15033 principio de_conservacion_de_la_materia
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PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA MATERIA
En un sistema termodinámico que intercambia materia (masa) con
su entorno, durante un determinado periodo de tiempo ( t∆ ), se debe
cumplir que:
] ] ] ]tfftftostoi
tftoe mmmm +=+
SISTEMA CERRADO
Es aquel que no intercambia materia con el entorno.
Luego: ] 0=∆tem ; ] 0=∆tsm ; ] ]tfftoi mm =
Es decir: ] tsistema ctem ∆=
En un sistema cerrado, la masa y la composición de la materia
permanecen constantes en todo el periodo t∆ .
Es aquel que intercambia materia con el entorno.
SISTEMA ABIERTO
Luego: ] ] 0≠∆∆ tste moym
m
e
ms
t∆ = (tf - to)
]toim ]tffm
.mSi el flujo másico ( ) es la cantidad de materia que entra y sale de
un sistema por unidad de tiempo cuando 0→t∆ , luego:
] dtmm t *2
1
.
21 ∫=−∆
Si .
m = cte; ] tmm t ∆∆ *.
= en [kg]
Si .
m ≠ cte; (caudal variable = f(t) )
Como: ρ = vm ∴ m = ρ * v /: t∆
tv
tm
∆∆*ρ=
.v * ρ=
.m o
dtdv
dtdm *ρ=
Donde:
ρ = densidad
m = masa
v = volumen .
m = flujo másico .v = flujo volumétrico
t = tiempo
El intercambio de masa entre sistema – entorno puede efectuarse
con materia de igual o de distinta naturaleza (composición).
FORMAS DE INTERCAMBIO DE MATERIA SISTEMA – ENTORNO
Naturaleza Materia Sist. – Ent.
Composición materia en f (t)
Tipo de flujo en f (t)
Propiedad de materia en
f (t)
IGUAL
FIJA
Constante Invariables
Variables
Variable Invariables
Variables
DISTINTA
FIJA
Constante Invariables
Variables
Variable Invariables
Variables
VARIABLE
Constante Invariables
Variables
Variable Invariables
Variables
Luego:
] ] ] ]tfftftostoi
tftoe mtmmtm +∆=+∆ **
..
Por lo tanto:
] ] tmmmm setoitf
f ∆
−=− *
...
(Para ctem =.
)
] tmmm setftosist ∆
−=∆ *
..
Si los flujos de intercambio de materia son variables en el transcurso
del periodo “ t∆ ”, es decir )(.
tfm =
] ( )( ) ( )( ) ttfmtfmm setftosist ∆
−=∆ *
..
PRINCIPIO DE CONTINUIDAD
En sistemas abiertos sin acumulación de masa en su interior en el
transcurso de todo intervalo t∆ , se debe cumplir que:
] 0=∆ tftosistm y
t
s
t
e mm∆∆
=
..
t
sst
ee∆∆
∀=
∀∴
..** ρρ
Si A e y A s
.V
son áreas de las secciones transversales
perpendiculares al flujo en la entrada y salida del sistema
respectivamente, entonces el caudal se puede expresar como:
→
∫∫ == dcAdtdlAv **
.
Si .
V = cte y A = cte ∴→c = cte
Si fluido es incomprensible (líquidos): se ρρ =
Si fluido es gas ideal: se ρρ ≠ Si se PP ≠ ó se TT ≠
A: Área →c : velocidad
Ecuación de estado de
un gas ideal →
=
RTPρ
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA
Para un sistema termodinámico que intercambia energía con su
entorno durante un periodo de tiempo t∆ , debe cumplirse que:
] ] ] ]tfftstoite EEEE +=+ ∆∆
La energía que el sistema intercambia con su entorno puede ser:
a) A través de sus fronteras (Q: calor; W: trabajo)
b) A través de intercambio de flujos de masa.
W m
e
Q ms
Trabajo desarrollado por sistema contra entorno (W
Por convención se adopta:
sale
Trabajo desarrollado por entorno contra el sistema (W
) : (+)
entra
Calor suministrado al sistema por el entorno (Q
): (-)
entra
Calor evacuado por el sistema al entorno (Q
): (+)
sale
): (-)ç
En un sistema cerrado: m
CONSERVACIÓN D ELA ENERGIA EN SISTEMAS CERRADOS
e = ms = 0 y mi = mq = cte.
Q W
Luego, las únicas
formas de energía que se pueden intercambiar con el entorno son: Q y/o
W.
