatro. ¿Cuántos tenemos

entre los dos juntos?".

c) "Tengo tres caramelos, mi hermana tiene cuatro más que yo. ¿Cuántos

tiene mi hermana?".

Estos ejemplos muestran tres problemas que se resuelven con la misma

operación pero traducen, como puede apreciarse, situaciones distintas. Es

decir, si quisiésemos dramatizar el problema en clase para favorecer la

comprensión del mismo por parte de los alumnos, es evidente que

representaríamos "obras de teatro" diferentes para cada ejemplo. La

representación que se realice del problema, bien por el resolutor o bien

por el profesor, como forma de motivación o para facilitar el aprendizaje,

condicionará el proceso de resolución del problema.

La representación de la realidad concreta que se expresa en el problema

juega en estos enunciados un papel más importante que la consideración

de la operación que lo resuelve. Sobre todo si la comprensión del

problema por parte de los niños es uno de los primeros aspectos que

consideramos. Esta idea nos debe llevar a asumir que los problemas que se

resuelven con la misma operación, e incluso teniendo los mismos datos, no

tienen por qué ser todos iguales.

Igualmente, y como complemento al contenido de este trabajo,

invitamos al lector a consultar diferentes libros publicados que muestran

las diversas estrategias de aprendizajes que desarrollan los alumnos de los



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primeros niveles, en referencia a las actividades de sumar y restar (Puig y

Cerdán, 1988 ); (Maza, 1989); (Bermejo, 1990); (Bermejo y Rodríguez, 1991).

Estos trabajos son interesantes porque nos ayudan a comprender la

actividad de los alumnos y consecuentemente tendríamos que

considerarlos para intentar facilitar su aprendizaje.

b) Relación entre los problemas de sumar y restar

Por otra parte, tenemos que hacer referencia a la relación que se

establece entre los problemas de sumar y restar y las estrategias que se

desarrollan para su resolución. Es frecuente que un problema propuesto

para practicar la operación de restar, los niños y los adultos lo

convirtamos en un problema de sumar.

Imaginemos el siguiente problema que viven los alumnos de primaria

en demasiadas ocasiones:

"Tengo 50 pts, me compro un paquete de pipas y regalí que me ha

costado 35 pts. ¿Cuánto me quedará?".

Nuestra intención será siempre plantear este problema para resolverlo

mediante una operación de restar: 50 - 35 = 15.

Sin embargo, tanto el señor del kiosko (realidad observada por el

pequeño), como en algunas de las estrategias de resolución que los niños

desarrollan (estrategias aditivas para la resta), aparecen operaciones de

sumas sucesivas: 35 y 5 son 40, y 5 son 45 y 5 son 50. Luego sumamos y

vemos que la vuelta ha sido 15.

De igual manera podemos considerar el siguiente problema:

"Raul tiene 3 caramelos y Marta tiene 7, ¿quién tiene más?, ¿cuántos

caramelos más tiene Marta que Raúl?".



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Este es otro ejemplo de problema propuesto para resolverlo mediante

una operación de restar. Sin embargo, es frecuente ver que los niños, en

sus primeros contactos con los números, utilizan una estrategia de contar

para resolver este problema. Así, partiendo de la cantidad "tres" cuentan

hasta la cantidad "siete", en algunos casos sirviéndose de los dedos o de

otros objetos físicos, para ver cuál es la diferencia que se establece entre

ellas.

Estos ejemplos ponen de manifiesto la dificultad real de establecer

diferencias entre los problemas de sumar y restar en los primeros niveles

de enseñanza, sobre todo a la luz de los análisis de estrategias

desarrolladas por los niños en el desarrollo de su aprendizaje.

2.2. El lenguaje en la resolución de problemas

Otro aspecto importante que aparece cuando reflexionamos sobre la

influencia de los enunciados en los éxitos o fracasos de la resolución de

problemas en los niños, es el referente al lenguaje empleado en la

presentación de estas actividades. En Matemáticas, lo mismo que en

nuestra vida, debe emplearse un lenguaje claro y preciso que facilite la

comunicación entre las personas. Consecuentemente, parece obvio que la

presentación de las actividades de sumar y restar deberá hacerse con un

lenguaje adecuado a los resolutores a los que van dirigidas.

Por otra parte, es fundamental que los alumnos sepan expresar con

claridad y en términos precisos sus experiencias. La forma de transmitir

estas vivencias es mediante el lenguaje ya sea oral o escrito, literal o

gráfico. Si el niño se muestra activo, trabaja y participa en la clase el

lenguaje debe de ser el vehículo de expresión de la actividad que realiza.

En consecuencia, es importante hacer una consideración al lenguaje

utilizado en nuestros problemas, tanto en la presentación, en el desarrollo,

como en la conclusión final. Además, en cuanto que vehículo de



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comunicación también, en demásiadas ocasiones, origen de confunsión o

de dificultad.

2.2.1. Traducción del enunciado a la operación matemática.

En los primeros niveles de enseñanza el lenguaje y la estructura

linguística del problema adquiere singular importancia por cuanto en un

principio los niños de 6 o 7 años, condicionados por una enseñanza

tradicional y mecanicista, suelen hacer una traducción directa del proceso

verbal a la expresión matemática, teniendo escasamente en cuenta el

significado del problema planteado de forma oral o por escrito.

La mayor importancia dada a los procesos algorítmos sobre los

conceptuales, en la enseñanza delas matemáticas, provoca en los niños

una obsesión de búsqueda del algoritmo correspondiente al problema sin

prantearse previamente el significado del mismo. Así, las preguntas "¿es

de sumar?", "¿es de restar", que los alumnos realizan cuando se les platea

un problema que implique a estas operaciones, evidencian una

preocupación por la mecánica operativa, y una falta de comprensión del

significado de la operación matemática.

a) La traducción de la situación que representa el problema y que viene

expresada en un lenguaje concreto se produce en muchos casos de una

manera lineal. LLevando, según cada caso, a una solución correcta o

incorrecta que no nos indicará el grado de conocimiento de los problemas.

Este proceso de elección de la operación que resolverá el problema ha

sido estudiado por diversos autores, fundamentalmente para los

problemas de sumar y restar, entre los que resaltamos esta referencia:

"Algunos investigadores parecen pensar que las correspondencias entre

ambos lenguajes se establece fundamentalmente por medio de palabras



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claves. Imaginan, por tanto, un proceso de traducción secuencial en el que

el sujeto decide la operación que tiene que realizar en función del

significado que atribuye a la palabra clave con que se encuentra al recorrer

el enunciado" (Puig, 1988, p. 116).

Para aclarar el significado e importancia de la palabra clave, vamos a

considerar tres ejemplos:

. Ejemplo 1:

"Tengo 20 caramelos y me los como todos menos 8. ¿Cuántos me

quedan?".

Hemos de convenir que muchas de las personas a los que se lo

proponemos, sobre todo si le exigimos una respuesta rápida, suelen

reacionar dando como correcta la solución 12 que surge de considerar la

operación 20 - 8 = 12. Esta operación se corresponde con una traducción

lineal del enunciado y por tanto implícita en el mismo. Si tenemos en

cuenta que en el problema aparecen claramente ordenados los términos:

"20"; "menos"; "8" y "¿Cuántos quedan?", unido a una falta de atención en

el momento de dar la respuesta o a la premura en la constestación que nos

exige la persona que plantea el problema, nos puede resultar comprensible

tal reacción.

Esta situación podríamos representarla esquemáticamente de la

siguiente manera:

"Tengo 20 caramelos y me los como todos menos 8. ¿Cuántos me quedan?"

"20 caramelos" "como" "menos" "8" "¿Cuántos me quedan?"

"20" "menos" "8" "¿Cuántos?"

20 - 8 = 12



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Evidentemente, el enunciado y, sobre todo, el afán de dar una respuesta

rápidamente nos lleva a un error. La solución, que viene claramente

especificada en el problema, no es considerada en un primer momento por

muchos alumnos o adultos a los que les proponemos el problema como tal

y si como un dato a considerar en la solución del mismo.

. Ejemplo 2.

Una situación similar, y que lleva igualmente a resultados erróneos,

aparece en algunos de los problemas que proponemos en los primeros

niveles. La traducción que se realiza del enunciado sirve como vehículo de

solución del problema obviando, en muchos casos, la representación y

comprensión del mismo.

Veamos otro ejemplo:

"Miguel tenía tres caramelos, compró algunos más y ahora tiene 7,

¿cuántos compró?".

No suele ser infrecuente que algunos alumnos resuelvan este problema

con la operación de sumar: 3 + 7 = 10.

Si nos fijamos en el enunciado, y eliminamos del mismo algunas

palabras nos podríamos quedar con los términos que parecen ser más

significativos del enunciado: "tres"; "más"; "siete"; "¿cuántos compró?", que

son considerados por los alumnos palabras claves que marcan la estrategia

de solución del problema.

Estos términos, así como el orden en el que aparecen las cantidades

pueden determinar la solución errónea del alumno. Es decir, la operación

mencionada surge como consecuencia de una mala traducción del



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enunciado del problema a la operación matemática.

"Miguel tenía tres caramelos, compró algunos más y ahora tiene 7, ¿cuántos compró?"

"tenía tres caramelos" "compró" "más" "7" "¿cuántos compró?"

"tres" "más" "7" "¿cuántos compró?"

3 + 7 = 10

. Ejemplo 3.

Evidentemente, esta traducción del enunciado puede servir en algunos

casos en sentido contrario. Así, podemos proponer otro ejemplo en el que

la traducción realizada justifica que los niños puedan resolver bien el

problema aún sin haberlo comprendido, simplemente haciendo una

traducción del enunciado a laoperación que consideran más oportuna.

Así, analizamos un problema similar al anterior:

"Miguel tenía 8 caramelos, se comió algunos y ahora tiene 3. ¿Cuántos

comió?".

Los niños resolverán, con mucha frecuencia 8 - 3 = 5, aún cuando les

cueste un considerable esfuerzo explicar su estrategia de pensamiento, u

justificar así el procedimiento seguido.

Pero esta resolución obedecerá, en algunos casos, a la comprensión del

problema y en otros a una traducción literal del mismo. Ya que la

estructura de esta actividad pudiera reducirse de forma semejante al

ejemplo anterior, pero en este caso hacia la resolución correcta del

problema:

"Miguel tenía 8 caramelos, comió algunos y ahora tiene 3. ¿Cuántos comió?"

"Tenía 8"; "Comió algunos"; "3"; "¿Cuántos?"



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"8"; "Comió"; "3"; "¿Cuántos?"

"8"; "3" "¿Cuántos?"

