15-1

15Análisis de Regresión Múltiple

Se ha visto el tema del análisis de regresión simple:

Precio de la casa = β0 + β1(Área de la casa) + ε

Pero en general, una variable dependiente depende de más de una variable independiente:

Precio de la casa puede depender de:ÁreaAntigüedadNúmero de bañosÁrea del garajeEtc.

15-2

Para tratar este tipo de problemas se requiere expandir el análisis de regresión:

Regresión Lineal Simple

Regresión Lineal Múltiple

15-3

y = β0 + β1x1 + ε

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ……… + βpxp + ε

15-4

15-5

Objetivos

Explicar la construcción de modelos usando el análisis de regresión múltiple.

Aplicar el análisis de regresión múltiple en la toma de decisiones de negocios.

Analizar e interpretar los resultados de programas estadísticos para un modelo de regresión múltiple.

Evaluar la significancia de las variables indepen-dientes en un modelo de regresión múltiple.

15-6

Objetivos

Reconocer problemas potenciales en el análisis de regresión múltiple y tomar acciones para corregirlos.

Incorporar variables cualitativas en el modelo de regresión usando variables dummies.

(continuación)

15-7

Modelo de Regresión Múltiple

Objetivo: Examinar la relación lineal entreuna variable dependiente (y) y

dos o más variables independientes (xi)

åxâxâxâây kk22110 +++++= K

ie+++++= kik2i21i10i xbxbxbby K

Modelo poblacional:

Y-intercepto Pendientes Error aleatorio

Valor de y Pendientes estimadas

Modelo de regresión múltiple muestral:

y-intercepto estimado

Error muestral

15-8

Modelo de Regresión Múltiple

Objetivo: Examinar la relación lineal entreuna variable dependiente (y) y

dos o más variables independientes (xi)

åxâxâxâây kk22110 +++++= K

kk22110 xbxbxbby ++++= K

Modelo poblacional:

Y-intercepto Pendientes Error aleatorio

Valor estimado o predecido de ŷ

Pendientes estimadas

Modelo de regresión múltiple estimado:

y-intercepto estimado

15-9

Modelo de Regresión Múltiple

Modelo de dos variables:y

x1

x2

22110 xbxbby ++=

Pendiente para la

varia

ble x 1

Pendiente para la variable x2

Llamado hiperplano de regresión

15-10

y

x1

x2

22110 xbxbby ++=yi

yi

<

e = (y – y)

<

x2i

x1iLa ecuación de mejor ajuste, y, es hallada minimizando la suma de cuadrados del error, e2

<

Observación muestral

Modelo de Regresión Múltiple

Modelo de dos variables:

(continuación)

15-11

Modelo de Regresión Múltiple Poblacional

Los términos de error (ε) son realizaciones estadísticamente independientes de una variable aleatoria para cada nivel de x.

Para un valor dado de x, pueden existir muchos valores de y, por lo tanto muchos valores posibles para La distribución de los posibles errores del modelo para cualquier nivel de x es normal.

Las distribuciones de los posibles valores de los errores tienen igual varianza en cada nivel de x.

Las medias de la variable dependiente y, para todos los valores especificados de x, pueden ser conectados con una línea la cual es el componente lineal del modelo de regresión poblacional.

Supuestos:

Conceptos Básicos

para la

Construcción de Modelos

15-12

15-13

Conceptos Básicos para la Construcción de Modelos

Los modelos son usados para evaluar cambios sin implementarlos en el sistema real.

Los modelos pueden ser usados para predecir “outputs” basados en “inputs” específicos.

El proceso de construcción de modelos consiste de 3 etapas:

Especificación del modelo Ajuste del modelo Diagnóstico del modelo

15-14

Conceptos Básicos para la Construcción de Modelos

Las 3 etapas:

Especificación del modelo Especificación del modelo de regresión poblacional. Recolección de la data muestral.

Formulación o construcción del modelo Cálculo de los coeficientes de correlación entre las distintas variables,

dependientes e independientes. Ajuste del modelo a la data. Estimación de la ecuación de regresión

múltiple.

Diagnóstico del modelo Pruebas estadísticas para determinar la bondad de ajuste del modelo

a la data. Verificación de los supuestos de regresión múltiple.

15-15

Especificación del Modelo

A veces referido como identificación del modelo

Es un proceso para establecer la estructura del modelo Decidir qué se quiere hacer y seleccionar la variable

dependiente (y).

Determinar las potenciales variables independientes (x) para el modelo.

Recolectar los datos muestrales (observaciones) para todas las variables. Sugerencia: Tamaño muestral de al menos 4 veces el número de variables independientes.

