139TesisTacho de Funtores

8/10/2019 139TesisTacho de Funtores

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Homologa Singular, Construccion,

Ejemplos y Aplicaciones

Jesus Tadeo Ibarra Tacho


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Indice general

Introduccion 1

1. Preliminares 9

1.1. Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2. Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3. Teoremas de isomorfismo para modulos . . . . . . . . . 12

1.1.4. Suma directa y modulos libres . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1. Espacios topologicos, Definicion y Ejemplos . . . . . . 16

1.2.2. Interior y Cerradura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.4. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.5. Conexidad y Arcoconexidad . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Geometra Afn y Homologa singular 29

2.1. Geometra Afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1. Espacio Afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2. Independencia Afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.3. Transformaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.4. Simplejos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.5. Operador frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.6. Ciclos y fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1.7. Homologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.8. Homologa y Componentes Arcoconexas . . . . . . . . 49

2.1.9. Homomorfismo inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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3. Teorema de invarianza homotopica 59

3.1. Homotopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.1. Homotopa de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.2. Homotopa de espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2. El teorema de invarianza homotopica . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Homologa Relativa 73

4.1. Homologia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.1. Ciclos y fronteras relativas . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.2. Homomorfismo Inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Sucesion Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5. El Teorema de escision 875.1. Dividiendo simplejos afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2. El operador Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3. Diametro de la Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4. El Teorema de Excision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6. Aplicaciones 101

6.1. La homologa de las Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1.1. La esfera y el Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1.2. Homologa deSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2. El teorema de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3. Isometras en la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4. Campos vectoriales en la esferaSn . . . . . . . . . . . . . . . 109

Apendice. Categorias y Funtores 113


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Introduccion

La topologa es el estudio de la continuidad, esto es, el estudio de todasaquellas propiedades que se preservan bajo funciones continuas. Esta defini-

cion si bien no nos dice mucho del concepto, es muy acertada en el siguientesentido: Cuando estudiamos calculo definimos la continuidad de una funcionreal de variable real, estudiamos sus propiedades y vemos la importanciadel concepto, principalmente relacionado con cuestiones de convergencia; elconcepto de espacio topologico es una abstraccion de las propiedades que sepreservan bajo funciones continuas en los espacios euclidianos mas en con-creto, Rn, de esta forma tiene sentido hablar de funciones continuas en estosespacios. Decimos que dos espacios topologicos son equivalentes si sus topolo-gias son las mismas, salvo quisas por el nombre de los objetos, esto es, existeuna funcion continua con inversa continua entre un espacio y el otro, con-

cepto que veremos con mas detalle en el captulo 1; a esta equivalencia lellamamos homeomorfismo.

Para subconjuntos de R3 podemos pensar en homeomorfismos como unafuncion que deforma el espacio doblando, estirando, contrayendo, expan-diendo, etc, sin pegar puntos ni hacer cortes, una nocion intuitiva por laque la topologa es conocida tambien como la geometra de la bola de goma.

De esta forma, un problema muy importante y a la vez natural es el si-guiente: dados dos espacios topologicos, como saber si estos son homeomorfoso no, esto es, si existe una funcion continua con inversa continua de uno enel otro.

Atacar el problema en general puede muy complicado, de hecho es unproblema abierto. En principio si la respuesta fuera afirmativa, tendramosque exibir una funcion que cumpla con las condiciones. Si los espacios resul-tan ser no homeomorfos, la situacion puede ser aun mas complicada, puestenemos que demostrar que no existe dicha funcion, lo cual no podemosdescartar simplemente por no tener exito en encontrarla.

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Incluso en subespacios de R3 tenemos este problema como lo muestra la

figura 1 . En ella tenemos una esfera, una toro y un doble toro, intuitiva-mente no podemos deformar la esfera continuamente para obtener el toro,analogamete tenemos la misma situacion con cualesquiera dos de ellos, perodemostrar que no existe tal funcion no depende de propiedades elementales.

Figura 1: Espacios No Homeomorfos

En un curso basico de topologa se estudian invariantes topologicos, estoes, propiedades que se preserven por continuidad, de manera que si tenemosdos espacios topologicos tales que uno de ellos tiene tal propiedad y el otrono la tiene, estos no pueden ser homeomorfos, por lo que tendramos unarespuesta negativa a la pregunta.

Los invariantes que se estudian en topologa algebraica son de naturalezaalgebraica, esto es, siXes un espacio topologico, aXle asignamos un espacio

h(X) de tal forma queh(X) es un grupo,modulo,espacio vectorial o algebra oalguna otra estructura algebraica, de tal forma que si f :XYes continua,le asignamos una funcionh(f) :h(X) h(Y) queh(f) es un homomorfismoy que h(f g) =h(f)h(g).

De esta manera estamos pasando de la topologa al algebra, por lo quepropiedades algebraicas deh(X) seran invariantes topologicos paraX, dondeen muchas ocaciones, el espacio h(X) es mucho mas simple de estudiar.

El invariante a estudiar en esta tesis en un modulo, llamado el modulo dehomologa de X, que puede ser un grupo abeliano si tomamos coeficientes enZ, hecho que veremos en el captulo 2. Este invariante funciona muy bien en

espacios que provienen directamente de la geometra, pero se define para unespacio topologico arbitrario.

El problema del homeomorfismo es ya de por si, bastante importantepara justificar el estudio de la homologa, pero mas aun, tenemos que estaherramienta una ves contruida y trabajada tiene aplicaciones muy impor-tantes como el teorema del punto fijo de Brouwer, del cual incluimos una


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demostracion en el captulo 6.

En el captulo 1 estudiamos todo el material basico sobre algebra ytopologa, de manera que la tesis es autocontenida.

Aqu definimos modulos, presentamos los teoremas de isomorfismo y es-tudiamos sumas directas y modulos libres.

En la parte topologica definimos espacio topologico, continuidad , el ma-terial basico acerca de esta, conexidad, arcoconexidad y compacidad.

En el captulo 2 construimos la homologa del espacio, empezamos estu-diando geometra afn de una manera elemental, obtenemos lo necesario conrespecto a la convexidad y las coordenadas baricentricas.

Cuando definimos homologa, calculamos la homologa de un punto, ve-

mos lo que pasa en las componentes arcoconexas y otras propiedades elemen-tales, terminamos el capitulo viendo cuestiones funtoriales de esta.En el captulo 3 empezamos estudiando homotopas de manera elemental,

definimos la homotopa de funciones y la homotopa de espacios topologicosa travez de la anterior, estudiamos una retraccion y vemos que los modulosde homologa son invariantes homotopicos.

En el captulo 4 estudiamos la homologa con respecto a un subespa-cio, recontruimos el concepto de homologa ahora para pares de espacios yverificamos sus propiedades elementales, despues de esto estudiamos la suce-sion exacta de homologa, objeto fundamental en el estudio del calculo de lahomologa.

En el captulo 5 estudiamos el teorema de escision, basicamente buscamosver que podemos dividir un simplejo en simplejos mas pequenos que repre-senten la misma clase de homologa, de esta manera, el teorema de escisionestablece que ciertos subespacios son despreciables en terminos de homologade una pareja (X, A), esto es,que podemos omitir este subespacio U de Xdel par (X, A) de manera que la homologa permanece intacta.

El ultimo captulo es de aplicaciones, calculamos la homologa de lasesferas, demostramos el teorema del punto fijo de Brouwer y el teorema dela Bola peluda.

Por cuestiones de tiempo y espacio, ciertos resultados acerca de la ho-

mologa quedaron fuera del presente trabajo, ejemplo de ellas fueron grupofundamental, la relacion entre1(X) yH1(X), complejosC W, la sucesion deMayer Vietoris, fundamentales en el calculo de la homologa de una gran can-tidad de espacios, esto porque se concentro el trabajo en estudiar la homologade las esferas, estos resultados como muchos otros se pueden encontrar en[4], [3], [9].


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Agradecimientos

Deseo agradecer muy en especial a mi familia, pricipalmente a mis padresEvelia Tacho Gomez y Francisco Bernardo Ibarra Dominguez por habermedado la vida y segundo por haberme apoyado en todo y en particular conmis estudios. Por todo el apoyo incondicional que me dieron para seguir conesto y tambien por el entendimiento y paciencia sobre el tiempo que paseen la escuela. A mis dos hermanas, Patricia Mara Ibarra Tacho y LizetteGuadalupe Ibarra Tacho por el apoyo y confianza mostrado a lo largo de estetiempo, as mismo agradesco el apoyo mostrado por mis abuelos, primos, tiosy familia en general de la que estoy muy orgulloso de pertenecer.

Agradesco profundamente a mis maestros, a todos los profesores del De-partamento de Matematicas de la Universidad de Sonora por la enorme laborde educacion que me brindaron a lo largo de la carrera, todas esas horas declase donde me fui formando como matematico y que influyeron de granmanera en mis decisiones academicas. Especialmente quiero agradecer a midirector de Tesis Dr. Martn Eduardo Fras Armenta y a mis sinodales M.C.Carlos Alberto Robles Corbala, M.C. Guillermo Davila Rascon y Dr. RafaelRoberto Ramos Figueroa, por el enorme trabajo de revision de Tesis queestos desarrollaron, por tomarse el tiempo de hacer todas las debidas correc-ciones, crticas, comentarios as como el apoyo brindado a lo largo de esta,con las cuales este trabajo no sera el mismo. As Mismo quiero agradecer

al Dr. Ramiro Avila Godoy quien fue mi maestro en la preparatoria y queinfluyo enormemente para que estudiara esta carrera.

Muy en especial quiero agradecer a Rosa Ileana Ybarra Cruz por ser mimejor amiga, haber estado conmigo de una u otra forma por todos estosanos y por toda esa confianza que siempre senti de ella, que me hizo pasarpor grandes momentos y siempre ha estado presente, una persona que indis-cutiblemente ha influido mucho en mi vida. Quiero agradecer a mis amigos,companeros de clase y todas esas personas que han estado conmigo a lo largode mi vida y que me han apoyado dentro y fuera de la escuela, en cuestionesacademicas y otras personales por los grandes momentos que hemos pasado.


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Captulo 1

Preliminares

1.1. Algebraicos

1.1.1. Anillos

Definicion 1.0.1. Sea R un conjunto no vaco y sean + : R R R y: R R R dos operaciones, denotadas como

+(a, b) := a+ b

(a, b) := a b

Llamadas suma y producto respectivamente, se dice que(R, +, )es unanillosi

1. (R, +) es un grupo abeliano, esto es:

(a + b) + c= a + (b+ c) para todo a,b,c R.

Existe un elemento 0 R tal quea + 0 = 0 a R.

Para cadaa R existe un elemento(a) R tal quea+(a) = 0.

a + b= b + a a, b R.

2. (R, ) es un semigrupo, esto es:

(a b) c= a (b c) para todo a, b R

3. se cumplen las leyes distributivas, es decir

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10 CAPITULO 1. PRELIMINARES

a (b+ c) =a b+ a c para todoa,b,c R

(a+ b) c= a c + b c para todoa, b, c R

Usualmente se indicara (R, +, ) simplemente por R, y al producto a bpor yuxtaposicion, esto es, abdenotara a b. Al elemento neutro de la sumasiempre lo denotaremos por 0. Cuando manejemos expresiones con sumas yproductos, el producto tiene prioridad sobre la suma, esto es, ab+c denota(ab) + c y no a(b+ c).