Teniendo en cuenta que la palabra comió se asocia a la operación de

restar, así como el orden en el que aparecen las cantidades, podemos

comprender que el alumno escoja la operación correcta para resolver

fácilmente el problema.

b) En este proceso de traducción que hemos definido parece importante

considerar, además de las palabras claves, el orden en que se presentan las

proposiciones que nos indican las cantidades. Así podremos plantear un

mismo problema a partir de dos enunciados diferentes:

"Tengo 67 pesetas, me gasto 33, ¿cuántas me quedan?".

"Me he gastado 33 pesetas de las 67 que tenía, ¿cuántas me quedan? ".

En el primer caso los números 67 y 33 aparacen en el orden en el que se

dispondrán para la operación de restar que resuelve el problema, lo que

facilita la traducción del mismo a la operación aritmética correspondiente,

mientras que en el segundo es necesario invertir el orden de las cantidades

para adecuar los números a la colocación que el algoritmo de la resta nos

señala.

2.2.2. Comprensión del lenguaje.

El planteamiento de problemas numéricos en el primer y segundo Ciclo

de Primaria presenta algunas dificultades adicionales derivadas de la

etapa de desarrollo en la que se encuentran los niños que pertenencen a

esta etapa. No obstante y por ser básico para la comprensión de la



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clasificación aportada, señalaremos algunos aspectos que consideramos

importantes además de los ya expuestos anteriormente.

La precisión en el lenguaje utilizado por el maestro bien oral o bien

escrito, dependiendo del nivel de lectura del alumno, debe ser tenida en

cuenta como un aspecto importante. El uso de términos desconocidos por

los estudiantes condiciona negativamente la resolución de los problemas.

La expresión "qué más da peras que manzanas si lo que importa son los

números" implica necesariamente una etapa de abstracción en el proceso

de maduración que no se le suponen a los alumnos de estos Ciclos que

están trabajando los problemas de sumar y restar.

Una mala comprensión de este lenguaje, y por consiguiente, una mala

representación de la realidad reflejada en el enunciado, puede ser origen

de inversión u olvido de ciertos elementos del problema, o de la confusión

entre datos e incógnitas, como en los ejemplos expuestos en el apartado

2.2.1.a).

La comprensión del problema implica una representación de la realidad

que viene referida en términos de espacio y del tiempo en el que el hecho

planteado tiene lugar. En este sentido, advertimos de la importancia que

tienen los tiempos de los verbos o los adverbios empleados en los

enunciados de los problemas. Podemos indicar, por ejemplo, la dificultad

que supone el uso del condicional en los enunciados de los problemas, en

los primeros niveles, aún cuando su utilización implicaría una capacidad

deductiva que los alumnos, por su edad, no tienen. Igualmente, la

utilización incorrecta de los tiempos de los verbos o el abuso de los

adverbios en los enunciados supone una dificultad añadida.

Algunos problemas vienen enunciados, específicamente, en relación a

unasecuencia temporal que permite el cambio de alguna cantidad. Esto

hace que tengamos que considerar lacapacidad temporal de los alumnos y

la estructura del problema en relación al pasado, presente y futuro, que



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vienen expresados claramente en los tiemposde los verbos que aparecen

en la presentación

Así nos imaginamos una situación en la que un niño se come cuatro

caramelos de los 10 que tenía. Para enunciar un problema que represente

esta situación podemos considerar el paso del pasado al presente:

"Jaime tenía 10 caramelos se ha comido cuatro. ¿Cuántos tiene ahora?".

O bien podemos considerar el paso del presente al futuro, quedando el

problem enunciado de la siguiente manera:

"Jaime tiene 10 caramelos, y se come cuatro. ¿Cuántos le quedarán?".

El lenguaje nos permite que un mismo problemas podamos enunciarlo

de diferentes maneras según los términos implicados en el mismo. Así,

podemos apreciar diferentes estructuras en el enunciado para una misma

situación problemática:

"Tenía siete caramelos, me comí cuatro, ¿cuántos me quedan?".

"Tenía siete caramelos, ¿cuántos me quedan si me he comido cuatro?".

"Si tengo siete caramelos y me como cuatro, ¿cuántos me quedan?".

"Si me como cuatro caramelos de los siete que tenía, ¿cuántos tendré?".

"Me como cuatro caramelos, tenía siete, ¿cuántos tendré?".

"Cuántos caramelos me quedarán, si de siete que tenía me como cuatro?".

"Me como cuatro caramelos, ¿cuántos caramelos me quedarán de los siete que tenía?".

Podríamos seguir dándole vuelta a la estructura del enunciado y

observar que aún siendo la misma situación el modo de expresión

condiciona su comprensión, facilitando o dificultado la estrategia de

resolución del problema a los alumnos.

3. Metodología para la resolución de problemas.



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Vamos a intentar establecer algunas breves pautas metodológicas que

deben ser consideradas para la resolución de problemas aritméticos,

teniendo en cuenta la etapa de maduración donde se encuentran los

alumnos de los primeros niveles, y algunas aportaciones que como la de

Mialaret (1986) resultan importantes para comprender el proceso de

enseñanza/aprendizaje de las Matemáticas para los niveles considerados.

Tres objetivos podíamos considerar para la enseñanza de las

Matemáticas en relación con el estudio de los problemas aritméticos:

suministrar al alumno una herramienta intelectual, desarrollar su

formación y ayudarle en la comprensión y resolución de ciertos problemas

cotidianos. La formación matemática "acostumbra a los alumnos a

sobrepasar la realidad concreta para traducirla a una nueva lengua

depurada, más abstracta, pero que hace aparecer las semejanzas entre

situaciones aparentemente muy alejadas unas de otras" (Mialaret, 1986, P.

13).

En consonancia con los objetivos anteriores, no se trata sólo de adquirir

hábitos de razonamiento correcto (lo cual ya es importante), sino de

habituar a los alumnos a tomar conciencia de los propios pasos de su

pensamiento, comprender en toda su amplitud el proceso de resolución

de las situaciones planteadas. Aceptando que todas estas reglas y procesos

que señala no son innatos, se exigirá por lo tanto un cierto aprendizaje a

fin de conseguir aquellos propósitos que nos marcamos.

Esta forma de concebir el aprendizaje de las Matemáticas requiere de un

lenguaje que le dé precisión, y sobriedad, entendiendo, además, que la

forma de expresión de un razonamiento es parte esencial del mismo.

Las relaciones del niño con su medio, son importantes, teniendo en

cuenta su propia experiencia para ir a una matematización progresiva de

la realidad vivida. En este caso "el niño no inventa el edificio matemático,

pero lo descubre progresivamente gracias a la ayuda del maestro, y las



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diferentes partes elaboradas se estructuran, se reestructuran, en función

de los conocimientos ya adquiridos" (Mialaret, 1986, p. 20).

Dado que los procesos de abstracción, formalización y axiomatización

no son adecuados en los primeros niveles, se debe optar por un método

intuitivo, e inductivo y que lleve a una matematización progresiva, que

haga que el alumno utilice constantemente sus conocimientos. Haciendo

que este tome conciencia del punto de partida y de llegada y del camino

recorrido, integrándolo todo como un proceso único. El problema

pedagógico consiste en establecer una conexión entre una actividad

determinada real o imaginada, y su traducción a un cierto lenguaje que

utiliza sus propios símbolos. Para que esta conexión tenga lugar podemos

diferenciar diversas etapas por las que el niño debe pasar para asegurar

una construcción sólida del conocimiento Matemático.

Así, recogiendo las aportaciones de la psicopedagogía consideramos que

la acción concreta debe preceder al concepto. Para que el niño pueda

representar las acciones que se indican en un determinado problema, es

conveniente que haya experimentado u observado la misma acción u otra

similar. En una primera parte del proceso de resolución la dramatización

de la situación representada en el problema será siempre una ayuda útil y

conveniente para su comprensión.

Es idea de partir de lo concreto parece establecerse, asi mismo, desde

posiciones pedagógicas y de motivación. Como dice Puig Adam: "El

interés del niño por el conocimiento está en razón directa de la parte

activa que toma el mismo en su adquisición. No se puede concebir acción

sin pensamiento ni éste sin acción que lo haya provocado".

El lenguaje es un aspecto de suma importancia en la resolución de

problemas. La acción, en sí misma, no es suficiente, y el lenguaje debe

acompañarla formando un todo que asegure: la acción concreta, la

expresión de esta acción concreta en un lenguaje que puede empezar a ser



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llamado lenguaje matemático y la adquisición de un lenguaje propio de la

matemática. Acción y lenguaje se apoyan mutuamente ya que por una

parte cada expresión toma sentido porque se asocia a una acción real, y

por otra diferentes acciones pueden agruparse puesto que se relatan de

una misma forma. Las situaciones quedan agrupadas en series análogas

captando lo que tienen en común e ayudando a interiorizar su significado.

Cuando expresamos oralmente una acción realizada, el esfuerzo de

síntesis necesario para que nuestros interlocutores nos comprendan sirve

para organizar nuestros esquemas mentales, ayudándonos a interiorizar

diferentes conceptos y procesos que subyacen en la actividad realizada.

De forma semejantes, los niños cuando nos cuentan sus pensamientos y

nos justifican su manera de resolver los problemas, empiezan a

interiorizar los conceptos y procesos implicados en la actividad

matemática realizada, y a relacionar aquellas actividades que presentan

estructuras semejantes.

Siguiendo este proceso de abstracción progresiva, será que el alumno

sea capaz de traducir las situaciones vividas a un lenguaje distinto del

oral, como puede ser un lenguaje gráfico. En este mismo lenguaje se puede

esquematizar las semejanzas que se hayan podido establecer en distintas

situaciones. Caminando a través de esta esquematización desde lo

concreto a la traducción del grafismo, y de este a la situación concreta, en

un ir y venir importante para la educación matemática, asegurando los

distintos planos que se establecen entre la realidad y el pensamiento, entre

la enseñanza formal y los hechos concretos.

Se requiere, además, un paso que fuerce la consolidación de las

situaciones precedentes para completar su traducción a un lenguaje

matemático, teniendo presente que el niño no plantea una operación o un

concepto más que en la medida en que comprende lo que él expresa o lo

que traduce.



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A partir de aquí vendrán las consideraciones sobre la aplicabilidad de

los conceptos a situaciones que puedan plantearse y ante problemas

nuevos. Se considera que "la evolución del pensamiento matemático del

alumno comienza por un estadio concreto que después atraviesa un

estadio formal para llegar a la capacidad de resolver nuevos problemas

concretos más difíciles" (Mialaret, 1986, p. 166)

Sin querer aportar un modelo acabado, si indicamos un esquema que

considera diferentes pasos que deben tenerse en cuenta en cualquier

trabajo de introducción de conceptos matemáticos.