15-16

Construcción del Modelo

Es el proceso de contruir la ecuación para los datos.

Puede incluir todas o algunas de las variables independientes (x).

El objetivo es explicar la variación en la variable dependiente (y) a través de la relación lineal con las variables independientes seleccionadas (x).

15-17

Diagnóstico del Modelo

Analizar la calidad del modelo (efectuar las pruebas de diagnóstico).

Evaluar el grado en que los supuestos se satisfacen.

Si el modelo es inaceptable, iniciar el proceso de construcción del modelo nuevamente.

Usar el modelo más simple que satisfaga las necesidades.

El objetivo es ayudar a tomar mejores decisiones.

15-18

Ejemplo

Un distribuidor de pies (postres) desea evaluar los factores que se cree influyen en la demanda

15-19

Diagramas de Dispersión

15-20

Ejemplo:Especificación del Modelo

Un distribuidor de pies (postres) desea evaluar los factores que se cree influyen en la demanda

Variable dependiente: Ventas (unidades / semana)

Variables independientes: Precio ($) y Publicidad ($100)

Modelo de Regresión múltiple Poblacional:

Ventas = β0 + β1(Precio) + β2(Publicidad) + ε

Ejemplo: Construcción o Formulación del Modelo

Modelo de Regresión Múltiple (Muestral):

Ventasj = b0 + b1(Precioj) + b2(Publicidadj) + errorj

Modelo de Regresión Múltiple Lineal

Ventas = b0 + b1(Precio) + b2(Publicidad)

15-21

15-22

Interpretación de los Coeficientes Estimados

Pendientes (bi)

Estiman el cambio en el valor promedio de “y” como bi unidades por cada unidad de incremento en xi manteniendo las otras variables constantes.

Ejemplo: Si b1 = -20, entonces se espera que las ventas promedio (y) se reduzcan en 20 pies por semana por cada $1 en que se incremente el precio (x1), manteniendo constante la variable publicidad (x2).

y-intercepto (b0)

Estima el valor promedio de y cuando todas las variables xi son iguales a cero (suponiendo que el valor cero está dentro de los rangos de valores que pueden tomar los xi).

Formulación del Modelo

Los datos de 15 semanas son recolectados….

15-23

15-24

Formulación del Modelo

Ventas = b0 + b1 (Precio)

+ b2 (Publicidad)

Sema-na

Venta de pies

Precio($)

Publicidad($100s)

1 350 5.50 3.3

2 460 7.50 3.3

3 350 8.00 3.0

4 430 8.00 4.5

5 350 6.80 3.0

6 380 7.50 4.0

7 430 4.50 3.0

8 470 6.40 3.7

9 450 7.00 3.5

10 490 5.00 4.0

11 340 7.20 3.5

12 300 7.90 3.2

13 440 5.90 4.0

14 450 5.00 3.5

15 300 7.00 2.7

 Venta de

pies Precio Publicidad

Venta de Pies 1

Precio -0.44327 1

Publicidad 0.55632 0.03044 1

Matriz de correlación:

Modelo de Regresión Múltiple:

15-25

Matriz de Correlación

Las correlaciones entre la variable dependiente y las variables independientes seleccionadas pueden obtenerse usando Excel: Datos / Análisis de datos / Coeficiente de correlation

Puede evaluar la significancia estadística de la correlación con una prueba t

15-26

Matriz de Correlación: Ventas de Pies

Ventas vs. Precio : r = -0.44327 Hay una asociación lineal negativa entre las

ventas y el precio Ventas vs. Publicidad : r = 0.55632

Hay una asociación lineal positiva entre las ventas y la publicidad

 Ventas de

pies Precio Publicidad

Ventas de pies 1

Precio -0.44327 1

Publicidad 0.55632 0.03044 1

15-27

Estimación de la Ecuación de Regresión Lineal Múltiple

Programas estadísticos (computadora) son generalmente usados para generar estimados de los coeficientes y medidas de bondad de ajuste de la regresión múltiple

Excel: Datos / Análisis de datos / Regresión

15-28

Excel: Datos / Análisis de datos / Regresión

Estimación de la Ecuación de Regresión Lineal Multiple

(continuación)

15-29

Regresión Múltiple: Excel (Resultado)

licidad)74.131(Pub cio)24.975(Pre - 306.526 Ventas +=

15-30

b1 = -24.975: Las ven-tas decrecerán en promedio 24.975 pies por semana por cada $1 incrementado en el precio, manteniendo constante la publici-dad

b2 = 74.131: Las ventas crecerán en promedio 74.131 pies por semana por cada $100 incrementado en publicidad, manteniendo cons-tante el precio

Donde: Ventas (número de pies por semana) Precio ($) Publicidad ($100’s)

licidad)74.131(Pub cio)24.975(Pre - 306.526 Ventas +=

Regresión Múltiple: Excel (Resultado)

(continuación)Ecuación estimada de regresión múltiple:

15-31

Usando el Modelo para hacer Predicciones

Predecir las ventas de una semana en la cual el precio es $5.50 y la publicidad es $350.