A continuacion definiremos ciertas clases particulares de anillos, que recibenun nombre especial por cumplir con axiomas adicionales.

Definicion 1.0.2. Si existe un elemento neutro para el producto, decimos

queR es un anillo con unitario, o anillo con1, y a ese neutro le llamamoselemento unitario o 1 del anillo.

Si es conmutativa, es decir, a b= b a para cada para, b R, decimosqueR es un anillo conmutativo, si(R\{0}, ) es un grupo diremos queR esun anillo con division, si se cumplen estas ultimas dos, diremos queR es uncampo.

Ejemplo 1.1. Sean(R, +, ) = (Z, +, ), R= (Q, +, ), R= (R, +, ), o R=(C, +, ), con las operaciones usuales, entoncesR es un anillo, en cualquiercaso, conmutativo con 1, notese que todos excepto Z son campos.

Ejemplo 1.2. Sea(R, +, ) el conjunto de polinomios con coeficientes com-plejos con las operaciones+ y usuales, este es un anillo conmutativo con1.

Ejemplo 1.3. Sea R el conjunto de matrices cuadradas de nxn con coefi-cientes complejos, con la suma definida componente a componente y la mul-tiplicacion de matrices usual, este es un anillo no conmutativo con 1 paran >1.

Gran parte de la teora que veremos a lo largo del presente trabajo escierta para anillos en general, historicamente la homologa surgio usando

coeficientes enteros, Z es un anillo conmutativo con 1, propiedades que sonsuficientes para establecer los resultados basicos de la teora, usaremos losaxiomas de anillo y estos dos axiomas adicionales para referirnos a un anillo,estas son, conmutatividad y elemento unitario.

Dicho de otra forma, anillo conmutativo con 1 sera llamado sim-plemente anillo de ahora en adelante.


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1.1. ALGEBRAICOS 11

1.1.2. Modulos

Definicion 1.0.3. Sea R un anillo y (M, +) un grupo abeliano. DiremosqueMes unR-modulosi existe una funcion : R MM,denotada por(a, m)am que cumple lo siguiente:

1. (a + b)m= am+ bm para cadaa, b R y para cadamM

2. a(m+ n) =am+ an para cadaa R y para cadam, n M

3. ab(m) =a(bm) para cadaa, b R y para cadam M

4. 1m= m para cadam M

Ejemplo 1.4. SeaV un espacio vectorial sobreF, entoncesV es unF-modulo.

Ejemplo 1.5. Sea (G, +) un grupo abeliano, entoncesG es unZ-modulo,con la operacion

nx=

0x= 0

(n 1)x + x sin >0((n)x) sin


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Definicion 1.0.6. SeaNM, decimos queNes submodulo deMsi(N, +)

es subgrupo de(M, +) y para cadaa R, y cadan N tenemosan N.Esto lo denotamos porNM.

Notese que en este caso,Nes por s mismo un R-modulo. De esta forma,como cada subgrupo de un grupo abeliano es normal, podemos formar elgrupo cociente M/N

M/N={m + N :m M}

donde m+ N = {m+ n : n N}. De esto se sigue que m1, m2 Mpertenecen a la misma clase si m1 m2 N, es decir, m1+ N=m2+ N.

En este caso podemos definir un producto en el conjunto M/N, de talforma queM/N, +, sea un R-modulo con las operaciones en M/Ndefinidasde la siguiente forma

(m1+ N) + (m2+ N) = (m1+ m2) + N si m1, m2 M

a(m+ N) = (am) + N siaR, m M

Se define la proyeccion natural : MM/N como(m) =m + N. Es facilver que este es un homomorfismo sobreyectivo de M a M/N.

1.1.3. Teoremas de isomorfismo para modulos

A continuacion presentamos los teoremas de isomorfismo paraR-modulos,cuya prueba es completamente analoga a la de grupos, y se pueden encontraren[6], pagina 170-173 y [12] pagina 135-137,165.

Teorema 1.1 (Primer teorema de isomorfismo). SeanM yN, R-modulos,f :MNhomomorfismo con nucleoK. EntoncesK es submodulo deM,yM/Kes isomorfo a la imagen def, Donde la funcionf :M/KIm(f)dada porf(m+ K) =f(m) es un isomorfismo.

Teorema 1.2 (Segundo teorema de isomorfismo). Sea M un R-modulo,

N, K submodulos deM, entoncesN Kes submodulo deN, yN/(N K)es isomorfo a(N+ K)/K.

Teorema 1.3(Tercer teorema de isomorfismo). SeaMun modulo,KNM,entoncesN/Kes submodulo deM/K, y ademas

(M/K)/(N/K)=M/N


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1.1. ALGEBRAICOS 13

Teorema 1.4(Teorema de la correspondencia). SeaMun modulo, conNun

submodulo deM y :MM/Nel homomorfismo canonico, entonces hayuna correspondencia biunvoca entre los submodulos deM/Ny los submodu-los de M que contienen aN. Mas aun, siNS, la correspondencia esta dadaporF(S) =(S).

1.1.4. Suma directa y modulos libres

Dada una coleccion de modulos, podemos definir con estos un nuevomodulo, recprocamente, dado un modulo, podemos preguntarnos si pode-mos representarlo a traves de modulos mas simples.

DadosN , K M, donde Mes un modulo, recordemos que

N+ K={n+ k: n N, k K}

Definicion 1.4.1. Decimos que M es la suma directa de N y K cuandoN, KM, N+ K=M yN K={0} .

En realidad lo que acabamos de definir es conocida como suma directainterna, notese que cada elemento de M se expresa de manera unica comosuma de elementos de N y K.

La suma se dice interna pues N yKson submodulos de M. Si tomamos

dos modulos arbitrarios, necesitamos que ambos sean submodulos de unmodulo Mpara que tenga sentido hablar de suma directa interna en el sen-tido que acabamos de definir.

Definicion 1.4.2. SeanN yK modulos sobre un anillo R, yM=N K,M con las operaciones definidas

(n1, k1) + (n2, k2) = (n1+ n2, k1+ k2)

r(n, k) = (rn,rk)

Es decir, componente a componente , con esto, M=N Kes un R-modu-lo, llamado modulo producto, o suma directa externa, y la denotaremos porM=N K.

Notemos que de esta forma, N {0}=N, {0} K=K, y que

M= (N {0}) + ({0} K).


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Debido a esto, cada suma directa externa viene de una suma directa

interna y viceversa.Podemos definir recursivamente la suma directa de una familia finita

{Mk}nk=1 de modulos , esto es,

nk=1

Mk =M1 M2 Mn = (M1 M2 . . . M n1) Mn

Incluso si la familia es infinita podemos definir la suma directa de lasiguiente forma.

Definicion 1.4.3. Sea {M}, una familia de R-modulos, se define la

suma directa de la familia{M}, denotada como

M=

M

como el subconjunto del producto cartesiano

M tal que m = 0 salvo

para un conjunto finito de s. Denotamos los elementos de

M como

sumas formales finitas de elementos deM para cada esto es,

M={m1+ m2+ + mn :n N, k, mk Mk}Un elemento enM=

M lo denotaremos como

m=

m

Dondem M. Las operaciones en

M se definen de la siguiente

forma:

m

+

n

=

(m+ n)

r

m

=

(rm)


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1.2. Topologicos

1.2.1. Espacios topologicos, Definicion y Ejemplos

Ahora definiremos nuestro principal objeto de estudio del presente traba-jo, este es el concepto de espacio topologico. La definicion formal es abstractay completamente conjuntista, por lo que a primera vista oculta el sentidogeometrico de aplicacion de la teora, afortunadamente el concepto genera-liza a los espacios euclidianos ,por lo que manejar el concepto de topologanos acerca a pensar geometricamente en espacios donde la intuicion puederesultar enganosa, como los espacios de funciones en analisis por ejemplo.

De esta forma definimos un espacio topologico de la siguiente manera.

Definicion 1.4.5. SeaXun conjunto no vaco, yT una familia de subcon-juntos deX, diremos que(X,T) es unespacio topologico, cuando

1. , X T.

2. si{Ai}iIes una coleccion de elementos deT entoncesiI

Ai T.

3. si{Ai}ni=1 es una coleccion de elementos deT entonces

ni=1

Ai T.

A los elementos deT les llamamos conjuntos abiertos de X o sim-plemente abiertos, al conjunto T le llamamos topologa enX.

Ejemplo 1.7. Sea X = , yT = {, X}, entonces (X,T) es un espaciotopologico, a esta topologa le l lamamostopologa indiscreta.

Ejemplo 1.8. SeaX= yT = 2X entonces(X,T)tambien es un espaciotopologico, a esta topologa le llamamos la topologa discreta, que esta enun extremo opuesto a la anterior; estos dos ejemplos sirven para ver quesiempre podemos definir al menos dos topologias en cualquier conjunto conmas de un punto.

Definicion 1.4.6. Sea X un conjunto yd: X X R. Se dice que(X, d)es unespacio metrico si

1. d(x, y) =d(y, x) para todo x, y X

2. d(x, y) 0 para todox, y X, d(x, y) = 0 si y solo six= y


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1.2. TOPOLOGICOS 17

3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

Definicion 1.4.7. Sea(X, d)un espacio metrico, x0 Xyr R, definimosla bola con centro enx0 de radio r, denotada porBr(x0) como el conjunto

Br(x0) ={xX :d(x, x0)< r}

Ejemplo 1.9. Sea(X, d)un espacio metrico, vemos a este de manera naturalcomo espacio topologico, donde los abiertos son los conjuntos que son unionde bolas abiertas; siempre que se hable de un espacio metrico como espaciotopologico se estara considerando esta topologa como la natural.

Ejemplo 1.10.SeaX= Rn

con la metrica usual, esto es, six= (x1, x2, . . . , xn)yy = (y1, y2, . . . , yn) entonces

d(x, y) =

nk=1

(xk yk)2

Por serd un caso particular de espacio metrico, Rn con la topologa inducidapor la metrica es un espacio topologico.

Sea (X,T) un espacio topologico, A X. Siempre es posible darle una

topologa al conjunto Aen terminos de la de X.

Definicion 1.4.8. Sea(X,T) espacio topologico, se define el conjunto

TA = {U A: U T}

aTA le llamamos la topologa relativa de A con respecto aX.

Es facil ver que esta es en efecto una topologa enA. Esta es la topologanatural para los subconjuntos de Rn.

Por economa de notacion, cuando se sobrentienda la topologia de Xnos

referiremos a Xcomo espacio topologico en lugar de (X,T).

1.2.2. Interior y Cerradura

Definicion 1.4.9. Sea(XT) un espacio topologico, diremos queA X esabierto siA T.Diremos queA es cerrado siX\A T


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De esta forma un subconjunto de A puede ser abierto, cerrado, ambas o

ninguna , todo depende de la topologa de Xy del conjunto A en particular.

Proposicion 1.4.1. Sea(X,T) espacio topologico yFel conjunto de sub-conjuntos cerrados deX. Entonces

1. , X F

2. Si{Ai}iI estan enF, entoncesiI

Ai F

3. Si{Ak}nk=1 estan enF, entonces

n

k=1 Ak FDemostracion. Se sigue directo de las leyes de DMorgan.