MODELOS

* REALES

* SIMULADOS

TRADUCCION

* ORAL

* GRAFICA

CONCEPTOS

MATEMATICOSTRADUCCION

SIMBOLICA

Aplicaciones

actividad

manipulativa

Estudio

Formalización

4. Clasificación de los problemas a partir de los enunciados.

Para esta clasificación vamos a considerar los trabajos realizados por J.I.

Heller y J.G. Greno (1978); T.P. Carpenter y J.M. Moser (1983) y E. De

Corte y L. Verschaffel (1985), Puig (1988), Blanco (1989), etc. en el que

plantean cuatro tipos de problemas según la realidad concreta

representada: Problemas de Cambio, de Combinación, de Comparación y

de Igualación.



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CAMBIO COMBINACION

COMPARACION IGUALACION

Un suceso cambia el

valor de una cantidad

Situación estática donde

dos cantidades son consi-

deradas separadamente

o en combinación

Situaciones que implican

un equil ibrio de cantidades

con simultaneidad de cam-

bio y comparación

Situaciones en la que dos

cantidades son comparadas

para establecer diferenci as

entre ellas

En la clasificación establecida se considera la realidad representada en

cada caso, que vienen expresada en un lenguaje preciso y una estructura

determinada del problema, y al mismo tiempo consideraremos todas las

posibles relaciones que puedan establecerse entre las cantidades y el

origen de cada una de ellas.



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CAPITULO II

LOS PROBLEMAS DE CAMBIO


Los problemas de Cambio son aquellos en los que un suceso cambia el

valor de una cantidad. Veamos el siguiente ejemplo:

"Miguel tenía siete caramelos, se comió tres, ¿Cuántos le quedan?".

Si analizamos el enunciado presentado podemos considerar una

cantidad inicial que viene determinada por los caramelos que tenía

Miguel. Hay una segunda proposición que expresa una acción realizada

por el protagonista del problema, y que modifica la cantidad inicial. En

este caso, al comerse tres caramelos, la cantidad de partida se ve

disminuida como consecuencia del hecho mencionado. La pregunta del

problema se refiere a la cantidad final resultante.

En estos problemas podemos considerar tres estados que dan la

estructura al problema que viene representados en el siguiente esquema.

SITUACION

DE

PARTIDA

SITUACION

FINAL

A B C

HECHO QUE

ORIGINA

EL CAMBIO



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En el ejemplo propuesto, la secuencia de las proposiciones

correspondientes a cada estado pueden estar en un orden temporal

adecuado, como en el ejemplo anterior, Es decir, A -- B -- C.

Situación inicial Situación intermedia Situación final

Miguel tenía siete caramelos se comió tres caramelos ¿Cuántos le quedan?

Como ya hemos comentado el lenguaje nos permite establecer otro

orden diferente que daría lugar a una nueva estructuración del enunciado

del problema anterior.

Así, podríamos haberlo planteado de la siguiente manera: "Miguel se

comió tres caramelos de los siete que tenía, ¿cuántos le quedan?", donde el

orden de las proposiciones sería B -- A -- C. En este caso la estructura

presentada en el problema no es isomorfa a la secuenciación temporal que

resultaría de la dramatización real, lo que generaría dificultad para la

comprensión del problema.

Problemas de cambio-unión y cambio-separación

Los problemas de este grupo podemos diferenciarlos en dos apartados:

Problemas de cambio-unión y problemas de cambio-separación.

Los problemas de Cambio-unión son aquellos en los que la acción

realizada, y que viene representada en la situación intermedia, origina un

incremento de la cantidad. Así, en los dos ejemplos siguientes vemos que

la cantidad original aumenta, bien por la acción de colocar nuevos libros o

bien por el hecho de plantar nuevos árboles:

"En una estantería hay 12 libros, si ponemos 8 libros más, ¿cúantos libros

habrá en total?".



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"En un parque había 38 árboles, si ahora hay 58 ¿cuántos se han

plantado?".

En ambos problemas la cantidad inicial (12 libros y 38 arboles,

respectivamente) se ha visto incrementada. En el primer ejemplo, el

aumento es de ocho libros, y en el segundo sabemos que lo hace hasta 58,

aunque desconozcamos qué cantidad le hemos sumado.

Que la cantidad inicial aumente no significa que, necesariamente, el

problema se resuelva mediante la operación suma. Así, si nos fijamos en

los dos ejemplos propuestos el primero se correspondería con un

problema de sumar, mientras que el segundo sería un problema de restar.

En los problemas de cambio-separación, la cantidad inicial se ve

disminuida debido a la acción realizada. Así podemos considerar los

siguientes dos ejemplos:

"En una bandeja había 26 pasteles y se comieron l4. ¿Cuántos pasteles

quedaron?."

"De un aparcamiento han salido 30 coches y sólo quedan 20.¿ Cúantos

coches había?."

En el primer ejemplo observamos que quedan 14 pasteles menos.

Mientras que en el segundo, sin saber cuántos coches había al principio, si

sabemos que quedan menos coches en el aparcamiento. De forma

semejante al caso anterior, tenemos que señalar que los problemas de

cambio-separación no significan que sean problemas de restar. Así, en los

dos ejemplos señalados, aparece un problema de restar y otro de sumar.



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Seis tipos de problemas de cambio

Recordando los tres estados del esquema anterior (inicial, intermedio y

final) podemos plantear diferentes situaciones según el estado en el que

situemos las cantidades conocida y la cantida desconocida. Así, en

referencia a la situación que nos pueda representar el funcionamiento de

un aparcamiento, podemos desconocer la cantidad de coches que había al

principio, la cantidad de coches que hayan entrado o salido, o la cantidad

de coches que quedaran al final.

Por otra parte, considerando dos tipos de problemas de cambio en la

primera clasificación (cambio-unión y cambio-separación), y tres estados

para plantear la incógnita (situación inicial, intermedia o final), podremos

imaginar seis enunciados distintos para este grupo de problemas.

Situación inicial Situación Intermedia Situación final

Tipo 1 conocida Conocida Desconocida Cambio-Unión

Tipo 2 conocida Conocida Desconocida Cambio-Separación

Tipo 3 Conocida Desconocida Conocida Cambio-Unión

Tipo 4 Conocida Desconocida Conocida Cambio-Separación

Tipo 5 Desconocida Conocida Conocida Cambio-Unión

Tipo 6 Desconocida Conocida Conocida Cambio-Separación

a) En un primer caso, partimos de situar la incógnita en el estado final,

planteando dos tipos de problemas: problemas de cambio-unión (Tipo1) y

problemas de cambio-separación (Tipo 2).

Así consideraremos estos dos ejemplos:

Tipo 1. "Concha tenía tres cromos, encontró cuatro más, ¿cuántos tiene

ahora?".

Tipo 2. "Manolo tenía siete bolis, perdió tres jugando, ¿cuántos tiene

ahora?".



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Es estos problemas podemos observar claramente los tres estados

señalados anteriormente, con el planteamiento de la incógnita en el estado

final. En el primer caso la cantidad inicial se verá incrementada, mientras

que en el segundo se verá disminuida como consecuencia de la acción

realizada.

Estado A Estado B Estado C

Tipo 1 Tenía 3 Encontró 4 ? Cambio-Unión

Tipo 2 Tenía 7 Perdió 3 ? Cambio-separación

La estructura semántica de estos problemas posibilita una traducción

literal sencilla de los enunciados a la operación matemática

correspondiente. Esta estructura nos lleva a pensar que algunos niños aún

cuando no han entendido el problema puedan resolverlo con facilidad.

"Mi hermano tenía tres cromos, se encontró cuatro más, ¿cuántos tiene ahora?"

"tenía tres, "encontró cuatro más" "¿cuántos tiene ahora?"

"3" "encontró" "4" "más" "¿cuántos?"

3 + 4 = ?

"Mi hermano tenía siete bolis, perdió tres jugando, ¿cuántos tiene ahora?"

"tenía 7" "perdió" "3" "¿cuántos tiene ahora?"

"7" "perdió" "3" "¿cuántos?"

7 - 3 = ?

Tras analizar diversos libros de textos de los utilizados en Ciclo Inicial

hemos observado que son estos tipos los que aparecen abundantemente,

más el segundo que el primero.



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b) En un segundo caso podemos plantear la incógnita en el estado

intermedio, es decir, en el momento en el que se tiene lugar el cambio de

la cantidad original. Si incrementamos la cantidad obtenemos un

problema de cambio-unión (Tipo 3), y si la disminuimos tendríamos un

problema de cambio-separación (Tipo 4).

Nuevamente ponemos dos ejemplos:

Tipo 3. "Daniel tenía tres lápices, encontró algunos más y ahora tiene

siete. ¿Cuántos encontró?"

Tipo 4. "Raúl tenía siete lapices, perdió algunos y ahora tiene tres.

¿Cuántos perdió?"

Estos dos enunciados podríamos esquematizarlos de la siguiente

manera:


Tipo 3 Tenía 3 Encontró ? Tiene 7 Cambio-Unión

Tipo 4 Tenía 7 Perdió ? Tiene 3 Cambio-separación

En estos ejemplos para poder hacerse una representación del problema

y encontrar la incógnita el alumnos tendrá que invertir el orden de la

secuenciación temporal de las proposiciones que aparecen en el

enunciado, lo que genera, en algunos casos, una dificultad para la

resolución.

Si hacemos referencia a la traducción literal del problema a una

operación aritmética nos encontramos con que esta es diferente en los dos

casos. En el problema considerado del tipo tres, esta traducción lleva a los

alumnos a resolver erróneamente el problema, mientras que en el

considerado de tipo 4 les lleva a una operación correcta, lo que quiere

decir que en algún caso los alumnos indicarán la operación adecuada sin

que esto quiera decir que han comprendido la situación representada.



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En el problema de tipo 4 se puede hacer una traducción lineal:

"tenía siete lapices, perdió algunos y ahora tiene tres. ¿Cuántos perdió?"

"tenía 7"; "perdió algunos"; "tiene 3"; "¿Cuántos perdió?"

"7"; "perdió"; "3"; "¿Cuántos?"

7 - 3 = ?

Esta circunstancia se considera importante para justificar que en las

encuestas que hemos realizado los alumnos de primero de EGB resuelvan

en mayor porcentaje el problema de tipo cuatro que el de tipo tres, del que

vemos a continuación que su traducción literal llevaría a un error.

El problema número tres tiene una situación de riesgo porque la palabra

clave "encontró" se suele asociar con la operación sumar por lo que no es

raro encontrarse con soluciones del tipo 3 + 7 =10.

Esta situación viene aumentada por la asociación de ideas del

significado del verbo "encontró" también con la operación de sumar, al

implicar un aumento de la cantidad.

" tenía tres lápices, encontró algunos más y ahora tiene siete. ¿Cuántos encontró?"

