1.- Considere un reactor de tanque con agitación, como en la figura, la reacción es:

A → B

Y procede a una velocidad de reacción de:

r = kCA(t)

Donde:

k: es una constante de la velocidad de reacción

F: caudal alimentado constante (volumen/tiempo)

Ci(t): concentración de A en la corriente de alimentación

V: volumen efectivo de la mezcla en el reactor.

C(t): concentración de A en el reactor o salida (moles/volumen)

Asumiendo que la constante del fluido y volumen constante, deriva la respuesta C(t) en el reactor para una corriente de caudal de alimentación de concentración inicial variable: Ci(t)

Grafique un diagrama de respuesta del reactor a un cambio o perturbación de escalon unitario en Ci(t) para el.

SOLUCION:

a.- primero haciendo un balance de masa dinamico de A.

Acumulación = E – S ± GENERACION

VdCi (t)dt

= FCi(t) - FC(t) - VkCA(t) …………………….(1) DONDE: r = kCA(t)

Despejando FCi(t):

FCi(t) = VdCi (t)dt

+ FC(t) + VkC(t)…………………..(2)

Resolviendo por transformadas de laplance:

F Ci(s) = VSC(s) + FC(s) + VkC(s)

F Ci(s) = C(s) [VS+ F + Vk]

C(s)Ci(s)

= F

VS+F+Vk Es decir: Ci(s) → =

FVS+F+Vk

→ C(s)

b.- Respuesta a una perturbación de escalon unitario en Ci(t) dividiendo el balance de masa en la ecuacion (2) entre V.

dCi (t)dt

= FV

C(t) + kC(t) = FV

Ci(t) sea FV

= 1T

dCi (t)dt

= 1T

C(t) + kC(t) = 1T

Ci(t)

dCi (t)dt

– [1T

+ k]C(t) = 1T

Ci(t) Pero Ci(t) = 1

Y1 + P(x)Y = Q(x)

Donde:

Q(x) = 1T

P(x) = 1T

+ k

Integrando:

Y = e−∫ P (x)dx∫Q(x )e∫ P( x)dxdx - Cie∫

P( x)dx

C(t) = e−( 1T + k)t∫ 1

Te

( 1T +k )tdt - Cie−( 1T + k)t

En : t=0 y C(t) = 0

Resolviendo:

C(t) = 11+kt

(1−e−( 1T +k)t ).

Si: k = 1 y T = 1

Para graficar tomemos valores de tiempo:

Creando un algoritmo para la función:

2.- Obtenga la respuesta del reactor y grafique para el sistema del ejercicio anterior para una perturbación de rampa:

Ci(t) = kt

Donde :

k = es una constante y Ci(0) = 0

SOLUCION:

dC (t)dt

+( FV +k ).

C( t) = FV

Ci(t)

Si Tp = 1

k+1T

T = VQ

kp = 1kt+1

Entonces.

TpdC (t)dt

+C (t) = kpCi(t) pero Ci(t) = kt

dC (t)dt

+1TpC (t) =

kpTp

kt

Resolviendo por una ecuación diferencial lineal de primer orden:

C(t) = exp (−∫ 1Tpdt){[ kpktT exp(∫ 1

Tpdt )]dt + Ci}

C(t) = kpk(t - Tp) + Ciexp(-tTp

)

Integrando por partes:

Condiciones iniciales:

C(0) = 0

t = 0

C(t) = kpk(t - Tp) + Ciexp(-tTp

)

Solucion:

C(t) = kpkTp( tTp−1+e−tTp )

.

3.- Obtenga la respuesta del reactor y grafique para el sistema del ejercicio 1 para una perturbación senosoidal

Ci(t) = sin(wt).

Solución:

C(t) = 11+kt

(1−e−( 1T +k)t ).

Creando un algoritmo:

Una comparación de perturbación de escalon unitario y para una perturbación senosoidal:

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

PERTURBACIONES

Series1 Series2

4.- Considerese el proceso de mezclado que se ilustra en la figura donde se supone que la densidad de la corriente de entrada y la de salida son muy similares y que las tasas de flujos F1, F2

Son constantes. Obtengase las funciones de transferencia que relacionen la concentración de salida con cada concentración a la entrada, se debe indicar las unidades de todas las ganancias y las constantes de tiempo.

De 1:

Acumulación = E – S

VdC A

dt = F1C1 - FCA

VF

dC A

dt + CA =

F1F

C1

ρ = ddt

VFρCA + CA =

F1F

C1

CA =

F1FC1

1+VFρ

De 2:

Acumulación = E – S

VdC A

dt = F2C2 - FCA

VF

dC A

dt + CA =

F2F

C2

ρ = ddt

VFρCA + CA =

F2F

C2

CA =

F2FC2

1+VFρ

Sea τ = VF

Entonces:

CA = F1FC1

1+τ ρ

CA = F2FC2

1+τ ρ

CAC1

= F1F

1+τ ρ

CAC2

= F2F

1+τ ρ

ENTONCES:

CAC1

+ CAC2

= F1F

+F2F

1+τ ρ

C A ¿ + 1C2

) = F1F

+F2F

1+τ ρ

7.- Un termómetro de mercurio el cual ha estado sobre la mesa algún tiempo registrando la temperatura de la habitación de 75°F .

Súbitamente es colocado en un baño de aceite de 400°F los siguientes datos se obtuvieron para la respuesta del termómetro.

Hallar dos estimados independientes de constante de tiempo del termómetro se conoce que el sistema es de primer orden.

Tiempo (seg.) Lectura de termómetro (°F)

0 75

1 107

2.5 140

5 205

8 244

10 282

15 325