Definicion 1.4.10. SeaA X. Se define el interior deA denotado porA

como la union de todos los abiertos contenidos enA, esto es

A ={U T :UA}

Definimos a la cerradura deA, denotada porcl Acomo la interseccion detodos los cerrados que contienen aA, esto es

cl A= {U F :A U}

A es abierto por la definicion 1.4.5 y cl A es cerrado Por la Proposicion1.4.1 independientemente de como sea A, ademas se pueden dar los casosA = y cl A= X.

1.2.3. Continuidad

Ahora definiremos continuidad de funciones en espacios topologicos, elconcepto mas importante de la topologa pues las propiedades topologicas

son aquellas que se preservan por continuidad.

Definicion 1.4.11. Sean(X,TX), (Y, TY) espacios topologicos, yf : XY, diremos quef es continua, sif1(U) TX para cadaU TY.

Proposicion 1.4.2. La composicion de funciones continuas es continua.


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1.2. TOPOLOGICOS 19

Demostracion. Sea f : X Y y g : Y Z funciones continuas,queremos

ver que g f :XZes continua.Sea U TZ, buscamos demostrar que (g f)

1(U) TX.

(g f)1(U) =f1 g1(U) =f1(g1U)

pero g1U TY por continuidad de g. De esta forma f1(g1U) TX porcontinuidad de f.

La continuidad en un espacio topologico es una generalizacion de la con-tinuidad en un espacio metrico, as mismo, como Res un espacio metrico,

Definicion 1.4.12. Sean (X, dX), (Y, dY) espacios metricos. Decimos queuna funcionf :XY es continua enx0 si dado >0 existe tal que

dX(x, x0)< dY(f(x), f(x0))<

Una funcion es continua, si lo es en todos los puntos deX.

Esto es, dado >0, existetal que six Bx0() entoncesf(x) Bf(x0)()Esto ocurre si y solo si f(B(x0)) B(f(x0))Ahora, f(A) B si y solo siA f1(B).Por lo que la condicion de continuidad es equivalente a que

Para cada >0 existe tal que B(x0) f1(B(f(x0)))

De aqu viene el siguiente teorema.

Teorema 1.5. Sean (X, dX), (Y, dY) espacios metricos, f : X Y. f escontinua como funcion entre espacios metricos si y solo si lo es como funcionentre espacios topologicos

Demostracion. () SeaUabierto enY, queremos ver que f1(U) es abiertoen X. Sea x0 f

1(U) de aqu, f(x0) U, paraB(f(x0)) U existe talqueB(x0)) f1(B(f(x0))) f1(U), es decir, B(x0)) f1(U) , por lotantof1(U) es abierto.

() Sea >0, xX, como B(f(x)) es abierto enY entoncesf1(B(f(x)))es abierto en X, y como x f1(B(f(x))) entonces existe tal que

B(x) f1(B(f(x)))

De esta manera el concepto de continuidad es equivalente a lacontinuidad topologica cuando nos restringimos a los espacios metricos, deaqu que la continuidad topologica resulta ser una generalizacion de la con-tinuidad metrica.


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1.2.4. Homeomorfismos

Ya que tenemos definida la continuidad, necesitamos saber cuales serannuestras equivalencias en espacios topologicos.

Definicion 1.5.1. Sean(X,TX), (Y, TY)espacios topologicos, yf :XY.Se dice que f es un homeomorfismo si f es continua, biyectiva y coninversa continua. Si existefun homeomorfismo fentreXyY, diremos queX yY sonhomeomorfos.

Toda propiedad que se preserve bajo funciones continuas es llamadapropiedad topologica, o invariante topologico, esto es, si existe un homeo-morfismo de X a Y , entonces tenemos los puntos de Xen correspondenciabiunvoca con los puntos de Y, y los abiertos de X en correspondencia bi-unvoca con los abiertos de Y, en pocas palabras, un homeomorfismo solocambia las etiquetas de los objetos, pero mantiene intactas sus topologas.

Intuitivamente, un homeomorfismo entre dos subespacios de R3 es unaforma de doblar, estirar, encojer, o curvar uno para llegar al otro, sin hacercortes, ni pegar puntos, esto es, como si los espacios fueran de goma, por loque la topologa en ocasiones es llamada la geometra de la bola de goma.

Ejemplo 1.11. Un crculo es homeomorfo a un cuadrado

Figura 1.1: Circulo y Cuadrado

El homeomorfismo viene dado de la siguiente forma:Sean

X = {(x, y) R2 :x2 + y2 = 1}

Y = {1, 1} [1, 1] [1, 1] {1, 1}

Xes el circulo de radio 1 centrado en el origen yY es el cuadrado de vertices(1, 1), (1, 1), (1, 1), (1, 1).


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1.2. TOPOLOGICOS 21

f :XY yf1 :Y X estan dados por

f(x, y) = 1

m(x, y) f1(x, y) =

1

r(x, y)

Dondem= max{|x|, |y|}yr=

x2 + y2

Geometricamente marcamos cuatro puntos en la circunferencia y en-derezamos los arcos correspondientes para obtener el cuadrado como lo ilustrala figura 1.1.

Ejemplo 1.12. Una el toro (la superficie de una dona) es homeomorfa auna taza de cafe.

El ejemplo mas popular de la topologa, los movimientos estan ilustrados

en la figura 1.2. El hecho es que podemos deformar al toro de manera conti-nua hasta obtener la esfera, este ejemplo da origen al comentario de que untopologo no distingue entre una dona y una tasa de cafe.

Figura 1.2: La dona y la taza


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Ejemplo 1.13. Dos bandas pegadas son homeomorfas a un toro menos el

interior de un disco.El homeomorfismo viene dado en la figura 1.3, lo que hacemos en este

caso es defomar el espacio continuamente hasta obtener el toro menos elinterior de un disco.

Figura 1.3: Ejemplo de Homeomorfismo

Podemos ver, as tambien, que podemos hacer cortes temporalmente paradoblar encojer, y curvar con la condicion de que al final peguemos los puntosque hayamos separado al principio, esta idea se formaliza con la topologacociente que podemos encontrar en [11], pagina 136. .

Ejemplo 1.14. El circulo y el pretzel son homeomorfos

Figura 1.4: Circulo y Pretzel


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1.2. TOPOLOGICOS 23

Esta idea de doblar los espacios puede parecer muy informal y lo que

estamos haciendo es definiendo las cosas de manera formal, pero no se pre-senta dificultad en formalizar estas ideas, pues quedan bien establecidas conel concepto de homotopa, que veremos en el captulo 3.

1.2.5. Conexidad y Arcoconexidad

Sea Xun espacio topologico, queremos decir cuando X es de una solapieza. Un concepto topologico para esto es llamado conexidad que veremosmas adelante, el problema es que a simple vista no es intuitivo, pues se daen un sentido negativo. El concepto que vamos a estudiar ahora esta mas

emparentado a nuestra intuicion, y es la de que un conjunto es de una piezasi las partes de este se pueden unir por curvas, veamos esto formalmente.

Definicion 1.5.2. Unatrayectoriaen un espacio topologico(X,T)es unafuncion continuaf : [0, 1] X; sif(0) =x yf(1) = y diremos quef unex cony.

A una trayectoria tambien se le conoce como camino o arco.

Definicion 1.5.3. Un espacio topologico(X,T) esconexo por trayecto-rias o arcoconexo si cualesquiera dos puntos enXpueden ser unidos por

un arco.Ya definido el concepto veamos que esta es una propiedad topologica

Teorema 1.6. Sea (X,TX) arcoconexo y f : X Y continua. Entoncesf(X) es arcoconexo. En particular, sifes suprayectiva, entonces(Y, TY) esarcoconexo.

Demostracion. Sean a, bf(X). As, existen x, y Xtales que f(x) =a,f(y) =b. Como X es arcoconexo existe : [0, 1] X tal que (0) =x, (1) =y . entoncesf es continua y es una trayectoria que une acon b.

Corolario 1.6.1. Dados dos espacios topologicos homeomorfosX y Y, Xes arcoconexo si y solo siY es arcoconexo.

Este no es el concepto mas general de que un espacio sea de una solapieza, a continuacion veamos este y cual es su relacion con arcoconexidad.


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Definicion 1.6.1. Sea(X,T)un espacio topologico. Diremos queXesdis-

conexosi existen conjuntos abiertosU, V T tales que

U V =X U V =.

Diremos que(X,T) esconexo si no es disconexo.

Diremos que un subconjunto de un espacio topologico es conexo, si lo escomo espacio topologico con la topologa relativa.

La definicion de conexo, dada en el sentido negativo, nos dice que unespacio topologico es de una sola pieza en el sentido de que no se puedeseparar por abiertos ajenos.

Ahora, en efecto, la conexidad se preserva por continuidad.

Teorema 1.7. Sea X conexo. f : X Y continua. Entonces f(X) esconexo.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, supongamos que f es suprayec-tiva.

Sean U, V abiertos de Y, con Y =U V,U V =, si hacemosU = f1(U) y V =f1(V) entonces U, V son abiertos de X tales queU V =Xy U V = por lo que uno de ellos es vaco, digamos V =con lo cual V = y por lo tanto f(X) es conexo.

Corolario 1.7.1. SeanX, Y homemorfos. Xes conexo si y solo siY lo es.

Veamos algunas equivalencias las cuales las podemos encontrar en [1],pagina 108.

Teorema 1.8. Sea(X,T) un espacio topologico, los siguientes enunciadosson equivalentes:

1. X es conexo.

2. No existen cerrados ajenosU, V tales queU V =X, U V =.3. No existen conjuntosU, V no vacos tales queU V =X con

(cl U V) (U cl V) =.

4. No existe una funcion f : X {0, 1} continua y suprayectiva({0, 1}con la topologa discreta).


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1.2. TOPOLOGICOS 25

5. Los unicos subconjuntos deXabiertos y cerrados a la vez, son yX.

El concepto que hemos definido anteriormente para decir que un espacioes de una sola pieza es el de arcoconexidad, veamos que la conexidad seobtiene de esta. Mas en concreto tenemos el siguiente teorema.

Teorema 1.9. Si (X,T) un espacio topologico arcoconexo, entoncesX esconexo.

Demostracion. Supongamos que Xes arcoconexo, pero no conexo. En estascondiciones existe un subconjunto propio de X, abierto y cerrado, digamosA. Seaa A y b X\A, y: [0, 1]Xcontinua, con (0) =a y (1) =b,

luego por continuidad,1

(A) es abierto, cerrado y es un subconjunto propiode [0, 1] ya que 1 / 1(A), de esto tenemos [0, 1], es disconexo, lo cual esuna contradiccion pues [0, 1] es

El recproco no es valido como lo muestra el siguiente ejemplo

Ejemplo 1.15. El peine y el piojo.Sea

B={(x, y) R2 :x = 1

n, 0 y 1, Para algunn N}{0 x 1, y= 0}

El peine, y sea

A= {(0, 1)}

El piojo.El espacio es conexo, pues el peine es arcoconexo, y cualquier bola que

encierre al piojo, debe intersectar al peine, esto porque la sucesion{ 1n}n=1

converge decrecientemente a0.Por el contrario, el espacio no es arcoconexo pues cualquier arco que

comience en el piojo no puede cruzar al peine.

