13067ondas5331 Oscialciones y Ondas

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1 APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

ACERTIJOEste soporte de u! so"! #ote""! de $%o es u e&e'p"o %teres!te de u s%ste'! 'e()%(o *ue p!re(e des!+%!r !"! ,r!$ed!d. E" s%ste'! -soporte ')s #ote""! se e*u%"%#r! (u!do su (etro de ,r!$ed!d est) d%re(t!'ete !rr%#!de" puto de !po/o ')s #!&o. 0Cu)"es dos (od%(%oes so e(es!r%!s p!r! *ue u o#&eto presete est! ("!se deest!#%"%d!d

CAPITULO 12

EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ELASTICIDAD

L2e!s ,eer!"es de" (!p2tu"o

13.1. Cod%(%oes p!r! e" e*u%"%#r%o13.3. M)s !(er(! de" (etro de ,r!$ed!d13.4. E&e'p"os de (uerpos r2,%dos e e*u%"%#r%o est)t%(o13.5. Prop%ed!des e")st%(!s de "os s6"%dos

E "os (!p2tu"os 17 / 11 se estud%6 "! d%)'%(! de o#&etos r2,%dos8 es de(%r o#&etos (u/!s p!rtes per'!e(e (ou! sep!r!(%6 +%&! etre s2 (u!do se so'ete ! +uer9!s e:ter!s. P!rte de este (!p2tu"o se o(up! de "!s(od%(%oes #!&o "!s (u!"es u o#&eto r2,%do est) e e*u%"%#r%o. E" t;r'%o equilibrio %'p"%(! *ue e" o#&eto est)e reposo o *ue su (etro de '!s! se 'ue$e ! $e"o(%d!d (ost!te. E este (!p2tu"o se tr!t!r) s6"o (o e"

pr%'ero de estos (!sos8 *ue se (oo(e (o'o o#&etos e equilibrio estátio. E" e*u%"%#r%o est)t%(o es u!s%tu!(%6 (o'


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12&1& CO'DICIO'ES PARA EL EQUILIBRIO

E e" (!p2tu"o > se est!#"e(%6 *ue u! (od%(%6 e(es!r%! p!r! e*u%"%#r!r es * ue "! +uer9! et! *ue !(t

F%,ur! 13.1. U! +uer9! Cos%dere u! +uer9! !%s"!d! F *ue !(t

→→→×= F r τ

Re(uerde ! p!rt%r de" !)"%s%s de" produ(to $e(tor%!" e "! se((%6 11.3 *ue e" $e(tor r es perped%(u"!r !" p"!o

+or'!do por r / F . Co "! re,"! de "! '!o dere(=! se puede deter'%!r "! d%re((%6 de ; (%erre su '!o

dere(=! de '!er! t!" *ue sus dedos de $ue"t! e "! d%re((%6 de rot!(%6 *ue F t%ede ! d!r !" o#&eto e toro! u e&e ! tr!$;s de O su pu",!r !puto eto(es e !" d%re((%6 de . Por t!to e "! +%,ur! 13.1 est) d%r%,%d!

=!(%! !+uer! de "! p),%!.

Co'o se puede $er e "! +%,ur! 13.18 "! tede(%! de F ! =!(er ,%r!r e" o#&eto !"rededor de u e&e *ue p!s! por O

depede t!to de" #r!9o de 'o'eto d (o'o de "! '!,%tud de F . Re(uerde *ue "! '!,%tud de es Fd -$;!se

"! E(. 17.1. Supo,! !=or! *ue so#re u o#&eto r2,%do !(t

d%re((%6 / "! '%s'! "2e! de !((%6. E otr!s p!"!#r!s@ Dos "uer)$s F

1 * F

2 so% equi+$le%tes si * solo s, F

1 = F

2 * -%i$#e%te si l$s !os .ro!ue% el #is#o

#o#e%to !e torsi/% e% tor%o $ u$lquier e0e&

L!s dos +uer9!s 'ostr!d!s e !" +%,ur! 13.3 so %,u!"es e '!,%tud / opuest!s e d%re((%6. E""!s o so

perped%(u"!res. L! +uer9! d%r%,%d! =!(%! "! dere(=! t%ede ! =!(er ,%r!r !" o#&eto e e" set%do de "!s '!e(%""!s

de" re"o& !"rededor de u e&e perped%(u"!r !" d%!,r!'! / *ue p!s! por O8 e t!to *ue "! +uer9! d%r%,%d! =!(%! "!

%9*u%erd! t%ede ! =!(er"o ,%r!r e set%do (otr!r%o !" de "!s '!e(%""!s de" re"o& e toro de ese e&e.