"tenía 3"; "encontró algunos más"; "tiene 7"; "¿Cuántos encontró?"

"3"; "encontró ... más"; "7"; "¿Cuántos?"

"3"; "más"; "7"; "¿Cuántos?"

3 + 7 = ?

En los libros de texto no suelen proponerse problemas de estos dos

tipos, pudiendo señalar que en los textos que hemos analizado y que son

usuales en los Colegios, nos hemos encontrado con muy pocos de ellos.

Sin embargo, para estos problemas podemos y debemos encontrar

enunciados más sencillos que nos permitan trabajar estas situaciones.



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Así, los enunciados anteriores podríamos transformarlos en:

Tipo 3. "Daniel tiene siete lápices y tenía tres, ¿cuantos encontró?"

Tipo 4 "Raúl tenía siete lapices, y ahora tiene tres, ¿cuántos perdió?"

c) Vamos a referirnos ahora a los dos últimos tipos de problemas de

cambio. Aquellos en los que la incógnita se plantea en el estado de partida,

es decir, cuando desconocemos la cantidad original. Nuevamente

distinguiremos entre los problemas de cambio-unión (Tipo 5) y los de

cambio-separación (Tipo 6).

Veamos estos dos ejemplos:

T.5 "Marta tenía algunos lápices. Encontró cinco y ahora tiene ocho.

¿Cuántas tenía al comienzo?".

T.6 "Javi tenía algunos lápices. Perdió cinco y ahora tiene tres. ¿Cuántas

tenía al principio?.

El esquema para cada uno de ellos sería:


Tipo 5 Tenía ? Encontró 5 Ahora 8 Cambio-unión

Tipo 6 Tenía ? Perdió 5 Ahora 3 Cambio-Separación

La situación representada en este tipo de problemas presenta

dificultades por cuanto se parte de una situación desconocida (la incógnita

aparece en el estado inicial) lo que ya supone un cierto grado de

abstracción. Esto implica que la secuencia temporal que se refleja en la

estructura del problema no sea una secuencia encadenada según se

suceden las situaciones reflejadas en el mismo, como sucede en los

problemas del tipo uno y dos.

Por otra parte, vemos que en estos casos los problemas de cambio-unión

(Tipo 5) que suponen un incremento de la cantidad se resuelven con una



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resta, mientras que los problemas de cambio-separación que suponen una

disminución de la cantidad se resuelven con una suma. Esta situación

supone una nueva dificultad por cuanto las palabras claves del problema

parecen indicar la operación contraria a la que se necesita. Así, "encontró"

en el primer problema sugiere una suma, mientras que "perdió" en el

segundo indicaría una resta. La traducción literal del problema a la

operación correspondiente es, por tanto y en este caso, engañosa.

Por todo ello, somos consciente de las dificultades que estos problemas

plantean, pero que no impiden que se dejen de plantearse en el primer

ciclo de primaria, puesto que con una correcta representación de los

mismo, siguiendo los pasos indicados en el primer capítulo y teniendo

encuenta las estrategias de aprendizaje, estos puedan llegar a su

realización.

Nuevamente, la estructura semántica que utilizamos en el problema

ayudará en la comprensión y resolución de los problemas. Así podríamos

buscar estructuras más sencillas para los dos problemas anteriores:

Tipo 5. Marta encontró cinco lápices y ahora ya tiene ocho. ¿Cuántos

tenía al principio?.

Tipo 6. Javi perdió cinco lápices y sólo le quedan tres, ¿cuántos tenía?.

Comentario final.

Con cada uno de estos seis tipos podemos introducir situaciones, que si

bien son similares en el aspecto operativo, no lo son por la acción

desarrollada. Sin embargo destacamos que los problemas tipos 1, 2 y 4 son

los más usuales entre los que se proponen a los niños en las escuelas si

tomamos como referencia los libros de texto. La mayor dificultad que

encierran los otros tipos de problemas no debe ser obstáculo para

plantearlos a estas edades, ya que los niños en situaciones de enseñanza



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adecuadas pueden encontrar estrategias de aprendizaje para

comprenderlos y resolverlos, y en cualquier caso el hecho de que

encuentren dificultades no debe ser obstáculo para que lo intenten, y

proporcionarles así experiencias necesarias en la resolución de problemas.

Sin entrar en señalar el orden de dificultad de los problemas, volvemos

a indicar la mayor facilidad de resolución en aquellos en los que se

puedan establecer fácilmente una traducción lineal a una expresión

matemática, condicionada por la aparición de palabras claves o del orden

natural de las proposiciones y datos numéricos implicados como

consecuencia de su estructura semántica.

Queremos insistir, también, en la necesidad de combinar, en los

planteamientos de estos problemas, la terminología encontró-perdió,

recibió-dió, compró-vendió, etc. con los problemas de cambio-unión y

cambio-separación, y con los problemas de problemas de sumar o de

restar, en la idea de no identificar ninguna expresión linguística a ninguna

operación concreta matemática. El análisis de las palabras claves del

problema debe ser rigoroso para deshacer asociaciones de ideas que

pueden resultar engañosas en algunos casos.



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Proponemos seis ejemplos de problemas de cambio, a partir de una

misma situación. Centro de interés: La Granja.

Tipo 1. Un granjero tenía 4 vacas, compró 2 más. ¿Cúantas vacas tiene

ahora en su granja?.

Tipo 2. Un granjero tenía 7 cerdos, vendió 3 . ¿Cúantos le quedan?.

Tipo 3. En una granja había 5 ovejas, nacieron algunas y ahora hay 8.

¿Cúantas ovejas han nacido?

Tipo 4. En una granja había 8 ovejas, se perdieron algunas y ahora sólo

quedan 5 . ¿Cúantas ovejas se perdieron?

Tipo 5. Un pastor tenía varias ovejas en su redil, le nacen 5 ovejas y

ahora tiene 9. ¿Cúantas ovejas tenía al comienzo?

Tipo 6. A una granjera camino de su casa se le rompieron 4 huevos y

desilusionada contó que sólo le quedaban 3. ¿Cúantos huevos tenía en la



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Situación "Centro de interés: Los Pájaros"

Tipo 1. Problemas de cambio-unión.

a) En una jaula tengo 5 periquitos, me regalan 2. ¿Cúantos tendré?

b) En una jaula tengo 5 periquitos y entro 2 más. ¿Cúantos pájaros

habrá?

c) Me regalan 7 canarios, si tenía 8 en la jaula. ¿Cúantos canarios tengo

ahora?

d) Compro 5 tórtolas, y tenía 4. ¿Cúantas tengo ahora?

Tipo 2. Problemas de cambio separación.

a) En una pajarera había 12 canarios, se han escapado 8. ¿Cúantos

canarios quedan?

b) Se han escapado 8 canarios de una pajarera donde había 12. ¿Cúantos

hay ahora?

c) Se han escapado 3 periquitos de los 8 que tenía en la pajarera.

¿Cúantos me quedan ahora?

d) Vendo 8 canarios, si tenía 12. ¿Cúantos me quedarán?


a) En una pajarera había 15 perdices, compraron algunas más y ahora

hay 25 perdices. ¿Cúantas compraron?

b) Pablo tenía 7 canarios y ahora tiene 12. ¿Cúantos canarios ha

comprado?

c) Agustín tenía 18 palomas y compró algunas más. Si ahora tiene 20

¿Cúantas compró?

d) Alberto tiene 25 tórtolas, si tenía 10. ¿Cúantas le han nacido?




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a) En una pajarera había 25 perdices, volaron algunas y ahora sólo

quedan 10. ¿Cúantas perdices volaron?

b) Tenía 25 perdices y ahora sólo 10. ¿Cúantas perdices han volado?

c) Agustín tenía 18 palomas,vendió algunas y ahora tiene 15. ¿Cúantas

vendió?

d) Alberto tiene 25 tórtolas,si tenía 35. ¿Cúantas ha regalado?


a) En una pajarera había varios canarios. En primavera nacen 20 y ahora

tenemos 35. ¿Cúantos canarios había al comienzo?

b) Pedro tenía varios canarios en su jaula. Alberto le regala 4 y ahora

cuenta 19. ¿Cúantos canarios tenía al principio?

c) Alberto me regala 3 canarios y al finalizar el recuento tengo 9 .

¿Cúantos canarios tenía antes del regalo de Alberto?

d) Api tiene 9 periquitos después de que Concha le regalara 3. ¿Cúantos

tenía al principio?


a) Alberto tenía algunos canarios, le regaló 5 a su hermana Lourdes y

ahora sólo le quedan 3. ¿Cúantos canarios tenía al principio Alberto?

b) Después de vender 3 jilgueros en la pajarería sólo le quedan 4.

¿Cuántos jilgueros había al princípio?

c) Me quedan 4 jilgueros después de regalar 3 . ¿Cúantos tenía antes del

regalo?

d) Me quedan 4 jilgueros. ¿Cúantos tenía si he regalado 3 a Elena?



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CAPITULO III

PROBLEMAS DE COMBINACION


Los problemas de Combinación representan una situación estática

donde dos cantidades son consideradas separadamente o en combinación.

Consideramos la siguiente situación:

"Miguel Angel tiene cinco globos y Maribel tiene tres, Cuántos tienen


En el ejemplo planteado, el número de globos que tienen cada uno de

los niños permanece inalterable, y son, inicialmente, consideradas por

separado para cada uno de ellos. El problema nos pregunta sobre la

cantidad que resultaría en el supuesto de que juntásemos ambos conjuntos

de globos.

Se refieren, estos problemas, a la relación que existe entre un conjunto y

una partición del mismo en dos subconjuntos. Esta relación se puede

establecer desde dos situaciones diferenciadas. Podemos partir de conocer

el cardinal de cada uno de los dos subconjuntos y querer calcular el

cardinal del conjunto unión (como en el caso del ejemplo anterior), o

conocer el cardinal de un subconjunto y el del conjunto unión y

desconocer el cardinal del otro subconjunto.

Es decir, en estos problemas podemos plantear dos situaciones distintas

según queramos conocer la cantidad total, conociendo las dos cantidades

originales, lo que representaría una situación de suma frecuentemente

planteada a nuestros alumnos, a partir de la idea de reunión.

O bien, podemos desear conocer algunas de las cantidades originales



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conociendo el resultado final, lo que plantea una situación de resta no tan

frecuente como la anterior, en los textos escolares. En ambos casos se

describe una relación entre conjuntos que responde al esquema parte-

parte-todo, que podemos apreciar en la figura siguiente. La pregunta

puede referirse al todo o a algunas de las partes, dando los dos posibles

tipos de problema.

3 4?

? 7

3

En ambos casos es una situación estática que vienen representada en la

figura siguiente, y cuyos ejemplos serían:

Tipo 7 "Beatriz tiene tres fichas y Miguel tiene cuatro. ¿Cuántas tienen


Tipo 8 "Entre María y Javi tienen siete fichas. Tres son de María.