La venta pre-decida es

428.62 pies

Nota: La publicidad está en $100’s,

entonces x2 = 3.5 significa $350

licidad)74.131(Pub cio)24.975(Pre - 306.526 Ventas +=

428.62

(3.5) 74.131 (5.50) 24.975 - 306.526

=+=

15-32

Coeficiente de Determinación Múltiple (R2)

Reporta la proporción de la variación total en y que es explicada por todas las variables (juntas) x consideradas en el modelo

cuadrados de totalSumaregresión de cuadrados de Suma

SSTSSR

R 2 ==

15-33

.52148056493.3

29460.0

SST

SSRR 2 ===

El 52.1% de la variación en las ventas es explicada por la va-riación en los precios y la publi-cidad

(continuación)

Coeficiente de Determinación Múltiple (R2)

15-34

R2 Ajustado

R2 nunca decrece cuando una nueva variable x es añadida al modelo Esto puede ser una desventaja cuando se

compara modelos ¿Cuál es el efecto neto de agregar una nueva

variable? Se pierde un grado de libertad cuando una

nueva variable x es añadida ¿La nueva variable x aporta suficiente poder

explicativo para compensar la pérdida de un grado de libertad?

15-35

Muestra la proporción explicada de la variación en y por las variables x’s tomando en cuenta la relación entre el tamaño de muestra y el número de variables independientes

(Donde n = Tamaño muestral, k = Número de variables independientes)

Penaliza el uso excesivo de variables independientes no importantes

Es más pequeña que el R2

Útil en la comparación entre modelos

(continuación)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−−−=

1kn

1n)R1(1R 22

A

R2 Ajustado

15-36

.441720R 2A =

El 44.2% de la variación en las ventas es explicada por la variación en los precios y la publicidad, tomando en cuenta la relación entre el tamaño de muestra y el número de variables independientes

Coeficiente de Determinación Múltiple: Excel (Resultado)

15-37

Diagnóstico del Modelo: Prueba F (Significancia General)

Prueba F para la significancia del modelo (general)

Muestra si hay una relación lineal entre todas las variables x (consideradas en forma conjunta) e y

Usa el estadístico de prueba F

Hipótesis: H0: β1 = β2 = … = βk = 0 (No hay relación lineal)

HA: Al menos un βi ≠ 0 (Existe relación lineal entre (y) y al menos un xi)

15-38

Estadístico de prueba:

Donde: Los grados de libertad de F son:

glnumerador = k

gldenominador = (n – k – 1)

(continuación)

MSE

MSR

1knSSE

kSSR

F =

−−

=

Diagnóstico del Modelo: Prueba F (Significancia General)

15-39

6.53862252.8

14730.0

MSE

MSRF ===

(continuación)

Con 2 y 12 grados de libertad

Valor P para la prueba

Diagnóstico del Modelo: Prueba F (Significancia General)

15-40

H0: β1 = β2 = 0; HA: β1 o β2 es diferente de cero

Conclusión: Hay suficiente evidencia para concluir que el modelo de regresión explica parte de la variación en la venta de pies (al menos una de las pendientes de regresión no es cero)

0 = 0.05

Rechazar H0No rechazar H0

6.5386F ==MSEMSR

Valor crítico: F0.05 = 3.885

F

(continuación)

Diagnóstico del Modelo: Prueba F (Significancia General)

= 0.05glnumerador= 2gldenominador = 12

Estadístico de prueba:

Decisión: Como F = 6.53 > 3.89 = F0.05 , entonces se rechaza H0

15-41

Diagnóstico del Modelo:¿Las Variables Individuales son Significativas?

Usar la prueba t para evaluar la significancia de cada pendiente

Muestra si hay una relación lineal entre la variable xi e y

Hipótesis:

H0: βi = 0 (No hay relación lineal)

HA: βi ≠ 0 (Existe relación lineal entre xi e y)

15-42

H0: βi = 0 (No hay relación lineal)

HA: βi ≠ 0 (Existe relación lineal entre xi e y)

Estadístico de prueba:

(gl = n – k – 1)

ib

i

s

0bt

−=

(continuación)

Diagnóstico del Modelo:¿Las Variables Individuales son Significativas?