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F%,ur! 13.3. L!s +uer9!s F 1 / F

2 o so e*u%$!"etes por*ue o produ(e e" '%s'o 'o'eto de tors%6 so#re

!",

p!r!"e"!s. Dos +uer9!s *ue !(t

,%r! e e" set%do de "!s '!e(%""!s de" re"o& / e:per%'et! u! !(e"er!(%6 !,u"!r !"rededor de" e&e. Est! es

u! s%tu!(%6 de %o e*u%"%#r%o e re"!(%6 (o e" 'o$%'%eto rot!(%o!". E" 'o'eto de tors%6 eto so#re e"

o#&eto produ(e u! !(e"er!(%6 !,u"!r α de !(uerdo (o "! re"!(%6 Στ 2Fd I α -$;!se "! e(. 17.31.

(iur$ 12&. Dos +uer9!s de %,u!" '!,%tud +or'! u p!r s% sus "2e!s de !((%6 so d%+eretes "2e!s p!r!"e"!s.

E este (!so e" o#&eto ,%r! e e" set%do de "!s '!e(%""!s de" re"o&. E" 'o'eto de tors%6 eto so#re (u!"*u%er

e&e es 3Fd. E ,eer!"8 u o#&eto est) e e*u%"%#r%o rot!(%o!"


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L! pr%'er! (od%(%6 de e*u%"%#r%o es u eu(%!do de" e*u%"%#r%o tr!s"!(%o!" *ue est!#"e(e *ue "! !(e"er!(%6"%e!" de" (etro de '!s! de" o#&eto de#e ser (ero (u!do se o#ser$! desde u '!r(o de re+ere(%! %er(%!". L!se,ud! (od%(%6 es u eu(%!do de" e*u%"%#r%o rot!(%o!" *ue %d%(! *ue "! !(e"er!(%6 !,u"!r !"rededor de(u!"*u%er e&e de#e ser (ero. E e" (!so espe(%!" de" e*u%"%#r%o est)t%(o8 *ue es e" pr%(%p!" te'! de este (!p2tu"o8e" o#&eto est) e reposo8 por "o *ue o t%ee r!p%de9 "%e!" o !,u"!r -esto es8 vCM 7 / ω 7 Preu%t$ sor.res$ 12&1

-! 0Es pos%#"e *ue e:%st! u! s%tu!(%6 e "! (u!" se s!t%s+!,! "! e(u!(%6 13.1 pero o "! e(u!(%6 13.3 -#0Puede ser s!t%s+e(=! "! e(u!(%6 13.3 '%etr!s "! e(u!(%6 13.1 o "o se!

L!s dos e:pres%oes $e(tor%!"es d!d!s por "!s e(u!(%oes 13.1 / 13.3 so e*u%$!"etes8 e ,eer!"8 ! se%se(u!(%oes es(!"!res8 tres ! p!rt%r de "! pr%'er! (od%(%6 de e*u%"%#r%o / tres ! p!rt%r de "! se,ud! (od%(%6 dee*u%"%#r%o -(orrespod%etes ! "!s (o'poetes x8 y / z @ Por (os%,u%ete8 e u s%ste'! (o'p"e&o e e" *ue!(t

Ideped%ete'ete de"

por 'ed%o de" $e(tor de pos%(%6 r 1. De 'odo s%'%"!r8 "os putos de !p"%(!(%6 de F

2 , F

38 .. se espe(%+%(!

'ed%!te r 2 , r

38 .. -"os (u!"es o se 'uestr!. E" 'o'eto de tors%6 eto !"rededor de O es@

∑ +×+×+×= →→→→→→→

.......443311 F r F r F r Oτ


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> APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

Cos%dere !=or! otro puto !r#%tr!r%o8 O8 *ue t%ee e" $e(tor de pos%(%6 r ’ re"!t%$o !" puto O. E" puto de

!p"%(!(%6 de F 1 re"!t%$o ! O se %det%+%(! por 'ed%o de" $e(tor r

1 − r ’ . De %,u!" 'odo8 e" puto de !p"%(!(%6 de

F 2 re"!t%$o ! O es r

2 − r ’ 8 / !s2 su(es%$!'ete. E (ose(ue(%!8 e" 'o'eto de tors%6 !"rededor de O es@

∑ +×

−+×

−+×

−=

→→→→→→→→→→

.......HHH1 44331H F r r F r r F r r Oτ

∑

+++−+×+×+×=

→→→→→→→→→→→

.....H....... 431443311H F F F r F r F r F r Oτ

Co'o se supoe *ue "! +uer9! et! ser) (ero -puesto *ue e" o#&eto est) e e*u%"%#r%o tr!s"!(%o!"8 e"

todo o#&eto e:%ste u puto espe(%!" ""!'!do e%tro !e r$+e!$!. Tod!s "!s +uer9!s ,r!$%t!(%o!"es *ue !(t. Supo,! *ue e" o#&eto se d%$%de e u'eros!s p!rt2(u"!s de '!s! m1 , m2 , m38 . (o (oorde!d!s - x1 , y18- x2 , y28 - x3 , y38.. E "! e(u!(%6 7.3 se de+%%6 "! (oorde!d! x de" (etro de '!s! de u o#&eto (o est!s(!r!(ter2st%(!s (o'o@


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APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

∑∑

=+++

+++=

i

i

i

ii

CM m

xm

mmm

xm xm xm x

....