Aunque no todo conexoXes arcoconexo, hay un recproco parcial al teo-rema 1.9, si suponemos hipotesis adicionales sobre el espacio X, en particulartenemos el siguiente teorema para subconjuntos de Rn.

Teorema 1.10. Todo subespacio conexo y abierto deRn es arcoconexo.

Demostracion. En [1], pagina 116.


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Figura 1.5: El peine y el piojo

Aunque un espacio no sea arcoconexo, veamos que podemos verlo comola union de conjuntos arcoconexos, aqui tenemos el concepto

Definicion 1.10.1. SeaXun espacio topologico y seanx, y X. Decimosquex y si existe una trayectoriaque una ax cony.

Proposicion 1.10.1. es una relacion de equivalencia enX.

Demostracion. Probaremos que es reflexiva, simetrica y transitiva.

Reflexividad. Sea x y, esto es, existe una trayectoria :I X talque (0) =x y (1) =y . Sea :IX definida por (t) =(1 t).Tenemos que es continua, (0) =y y(1) =x por lo que y x.

Simetra. Seax Xy:IXdefinida por(t) =x para todot I,obtenemos que es continua y (0) =(1) =x por lo tanto x x.

Transitividad. Sea x y y y z, esto es, existen , : I X talesque(0) =x, (1) =y, (0) =y y (1) =z, definimos :IXpor

(t) = (2t) 0t 1/2]

(2t 1) 1/2 t 1entonceses continua, (0) =xy(1) =z. Por lo tanto xz.

Las clases de equivalencia de esta relacion reciben el nombre de compo-nentes arcoconexas de X. Estas seran importantes en el proximo captulo


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1.2. TOPOLOGICOS 27

pues lo que pase en terminos de homologa en un espacio Xestara deter-

minado por lo que pase en las componentes arcoconexas de X, cosa queprecisaremos en el captulo 2.


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Captulo 2

Geometra Afn y Homologa

singular

2.1. Geometra Afn

2.1.1. Espacio Afn

A lo largo de la tesis estaremos usando conceptos de geometra afin, porlo que en este momento vamos a definirlos.

Estos pueden darse en lo abstracto, mas precisamente usando acciones

de grupos. En contexto de las acciones de grupo se define un espacio afn dedimension n como un conjunto Mdonde el grupo aditivo de Rn actua librey transitivamente. Sin embargo, definiremos espacio afn de una manera quepodamos verlo como un subconjunto de Rn, esto para trabajar en un terrenomas familiar y no meternos de lleno en otra terminolga. Las propiedades deespacio afn con acciones de grupo las podemos encontrar en [4], pagina 36.

Definicion 2.0.2. Sea M Rm, diremos que M es un espacio afn, sidadosx, y Mla recta que pasa porx yy esta contenida enM, esto es,

tx+ (1 t)y M Para cadat R

Ejemplo 2.1. SeaMun subespacio vectorial deRm entoncesM es afin.

Definicion 2.0.3. SeaM Rm, decimos queM es un conjunto convexosi dadosx, y Mel segmento que unex cony esta contenido enM, esto es,

tx+ (1 t)y M t[0, 1]

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30 CAPITULO 2. GEOMETRIA AFIN Y HOMOLOGIA SINGULAR

Figura 2.1: Convexidad

Podemos ver de la definicion que todo espacio afn es convexo, mas nonecesariamente todo convexo es afn. Es facil ver que la interseccion de espa-cios afines (o convexos) es un espacio afn ( convexa) respectivamente.

En nuestras definiciones de espacio afn y conjunto convexo dimos lacondicion para dos puntos, veamos que en general esto se vale para cualquiernumero de puntos.

Teorema 2.1. Sea M un espacio afn y p0, p1, . . . pr M, ademas sean

a0, a1, . . . ar R tales quer

i=0 ai= 1. Entoncesr

i=0 aipi MAdemas, el resultado es cierto para conjuntos convexos con la hpotesisadicionalai 0 para cadai con0 i r

Demostracion. Por induccion sobre el numero de sumandos.veamos el caso afnSea r= 1 por definicion a0p0+ a1p1 MSupongamos que se vale para r sumandos, sean,p0, p1, . . . , pr M y

a0, a1, . . . ar R conr

i=0

ai = 1, sea ak distinta de 1, de aqui=k

ai = 1 ak,

por lo que

i=kai

1ak= 1, por hipotesis de induccion tenemos

i=kai

1akpi M

como ak+ (1 ak) = 1 tenemos (1 ak)

i=k

ai1ak

aipi

+ akpkM pero

(1 ak)

i=k

ai1ak

aipi

+akpk =

ri=0

aipi que es lo que queriamos de-

mostrar.


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2.1. GEOMETRIA AFIN 31

Para el caso convexo, si algunak = 1 entonces todos los demas son iguales

a 0 y aipi = pkMpor hipotesis, supongamos queak= 1 para algunk yde esta forma 1 ak >0 y podemos hacer lo mismo que en el caso afn.

Las expresiones

aipi seran llamadas combinaciones lineales afines ycombinaciones lineales convexas, respectivamente, o simplemente combina-ciones afines y combinaciones convexas.

Sea A un subconjunto de M, definimos [A] como la interseccion de todoslos conjuntos convexos que contienen a A. Podemos ver del teorema 2.1 que[A] es el conjunto de combinaciones convexas de elementos de A.

Al conjunto [A] le llamamos la envolvente convexa de A. Cuando losescalares no necesariamente son positivos el conjunto es llamado el conjuntoafn generado por A pues en este caso coincide con la interseccion de todoslos conjuntos afines que contienen a A.

Dado A afn, o convexo, con p A buscamos representarlo adecuada-mente con un vector de coordenadas, y que esta representacion sea unicaveamos lo que necesitariamos para esto.

2.1.2. Independencia Afn

Definicion 2.1.1. SeaMun conjunto afn conp0, p1, . . . , pr M, decimosquep0, p1, . . . pr son afinmente independientes si los vectoresp1 p0,p2p0, . . . , prp0 son linealmente independientes.

De la definicion tenemos que un conjunto afn tiene a lo masm +1 puntosafinmente independientes, sobre un espaciomdimensional. veamos ahora queesta condicion es lo que necesitamos para la unicidad en las coordenadas.

Teorema 2.2. SeaM espacio afn, con{p0, p1, . . . , pr} M, los siguientesson equivalentes

1. p0, p1, . . . , pr son afnmente independientes.

2. Cuando s0, s1, . . . , sr satisfacen la condicionr

i=0

sipi = 0 conr

i=0

si = 0,

entoncessi = 0 con0 i r

3. six esta en el conjunto afn generado porp0, p1, . . . , pr, entoncesx seexpresa de manera unica como combinacion afn dep0, p1, . . . , pr


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Demostracion. (1) (2)

Sean s0, s1, . . . , sr conr

i=0sipi= 0 y

ri=0

si= 0, de aqu tenemos que

0 =r

i=0

sipi

=r

i=0

sipi 0p0

=r

i=0sipi

r

i=0si

po

=r

i=1

si(pi p0)

Pero (pi p0)ri=1 son linealmente independientes. Entonces si = 0 paratoda i

(2) (3)

Sea x=r

i=0aipi=

r

i=0bipi, con

r

i=0ai = 1,

r

i=0bi= 1, de aqu

ri=0

(ai bi) = 1 1 = 0

entoncesx x= 0 =r

i=0

(ai bi)pi, de (2) tenemos ai bi= 0 para todai

entoncesai= bi(3) (1)

Basta ver que si p0, p1, . . . , pr son afinmente dependientes entonces dadauna representacion podemos contruir otra distinta.

Seanp1p0, p2p0, . . . prp0vectores linealmente dependientes, entonces

existen1, 2, . . . , rno todos 0, digamos,ak= 0, tales quer

i=1

i(pip0) = 0

entonces

0 =1p1+ 2p2+ + rpr (1+ 2+ + r)p0


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Sea x=r

i=0 aipi entoncesx= x + 0 =x =

ri=0

aipi +r

i=1

i(pi p0) = (a0 (r

i=1

i))p0 +r

i=1

(ai + i)pi

comok es distinto de 0, entonces x tiene dos representaciones distintas.

Con esto vemos que una condicion necesaria y suficiente para que lascoordenadas sean unicas, es que los puntos sean afinmente independientes.

Definicion 2.2.1. Sean p0, p1, . . . , pr puntos afinmente independientes, enun espacio afnE, El conjunto de todas las combinaciones afines es llamadoel espacio generado porp0, p1, . . . pr, y es denotado porspan(p0, p1, . . . , pr).

De la teorema 2.2 vemos que cada p span(p0, p1, . . . , pr) tiene una ex-presion unica

p= a0p0+ a1p1+ + arpr (2.1)

Tal quer

i=0

ai = 1.

El vector de coordenadas (a0, a1, . . . , ar) es llamado el vector de coorde-

nadas baricentricas de pcon respecto a {p0, p1, . . . pr}.Estas coordenadas son arbitrarias salvo por la condicionr

i=0

ai = 1. a0, a1, . . . ar en la ecuacion 2.1 son llamadas las coordenadas bar-

icentricas de pcon respecto a {p0, p1, . . . pr}.

Definicion 2.2.2. SeaMun espacio afn y{p0, p1, . . . pr}puntos afnmenteindependientes enM. El puntop Mde coordenadas baricentricas( 1

r+1, 1r+1

, . . . , 1r+1

)es llamado el baricentro del conjunto {p0, p1, . . . pr}.

Para r = 1 el baricentro de {p0, p1} es el punto medio del segmento

que une p0 con p1, para r = 2 es el punto donde se cruzan las medianas eltriangulo con vertices {p0, p1, p2}y as extensiones a otras dimensiones.

Un caso muy importante sera precisamente [p0, p1, . . . , pr]. Este es el sub-conjunto con coordenadas baricentricas positivas de span{p0, . . . pr}. Esteconjunto es convexo por el teorema 2.1, por lo que recibira un nombre espe-cial.


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Definicion 2.2.3. Dadosp0, p1, . . . , pr puntos afinmente independientes, el

subconjunto despan(p0, p1, . . . , pr) de todos los puntos con coordenadas bar-icentricas positivas es llamado simplejo geometrico r-dimensional generadoporp0, p1, . . . , pr.

En ocaciones diremos simplemente r-simplejo geometrico. Un 0-simplejoresulta ser un punto, un 1 simplejo resulta ser un segmento, un 2-simplejo re-sulta ser un triangulo, un 3-simplejo resulta ser un tetraedro y as extensionesa otras dimensiones, ver figura 2.2.

Figura 2.2: Simplejos Geometricos

2.1.3. Transformaciones afines

SeanE, E espacios afines yf :EE. Buscamos definir las propiedadesque debe de cumplir fpara conservar la estructura afn de f(E). El conceptoes el siguiente.

Definicion 2.2.4. DadosE, E espacios afines, f :EE, decimos quefes una transformacion afn, si dadosp, q E, yt R, tenemos que

f(tp + (1 t)q) =tf(p) + (1 t)f(q)

para todo t R

Si f(p)=f(q) , una transformacion afn manda la recta que pasa por pyqen la recta que pasa por f(p) y f(q).