Ue eKe ePe Wfe
]toii Em ; mf ; Ef ] tf
Us eKs ePs Wfs
mi = mf = cte
∴ ] ] ] ]tffttoit EWEQ +=+ ∆∆
] ( ) ] ] ( )]tffffttoooot ePekumWePeKumQ +++=+++ ∆∆ Si sistema permanece fijo en el espacio: 0=∆eK ; 0=∆eP
fo UWUQ +=+
( ) WUUQ of +−=
WUQ +∆= En [kj]
En caso de flujos:
tQQ ∆= *.
; }( )
( )kwoskjenN
kwoskjenQ
tNW
∆=:
*
.
∴ tNUtQ ∆+∆=∆ **.
Para 1kg. de masa del sistema:
wuq +∆= en
kgkj
En donde:
- eK = Energía cinética.
- eP = Energía potencial
- U =Energía Interna
- N = Potencia
TRABAJO EN UN SISTEMA CERRADO Y PROCESOS REVERSIBLE.
El trabajo es una interacción de energía entre un sistema y su
entorno originado por un desequilibrio de fuerzas en la frontera entre
ellos, ocasionando un desplazamiento de ella, o bien del sistema como
un todo.
dxFdW x *= ∴ dxFW x *∫=
Donde: - F= fuerza
- dx = desplazamiento
- P = presión
Como área “A” del pistón es invariable y sea:
P = Pi – P ∴o APFx *=
y ∫=2
1** dxAPW
∫=2
1* dvPW en [kj]
(P = presión)
El trabajo realizado por un sistema cerrado (m = cte) que efectúa un
proceso reversible entre los estados 1 y 2, depende del tipo de proceso
efectuado entre ambos estados, es decir, es función de la trayectoria, y
en consecuencia no es una función de estado (propiedad
termodinámica).
De otra forma, para sistema cerrados:
(Q – W) = U∆
El intercambio neto de energía (Q – W) entre un sistema cerrado y
su entorno depende de:
a) Magnitud de cambio entre el estado final y el estado inicial
del sistema.
b) Como Q y W son funciones de trayectorias y no propiedades
de estado; (Q – W) dependerá también del tipo de proceso que
experimente el sistema en un intervalo t∆ . Es decir, Q y W
dependen también de la sucesión de estados intermedios por los
que pase el sistema durante el intervalo t∆ .
Fx P
o
Pi
Desde el punto de vista teórico, esto último significa que hay
infinitas formas o caminos para lograr un mismo cambio entre dos
estados de un sistema (infinitos tipos de procesos).
Para valorar W=
PROCESOS REVERSIBLES
∫ dvP * se ha supuesto:
- Sistema conformado por gas ideal (acción intermolecular
despreciable (nula))
- Inexistencia de roce cilindro y pistón (roce externo)
- Inexistencia de choque entre moléculas del gas (roce interno)
- Masa del pistón despreciable (sin inercia)
- Desplazamiento infinitesimal de la frontera del sistema ocasionado
por una fuerza resultante infinitesimal, lo que origina una sucesión de
cambios infinitesimales de “cuasi – equilibrio”.
El proceso así descrito es un proceso ideal denominado “proceso
reversible”, el cual no existe en la naturaleza.
Un proceso reversible es un proceso teórico ideal, que considera que el
sistema realiza una sucesión de cambios de estados a través de condiciones
de “cuasi – equilibrio” (tanto interno como externo) a medida que intercambia
energía con el entorno, de modo tal, que es posible volver al estado inicial del
sistema efectuando las mismas transformaciones en sentido inverso, con
idéntico intercambio de energías.
En la naturaleza todos los procesos son irreversibles.
Un proceso tiende a ser reversible en la medida que los cambios de
estado que experimenta el sistema tiendan a ocurrir lentamente
( )∞→∆t ; que el potencial diferencial entre sistema – entorno que impulsa
el proceso sea pequeño las fuerzas de proceso sea pequeño ( )0→∆P ;
y que las fuerzas de roce (tanto externas como internas) sean pequeñas.
Para un sistema fijo en el espacio: K∆ = 0; 0=EP∆
Por consiguiente, la ecuación del primer principio para un sistema
cerrado (m = cte) que realiza un proceso reversible puede escribirse
como:
∫+∆=2
1* dvPUQ en [kj] /:m
∫+∆=2
1* dvPuq en
kgkj
En forma diferencial:
pdvdudq += en
kgkj
Donde:
dwdvP =* (Trabajo reversible) en
kgkj
También:
Si W = 0 (no se suministra ni realiza trabajo)
∴ Q = U∆ = f (m; c; t∆ ) (y de la fase de la materia).