¿Cuántas son de Javi?".



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2. Relación de problemas

Centro de interés: Una granja.

Tipo 7. En una cerca hay 15 caballos y en la otra cerca 12 mulas.

¿Cúantos animales hay entre las dos cercas?

Tipo 8. En una cerca hay 15 caballos, 7 caballos son negros y los demás

son blancos. ¿Cúantos caballos blancos hay?

AAqquuii uunnoo ddee llooss ddiibbuujjooss ddee zzaaccaarrííaass

oo uunnaa aaccttiivviiddaadd ddee rreessoolluucciióónn ddee pprroobblleemmaass



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"Centro de interés: Los Pájaros".

Tipo 7. La suma como reunión. Conocer el todo.

a) Elena tiene 8 tórtolas y Lourdes 4. ¿Cuántas tienen entre las dos?

b) Si Arturo me vendió 8 tórtolas y 6 palomas. ¿Cuántos pájaros me

vendió?

c) ¿Cúantos pájaros tengo en la jaula si hay 5 periquitos y 6 canarios?

d) Quiero saber los canarios que tengo en la jaula si mi tía me regaló 5 y

mi abuela 9.

Tipo 8. Conocer algunas de las partes.

a) Elena y Lourdes tienen 12 tórtolas. Si Elena tiene 8. ¿Cuántas tiene

Lourdes?

b) Si Elena tiene 8 tórtolas y entre Lourdes y Elena suman 12. ¿Cuántas

tiene Lourdes?

c) Mirian tiene 5 periquitos. ¿Cúantos periquitos tiene Valle si entre los

dos tienen 12?.

d) De los 18 pájaros de una jaula 8 son loros y el resto canarios. ¿Cúantos

son canarios?



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CAPITULO IV

PROBLEMAS DE COMPARACION


Los problemas de comparación presentan situaciones en las que dos

cantidades son comparadas para establecer las diferencias cuantitativas

entre ellas. Ejemplos de problemas de comparación serían:

"Rodrigo tiene 3 caramelos y Valle tiene 7 ¿Cuántos caramelos tiene

Valle más que Rodrigo?",

"Jaime tiene 17 caramelos, y Juanjo tiene 14 más que Jaime, ¿cuántos

caramelos tiene Juanjo?."

"Los problemas de este tipo comparten con los de combinación su

carácter estático, pero mientras que en los de combinar la relación se

establece entre conjuntos, en estos se establece entre cantidades, de

manera que lo que en aquellos eran relaciones de inclusión entre

conjuntos, pasan a ser aquí relaciones de comparación entre cantidades"

(Puig, 1988, p. 103).

La comparación que se establece entre las cantidades no es sólo para

saber cuál es mayor o menor, sino, fundamentalmente para determinar la

diferencia que aparece entre ellas. Las dificultades que presentan estos

problemas a los alumnos que están empezando a comprender la operación

suma, nos indica que la representación, tanto vivenciada, realmente o con

material concreto o símbolico, así como la representación gráfica, son

etapas importantes como pasos previos para la interiorización de la

operación matemática.

En las situaciones de comparación tenemos que considerar tres tipos



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diferentes de cantidades. La cantidad de referencia, la cantidad

comparada con la anterior y la diferencia que se pueda establecer entre

ambas. Así, en los ejemplos anteriores, la cantidad de referencia la

constituían los tres caramelos de Rodrigo, en el primer caso, y los 17

caramelos de Jaime en el segundo. Mientras que los caramelos de Valle

(siete caramelos) y los de Juanjo (cantidad desconocida) serían la cantidad

comparada.

Cantidad Cantidad

de Diferencia

Referencia Comparada

Esquema de los problemas de comparación

En estos problemas aparece de forma más explícita los errores de

asociación de una operación matemática a una determinada palabra. Dado

que las expresiones utilizadas para la comparación son, normalmente,

"más que" y "menos que", la asociación más-sumar y menos-restar puede

provocar un cierto desconcierto, que debe llevar al alumno a la necesidad

de prestar mayor atención a la situación planteada en el enunciado.

La consideración de tres tipos diferentes de cantidades en este tipo de

problema (de referencia, comparada y diferencia entre ambas) y la

relación mayor o menor entre ambas nos lleva a considerar seis tipos

diferentes de problemas de comparación.

En el siguiente esquema podemos apreciar los seis tipos diferentes de

problemas de comparación. Para ello vamos a establecer que A sea

siempre la cantidad dereferencia, B la cantidad comparada, estableciendo

siempre la relación entre las dos cantidades a través de las conexiones "B

más que A" o "B menos que A", según sea B (cantidad comparada) mayor



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o menor que A (cantidad de referencia).



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Cantidad de Cantidad Relación referencia Diferencia comparada entre A yB T. 9. Conocida A ¿B - A? Conocida B A < B B más que A T. 10. Conocida A ¿A - B? Conocida B A > B B Menos que A T. 11. Conocida A Conocida B - A ¿B? A < B B más que A T. 12. Conocida A Conocida A - B ¿ B? A > B B menos que A T. 13. ¿A? Conocida B - A Conocida B A < B B más que A T. 14. ¿A? Conocida A - B Conocida B A > B B menos que A

Esquema para cada uno de los seis tipos de problemas de comparación

Seis tipos de problemas de compáración

Una vez que hemos diseñado un esquema para los problemas de

comparación vamos a ir estableciendo las diferenciasentre ellos, sirviéndos

de diferentes ejemplos:

Tipo 9. " David tiene 13 bolis. Jesús tiene 28 bolis. ¿Cuántos bolis tiene

más Jesús que David?".

Tipo 10 . "David tienen 17 bolis. Jesús tiene 12 ¿Cuántos bolis menos

tiene Jesús que David?."

En ambos ejemplos la conexión que se establece entre las cantidades

viene definida por una expresión similar. Así, "Jesús más que David" en el



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primer caso y "Jesus menos que David" para el segundo.

El esquema resultante sería:

Cantidad de referencia Diferencia Cantidad comparada

Tipo 9. 13 bolis (David) ? 28 bolis (Jesús)

Tipo 10. 17 bolis (David) ? 12 bolis (Jesús)

Vemos que en el primer caso (Tipo 9) la cantidad de referencia es mayor

que la cantidad comparada, mientras que en el segundo es menor (Tipo

10).

Consideremos ahora dos ejemplos donde conoceremos la cantidad de

referencia, así como la diferencia que se establece entre esta y la cantidad

comparada.

Tipo 11. "Emilio tiene 13 cromos. Lucía tienen 5 más que Emilio.

¿Cuántas cromos tiene Lucía?".

Tipo 12. "Emilio tiene 18 cromos. Lucía tiene 7 menos que Emilio.

¿Cuántas tiene Lucía?."

La relación entre las cantidades "Lucía más que Emilio" y "Lucía menos

que Emilio", asegura que la cantidad de referencia venga representada por

los cromos de Emilio, mientras que la cantidad comparada lo sea por los

cromos de Lucía.



Tipo 11. 13 cromos (Emilio) 5 ? (Lucía)

Tipo 12. 18 cromos (Emilio) 7 ? (Lucía)



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El el ejemplo primero (T.11.) la cantidad de referencia es menor,

mientras que en el caso segundo (T.12.) la cantidad de referencia es mayor.

En ambos casos las palabras claves "más" (T.11.) y "menos" (T.12.) pueden

sugerir la operación correcta. Sumar para el primer y restar para el

segundo, lo que puede llevar a una traducción literal del problema

facilitando su resolución.

Finalmente veamos otros dos ejemplos, partiendo de una situación

donde desconocemos la cantidad de referencia, y conociendo tanto la

cantidad comparada como la diferencia que se establece.

Tipo 13. "Jaime tiene 18 lápices. Tiene 5 más que Rocío ¿Cuántos tiene

Rocío? ".

Tipo 14. "Jaime tiene 9 lápices. Tiene 7 menos que Rocío ¿Cuántos tiene

Rocío?".



Tipo 13. ? (Rocío) 5 18 lápices (Jaime)

Tipo 14. ? (Rocío) 7 9 lápices (Jaime)

En estos dos últimos ejemplos vemos que el tipo 13 la cantidad de

referencia es menor, mientras que en el tipo 14, la cantidad de referencia

es mayor. En el primer caso es un problema de restar y en el segundo es

de sumar. Las palabras claves "más" y "menos" pueden llevar a una

traducción incorrecta.

Podemos ver que todos los enunciados admiten de forma explícita o

implícita las expresiones "más que" o "menos que" que nos facilitan la

comprensión sobre la cantidad de referencia.



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-48

Es importante resaltar en la estructura de estos problemas el orden en el

que aparecen los números en algunos de ellos. Así, en el ejemplo 9, que se

resuelve mediante una resta, (8 - 3), aparece primero el tres en enunciado,

siendo así que los niños al interiorizar el concepto de restar consideran,

acertadamente, que el número primero es el mayor lo que debe traducirse

a que en los problemas aparezca también el primero.

Advertimos que en este problema los niños suelen utilizar la estrategia

de contar más que la de buscar una operación que efectuar. Así algunos

resolveran contando desde el 3 al 8, conviertiendo un problema de restar

en otro de suma. Algo similar a lo que hacen los dependientes en las

tiendas cuando nos dan la vuelta de una compra efectuada, y que ya

comentamos en el capítulo primero.



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-49



Tipo 9. Juan tiene en su granja 15 cerdos y Antonio 8. ¿Cúantos cerdos

tiene Juan más que Antonio?

Tipo 10. Juan tiene en su granja 12 ovejas y Antonio tiene 20. ¿Cuántas

menos tiene Juan que Antonio?.

Tipo 11. Tino tiene 5 patos y Teodoro 3 más que Tino. ¿ Cúantos patos

tiene Teodoro?

Tipo 12. Tino tiene 5 patos y Teodoro 3 menos que Tino. ¿Cúantos patos

tiene Teodoro?

Tipo 13. "Concha tiene 23 gallinas, y tiene 5 gallinas más que Carmen.

¿Cuántas gallinas tiene Carmen?".

Tipo 14 . "Concha tiene 23 gallinas, y tiene 5 gallinas menos que Carmen.

¿Cuántas gallinas tiene Carmen?".



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-50

Centro de Interés: Lós pájaros.

Tipo 9.

a) Paloma tiene 9 patos y Patricia 6. ¿Cuántos tiene más Paloma que

Patricia?.

b) Cesar tiene 13 jilgueros y Miguel tiene 25, ¿cuántos más tiene Miguel

que Cesar?.

c) ¿Cúantos canarios hay más en una pajarera que en la otra, si en la

verde hay 28 y en la azul 15?.

d) ¿Cúantos canarios hay más en la pajarera verde que en la azul, si en

la azul hay 12 y en la verde 20 ?.

