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17/03/2012 1 REGLA DE LA CADENA REGLA DE LA CADENA Y DERIVACIÓN IMPLÍCITA DERIVACIÓN IMPLÍCITA FUNCIÓN REAL DE VARIAS FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES VARIABLES CAPÍTULO II REGLA DE LA CADENA Rosa Ñique Alvarez 2 u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s) Rosa Ñique Alvarez 3 Regla de la cadena: u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s) u x y r s r s x u ∂ ∂ r x ∂ ∂ y u ∂ ∂ r y ∂ ∂ Rosa Ñique Alvarez 4 Regla de la cadena: u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s) r y y u r x x u r u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ u x y r s r s x u s x y u s y Rosa Ñique Alvarez 5 Regla de la cadena: u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s) s y y u s x x u s u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Rosa Ñique Alvarez 6 Regla de la cadena: u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s) r y y u r x x u r u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ s y y u s x x u s u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
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17/03/2012
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REGLA DE LA CADENAREGLA DE LA CADENAYY
DERIVACIN IMPLCITADERIVACIN IMPLCITA
FUNCIN REAL DE VARIAS FUNCIN REAL DE VARIAS VARIABLESVARIABLES
CAPTULO IIREGLA DE LA CADENA
Rosa ique Alvarez 2
u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s)
Rosa ique Alvarez 3
Regla de la cadena: u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s)
u
x
y
r
s
r
s
xu
rx
yu
ry
Rosa ique Alvarez 4
Regla de la cadena: u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s)
ry
yu
rx
xu
ru
+
=
u
x
y
r
s
r
s
xu
sx
yu
sy
Rosa ique Alvarez 5
Regla de la cadena: u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s)
sy
yu
sx
xu
su
+
=
Rosa ique Alvarez 6
Regla de la cadena: u = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s)
ry
yu
rx
xu
ru
+
=
sy
yu
sx
xu
su
+
=
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17/03/2012
2
Sea w = h (u, v), donde u = f (x, y),v = g (x, y) son funciones con derivadasde primer y segundo orden continuasen un dominio abierto B. Ademssi u x = v y y u y = -v x
Rosa ique Alvarez 7
( )( )22 yxvvuuyyxx uuwwww ++=+Demuestre que:
EJEMPLO 1 REGLA GENERAL DE LA CADENAu(x1(y), x2(y),xn(y)); y =(y1,, ym)
Rosa ique Alvarez 8
m
n
nmmm
n
n
n
n
yx
xu
yx
xu
yx
xu
yu
yx
xu
yx
xu
yx
xu
yu
yx
xu
yx
xu
yx
xu
yu
++
+
=
++
+
=
++
+
=
K
M
K
K
2
2
1
1
22
2
22
1
12
11
2
21
1
11
u(x1, , x2,..xn) xi(t); i=1,2,..,n
Rosa ique Alvarez 9
tdxd
xu
tdxd
xu
tdxd
xu
tdud n
n++
+
= K2
2
1
1
Caso particular: regla de la cadena
u(x1, , x2, x3) xi(t); i=1,2,3
Rosa ique Alvarez 10
tdxd
xu
tdxd
xu
tdxd
xu
tdud 3
3
2
2
1
1
+
+
=
Caso particular: regla de la cadena
EJEMPLO 2
Dado: u = ln(x2 +y2); x = t sen t , y = cos t.
Calcular
Rosa ique Alvarez 11
tdud
EJEMPLO 3
La temperatura T en un punto en el espacio (x, y, z)se representa por T(x, y, z). Un astronauta viaja de talmodo que sus coordenadas x e y se incrementan a unarazn de 4 millas por segundo, y su coordenada zdisminuye a una razn de 3 millas por segundo. Calculela razn de cambio dT/dt de la temperatura en unpunto donde
9y,7,4 =
=
=
zT
yT
xT
Rosa ique Alvarez 12
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EJEMPLO 4La resistencia total R producida por tres conductorescon resistencia R1, R2, R3, conectados en un circuitoelctrico en paralelo, est dada por la frmula
Calcule cuando R1 = 25 , R2 = 40 , R3 = 50 .1R
R
Rosa ique Alvarez 13
321
1111RRRR
++=
DERIVACIN IMPLCITA
TEOREMA Si f es una funcin diferenciable dex e y tal que z = f (x, y) y f est definidaimplcitamente por la ecuacin F (x, y, z) = 0, ysi F es diferenciable y Fz (x, y, z) 0, entonces
Rosa ique Alvarez 14
),,(),,(
y),,(),,(
zyxFzyxF
yz
zyxFzyxF
xz
z
y
z
x -=
-=
Rosa ique Alvarez 15
),(,0),,( yxfzzyxF ==
Si hacemos w = F(x, y, z), y la aplicamos la regla de la cadena
xzF
xyF
xxF
xw
zyx
+
+
=
Rosa ique Alvarez 16
),(,0),,( yxfzzyxFw ===
xzF
xyF
xxF
xw
zyx +
+
=
0,1,0 ==
=
xy
xx
xw
Rosa ique Alvarez 17
xzF
xyF
xxF
xw
zyx +
+
=
xy
xx
xw
=
=
,1,0
xzFF zx
+=0
Rosa ique Alvarez 18
xzFF zx
+=0
z
x
FF
xz
-=
),(,0),,( yxfzzyxF ==
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EJEMPLO 5
yz
xz
y
0)(32 =++ zyxsenzxy
Rosa ique Alvarez 19
sabiendo queCalcular
EJEMPLO 6
yz
xz
y
Rosa ique Alvarez 20
sabiendo queCalcular
5)3(cos =zxey zyx
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