15-43

El estadístico de prueba t para el Precio es -2.306 (valor p = 0.0398)

El estadístico de prueba t para la Publicidad es 2.855 (valor p = 0.0145)

(continuación)

Diagnóstico del Modelo:¿Las Variables Individuales son Significativas?

15-44

g.l. = 15-2-1 = 12

= 0.05

t/2 = 2.1788

H0: βi = 0; HA: βi 0

Excel (Resultado):  Coeficientes Error típico Estadístico t Valor p

Precio -24.97509 10.83213 -2.30565 0.03979

Publicidad 74.13096 25.96732 2.85478 0.01449

Decisión: Para cada variable se rechaza H0

Rechazar H0Rechazar H0

/2=0.025

-tα/2

No rechazar H0

0 tα/2

/2=0.025

-2.1788

(continuación)

Diagnóstico del Modelo:¿Las Variables Individuales son Significativas?

2.1788

Conclusión: Hay evidencia suficiente para concluir que cada variable in- dividual (Precio y Publicidad) afecta a la venta de pies, dada la presencia de la otra para =0.05

15-45

Intervalos de Confianza para las Pendientes

El intervalo de confianza para la pendiente poblacional β1 (efecto sobre las ventas de pie respecto a cambios en el precio):

Ejemplo: Las ventas semanales de pies se reducirán entre 1.37 a 48.58 pies por cada incremento de $1 en el precio

ib2/i stb ± Donde t tiene (n – k – 1) g.l.

15-46

Desviación Estándar del Modelo de Regresión

La estimación de la desviación estándar del modelo de regresión está dada por:

MSEkn

SSEs =

−−= 1

¿Este valor es grande o pequeño? Para evaluarlo se debe comparar con el promedio de y

15-47

La desviación estándar del modelo de regresión es 47.46

(continuación)

Desviación Estándar del Modelo de Regresión

15-48

La desviación estándar del modelo de regresión es 47.46

Un rango de predicción para las ventas de pies en una semana se puede aproximar por

Considerando que el promedio muestral de pies por semana es 399.3, un error de ±94.2 pies es problablemente grande para ser aceptado. El dis-tribuidor podría querer buscar variables adiciona-les que puedan explicar más de la variación en las ventas.

94.22(47.46) =±

(continuación)

Desviación Estándar del Modelo de Regresión

15-49

Diagnóstico del Modelo: Multicolinealidad

Multicolinealidad: Es la presencia de correlación entre dos variables independientes y, por lo tanto, se traslapan.

Es decir, las dos variables contribuyen con información redundante al modelo de regresión múltiple.

15-50

Incluir dos variables independientes altamente correlacionadas puede afectar adversamente los resultados de regresión:

No proporciona nueva información.

Puede llevar a coeficientes inestables (error estándar grande y valores t bajos).

Los signos de los coeficientes podrían no ser coherentes con nuestras expectativas iniciales y con la matriz de correlación.

(continuación)

Diagnóstico del Modelo: Multicolinealidad

15-51

Problemas e Indicios de Multicolinealidad Severa

Signos incorrectos en los coeficientes.

Cambio grande en el valor de un coeficiente como resultado de agregar una nueva variable al modelo.

Una variable anteriormente significativa se vuelve no significativa cuando una nueva variable independiente es agregada.

El estimado de la desviación estándar del modelo se incrementa cuando una variable es agregada al modelo.

15-52

Detección de Multicolinealidad(Factor de Inflación de Varianza)

VIFj es usado para medir la colinealidad:

Si VIFj ≥ 5, entonces xj está altamente correlacionado con las otras variables

explicativas

R2j es el coeficiente de determinación de la

regresión de la jma variable independiente contra las restantes k – 1 variables independientes

21

1

jj R

VIF−

=

Variables Dummy

El modelo de regresión requiere el uso de variables cuantitativas de ratio

¿Cómo manejar posibles variables categóricas que frecuentemente se presentan en la explicación de una variable dependiente?

Ejemplo: Género, estado civil, grado de instrucción, tipo de vecindario, etc.

Variables Dummy

15-53

15-54

Variables Dummies

Son usadas para incorporar variables explicati-vas categóricas al modelo de regresión:

Si o no, masculino o femenino, etc.(variable dummy: 0, 1)

Casado o divorciado o viudo o soltero (variables dummies: 0, 0, 1; 0, 1, 0; 1, 0, 0)

15-55

Variables Dummies

El número de variables dummies requerido es (categorías – 1) por cada variable cualitativa.

A veces llamadas variables indicadoras.