Tipo 10.

a) Paloma tien 9 patos y Patricia 6. ¿Cuántos tiene menos Patricia que

Paloma?

b) En una pajarera azul hay 20 canarios. ¿Cúantos canarios hay menos

en la verde si en ésta hay 12 ?.

c) ¿Cúantos canarios hay menos en una pajarera que en la otra,si en la

verde hay 12 y en la azul 20?

d) Beatriz tiene 15 periquitos y Mª José tiene 7, ¿cuántos periquitos tiene

menos mª José que Beatriz?.

Tipo 11.

a) Pilar tiene 5 canarios y Rosa 7 más que Pilar. ¿Cuántos canarios tiene

Rosa?

b) Patricia tiene 25 pesetas para comprar un canario que le cuesta 75

pesetas más, ¿Cuánto le costará el canario?

c) ¿Cúantos canarios tiene Rosa, si Pilar tiene 7 y Rosa 3 más que Pilar?

d) Beatriz tiene 25 palomas, ¿Cuántas palomas tiene Mª José, si tiene 20



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más que Beatriz?.

Tipo 12.

a) Pilar tiene 7 canarios y Rosa 3 menos que Pilar. ¿Cuántos canarios

tiene Rosa?

b) En una pajarera azul hay 12 canarios y en la roja 7 menos que en la

azul. ¿Cuántos canarios hay en la pajarra roja?

c) En un palomar hay 50 palomas y en el otro 23 palomas menos.

¿Cuántas palomas hay en este segundo?.

d) Tenemos 1000 pts para comprar un jilguero, pero tenemos 200 pts.

menos, ¿cuánto dinero nos falta?.

Tipo 13.

a) Pablo tiene 8 jilgueros, 7 más que Miguel. ¿Cuántos jilgueros tiene

Miguel?.

b) Un canario vale 850 pts., cuesta 220 pts más que un jilguero ¿Cúanto

vale el jilguero?.

c) En una pajarera tenemos 45 canarios, 12 más que periquitos. ¿Cuántos

periquitos tenemos?.

d) Hay 23 canarios más que jilgueros. Si hay 45 canarios, ¿cúantos

jilgueros hay?.

Tipo 14.

a) Jesús tiene 8 jilgueros, 7 menos que Angel. ¿Cuántos jilgueros tiene

Angel?

b) Un canario cuesta 950 pts. ¿Cúanto cuesta el jilguero si el canario vale

120 pts menos que el jilguero?

c) En una pajarera tenemos 60 periquitos, 18 menos que loros. ¿Cuántos

loros tenemos?



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d) Hay 23 canarios menos que jilgueros. Si hay 45 canarios. ¿Cúantos

jilgueros hay?



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-53

CAPITULO V

PROBLEMAS DE IGUALACION


Si bien los tres grupos considerados anteriormente son los básicos,

algunos autores establecen un cuarto grupo que llaman de igualación.

Estos se caracterizan por ser problemas híbridos de comparación y

cambio. Es la misma clase de acción que en los problemas de cambio pero

basados en la comparación de dos conjuntos disjuntos, (Carpenter y

Moser, 1983, p. 17).

Estos problemas pueden presentar una estructura muy similar a la de

los problemas del apartado anterior, sin embargo la comparación que se

establece entre las dos cantidades viene determinada por una acción de

cambio.

Así, si consideramos el siguiente problema de igualación:

“Juanjo tiene 12 discos y Rodrigo 8, ¿cuántos tiene que comprar Rodrigo

para tener tantos como Juanjo?."

El enunciado anterior, refleja una situación de cambio producida por la

acción de comprar que deberá realizar Rodrigo, y una situación de

comparación, ya que la cantidad de discos que deberá comprar surge de la

comparación entre las dos cantidades.

Podríamos, en cierto sentido, asimilarlo a un problema de cambio que

sería:

"Rodrigo tiene 8 discos, Cuántos tiene que comprar para tener 12?".

O también a un problema de comparación:

“Juanjo tiene 12 discos, y Rodrigo 8, ¿cuántos menos tiene Rodrigo que



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Juanjo?”.

En todos los casos, la operación de resolución es la misma, pero el

enunciado presenta elementos diferenciadores sobre los protagonistas de

la situación y el origen de las cantidades, y la estreuctura del problema

que constituyen los elementos diferenciadores para la situación de

igualación, cambio o de comparación que reflejan cada uno de los

enunciados.

Como vemos, en los problemas de igualación, hay una comparación

entre cantidades establecida por medio del comparativo "tantos como" o

alguna expresión similar, por lo que estas situaciones implican un

equilibrio de cantidades con simultaneidad de cambio y comparación.

Como se indica en Carpenter y Moser, (1983) y Puig y Cerdan (1988), la

acción se realiza con una de las cantidades con el fin de igualarla a otra

con la que ha sido comparada. Como la estructura básica de este tipo de

problemas es la de problemas de comparación, están presentes aquí

también tres tipos de cantidades: de referencia, comparada y diferencia,

pudiendo establecerse la incógnita en cualquiera de ellas. La expresión

"Rodrigo tantos como Juanjo", del ejemplo considerado nos indicará que la

cantidad de referencia será Juanjo, mientras que Rodrigo es la cantidad

comparada.

Por otra parte, el sentido del cambio puede ser en más o en menos

(cambio-unión o cambio-separación) dependiendo de la relación entre las

cantidades de referencia y comparada. En los problemas de cambio-unión

(T. 15; T. 17 y T. 19) la cantidad comparada será menor que la de

referencia, y en sentido contrario para los de cambio separación (T. 16; T.

18; T. 20).

Lo anterior implica que surgan de nuevo seis tipos de problemas de esta

clase que representamos en el siguiente esquema.



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Cantidad de Referencia

A

Cantidad Comparada

B

Cantidad

conocida

Cambio - Unión

Diferencia desconocida TIPO 15

Cantidad

conocida

Cantidad

conocida

Cambio - Separación

Diferencia desconocidaTIPO 16

Cantidad

conocida

Cantidad

desconocida

Cambio - Unión

Diferencia conocidaTIPO 17

Cantidad

conocida

Cantidad

desconocida



Cantidad

conocida

Cantidad

conocida

Cambio - Unión


Cantidad

desconocida

Cantidad

conocida



Cantidad

desconocida

B tantos como A

Esquema de representación para los problemas de Igualación

En el esquema que hemos presentado la cantidad comparada (B) es la

que se ve modificada, en más o menos, para igualarla a la cantidad de

referencia (A).

Tipo 15. "Beatriz tiene 9 y Miguel tiene 3 cromos. ¿Cuántos tiene que

ganar Miguel para tener tantos como Beatriz?."



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Tipo 16. "Miguel tiene 9 y Beatriz tiene 3 cromos. ¿Cuántos tiene que

perder Miguel para tener tantos como Beatriz?."

En estos dos primeros problemas sabemos cuanto valen las dos

cantidades que son comparadas pero no sabemos la diferencia que se

establece entre ellas. Es decir, cuánto hay que ganar o perder para igualar

las dos cantidades, dándonos en el primer caso una situación de cambio-

unión (T.15) y otra de cambio-separación (T.16). En el primer ejemplo la

cantidad de referencia es mayor que la cantidad comparada, siendo

estarelación la contraria en el ejemplo correspondiente al tipo 16.

Cantidad

de

Referencia

Cantidad

comparada

Beatriz tiene 9 cromos Miguel tiene 3 cromos

Cambio-Unión

¿Cuántos tiene que ganar?

Esquema del problema T.15

Cantidad

de

Referencia

Cantidad

comparada

Beatriz tiene 3 cromos Miguel tiene 9 cromos

Cambio-Separación

¿Cuántos tiene que perder?


En los siguientes dos ejemplos conocemos la cantidad comparada,

expresada por los treinta y tres coches, y conocemos la cantidad que se

modifica expresada por los coches que entran (15 coches) o se retiran (15

coches) y que representa la situación intermedia de las situaciones de

cambio. En estos ejemplos se nos presenta una situación de comparación y



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cambio-unión (T.17) y otra de comparación y cambio-separación (T.18).

Desconocemos la cantidad de referencia indicada en ambos problemas por

la misma pregunta, ¿cuántas motos hay?.

Tipo 17. "En un aparcamiento hay 33 coches, si entran 15 coches habrá

tantos como motos, ¿cuántas motos hay?".

Tipo 18. "En un aparcamiento hay 33 coches, si se retiran 15 coches

habrá tantos como motos, ¿cuántas motos hay?".

Cantidad

de

Referencia

Cantidad

comparada

¿Cuántas motos hay? 33 coches

Cambio-Unión

entran 15 coches más

Esquema del problema T. 17

Cantidad

de

Referencia

Cantidad

comparada

¿Cuántas motos hay? 33 coches

Cambio-Separación

se retiran 15 coches


Finalmente, analizamos los dos siguientes ejemplos:

Tipo 19. "Antonio tiene en su casa 9 canarios. Si a Juan le regalan 5 tiene

tantos como Antonio, ¿Cuántos tiene Juan?."

Tipo 20. "Antonio tiene en su casa 9 canarios. Si a Juan se le escapan 5

tiene tantos como Antonio, ¿Cuántos tiene Juan?."



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En ambos casos conocemos la cantidad de referencia, expresada por los

nueve canarios de Antonio, así como la cantidad que varia como

consecuencia de la acción que origina el cambio, que viene representada

por los 5 canarios que le regalan (Cambio-Unión) o se le escapan (Cambio-

Separación) a Juán que, a su vez, representaría la cantidad comparada. Es

decir, la cantidad desconocida, expresada en la pregunta sobre los

canarios que tiene Juan, constituye en estos dos problema la cantidad

comparada.

Cantidad

de

Referencia

Cantidad

comparada

Antonio tiene 9 canarios ¿Cuántos canarios tiene Juan?

Cambio-Unión

le regalan 5 canarios


Cantidad

de

Referencia

Cantidad

comparada

Cambio-Separación

se le escapan 5 canarios

¿Cuántos canarios tiene Juan? Antonio tiene 9 canarios




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Tipo 15. La gallina “Copina” pone 5 huevos y la gallina “Tureta” pone 3.

¿Cúantos huevos tiene que poner la gallina “Tureta” para poner tantos

como la gallina “Copina”?

Tipo 16. Un granjero tiene en un corral 3 ovejas y en otro 7. ¿Cúantas

ovejas tendrá que soltar de un corral para tener tantas como en el otro?

Tipo 17. Miguel tiene 8 cabras. Al comprar 7, tendrá tantas como

Manuel. ¿Cúantas cabras tiene Manuel ?.