CONSERVACIÓN DE ENERGÍA EN SISTEMAS ABIERTOS
Un sistema de abierto (volumen de control) se caracteriza por
intercambiar mas y energía a través de sus fronteras con el entorno. Por
consiguiente, debe cumplirse en él los principios de conservación de
masa y energía.
(Volumen de Control)
Un volumen de control (v. c.) es un volumen arbitrario (real o
imaginario) que posee fronteras fijas, denominadas superficies de
control.
Luego: ] ] ] ]tfftstoite EEEE +=+ ∆∆
em.
O bien:
En forma de flujos:
( ) ] tEtEE tftovcse ∆∆=∆
− :/*
..
( )t
EEEE ifse∆−
=−..
Si ot →∆
( )vcse EdtdEE =−
.. en
skj o [ ]KW
ECC. GENERAL DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA PARA UN SISTEMA ABIERTO.
Q
W
] ] ( ) ]tftovctste EEE ∆=− ∆∆
] ] ( ) ( ) WWePeKumQWePeKumEE fsssssfeeeeetste −+++−++++=− ∆∆
( ) ] ( ) ( )iiiifffftftovc ePeKumePeKumE ++−++=∆ en [kj]
( )] ] ] ( ) ]tftovctoitf
ftse EEEEE ∆=−=− ∆
]tffm ]tffE
ue eKe ePe wfe
us eKs ePs wfs
eZ
]toim ]tofE
eA
sm.
kgkj
sA
sZ
Si: sistema esta fijo en el espacio: eki = ekf = 0 y variación del centro
de gravedad del sistema es pequeño: eP ≈i eP
Luego: f
Si además: Ze ≈ zs ∴ ePe ≈ ePs
] ( ) QvPePeKumE eeeeeete ++++=∆ *
Pero: eee vpuhe += en
kgkj
Un flujo de materia (
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR EL VOLUMEN DE CONTROL A TRAVÉS DE FLUJOS DE MATERIA
.m ) que atraviesa una superficie de control
posee normalmente energía interna (u); energía cinética (EK;); energía
potencial (EP); y además para ingresar al volumen de control (V.C) debe
efectuar un trabajo denominado trabajo de flujo (Wf) o energía de flujo.
Para una masa M, con volumen V,
que ingresa al (v.c) a través de una
superficie (A), se tiene:
Wf = Fx * X en [kj]
Pero: APFx *=
∴ XAPWf **=
en [kj]
Para 1 kg. de masa:
en
kgkj
Luego: ] ( )] teeeete WfEPEKUE ∆∆ +++= en [kj]
( ) ] ( )eftftovc UUE −=∆ en [kj]
VPWf *=
vpWf *=
xF
X
P
CV.
vM
A
en
skj o [ ]KW
Luego: ] QgzchmE eeeete +
++=∆
221* en [kj] /: t∆
.
2..
21* QgzchmE eeeee +
++= en
skj o [ ]KW
Y: ] WgzchmE ssssts +
++=∆
221* en [kj] /: t∆
.
2..
21* WgzchmE sssss +
++= en
skj o [ ]KW
.2..2...
22Wgz
chmQgz
chmEE s
ssse
eeese −
++−+
++=
−
Además:
( ) ] ( ) ( ) ( )ifififtftovc EPEPEKEKUUE −+−+−=∆ en [kj]
Es un sistema en el cual se cumple que:
SISTEMA DE FLUJO PERMANENTE Y CONDICIONES ESTACIONARIAS.
)( m∆ vc = 0 y )( E∆ vc = 0
Por consiguiente es un sistema en el cual no existe acumulación de
masa ni d energía, en todo el intervalo t∆ . Es decir, la masa y energía
dentro del volumen de control permanece constante.
Si: ( ) 0=∆ vcm ; ( ) ( )vcfvci mm = Y se mm..
=
( ) 0=∆ vcE ; ( ) ( )vcfvci EE = Y se EE..
=
Luego:
( ) ( ) ....WePeKwfumQePeKwfum ssssseeeee ++++=++++
( )eeeee WfePeKumE +++=..