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Teorema 2.3. Seanf :EE una transformacion afn, r N

p0, p1, p2, . . . , pr E ya0, a1, . . . , ar R tales quer

i=0ai= 1, entonces

f

ri=0

aipi

=

ri=0

aif(pi)

Demostracion. Por induccion sobre r. Sea r = 1, p0, p1 E y a0, a1 Rtales que a0+ a1= 1, tenemos que a1 = 1 a0, por lo tanto,

f(a0p0+a1p1) =f(a0p0+(1a0)p1) =a0f(p0)+(1a0)f(p0) =a0f(p0)+a1f(p1)

.

Supongamos que es valido para cada natural menor que r con r >1. Seana0, a1, . . . , ar R tales que

ai = 1. Alguno de los {ai}

ri=0 es distinto de 1,

pues si todos fueran iguales a 1, tendriamos que

ai =r >1 lo cual no esposible. Supongamos que ak = 1, entonces

i=k

ai= 1 ak, de aqu quei=k

ai1ak

= 1.

Por hipotesis de induccion tenemos que

f

i=k

ai1 ak

pi

=

i=k

ai1 ak

f(pi)

Ademas, ak+ (1 ak)=1, de lo cual obtenemos lo siguiente

f

ri=0

aipi

= f

akpk+ (1 ak)

i=k

(fracai1 ak)pi

= (1 ak)f

i=k

ai

1 ak

pi

+ akf(pk)

= (1 ak)

i=k

ai

1 ak

f(pi)

+ akf(pk)

= i=k

aif(pk) + akf(pk)

=r

i=0

aif(pi)


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Con el teorema 2.3 vemos que una transformacion afn uno a uno manda

rectas en rectas, planos en planos, etc; conservando sus coordenadas bar-icentricas. Si la transformacion afn no es uno a uno no podemos aseguraresto, en el sentido de que un plano se puede deformar a una recta o inclusoa un punto. Por por ejemplo si

f(p) = 0 para cada p E

La imagen de un espacio afn es un espacio afn, pues la condicion sobrela preimagen de dos puntos y el hecho de que frespeta estos coeficientes essuficiente para esto.

Sea f : Rn Rn una transformacion lineal y E, E Rn espacios afines,

si fijamos un punto O EyO E (O niO son necesariamente el origen)podemos construir una transformacion afnfa partir de ftal quef(O) =O .As mismo, dada una transformacion afnfpodemos construir una transfor-macion lineal que corresponda a f. La forma de construirla esta dada en elsiguiente teorema.

Teorema 2.4. Seaf : Rm Rm una transformacion lineal, y seanE, E Rm espacios afines, entonces tenemos que la funcion f : E E

definida porf(p) =O + f(p O)

es afn.De manera recproca, para cada transformacion afnf :E E tal que

f(O) =O , tenemos quef esta determinada por la ecuacion

f(p O) =f(p) f(O)

Demostracion. Dada funa transformacion lineal, veamos quefes una trans-formacion afn.

f(tp + (1 t)q)

= O + f(tp+ (1 t)q O)= O + tf(p) + (1 t)f(q) f(O)

= tO + (1 t)O + tf(p) + (1 t)f(q) tf(O) (1 t)f(O)

= t(O + f(p) f(O)) + (1 t)(O + f(q) f(O))

= t(O + f(p O)) + (1 t)(O + f(q O))


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Por lo que f :E E es afn.

Paraf :EE

transformacion afn, demostraremos ahora que festa de-terminada por f(p O) =f(p) f(O).

veamos que fdefinida de esta manera es lineal.Sean

S = {p O: p E}

S = {p O: p E}

Veamos que S, S son subespacios vectoriales de Rn

Para p1, p2 E tenemos p1+ p2 O Epues 1 + 1 1 = 1, de estodeducimos que

(p1+p2 O) O S.Parar Rtenemos rp + O rO Epues r+ 1 r= 1. De esta forma

(rp + O rO) O= r(p O) S

analogamente paraS.

f :S S

Seanp1O, p2O Sy r R tenemosp1, p2 Epor lo quep1+p2O E.Ahora

f((p1 O) + (p2 O)) = f(p1 O+p2) f(O)

= f(p1) f(O) + f(p2) f(O)

= f(p1 O) + f(p2 O)

f(r(p O)) = f(rp + (1 r)O) f(O)

= rf(p) + (1 r)f(O) f(O)

= r(f(p) f(O))

= rf(p O)

Solo falta ver que fproviene de f.Sea g: EE dada por

g(p) =O + f(p O)


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Queremos ver que f=g, de la definicion de f tenemos

g(p) =O + (f(p) f(O))

como f(O) =O tenemos que f(p) =g(p) para todo p E.

De esta forma un transformacion afn es una transformacion lineal seguidade una traslacion.

Sea p0, p1, . . . pn E puntos afinmente independientes que generan E(notese que E Rn, por lo que {p1 p0, p2 p0, . . . , pn p0} es una basepara Rn como espacio vectorial) una transformacion afn esta unicamentedeterminado por el efecto en estos puntos, pues por linealidad, si p E,

entonces existen escalares a0, . . . , an, con ai= 1 yf(p) =f

ni=0

aipi

ni=0

aif(pi)

Recprocamente si tenemosq0, q1, . . . , q n E entonces existe un unico trans-formacion afn ftal que f(pi) =qi para toda i.

2.1.4. Simplejos Singulares

Sea R

el producto cartesiano de R sobre si mismo sobre los naturales,esto es, el espacio de sucesiones reales. Este resulta ser un espacio vectorial,con las operaciones componente a componente, y un espacio topologico conla topologa producto; en este espacio consideremos los vectores

e0 = (0, 0, 0, . . . , 0, . . . )

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, . . . )

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, . . . )...

Mas en especfico, el conjunto {e0, e1, . . . ek, . . . } esta definido de tal formaque ek es la sucesion ek = (nk)

n=1 donde nk es la delta de Kronecker, esto

es

nk =

1 n= k0 n=k


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En R Podemos identificar Rn como el subespacio que tiene todas sus

componentes despues de la n-esima iguales a 0, es decir, el subespaciogenerado por{ei}

ni=1.

Definicion 2.4.1. Sea q 0. Llamaremos q-simplejo geometrico es-tandaralq-simplejo geometrico generado por{e0, e1, . . . , eq}. Lo denotare-mos porq.

Figura 2.3: Simplejo estandar

Consideramos R para tener a los simplejos de todos los ordenes comosubconjuntos de un mismo espacio.

Definicion 2.4.2. SeaEun espacio afn yp0, p1, . . . pq E. (p0, p1, . . . , pq)denotara la restriccion aq de la unica transformacion afnf : R

q E talquef(e0) = p0, f(e1) = p1, . . . , f (eq) = pq De aqu que (e0, e1, . . . , eq) es la

funcion identidad deq enq, que denotaremos de ahora en adelante comoq.

Definicion 2.4.3. Dado un espacio topologico X, unq-simplejo singular enX es una funcion continua: q X

Con esto un 0-simplejo lo podemos asociar a un punto, un 1-simplejo a unarco, un 2-simplejo a una deformacion de un triangulo, y as sucesivamenteextensiones a otras dimensiones.

Notese que estamos definiendo un simplejo singular como una funcion yno como la imagen de puntos que toma la funci on. Ademas, la imagen de

puntos que toma la funcion no tiene porque verse como un simplejo, ni tieneporque ser homeomorfo a q, ya que puede deformarse, incluso a un punto,de ah el nombre de simplejo singular.

Ejemplo 2.2. Sea E un espacio afn y p0, p1, . . . pq E, tenemos que latransformacion afn (p0, p1, . . . pq) resulta ser un q-simplejo singular en unespacio afnE.


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Definicion 2.4.4. SeaXun espacio topologico fijo. Fq(X) sera el conjunto

deq-simplejos singulares deX, esto es

Fq(X) ={: q X : es continua}

Notemos que para cada espacio topologico X, Fq(X) es no vaco puescontiene al menos a todas las funciones constantes de q en X.

Queremos construir un espacio de q-simplejos, que tenga propiedades al-gebraicas interesantes, pero a simple vista no tenemos una operaci on naturalentre simplejos, por lo que definimos esta operacion formalmente, asi comoun producto por elementos de un anillo, esto lo haremos como vimos en el

captulo 1, ademas lo haremos con escalares sobre un anillo arbitrario, puesla teora no se hace mas ni menos complicada en base a esto; para propositosde aplicacion destacan los casos R= Z,R o C.

Definicion 2.4.5. SeaXun espacio topologico yR un anillo conmutativocon 1, Definimos Sq(X; R) como el modulo libre generado por el conjuntoFq(X), esto es, Sq(X; R) es el conjunto de sumas formales finitas de pro-ductos por escalares en R, deq-simplejos singulares.

Hemos la convencion de que denotar Sq(X, R) simplemente como Sq(X)

si trabajamos con un anillo fijo R.Un elemento c Sq se ve de la forma

c= v11+ v22+ + vkk

donde 1, . . . , k son q-simplejos singulares y v1, . . . , vk son elementos de R;esto lo denotaremos por comodidad como

c=

v

Los elementos de Sq(X) seran llamados q-cadenas singulares de X.

Por como lo hemos definido, el espacio Sq(X) es mu grande, pues el con-junto de funciones continuas de q aX, por lo general, es muy grande, paraempezar tenemos a todas las funciones constantes, por lo que construiremosun espacio a partir de Sq(X) que sea mas facil de estudiar.


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2.1.5. Operador frontera

Para q >0 definimos Fiq : q1 q, para 0 i q, como la transfor-macion afn

(e0, . . . ,ei, . . . eq)dondeei denota que omitimos ei, en otras palabras,

Fiq(ej) =

ej j < iej+1 j i

Podemos ver que Fiq mapea q1 continua y afnmente sobre la cara deq opuesta al vertice ei, esto lo ilustramos para q= 2 en la figura ??.

Figura 2.4: Caras de 2

Definicion 2.4.6. Para unq-simplejo singular en un espacioX, definimosla i-esima cara de como el(q 1)-simplejo Fiq , y la denotaremos por

(i).

Ejemplo 2.3. De la definicion deFiq tenemos que cuando =q, Fiq es la

i-esima cara deq, esto es, (i)q =Fi

q

.

Ejemplo 2.4. Cuando = (p0, p1, . . . , pq)conp0, . . . , pqX, conXespacioafn, entonces

(i) = (p0, . . . ,pi, . . . , pq)Ahora definiremos la frontera de un q-simplejo


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Figura 2.5: Ejemplos de Fronteras

Definicion 2.4.7. Sea q > 0, un q-simplejo singular. La frontera de ,denotada por(), es la(q 1)-cadena

() =

qi=0

(1)i(i)

Siq= 0 definimos la frontera de un0-simplejo como 0.