Tipo 18. Miguel tiene 15 cabras, al vender 8, tendrá tantas como

Manuel. ¿Cúantas cabras tiene Manuel ?.

Tipo 19. Teo tiene 9 vacas, al comprar Vicente 4 tiene tantas como Teo.

¿Cúantas vacas tenía Vicente?.

Tipo 20. Teo tiene 4 vacas, al vender Vicente 5 tiene tantas como Teo.

¿Cúantas vacas tenía Vicente?.



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Centro de Interés: Lós pájaros.

Tipo 15.

a) En una jaula gris tenemos 5 canarios y en la jaula marrón 2 canarios.

¿Cuántos canarios tenemos que meter en la jaula marrón para tener tantos

como en la jaula gris?

b) Pedro tiene 6 perdices. ¿Cuántas tendría que comprar para tener

tantas como Pablo que tiene 8?

c) ¿Cúantas perdices tiene que comprar Pedro para tener tantas como

Pablo si Pedro tiene 6 y Pablo 8?

d) Si Javi tiene 10 gallinas y María 6. ¿ Cúantas tiene que comprar María

para tener igual cantidad que Javi?.

Tipo 16.

a) En la pajarera verde tenemos 7 jilgueros y en la pajarera azul tenemos

12 jilgueros. ¿Cuántos jilgueros tendríamos que soltar de la pajarera azul

para tener tantos como en la verde?

b) Nacho tiene 12 periquitos. ¿Cuántos periquitos tendría que regalar

para tener tantos como Manuel que tiene 8?

c) ¿Cúantas perdices tiene que vender Pedro para tener tantas como

Pablo, si Pedro tiene 8 y Pablo 6?

d) Maribel tiene 15 gallinas y Miguel Angel 9. ¿Cúantas tiene que vender

Maribel para tener tantas como Miguel Angel?

Tipo 17.

a) En una pajarera azul tenemos 8 tórtolas, si compramos 7 tenemos

tantas como en la pajarera verde. ¿Cuántas tórtolas tenemos en la pajarera

verde?

b) En la pajarera azul tenemos 8 tórtolas, para tener tantas como en la



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pajarera verde necesitamos comprar 7 tórtolas. ¿Cuántas tórtolas tenemos

en la pajarera verde?

c) En un estanque azul tenemos 48 patos. ¿Cúantos patos tenemos en el

estanque verde si necesitamos echar 25 patos para tener en el azul tantos

como en el verde?

d) En la charca roja hay 50 patos, para tener en la charca roja tantos

como en la marrón necesitamos echar 30 patos. ¿Cúantos patos hay en la

charca marrón?

Tipo 18.

a) En la pajarera roja tenemos 25 tórtolas, si soltamos 7 tenemos tantas

como en la pajarera amarilla. ¿Cuántas tórtolas tenemos en la pajarera

amarilla?

b) En la pajarera roja tenemos 25 tórtolas, para tener tantas como en la

pajarera amarilla necesitamos soltar 7 tórtolas. ¿Cuántas tórtolas hay en la

pajarera amarilla?

c) En un estanque azul tenemos 48 patos. ¿Cúantos patos tenemos en el

estanque verde si necesitamos soltar 25 patos del primero para tener en el

azul tantos como en el verde?

d) En la charca roja hay 50 patos, para tener en la charca roja tantos

patos como en la charca marrón necesitamos soltar 30 patos de la charca

roja. ¿Cúantos patos hay en la charca marrón?

Tipo 19.

a) Antonio tiene en su casa 9 canarios, si a Juan le regalan 5 tiene tantos

como Antonio. ¿Cuántos canarios tenía Juan?

b) Si Arturo compra 8 canarios tiene tantos como Alberto que tiene 12.

¿Cúantos tenía Arturo?

c) ¿Cúantos canarios tenía Juan si al regalarle 5 tiene tantos como



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Lorenzo que tiene 12?

d) Lorenzo tiene 12 canarios. ¿Cúantos canarios tenía Miguel Angel si al

regalarle 5 tiene tantos como Lorenzo?

Tipo 20.

a) Pedro tiene en su casa 3 canarios, si a Pablo se le escapan 5 tiene

tantos como Pedro. ¿Cuántos canarios tiene Pedro?

b) Si Alberto le regala a sus amigos 7 jilgueros le quedan tantos como a

Eduardo que tiene 5. ¿Cuántos canarios tenía Alberto?

c) ¿Cúantos canarios tenía Juan si al escapársele 5 tiene tantos como

Lorenzo que tiene 12?

d) Lorenzo tiene 12 canarios. ¿Cúantos canarios tenía Juan si al

escapársele 5 tiene tantos como Lorenzo?



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CAPITULO VI

PROBLEMAS EN DOS ETAPAS

1. Análisis de los problemas.

Hasta ahora nos hemos centrados en problemas de una etapa, aquellos

que se resuelven con una sola operación de sumar o de restar. En este

capítulo vamos a estudiar los problemas en dos etapas, que que son

aquellos cuyo planteamiento, más complejo que los anteriores, contenga

más de una situación de las señaladas anteriormente.

Así podemos considerar los siguientes problemas:

"En una fiesta había 25 pasteles, Miguel se comió 5 y Javi se comió 3.

¿Cuántos quedaron para los demás niños?".

"En un huerto había 14 árboles, se han plantado 13 naranjos y 17

higueras, ¿cuántos árboles habrá ahora?".

Estos problemas implican la realización de dos operaciones. En

consecuencia, y teniendo en cuenta que nos referimos a las operaciones de

sumar y restar, podremos establecer cuatro posibilidades:

(+, +); (+, -); (-, +); (-, -)

Sólamente en el caso de los problemas con estructura (+, +) podríamos

considerar una operación, tal y como podemos comprebar con el segundo

de lo sejemplos propuestos.

Los problemas en dos etapas encieran en sí mismo dos problemas de los

tipos vistos en capítulos precedentes, por lo que haciendo las

combinaciones oportunas de dos tipos cualesquiera, podremos enunciar

nuevos problemas más complejos. Ante esta situación, es evidente, que la



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-64

relación entre los datos (más de dos) y las incógnitas presenta mayor

dificultad, ya que pueden establecerse diferentes conexiones. En algunos

casos esta relación vendrá expresada explícitamente, mientras que en la

mayoría de los enunciados, aparecere una relación implícita.

Así podemos encontrar ejemplos donde vienen enunciados

explícitamente dos incógnitas.

"David se ha gastado 234 pts. el sábado y 457pts. el domingo. ¿Cuánto se

han gastado el fin de semana?. Si tenía 1000 pts. ¿cuánto le quedará?".

O enunciados más simples, donde debe considerarse una incognita

intermedia que aparece implícitamente. Así, el ejemplo anterior podíamos

enunciarlo de la siguiente manera:

"David se ha gastado 234 pts. el sábado y 457pts. el domingo. Si tenía

1000 pts. ¿cuánto le quedará?".

Donde se hace necesario un paso intermedio que no viene expresado

con la misma claridad que en el primer caso. Sin embargo, en ambos

enunciados se hace necesario conocer esta incógnita intermedia como dato

imprescindible para poder dar solución al problema planteado.

La resolución de estos problemas puede implicar diferentes estrategias

de solución, lo que hace más complejo el proceso de toma de decisiones

del resolutor. Analizar y resolver el problema implica diferenciar las dos

etapas presentes en el problema e introducir la incognita auxiliar cuando

esta no esté explicitamente expresada en la presentación del problema.

Estudiemos el siguiente problema:

"Tenía 100 pts, compré un paquete de pipas de 25 pts, y depués compré

15 pts de regalíz, ¿Cuánto me sobró?".



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El análisis del problema nos revela dos procedimientos para su solución.

En ambos casos vamos a definir dos problemas diferenciados, de tal

manera que la solución del primero actuará como dato del segundo

problema.

a) Podemos escoger un primer camino donde enunciaremos dos

problemas de cambio-separación, de los considerados en el tipo 2:

"Tengo 100 pts, compré un paquete de pipas de 25 pts, ¿Cuánto me

sobró?".

Sol. 100 - 25 = 75

Tomando la solución de este primer problema (75 ptd.) como dato

podremos definir un segundo problema de cambio-seáración, también de

tipo 2:

"Me quedan 75 pts, compré 15 pts de regalíz, ¿Cuánto me sobró?".

La solución de este segundo problema será la solución al problema

planteado inicialmente.

b) Estudiemos ahora una segunda estrategia para resolverlo, definiendo

primero un problema de combinación y en segundo lugar otro de cambio-

separación.

"Me gasté 25 pts. en pipas y 15 en regalí, ¿cuánto me gaste?".

En este primer caso es un problema de combinación donde

consideramos dos cantidades (25 y 15) que reunimos para ver la cantidad

total que me gasté. Es un problema de los considerados del tipo 7.

El segundo problema será un problema de cambio-separación similar a

los enunciados en la primera estrategia. Nuevamente la solución del

problema de combinación considerado en primer lugar, será un dato para

el segundo enunciado.

"Tengo 100 pts, me gasté 40, ¿Cuánto me sobró?"



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La clasificación de los problemas en dos etapas es compleja, ya que se

basa en la combinación de los tipos estudiados para los problemas de una

etapa. Si hemos encontrado 4 grupos de problemas de sumar y restar, y

queremos formar un problema juntando dos de los anteriores, fácilmente

deduciremos que haciendo las combinaciones oportunas obtendremos

dieciseis nuevos tipos según sean problemas de:

(Ca,Ca) (Ca,Co) (Ca,Cp) (Ca,Ig)

(Co,Ca) (Co,Co) (Co,Cp) (Co.Ig)

(Cp,Ca) (Cp,Co) (Cp,Cp) (Cp,Ig)

(Ig,Co) (Ig,Cp) (Ig,Ig) (Ig,Ca)

CAMBIO

COMBINACION

COMPARACION

IGUALACION

CA

MB

IO

CO

MB

INA

CIO

N

CO

MP

AR

AC

ION

IGU

AL

AC

ION

Si además recordamos que en cada uno de los grupos anteriores

aparecen nuevas clasificaciones que daban lugar a 20 tipos diferentes de

problemas, nos encontraremos que las posibilidades de formar problemas

en dos etapas se multiplican hasta hacer excesivamente complicada la

clasificación de los mismos.



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2. Relación de problemas en dos etapas.

1.- Cambio-Cambio

En una granja hay 135 gallinas, nacen 85. ¿Cúantas gallinas hay?

Si vendemos 43. ¿Cúantas gallinas quedan?

2.- Cambio-Combinación

María tiene 7 canarios, regala 2. ¿Cúantos canarios le quedan?

Si Juan tiene 8. ¿Cúantos canarios tienen entre los dos?