.2..2.*
2*
2Wzg
chmQzg
chm s
ssse
eee −
++=+
++ en [kw]
en [kw]
Si además: sese eKeKcc ≈∴≈→→
sese ePePzz ≈∴≈
en [kw]
Para 1kg., la ecc del primer principio
en un sistema abierto de flujo en permanente estado estacionario es:
( )]seePeKwfuwq ∆+∆+∆+∆=− en
kgkj
( )]seePeKhwq ∆+∆+∆=−
Para los procesos reversibles se cumple que:
∫ Pdv = q - u∆ en
kgkj
Por lo tanto, de la primera ecc se tiene:
q - u∆ = w + w∆ f + eK∆ + eP∆ en
kgkj
∴ ePeKwwdvP f ∆+∆+∆+=∫2
1*
En un sistema abierto de flujo permanente y estado estacionario que
experimenta un proceso reversible, la ∫ dvP * representa el trabajo más
las otras formas de energía mecánica.
También: )*( vpuh ∆+∆=∆
∴ ( ) ( )
−+
−+−=− eseses zzgcchhmWQ 22
...
21
( )es
es HhmWQ
∆=∆=−
....
dpvdvpdudh ** ++= o
pvvpuh ∆+∆+∆=∆ **
Y como: )()( ePdeKddhdwdq ++=−
∴ )()()( ePdeKdvdppdvdudwdq ++++=−
)()(** ePdeKddpvdvpdwdudq ++++=−
P*dv
Si proceso es reversible: dvpdudq *=−
∴ ( ) ( ) ( ) ( )ePdeKddwdpvePdeKddpvdvpdwdvp ++=−++++= ****
( ) ( )∫ ∆+∆+=− ePeKwdpv *
Y como: ( ) ( )ePeKWWdvp f ∆+∆+∆+=∫ *
en
kgkj
( ) ( )ePeKWWdvpdpv f ∆+∆+=∆−=− ∫∫2
1
2
1**
DEFINICIÓN DE ENTROPIA (S)
Cuando un sistema termodinámico intercambia calor en forma
reversible con su entorno, a través de sus fronteras, se origina en él un
cambio de estado, que se manifiesta en la variación de alguna(s)
propiedad(es) termodinámicas (p; T; v; etc.) o (u; h; s).
La variación de entropía ( S∆ ) que experimenta un sistema que
intercambia una cantidad de calor (dq) con su entorno, se define como: 2
1 2 1
dQ kjST K−
∆ = ∫ Para m kg. de masa
Si se considera 1kg. de masa del sistema (/:m); la “variación de
entropía especifica” del sistema será:
( ) ∫∫ ==∆ −2
1
2
121 * Tdq
TmdQs en
Kkgkj*
Es decir, la “variación de entropía” ( S∆ ) de un sistema esta definida
como la relación entre una función termodinámica (Q) (cuya magnitud
depende del tipo de proceso) y de una propiedad intensiva (T).
La entropía (S) es una propiedad termodinámica dado que para una
misma variación de estado ( 21 → ) que experimenta el sistema, la
variación ( 21−∆S ) es idéntica, cualquier sea el proceso utilizado para
transferir calor (Q) al sistema. ( ) ( ) BABA SSyQQ )( 2121 −− ∆=∆≠
Como: dqdsT
= *
kJkg K
( )iii PTS ;→ ( )ffq PTS ;→
Q
Y dtcdq *= (c: calor específico)
∴ 2
1 2 1
*c dTsT−∆ = ∫
Si c es cte (gas ideal): 1
221 ln*
TTcS
−
− =∆ en
Kkgkj*
También: pdvdudq += (primera ley, sistema cerrado o sistema
abierto de flujo constante)
∴ ( )∫∫∫ +=
+=∆ −
2
1
2
1
2
121*T
dvPYd
TPdvd
S uu
Para gases ideales: dTcd vu *−
= ;
=
RPvT
∴ ∫∫
+=∆
−
−2
1
2
121
*
*
rvP
dvPTdTcS v
=−
vc Calor específico o volumen constante.
También: vpuh *+= en
Kkgkj*
vdppdvdcdh ++=
dq
∴ dpvdhdq *−=
Por lo tanto: ( )∫∫
−=∆ −
2
1
2
121*
Tdpvdh
TdqS
Para gases ideales: dTcdh p *= Y RvPT *=
(cp= calor especifico a presión constante)
+=∆
−
−1
2
1
221 ln*ln*
vvR
TTcS v
Kkgkj*
∴ ∫−
=∆
−
−
RvP
dPvTTcS p
*
*ln*1
221
Kkgkj*
( ) ctepS =∆ ( ) cteTS =∆
( ) ( )Tapa SSS 2121 −−− ∆+∆=∆
O
( ) ( )sbPb SSS 2121 −−− ∆+∆=∆
Nota: Falta hacer grafico S vs T
−
=∆
−
−1
2
1
221 ln*ln*
PPR
TTcS p