Como trabajaremos con distintas q, en ocasiones denotaremos a comoqpara indicar queqmanda unq-simplejo a su frontera. Notese que tenemos

definida q para toda q 0.Podemos ver en la figura 2.5 que (2) es la suma de las aristas del

triangulo con signos escogidos para que empiece en e0 y recorra los verticesen sentido creciente hasta volver ae0, sin embargo,(2) no es un arco, sinouna suma formal de 1-simplejos, tenemos que tener cuidado, pues esta noes la frontera topologica, sino una funcion de Fq en Sq1(X), siendo as denaturaleza distinta.

Ejemplo 2.5. Cuando= (p0, p1, . . . , pq), conp0, p1, . . . , pq E, Eespacioafn, tenemos que

() =

qi=0

(1)i(p0, . . . ,pi, . . . , pq)extendemos , a un homomorfismo de modulos Sq(X) Sq1(X) por

linealidad, esto es

(

v) =

v()


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para q = 0 tenemos de nuevo 0(c) = 0 para cada 0-cadena c, pues

tendremos una suma finita de 0s, esto es, 0 es la funcion constante 0 deS0(X) al modulo trivial{0}, o dicho de otra forma, estamos definiendoS1(X) ={0}.

Antes de continuar veamos un resultado tecnico.

Lema 2.4.1. Seanq , i, j enteros tales que0 j < i q, entonces

Fiq Fjq1 = F

jq F

i1q1 (2.2)

Donde

Fjq1, F

i1q1 : q2 q1

Fiq , Fjq : q1 q

Demostracion.

Fiq Fjq1: q2 q

Fjq Fi1q1 : q2 q

Veamoslo por casos

Caso 1 Sea k < j < i < q, de esto se sigue que

FiqFjq1(ek) =F

iq(ek) =ek,

como k < ji 1 se tiene que

Fjq Fi1q1(ek) =F

jq (ek) =ek.

Caso 2 Sea k = j < i 1 luego

FiqFjq1(ek) =F

iq(ek+1) =ek+1,

ya que k+ 1 < i.

Por otro ladoFjq F

i1q1(ek) =F

jq (ek) =ek+1,

ya que j =k


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Caso 3 Sea k= j =i 1 luego

FiqFjq1(ek) =F

iq(ek+1) =ek+2.

Por otro ladoFjq F

i1q1(ek) =F

jq (ek+1) =ek+2,

pues j+ 1 =i

Caso 4 Sea j < k= i 1 luego

FiqFjq1(ek) =F

iq(ek+1) =ek+2.

Por otro ladoFjq F

i1q1(ek) =F

jq (ek+1) =ek+2.

Caso 5 Sea j < i k luego

FiqFjq1(ek) =F

iq(ek+1) =ek+2.

Por otro ladoFjq F

i1q1(ek) =F

jq (ek+1) =ek+2.

con lo cual cubrimos todos los casos y por lo tanto

Fiq Fjq1(ek) =F

jq F

i1q1(ek),

para k= 0, 1, . . . , q 1.Por linealidad obtenemos la igualdad para cada p q2

Para ahorrar notacion hacemos la siguiente convencion: denotaremos lacomposicion de dos funciones f y g como f g, a menos que esto se preste aconfusion, en cuyo caso la denotaremos como habitualmente lo hacemos, estoes,f g.

Con esto ya podemos probar el siguiente teorema que resultara indispen-sable para definir la homologa.

Teorema 2.5. SeaXespacio topologico, c Sq(X), entonces

(c) = 0 (2.3)


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Demostracion. Es suficiente verificar que q1q() = 0 para un q-simplejo

singular, de nuevo, por linealidad se extendera la igualdad a todo elementode Sq(X).

() =

qi=0

(1)i(i)

=

qi=0

(1)i

(i)

=

qi=0

(1)i q1j=0

(1)j ( Fiq) Fjq1=

qi=0

q1j=0

(1)i+j

( Fiq) Fjq1

=

qi=0

q1j=0

(1)i+j

(Fiq Fjq1)

Ahora, podemos separar esta suma en dos partes, sumar primero los terminosdonde j < i, y luego los terminos donde i j , esto para cada sumando con0 i q, 0 j q 1. De esta forma tendriamos

() =

qj


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Por el lema 2.4.1 tenemos

() =q

j


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2.1.6. Ciclos y fronteras

Veamos lo que tenemos hasta ahora, dado un espacio topologico X, paracada q0 hemos construido un modulo libre Sq(X). Ademas, hemos cons-truido un homomorfismo de modulos q : Sq(X) Sq1(X). De maneraque = 0. Esto podemos verlo de la siguiente forma, tenemos el siguientediagrama

. . . Sq+1(X)

Sq(X)

Sq1(X)

. . .

S0(X)

0

con la condicion q1q = 0 para cada q >0. Esto implica que

Im q+1 ker q

Definicion 2.5.1. Sea c Sq(X), diremos que c es un q-ciclo si c = 0.Diremos que c es una q-frontera si existed Sq+1(X) tal que d = c, doscadenas cuya diferencia es una frontera seran llamadas homologas.

Al conjunto de q-ciclos lo denotaremos como Zq(X; R) mientras que alconjunto de fronteras lo denotaremos porBq(X; R).

Denotaremos Zq(X; R) y Bq(X; R) simplemente por Zq(X) y Bq(X) sitrabajamos con un anillo R fijo.

Es claro que Bq(X) y Zq(X) son submodulos de Sq(X) pues

Zq(X) = ker q

Bq(X) = Im q+1

Ademas, por la condicion = 0 tenemos que el conjunto de q-fronteras essubmodulo del conjunto de q-ciclos, esto es, Bq(X) Zq(X).

El termino ciclo esta inspirado en el casoq= 1, para R= Z, una cadena esun cclo si representa una curva, o un conjunto de curvas que eventualmentese cierran.

Decimos representan porque no tiene que darse la igualdad, s olo el hechode que sean homologas a dichas curvas, pasa algo analogo conq= 2 pero consuperficies cerradas, para q 3 no podemos verlo dentro de R3.

El termino frontera esta inspirado en el hecho de que un simplejo esfrontera si encierra una region dentro de el, para q= 1 la figura 2.6

muestra un cclo que no es frontera para X=S1 S1, el toro.Para q = 2 podemos pensar en fronteras como superficies encerrando

regiones solidas, pero de nuevo no podemos ver que pasa para q3 dentrode R3.


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Figura 2.6:i yj representan cclos que no son fronteras

Esto de que no podamos verlo no es muy preciso, pues usando cocientespor ejemplo, podemos trabajar con estos objetos pero en general no tenemos

una vision 3-dimensional de Hq(X) para Xarbitrario y q 3.

2.1.7. Homologa

Definicion 2.5.2 (Homologa). SeaX un espacio topologico, definimos elq-esimo m odulo de homologa de X sobre R como

Zq(X; R)/Bq(X; R)

Lo denotaremosHq(X; R). llamaremos homologa del espacio Xa la sucesion{Hq(X; R)}q=0.

Seguimos con la convencion de denotar Hq(X; R) por Hq(X) para unanillo fijo R.

Cuando tenemos un espacio topologico X, diremos que calculamos lahomologa de Xsi hemos identificado cada moduloHq(X) con algun moduloconocido.

Ejemplo 2.6. Sea(X,T) un espacio topologico de un punto, esto es, X={x} yT ={, {x}}.

Calcularemos la homologa de{x}.

Dado q existe un unico q-simplejo singular q, la funcion constante, esdecir,

q : q {x} q(p) =x p q

de aqu tenemos que

Sq({x}) ={rq :r R}=R Como R-Modulo.


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No solo eso, sino que

(q) =

qi=0

(1)iq Fiq

pero q Fiq es un(q 1)-simplejo, por lo tanto q F

iq =q1 y la frontera

deq solo dependera de la paridad deq, esto es,

(q) =

q1 qpar >0

0 q impar0 q= 0

con esto, cuando q >0 tenemos

Zq(x) =Bq(x) = 0 qpar

Sq(x) q impar

ya con esto Hq(x) = 0 q >0.Ahora,Z0({x}) =S0({x})=R, mientras queB0({x})=0 pues(r1) =

r(0 0) = 0, por lo tanto, H0(x) = R/0= R y el isomorfismo esta dadoporr0 r

Cuando probemos el teorema de invarianza homotopica en el proximocaptulo, estableceremos esta como la homologa de muchos espacios conoci-

dos, en particular, Rn

.

2.1.8. Homologa y Componentes Arcoconexas

En el captulo 1 definimos las componentes arcoconexas de un espaciotopologicoXcomo las clases de equivalencia de la relacionxy si existe unatrayectoria que unex con y . Si conocemos la homologa en cada componentede X podemos calcular la homologa de todo el espacio pero antes de esoveamos el siguiente resultado.

Lema 2.5.1. SeaXun espacio topologico arcoconexo yc S0(X) conc =i

aixi. Tenemos quec B0(X) si y solo sii

ai= 0

Demostracion. ()Sea c= d, d S1(X), sea

d= v1d1+ v2d2+ + vndn


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condi 1-simplejos, entoncesdies un arco entre dos puntos de X, digamos de

x2i1 a x2i ; con esto (di) =x2i x2i1de esta forma

(d) =c = (v1x1+v1x2)+(v2x3+v2x4)+(v3x5+v3x6)+ +(vnx2n1+vnx2n)

los puntos xk no tienen porque ser distintos, pero eso no importa, la sumade los coeficientes de ces entonces

(v1+ v1) + (v2+ v2) + (v3+ v3) + + (vn+ vn) = 0

()Sea c S0(X), con c= v1x1+ + vnxn, con

ni=1

vi = 0

, entonces 0 = 0x0= (n

i=1 vi)x0, por lo que

c= c 0 =

vixi

vix0=

vixi

Ahora veamos como se comporta la homologa sobre las componentes

arcoconexas de X.Teorema 2.6. Sean{Xi}iI la familia de componentes arcoconexas de X.Existe un isomorfismo canonico

Hq(X)=iI

Hq(Xi) para cadaq

Demostracion. Sea un q-simplejo. Por definicion tenemos : q X.Ahora, q es arcoconexo, pues en particular es convexo. Como la imagencontinua de arcoconexo es arcoconexo, tenemos que manda q en una delas componentes deX, entoncesresulta ser unq-simplejo singular en alguna

de las componentes arcoconexas de X.Veamos primero que Sq(X)=

i

Sq(Xi).

Por linealidad, se induce un homomorfismo

f :Sq(X)i

Sq(Xi)


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Donde mandamos cada a operar en su clase, esto es, si c Sq(X),

ordenamos los simplejos de la descomposicion de c por clases de tal formaque

c=i

ci,

Donde los simplejos de la descomposicion de ci operan sobre la compo-nenteXi, para cada irespectivamente.

Probaremos quefes inyectiva. Sea f(c) = 0, entonces c opera de maneranula sobre cada componente, es decir, c=

i

ci donde ci es un q-simplejo en

Xi y ademas ci= 0.de esta forma, c= i 0 = 0, con esto, fes inyectiva.Probaremos ahora que f es suprayectiva. Sea c

i

Sq(Xi), entonces

c=iI

ci con ci Sq(Xi), todas iguales a 0 salvo un numero finito, entonces

c =f(

ci), por lo tanto fes sobreyectiva. Notese que la primera suma esla de la suma directa y la segunda la de la definici on de Sq(X).

