1.52-y-1.66-procesamiento
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1.52. Considere el esquema de la figura 1.33 Calcule la ecuación en diferencias del sistema y determine si el sistema es causal. ¿Se trata de un sistema L.I.T.? Ecuación en diferencias del sistema: y ( n) =x ( n+1 )− x ( n−1 ) +( n∗x ( n ) ) El sistema no es causal porque depende de entradas presentes, futuras y pasadas. Linealidad y 1 ( n ) =x 1 ( n + 1) −x 2 ( n−1 ) +(n∗x 3 ( n ) ) y 2 ( n ) =x 1 ( n + 1) −x 2 ( n−1 ) +(n∗x 3 ( n ) ) Hayque demostrar quex 3 ( n ) =ax 1 ( n ) + bx 2 ( n) , se cumple que y 3 ( n ) =ay 1 ( n ) +by 2 ( n) y 3 ( n ) =a ( x 1 ( n +1) −x 2 ( n− 1) + ( n∗x 3 ( n) ) ) +b ( x 1 ( n +1) −x 2 ( n− 1) +( n∗x 3 ( n ) )) y 3 ( n ) =ax 1 ( n +1) −ax 2 ( n−1) +a ( n∗x 3 ( n) ) + bx 1 ( n+ 1) −bx 2 ( n−1 ) +b ( n∗x 3 ( n ) ) y 3 ( n ) =ay 1 ( n ) +by 2 ( n) Por lo tantoes lineal Invarianza temporal Si retardamos la entrada, la salida para x ( n−k ) será y r ( n) =x ( n−k+1 ) −x ( n−k −1) +( n∗x ( n−k ) ) Si ahora retardamos la salida original k muestras, tenemos: y r 0 ( n ) =y ( n−k ) =x ( n− k+1 ) −x ( n−k −1) +(( n−k )∗x ( n−k ) ) Como y r ( n ) ≠y r 0 ( n ) , el sistemano es invariante temporal Entonces el sistema no es L.I.T. 1.66. Repita el apartado anterior pero ahora la señal a muestrear es la suma de cuatro sinusoides de amplitudes uno y
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procesos estocasticos
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1.52. Considere el esquema de la figura 1.33 Calcule la ecuacin en diferencias del sistema y determine si el sistema es causal. Se trata de un sistema L.I.T.?
Ecuacin en diferencias del sistema:
El sistema no es causal porque depende de entradas presentes, futuras y pasadas.
Linealidad
Invarianza temporal Si retardamos la entrada, la salida para ser
Si ahora retardamos la salida original k muestras, tenemos:
Entonces el sistema no es L.I.T.1.66. Repita el apartado anterior pero ahora la seal a muestrear es la suma de cuatro sinusoides de amplitudes uno y frecuencias 100,200 y 600 y 2100 Hz. Utilice seales de tipo coseno. Comente los resultados.El siguiente cdigo me permite calcular las secuencias y representar el espectro de la suma. En lugar de utilizar un bucle para calcular cada una de las secuencias hemos utilizado las propiedades de MATLAB para trabajar con matrices de datos y la funcin sum que al ser aplicada sobre una matriz suma sus elementos por columnas. >>N=100;>> n=0:N-1;>> Fa=[100,200,600,2100]';>> Fm=1000;>> x=cos(2*pi*Fa*n/Fm);>> x=sum(x);>> plot(-N/2:N/2-1,abs(fftshift(fft(x))));>> xlabel('Frecuencia')La grfica obtenida se muestra en la figura. Interpretemos esta grfica. Las frecuencias analgicas de 600 Hz y 2100 Hz no verifican el teorema de muestreo por lo que aplicando la Ecuacin 1.7 obtenemos que las frecuencias aparentes correspondientes son:
Independientemente de que se trate de frecuencias positivas o negativas, cada una de estas seales est representada en el espectro por dos picos. Por lo que observamos picos en frecuencias 100, 200 y 400, sin embargo la amplitud para frecuencia 100 es el doble. Esto es debido a que para esta frecuencia contribuyen las frecuencias analgicas de 100 Hz y 2100 Hz, que por efecto del aliasing se corresponden con la misma frecuencia aparente.