Los interceptos de regresión son diferentes si la variable es significativa.

Asume igual pendiente para las otras variables.

15-56

Variable Dummy (Dos Niveles) en un Modelo de Regresión: Ejemplo

Sea:

ŷ = Ventas de pies

x1 = Precio

x2 = Feriado (X2 = 1 si hay feriado en una semana)

(X2 = 0 si no hay feriado en una semana)

210 xbxbby21

++=

15-57

Misma pendiente

(continuación)

x1 (Precio)

y (Ventas)

b0 + b2

b0

1010

12010

xb b (0)bxbby

xb)b(b(1)bxbby

121

121

+=++=

++=++= Feriado

No Feriado

Interceptos diferentes

FeriadoNo Feriado

Si H0: β2 = 0 es rechazada, entonces Feriado tiene un efecto significativo sobre las ventas

Variable Dummy (Dos Niveles) en un Modelo de Regresión: Ejemplo

15-58

Ventas: Número de pies vendidos por semanaPrecio: Precio del pie en dólares

Feriado:

Regresión, Variable Dummy (Dos Niveles): Interpretación de Coeficientes

Ejemplo:

1 Si hay feriado en una semana0 Si no hay feriado en una semana

b2 = 15: En promedio, las ventas en una semana con feriado son de 15 pies más que en una sin feriado, manteniendo el mismo precio

)15(Feriado 30(Precio) - 300 Ventas +=

15-59

El número de variables dummies es una unidad menos que el número de categorías

Ejemplo:

y = Precio de casa ; x1 = Área (pies cuadrados)

El estilo de la casa se cree que debe ser conside-rado:Estilo = Rancho, condominio, dos niveles

Tres categorías, entonces se requiere dos variables dummies

Regresión, Variables Dummies (Más de Dos

Niveles)

15-60

⎩⎨⎧

=⎩⎨⎧

=es lo no Si 0

niveles dos es Si 1x

es lo no Si 0

rancho es Si 132x

3210 xbxbxbby321

+++=

b2 muestra el impacto sobre el precio si el estilo de la casa es rancho, comparado a un condominio

b3 muestra el impacto sobre el precio si el estilo de la casa es dos niveles, comparado a un condominio

(continuación)Asumamos que la categoría por defecto sea “condominio”

Regresión, Variables Dummies (Más de Dos Niveles)

15-61

Con la misma área, se estima que un rancho tendrá un precio promedio de $23.53 (miles) más que un condominio.

Con la misma área, se estima que un dos niveles tendrá un precio promedio de $18.84 (miles) más que un condominio.

Supongamos que la ecuación estimada es:

321 18.84x23.53x0.045x20.43y +++=

18.840.045x20.43y 1 ++=

23.530.045x20.43y 1 ++=

10.045x20.43y +=Para un condominio: x2 = x3 = 0

Para un rancho: x3 = 0

Para un dos niveles: x2 = 0

Regresión, Variables Dummies (Más de Dos Niveles): Interpretación de Coeficientes

APLICACIÓN

Ver en Groebner, Cap.15, el desarrollo del caso First City, a lo largo de todo el capítulo.

Regresión múltiple básicaDetección de multicolinealidadAlto R2, pero alto error estándar en la regresiónBuscar disminuir el error estándar introduciendo variables adicionales: Variables dummy.Presencia de dummy disminuye error estándar, pero genera una variable sin significancia estadística.Eliminación de la variable sin significancia estadística sube ligeramente el error estándar, el cual se mantiene alto.Análisis de posibilidad de incluir nuevas variables explicativas.

15-62

APLICACIÓN: Algunas Sugerencias Básicas

La regresión múltiple es un herramienta importante en la modelación de la realidad, pero es un arte y una ciencia.

Modelación: definir variable dependiente y potenciales variables independientes. Generar matriz de correlaciones de las variables. Efectuar la estimación básica del modelo de regresión múltiple. Verificar R2, a través de prueba F comprobar si por lo menos una variable ayuda a

explicar la variabilidad de y. Verificar significancia individual de las variables. Eliminar variables sin significancia estadística y volver a verificar R2. Si todas las variables muestran significancia estadística, ver problemas de

multicolinealidad con VIF, eliminar variables con VIF de 5 o superior. Si todas las variables muestran significancia estadística y VIF < 5, seguir

analizando multicolinealidad (ejemplo signo contrario al de la matriz de correlaciones). Tomar decisión.

Analizar el tamaño del error estándar de la regresión y considerar la necesidad de añadir un mayor número de variables explicativas, cuidado con el R2 ajustado.

Verificar supuestos del modelo de regresión múltiple.

15-63