Con esto f es un isomorfismo de modulos y en efecto tenemos Sq(X)=i

Sq(Xi).

queremos ver que Hq(X) =

iHq(Xi) por lo que definiremos un homo-

morfismo : Hq(X) i Hq(Xi)Si : q Xk es un q-simplejo en Xque opera sobre la componente

Xk, con k I, Fiq : q1 Xk, es decir, cada una de las caras de opera sobre la misma componente, por lo que la frontera opera componentea componente.

Si Bq+ c Hq(X), entonces c se descompone como c=iI

ci y podemos

definir

Bq(X) +

iI

ci

=

iI

(Bq(Xi) + ci)

Veamos que esta bien definida, sean a+ Bq(X) = b+ Bq(X) entoncesa b= dcon d Sq+1(X), ahora descomponemosa,bycen las cadenas queoperan en cada componente. Lo que tenemos es

a=i

ai, b=i

bi, d=i

di


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,a b= d. Como f es inyectiva tenemos que

ai bi=di para cadai

. De esta forma tenemos que

ai+ Bq(Xi) =bi+ Bq(Xi)

Pues difieren por una frontera en Xi. con esto esta bien definida.Probaremos que es inyectiva. Sea c + Bq(X)ker , queremos ver que

c= 0.Como (c+Bq(X)) = 0 tenemos ci+Bq(Xi) = 0. Por lo tanto ci =di

con di Sq+1(Xi), todos iguales a 0 salvo un numero finito, por lo qued= di Sq+1(X) yc = dCon esto tenemos que c + Bq =Bq(la clase del0) y por lo tanto es inyectiva.

Probaremos que es suprayectiva. Si tenemos p=

(ci+ Bq(Xi)), pi

Hq(Xi), de aquc=

ci Zq(X) y(c + Bq(X)) =p

con esto es suprayectiva.De esta manera, hemos probado que es biyectiva y por lo tanto es un

isomorfismo.

Corolario 2.6.1. H0(X) es unR-modulo libre con tantos generadores comocomponentes arcoconexas deX.

Demostracion. Como H0(X) = iIH0(Xi) es suficiente demostrar que si Xes arcoconexo, entonces H0(X) =R. Sea x0 Xfijo; dado x X sea x unarco de x0 a x, entonces (x) =x x0.

Por definicion, Z0(X) = S0(X). Dada una 0-cadena c, con c =x

vxx

donde x(e0) =x (esto porque los 0-simplejos son funciones constantes).Definimos la funcion # :S0(X) R como

#(

vxx) =

vx

es decir, la suma de los coeficientes.Por el Lema 2.5.1,# es un homomorfismo de modulos con nucleoB0(X).

Este es suprayectivo pues #(rx) =r.Ahora,Z0(X) =S0(X) pues 0c= 0 para cada c S0(X).Por el primer teorema de isomorfismo tenemos que

H0(X)=R


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Podemos usar el morfismo# para definir otro tipo de homologa, llamada

homologa reducida, pero antes de eso veamos un ejemplo.Usando este teorema podemos ver cual es la homologa de un espacio

topologico totalmente disconexo.

Ejemplo 2.7. Sea X un espacio totalmente disconexo , entonces la ho-mologa deX es

Hq(X) =

0 siq >0

xX

R siq= 0

Basta ver que las componentes arcoconexas deX son los puntos.Sabemos por definicion todo que todo subconjunto conexo de X tiene a

lo mas un punto. Como cada componente arcoconexa de X es arcoconexa,en particular es conexa. De esta forma, las componentes arcoconexas son losconjuntos de un solo punto. Por el teorema 2.6 tenemos lo que buscamos.

Proposicion 2.6.1. SeaX un espacio topologico ycS1(X), entonces

#1c= 0

Demostracion. Por el lema 2.5.1 tenemos que #(1c)) = 0

Definamos la homologa reducida, la homologa que hemos estudiado has-ta ahora sera llamada homologa completa.

Definicion 2.6.1. Para cadaq entero no negativo definimos#q como

#q =

q siq >0# siq= 0

Definimos la homologa relativa deX como

H#q (X) = ker #q / Im

#q+1

La denotamos como H#q (X).

Lo que buscamos es que la homologa de un espacio trivial, es decir, unpunto, sea trivial. Esto no pasa con la homologa completa, pero veamos quesi con la reducida, mas aun tenemos lo siguiente.

Teorema 2.7. Sean {Xi}ri=1 las componentes arcoconexas de X, entoncesH#0 (X) es unR-modulo libre conr 1 generadores.


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Demostracion. Sean{xi}ri=1 representantes de las componentes, fijemos i0

1, 2, . . . , r .Sea S0(X), tenemos =

xX

axx, para que#= 0 tenemos

ax =

0.Se sigue de esto que =

xX

ax(x xi0).

Ahora, para cada x X existe ix {1, 2, . . . r} tal que x y xix estan enla misma clase.

Sea x un arco que empieza en x y termina en xix , por definicion de 1tenemos (x) = xix x por lo que x = xix x. De esta forma, x y xixson 0-cadenas homologas.

Como=

xX

ax(x xi0)

Tenemos que

=xX

ax(x xi0) =xX

ax(x xi0) =xX

ax(xix xi0)

reagrupando terminos, en cada uno de los factores (xi x0) tenemos

=

i=i0bi(xi x0)

Y como es arbitrario, tenemos que los r 1 elementos (xi x0) coni =i0,generan a H#0 (X).

Para ver que son independientes, supongamos quei=i0

bi(xi xi0) = 0

Donde no todos los bi iguales a 0. De esto se sigue que

i=i0 bi(xi xi0) =n

j=1 cjj =n

j=1 cjj =n

j=1 cj(zj yj), (2.5)donde j es un 1-simplejo que va de yj a zj.Ahora, como cada j actua en su componente arcoconexa, tenemos que

yj y zj estan en la misma componente, y de la ecuacion 2.5 tenemos queyj = zj =xi para alguna i, esto se debe a que los x

is son representantes de


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la relacion y por lo tanto no tenemos a dos de ellos en la misma clase. Por

lo tanto cj(zj yj) = 0 para cada j, luego todo el miembro derecho es nulo,y como S0 es libre, con 0-simplejos como generadores, tenemos que bi = 0para cada i de lo que obtenemos la independencia.

Corolario 2.7.1. La homologa reducida de un punto es trivial, esto es,

H#q ({x}) = 0 para todaq

.

2.1.9. Homomorfismo inducido

Ya obtuvimos a partir de un espacio topologicoX, una sucesion de modu-los{Hq(X)}q=0. Ahora queremos analizar lo que podemos hacer con dos es-pacios topologicos y su homologa cuando una funcion continua entre ellos.De esta forma tendremos las propiedades mas importantes de la homologa,que nos relacionan la topologa con el algebra.

Sean X, Y espacios topologicos, y f :XY una funcion continua; si es un q-simplejo en X, entonces podemos ver que f es un q-simplejo enY.

De esto podemos extender esta funcion, a un homomorfismo deR-modulos

Sq(f) :Sq(X) Sq(Y)

de tal forma que

Sq(f)

v

=

v(f )

Estas propiedades se deducen de la definicion

Proposicion 2.7.1. Sean X, Y , Z espacios topologicos , idX : X X lafuncion identidad en X y f : X Y, g : Y Z funciones continuas.

Tenemos que

Sq(idX) = idSq(X)

Sq(gf) = Sq(g)Sq(f) (2.6)

DondeidSq(X) es la funcion identidad enSq(X).


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Demostracion. Sq(id)() =id =

y por linealidad Sq(idX) =idSq(X)para la segunda parte, sea f :XY, y g:Y Z, entonces

Sq(gf)= (gf) = g (f ) = (Sq(g)) (f ) = (Sq(g) Sq(f)) ()

y de nuevo, por linealidad tenemos lo que queriamos

Otra propiedad importante es que el operador frontera conmuta conSq(f)en el siguiente sentido

Lema 2.7.1. SeanX, Y espacios topologicos, tenemos que el siguiente dia-grama es conmutativo

Sq(X)

Sq(f) Sq(Y)

Sq1(X)Sq1(f)

Sq1(Y)

DondeSq(f), Sq1(f) :Sq(X) Sq1(Y) Esto es,

Sq(f) =Sq1(f) (2.7)

Demostracion. Buscamos la igualdad de las funciones, esta se da si

Sq(f)(c) =Sq1(f)(c) para todo c Sq(X).

Probaremos la igualdad para un q-simplejo y obtendremos la igualdaden cualquier elemento de Sq(X) por linealidad.

(Sq(f)()) = (f )

=

qi=0

(1)i(f ) Fiq

=

qi=0

(1)if ( Fiq)

=

qi=0

(1)iSq1(f) Fiq= Sq1(f)

qi=0

(1)i Fiq

= Sq1(f)()


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La siguiente propiedad con respecto a los q-simplejos sera util mas ade-lante.

Proposicion 2.7.2. Sea unq-simplejo enX, entonces

Sq()(q) =

Demostracion. : q X, q : q q es la identidad, de aqu queq Sq(q).

Lo que tenemos que verificar es que q = lo cual es inmediato puesq es la identidad.

Sea zun q-ciclo en X. Denotamos la clase de homologa de zpor z, estoes, z= x+Bq(X). Podemos definir un homomorfismo Hq(X) Hq(Y) dela siguiente forma

Definicion 2.7.1. Sean X, Y espacios topologicos y f : X Y continua,definimosHq(f) :Hq(X) Hq(Y) como

Hq(f)(z) =Sq(f)(z)

el homomorfismo de modulos Hq(f) sera llamado el homomorfismo in-ducido por f

Teorema 2.8. SeanX, Y , Z espacios topologicos, idX la funcion identidadenX yf :XY, g: Y Zfunciones continuas, se cumple que

Hq(idX) = idHq(X) (2.8)

Hq(gf) = Hq(g) Hq(f) (2.9)

Demostracion. Hq(id)(z) =Sq(id)(z) = z

Sean f :XY, g:Y Ztenemos que

Hq(gf)(z) = Sq(gf)(z)

= Sq(g)Sq(f)(z)

= Hq(g)

Sq(f)(z)

= Hq(g) Hq(f)(z)


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Corolario 2.8.1. La homologa de un espacio es un invariante topologico,

esto es, si X, Y son espacios homeomorfos entonces Hq(X) y Hq(Y) sonR-modulos isomorfos

Demostracion. Sean X, Y homeomorfos, entonces existen funciones contin-uas f :XY, g: Y Xtales que

f g = idY

g f = idX

por lo tanto existen homomorfismos de modulos

Hq(f) :Hq(X) Hq(Y)

Hq(g) :Hq(Y) Hq(X)

Tales queHq(f)Hq(g) =idHq(Y), y ademasHq(g)Hq(f) =idHq(X) Porproposicion?? Hq(f) es un isomorfimo de modulos entreHq(X) yHq(Y)

Decimos que Hq es un funtor covariante de la categora de los espaciostopologicos a la categora de los R-modulos, en el sentido de que se cumpleel teorema 2.8. Tambien se dice que el homomorfismo inducido Hq(f) es

funtorial.Para ver definicion de categora y funtor ver Apendice.