3.- Cambio-Comparación

Elena tiene 8 patos, compra 3 más. ¿Cúantos patos tiene ahora?

¿Cúantos patos tiene Lourdes si tiene 6 más que Elena?

4.- Cambio-Igualación

Elena tiene 3 gallinas, si compra 7. ¿Cúantas gallinas tendrá ahora?

¿Cúantas gallinas tendría que comprar de nuevo para tener tantas como

Api que tiene 15?

5.- Combinación-Cambio

¿Cúantas aves tengo en la granja si hay 5 gallinas y 3 pavos?

Si compro 7 pavos más. ¿Cúantas aves tengo ahora?

6.- Combinación-Combinación

Si tengo en mi pajarera 7 canarios, 5 jilgueros y 3 periquitos.

¿Cúantos pájaros tengo?

7.- Combinación-Comparación

De los 25 coches de un garaje 15 son rojos y el resto azules. ¿Cúantos son



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azules? ¿Cúantos rojos hay más que azules?

8.- Combinación-Igualación

De las 40 aves de una granja 25 son patos y el resto gansos. ¿Cúantos

gansos hay? ¿Cúantos gansos tendríamos que comprar para tener tantos

como patos?

9.- Comparación-Cambio

Teo tiene 8 vacas y Vicente 7 más. ¿Cúantas vacas tiene Vicente?

Si Vicente regala 3. ¿Cúantas tiene ahora Vicente?

10.- Comparación-Combinación

El aparcamiento de mi colego tiene 15 plazas, 8 más que el del colegio de

al lado. ¿Cúantas tienen entre los dos?

11.- Comparación-Comparación

Tengo 8 años, mi hermano tiene 5 más que yo y mi padre 25 más que mi

hermano. ¿Cúantos años tiene mi padre?

12.- Comparación-Igualación

En la biblioteca del colegio de Miguel hay 578 libros y en la del colegio

de Beatriz 324. ¿Cúantos libros hay menos en la biblioteca del colegio de

Beatriz que en la de Miguel? Si en la biblioteca del colegio de Alberto hay

245 libros. ¿Cúantos libros tenemos que comprar para tener tantos como

como en la bibiloteca del colegio de Miguel?

13.- Igualación-Cambio

Si Tino regala 7 libros le quedan tantos como a Miguel Angel que tiene

5. ¿Cúantos libros tenía Tino? Si Tino compra 3. ¿Cúantos tiene ahora?



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14.- Igualación-Combinación

Lorenzo tiene 8 caballos. Si compra 7 tendrá tantos como Concha.

¿Cúantos caballos tiene Concha? ¿Cúantos caballos tienen entre los dos?

15.- Igualación-Comparación

En una cerca tenemos 8 caballos blancos y 5 negros. ¿Cúantos caballos

negros hay que comprar para tener tantos como blancos? Si vendemos 2

caballos blancos. ¿Cúantos caballos negros hay menos que blancos?

16.- Igualación-Igualación

Carmen tiene 15 ovejas y Concha 7. ¿Cúantas ovejas tiene que comprar

Concha para tener tantas como Carmen? ¿Cúantas tiene que regalar

Carmen para tener tantas como Api que tiene 11?

Vamos a continuación a enunciar algunos ejemplos más de estos

problemas:

* Miguel tienen 15 caramelos, perdió 3 por la mañana y 5 por la tarde

¿Cuántos perdió?

* Mi mama me dio 100pts, compré un paquete de pipas de 25 pts, y

depués compré 15 pts de regalíz, ¿Cuánto me sobró?

* María tiene 10 años, su madre 25 más que ella, y su abuela el doble de

su mamá. ¿Cuántos tiene su madre y su abuela?

* En una tienda tenía 15 pájaros, 5 erán periquitos y 4 jilgueros, Si los

demás eran canarios ¿cuántos canarios había?

* Pedro tiene 11 años, y Pepe dos mas que Pedro. ¿Cuantos tiene Pepe?,

¿Cuántos entre los dos juntos?

* Tengo 23 pts y mi hermano tiene 45, Si necesitamos 90 pts, ¿Cuántas

nos faltan?.



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* Tenía 300 pts, mi padre me dio 50 pts mas. Si me gaste 150 pts

¿Cuántas me quedan?

* Las ciclistas de la carrera sumaban 64. Por diferentes causas se

retiraron primero 14, luego 7. ¿Cuántas terminaron la carrera?.

* El verano pasado había en la piscina 118 chopos y se han secado 7 y

otros 12 fueron cortados ¿Cuántos quedaron?.

Hemos de resaltar el hecho de que en estos problemas dobles suelen

aparecer, en los libros de texto, parcialmente algunos de los tipos que por

separado no son usuales. Esto es una contradicción evidente en el proceso

de aprendizaje y añade dificultades en la realización de los problemas.



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CAPITULO VII

OTRAS CONSIDERACIONES

1. Análisis de algunos problemas.

La clasificación de los problemas anteriores no resulta tan sencillo desde

la actividad práctica diaria que se desarrolla dentro del aula o desde la

presentación de los libros de textos, donde se utiliza de forma combinada

el lenguaje escrito y el gráfico. El trabajo específico de comprensión,

desarrollo y explicación de los problemas no resulta tan preciso como

pudiera deducirse de la clasificación teórica anteriormente señalada.

Los factores de lenguaje, presentes en todo enunciado, tanto en

expresión oral como escrita, conjugados con los factores de representación

de la realidad que resulta imprescindible en un correcto proceso de

enseñanza-aprendizaje, así como las diferentes estrategias de resolución

que pueden utilizar los alumnos, y el nivel de maduración que estos

puedan alcanzar, hacen que el trabajo con estos problemas puedan

presentar más dificultad de la que podamos deducir de su sencilla

estructura.

A este respecto veamos algunos ejemplos que muestran que problemas

tipos que pudiéramos situar en una determinada clase, la estrategia de

solución se adecúa más a otra.

Así, el problema: "Le doy dos caramelos a mi amigo, y todavía me

qudan tres, ¿cuántos tenía?", es un típico problema de cambio (T.6) que

podríamos escenificarlo en una situación simulada siguiendo

estrictamente las secuencias que nos marca el problema.

Sin embargo, este problema puede presentarse gráficamente mostrando

las dos cantidades por lo que se establece una representación que se

asemeja a la de los problemas de combinación.



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DDiibbuujjoo ddee ddooss nniiññooss uunnoo ccoonn 33 ccaarraammeellooss ddáánnddoollee aall oottrroo 22 ccaarraammeellooss

El mismo dibujo puede servir para el siguiente problema: "Tengo 3

caramelos y mi amigo 2, ¿cuántos tenemos entre los dos juntos?"; con lo

que resulta que la situación original de cambio la hemos transformado, al

utilizar el dibujo, en una situación de combinación.

Veamos este otro ejemplo donde aparecen confundirse los problemas de

comparación y combinación. "Rodrigo quiere gastarse en un pastel 50 pts.

pero sólo tiene 31 pts. ¿Cuánto dinero le falta?."

El desarrollo de este problema también puede situarse en dos

situaciones diferentes.

Por una parte, podemos considerar dos conjuntos de pesetas, uno con 50

pts. y otro con 31 pts. y plantear el esquema de los problemas de

combinación donde aparece la relación parte todo, preguntándonos en

este caso por alguna de las partes.

Igualmente, podríamos haber establecido, como parece más usual, una

comparación entre las dos cantidades puesto que la diferencia indicada

nos permite conocer el resultado del problema.



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FFiigguurraa uunn nniiññoo ccoonn 3311 ppeesseettaass aannttee uunn eessccaappaarraattee qquuee sseeññaallaa uunn dduullccee ddee 5500 ppeesseettaass..

Cualquiera de las dos siguientes preguntas: ¿cuántas pesetas vale más el

pastel?, o ¿cuántas pesetas tiene menos Rodrigo?, establecen una

comparación entre las dos cantidades del problema, y nos podrían indicar

que estaríamos ante ante un problema de comparación.

2. Conclusión

Hemos visto hasta ahora diferentes situaciones que se pueden plantear

ante problemas de suma y resta. De la observación de los libros de texto y

de las clases a maestros vemos como suelen aparecer sólo problemas de

los tipo 1, 2, 7, 8, y 9. Sin embargo de los otros tipos si aparecen en los

niveles superiores con situaciones mas complejas. Creemos que una buena

enseñanza debe abarcar las distintas situaciones que se le puedan plantear

a los alumnos y no rehuir ninguna. Por este motivo aconsejamos plantear

problemas de todos los tipos, teniendo en cuenta, por supuesto que el

grado de dificultad de generan es diferentes para cada problema.

Esta reflexión, que se hace en base a estudios realizados y a la

bibliogradía consultada, debe llevarnos a considerar con mayor

profundidad los problemas que se propogan en la edades en las que los

niños empiezan a tener contacto con los números, y sobre todo cuando

empiezan a realizar pequeñas operaciones de suma y resta. La necesidad



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de considerar "todas" las variables que intervienen en los problemas debe

llevar a los maestros a ser mas cautelosos con las actividades propuestas, y

paciente en los procesos de aprendizaje de las primeras operaciones

aritméticas. Un buen principio en el aprendizaje de las Matemáticas

ayudará a que esta asignatura no resulte posteriormente tan árida y con

tal alto índice de fracaso escolar.

Después de haber establecido la clasificación entre los problemas de

sumar y restar podemos señalar con total rotundidad que estos no son

todos iguales.

Finalmente, y a modo de resumen podemos señalar algunos de las

variables que tenemos que considerar en esta clase de problemas y que

hacen que estos puedan resultar fáciles o difíciles. (Puig, 1988

1) La proposición numérica que subyace en el enunciado:

a + b = ? a + ? = c ? + b = c

a + b = ? a - ? = c ? - b = c

? = a + b c = a + ? c = ? + b

? = a - b c = ? - b c = a - ?

2) La presentación de los problemas. Estos resultan más fáciles cuando

se presentan por medio de grabados, dibujos o con materiales concretos.

La formulación verbal del problema, esto es el orden y la forma en que la

información es presentada resulta muy importante para determinar la

actitud del resolutor ente el problema.

3) La estructuración sintáctica del enunciado. Así, la longitud del

mismo, el número de oraciones que lo forman, la posición de la pregunta,

las palabras claves, el uso del condicional, etc. juegan un papel importante



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para poder diseñar un procedimiento de resolución de los problemas.

4) El tamaño de los números así como el orden de aparición en el

enunciado. Más fácil si este orden se corresponde con el de colocación

para la realización del algoritmo de resolución.

5) La situación representada en el problema. Hacer referencia a

situaciones familiares a los alumnos facilitará que estos puedan establecer

estrategias conocidas.



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1994 Los Problemas de Sumar y Restar

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