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Captulo 3

Teorema de invarianza

homotopica

3.1. Homotopa

3.1.1. Homotopa de funciones

En esta seccion definiremos una relacion de equivalencia de funciones,que dara sentido formal a la idea intuitiva de que un homeomorfismo es unamanera de ir transformando el espacio como si se tratara de una bola de

goma.Intuitivamente queremos decir que dos funciones f, g :XY son equi-

valentes si podemos deformar continuamente f en g.

Definicion 3.0.1. Sean f, g : X Y funciones continuas. Diremos quef y g son homotopicas si existe una funcion continua F : XI Ytal queF(x, 0) = f(x) yF(x, 1) = g(x). La aplicacionF sera llamada unahomotopa entref yg. .Esto lo denotaremos porF :fg.

Notemos que para cada t [0, 1],F(x, t) es una aplicacion intermedia

entref(x) yg(x); de esta manera unahomotopa es una familia de funcionescontinuasft(x) = F(x, t) que unen fcong, as que tenemosf0=fyf1 = g.

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60 CAPITULO 3. TEOREMA DE INVARIANZA HOMOTOPICA

Figura 3.1: Aplicaciones homotopicas y Aplicaciones no homotopicas

En ocaciones queremos que a una homotopa cumpla con propiedadesadicionales. Un ejemplo d esto es el siguiente. Sea f : I Y esto es, f es

una curva, entonces fes homotopica a la funcion constanteg(x) =f(0) conla homotopa H :I IY,H(x, t) =f(1 t)x.

Para evitar estas situaciones definiremos el concepto de homotopa rela-tiva.

Definicion 3.0.2. Sea A (X) y f0, f1 : X Y. Diremos que f0 y f1sonhomotopicas relativas a A si existe una homotopaH :X IYtal queH(a, t) = f0(a) a A, t I. Lo cual denotaremos porf0 f1(relA) o f0 relAf1

De esta forma una homotopa relativa a A es una homotopa tal que cadavalor de t, deja fijo a cada elemento de Acon respecto a su valor en f0.

Ya con esto, siA = {0, 1}, en el ejemplo de la curva, tenemos que f(x) yano necesariamente es homotopica a una aplicacion constante, pues f(1) notiene que permanecer constante a lo largo de t, y en nuestro ejemplo anterioreste no era el caso.


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3.1. HOMOTOPIA 61

Figura 3.2: Homotopa Relativa a {0, 1}

El concepto de homotopa es un caso particular de el de homotopa rela-tiva pues si hacemos A= tenemos que una homotopa relativa aA resultaser una homotopa.

Ya tenemos definida nuestra relacion, ahora falta ver que esta es unarelacion de equivalencia.

Proposicion 3.0.1. La relacionrelA es una relacion de equivalencia en elconjunto de las funciones continuas deX aY.

Demostracion.

(reflexividad) SeaH :X IYdefinida porH(x, t) =f(x), entoncesH :frelAf

(simetra) SeaF :f0 relA f1, definimosG : XIY como G(x, t) =F(x, 1t).Tenemos que G: f1relAf0

(transitividad) Sean F, G : XI Y tales que F : f relA g y G : g relA h.Definimos

H(x, t) = F(x, 2t) 0 t 12

G(x, 2t 1) 12

t 1

con esto, H :frelA h


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3.1.2. Homotopa de espacios

Ahora definiremos la equivalencia homotopica de espacios, en base a laequivalencia homotopica de funciones.

Definicion 3.0.3. Sean X, Y dos espacios topologicos. Diremos que X eshomotopico a Y si existen funciones continuas f : X Y, g : Y Xtales que

f g id : Y Y

gfid : XX

Cada una de las funcionesf, g son llamadas equivalencias homotopicas.

Tambien diremos que X y Y tienen la misma homotopa o que X eshomotopicamente equivalente a Y siXes homotopico a Y.

De esta forma siXyY son homeomorfos, entonces son homotopicamenteequivalentes. Veamos que no ocurre el recproco.

Ejemplo 3.1. SeaX=Dn ={x Rn :||x|| 1}, yY = 0 Dn, donde0denota el vector cero enRn. Tenemos queX yYno son homeomorfos puesno tienen la misma cardinalidad por lo que no existen funciones biyectivas

entre ellos.Sea f : Dn {0} definida como f(x) = 0 y i : Y X denota la

inclusion, esto es,i(0) = 0, entoncesf i= idY, yif= 0.

Si hacemos

H(x, t) =tx+ (1 t)y

tenemosH :ifidX

Los espacios con la misma homotopa que un punto reciben un nombreespecial.

Definicion 3.0.4. Un espacio homotopico a un punto se llamara espaciocontractible.

Un hecho importante en el ejemplo 3.1 es que teniamos un subconjuntoA(en el ejemplo 3.1A= {0}) de nuestro espacioX(en el ejemplo 3.1X=Dn)y una de las funciones involucradas en la homotopa era la inclusion.


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3.1. HOMOTOPIA 63

Definicion 3.0.5. SeaA X, decimos queA es un retracto de deformacion

si existe una funcion continua r : X A tal que ir id : X X yri = id : A A donde i : A Xes la inclusion. Si ademas tenemos queirrelA id: XX diremos queA es un retracto de deformacion fuerte. afuncionr sera llamada una retraccion. Tambien diremos queA es un retractodeX

Tenemos que tener cuidado con esto porque este concepto puede tener otrosignificado, pero en nuestro caso no tendremos problema pues siempre quehablemos de un retracto este sera un retracto de deformacion o un retractode deformacion fuerte.

Ejemplo 3.2. SeaX = S

1

I el cilindro yA = S

1

{0}

= S

1

el crculoinferior, vistos como subconjuntos deR3, esto es,

X={(x,y,z) :x2 + y2 = 1, 0 z 1}

A= {(x,y,z) :x2 + y2 = 1, z= 0}

y hagamosr : XA, como r(x,y,z) = (x,y, 0), sabemos quei : A Xesta dada por i(x,y, 0) = (x,y, 0) por lo que ri = idA, ahora ir(x,y,z) =(x,y, 0) seaH((x,y,z), t) = (x,y, (1 t)z) es una homotopia relativa aA,deir aidX.

Intuitivamente una retraccion es una deformacion continua del espacio a

un subespacio, volviendo a la idea de ir torciendo un espacio hasta obtenerotro, volviendo a nuestra nocion intuitiva de homeomorfismo.

Una retraccion nos da un caso particular de homotopia de espacios, peromuy importante.

Un hecho importante es que estamos definiendo una nueva categora,esta es, la categora de los espacios homotopicos, hTop, donde los objetosson los espacios topologicos, los morfismos son las clases de homotopa defunciones continuas, esto es, [f] Hom(A, B) si f : A B es continua yg [f] g f; la composicion es la composicion usual.

En esta categora dos objetos son isomorfos si son espacios homotopicos, y

cuando estudiamos propiedades homotopicas, implicitamente lo que estamoshaciendo es estudiar esta categora. Para definicion de categora ver Apendice.

Lo que estamos haciendo es estudiar otro tipo de equivalencia entre espa-cios topologicos, esta es la equivalencia homotopica, y como espacios homeo-morfos son en particular homotopicos, nuestros invariantes homotopicos serantambien invariantes topologicos.


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3.2. El teorema de invarianza homotopica

Ahora mostraremos que los modulos de homologa son invariantes ho-motopicos, no solo invariantes topologicos, el teorema fuerte que queremosprobar es el siguiente.

Teorema 3.1. SeanX, Yespacios topologicos yf, g: XY funciones con-tinuas. Sif yg son homotopicas , entonces para cadaq, los homomorfismoinducidosHq(f) yHq(g) son iguales en elR-modulo Hq(X).

Este teorema quedara establecido al final del captulo despues de queveamos algunos resultados.

Definicion 3.1.1. Sea t Ifijo. Definimost :XX I como t(x) =(x, t) para cadax X

Por definicion tenemos que t :0 1.Para cada qqueremos construir un homomorfismo

Pq :Sq(X)Sq+1(X I)

tal que

q+1Pq+ Pq1q =Sq(1) Sq(0) (3.1)

Donde cada uno de los morfismos anteriores van de Sq(X) a Sq(X I).Por la ecuacion 3.1 diremos que Sq(0) y Sq(1) son homotopicos porcadenas.

El homomorfismoP sera llamado el operador prismay sera construidode tal forma satisfaga la siguiente propiedad funtorial:

Para cada funcion continua h: Y Xel diagrama

Sq(Y)

Sq(h)

P Sq+1(Y I)

Sq+1(hid)

Sq(X) P

Sq+1(X I)

(3.2)

es conmutativo.

Teorema 3.2. El diagrama 3.2 es conmutativo si y solo si para cada q-simplejo singular: q X tenemos

P() =Sq+1( id)P(q)


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3.2. EL TEOREMA DE INVARIANZA HOMOTOPICA 65

Demostracion. () SeaY = qy h= . Comoq : q qes la identidad,

entoncesq Sq(q).Siguiendo las flechas del diagrama, empezando en Sq(q) abajo y luego

derecha obtenemos P Sq()(q); ahora, si nos vamos derecha y luego abajoobtenemos Sq+1(id)P(q), como el diagrama es conmutativo estos dosterminos son iguales, pero por proposicion 2.7.2,Sq()(q) = de dondetenemos

P() =Sq+1( id)P(q)

() Sea : q Y un q-simplejo, y h :Y Xcontinua. Nos fijamos enel siguiente diagrama

Sq(q)

Sq()

P Sq+1(q I)

Sq+1(id)

Sq(Y)

Sq(h)

P Sq+1(Y I)

Sq+1(hid)

Sq(X) P

Sq+1(X I)

(3.3)

Sabemos que

P() = Sq+1( id)P(q)P(h) = Sq+1(h id)P(q)

Y queremos ver que

P(Sq(h)()) =Sq+1(h id)P()

Ahora, Sq(h)() =h, yh id= (h id)( id), de lo que tenemos que

P(h) =Sq+1(h id) [Sq+1( id)P(q)] =Sq+1(h id)P()

Del teorema anterior, vemos que solo es necesario definir P(q).Ahora, q I tiene vertices A0= (e0, 0), A1= (e1, 0) . . . , Aq= (eq, 0),

B0= (e0, 1), B1= (e1, 1), . . . , Bq = (eq, 1).


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Definicion 3.2.1. definimosP(q) como

P(q) =

qi=0

(1)i(A0, A1, . . . , Ai, Bi, . . . Bq)

Ejemplo 3.3. Seaq= 1, P(1) = (A0, B0, B1) (A0, A1, B1)Como lo ilustra la figura 3.3

Figura 3.3:P(1)

Lema 3.2.1.

(Fhq id) (A0 . . . AkBk. . . Bq1)

= (A0 . . . AkBk. . . Bh . . . Bq) h > k

(A0 . . . Ah . . . Ak+1Bk+1 . . . Bq) hk

Demostracion. Queremos ver que la composicion de las dos transformacionesafines es el mapeo afn correspondiente, para esto basta ver que las funcionescoinciden en los vertices de q.

En el caso h > k. Veamos primero la accion de (A0 . . . AkBk. . . Bq1)

e0 (e0, 0)

e1 (e1, 0).

..ek (ek, 0)

ek+1 (ek, 1)...

eq (eq1, 1)


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