.......

431

443311

Se e'p"e! u! e(u!(%6 s%'%"!r p!r! de+%%r "! (oorde!d! / de" (etro d e'!s! ree'p"!9!do (!d! x (o su(otr!perte y.

F%,ur! 13.. E" (etro de ,r!$ed!d de u o#&eto se "o(!"%9! e e" (etro de '!s! s% g es (ost!te so#re e" o#&eto.A=or! se e:!'%!r) "! s%tu!(%6 desde otro puto de $%st! !" (os%der!r "! +uer9! de ,r!$ed!d e&er(%d! so#re(!d! p!rt2(u"!8 (o'o se 'uestr! e !" +%,ur! 13.. C!d! p!rt2(u"! (otr%#u/e ! u 'o'eto de tors%6 de#%do !"! +uer9! m1 g es m1 g 1 x18 dode g 1 es "! '!,%tud de" (!'po ,r!$%t!(%o!" e "! pos%(%6 de "! p!rt2(u"! de '!s!m1. A=or! se *u%ere u#%(!r e" e%tro !e r$+e!$!8 e" puto e e" (u!" "! !p"%(!(%6 de "! +uer9! ,r!$%t!(%o!"%d%$%du!" M g -dode M = m1 + m2 + m3 + .. es "! '!s! tot!" de" o#&eto t%ee e" '%s'o e+e(to so#re "! rot!(%6(o'o "o t%ee e" e+e(to (o'#%!do de tod!s "!s +uer9!s ,r!$%t!(%o!"es %d%$%du!"es mi g i. A" %,u!"!r e" 'o'etode tors%6 resu"t!te de M g *ue est) e e" (etro de ,r!$ed!d (o "! su'! de "os 'o'etos de tors%6 *ue!(t

∑∑

=+++

+++=

i

i

i

ii

CGm

xm

mmm

xm xm xm x

....

.......

431

443311

-13.5

A" (o'p!r!r este resu"t!do (o "! e(u!(%6 .3 se $e *ue el e%tro !e r$+e!$! se lo$li)$ e% el e%tro !e#$s$ sie#.re * u$%!o el ob0eto se e%ue%tre e% u% $#.o r$+it$io%$l u%i"or#e.


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? APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

U! ,r! ro(! #!"!(e!d! e e" J!rd2 de "os D%oses e Co"or!do Spt%,s@ u e&e'p"o de" e*u%"%#r%o est!#"e.

E !",uos e&e'p"os *ue se preset! e "! s%,u%ete se((%6 se tr!t!r) (o o#&etos s%';tr%(os / =o'o,;eos p!r! "os (u!"es e" (etro de ,r!$ed!d (o%(%de (o su (etro ,eo';tr%(o.12&& EJE4PLOS DE CUERPOS R75IDOS E' EQUILIBRIO ESTÁTICO

L! +oto,r!+2! de" soporte de u! #ote""! de $%o e "! pr%'er! p),%! de este (!p2tu"o 'uestr! u e&e'p"o de us%ste'! 'e()%(o #!"!(e!do *ue p!re(e des!+%!r "! ,r!$ed!d. P!r! *ue e" s%ste'! -soporte ')s #ote""! est; ee*u%"%#r%o8 t!to "! +uer9! e:ter! et! -$;!se "! E(. 13.1 (o'o e" 'o'eto de tors%6 e:tero eto -$;!se "!E(. 13.3 de#e ser (ero. L! se,ud! (od%(%6 de e*u%"%#r%o puede ser s!t%s+e(=! s6"o (u!do e" (etro de,r!$ed!d de" s%ste'! est) d%re(t!'ete !rr%#! de" puto de !po/o

A" tr!#!&!r (o pro#"e'!s de e*u%"%#r%o est)t%(o es %'port!te re(oo(er "!s +uer9!s e:ter!s *ue !(t

(u!do se !!"%(e u o#&eto e e*u%"%#r%o #!&o "! !((%6 de $!r%!s +uer9!s e:ter!s. Suere%i$ .$r$ resol+er .roble#$s

Ob0etos e% equilibrio estátio

• D%#u&e u d%!,r!'! s%'p"e / ("!ro de" s%ste'!.• A%s"e e" o#&eto ! ser !!"%9!do. D%#u&e u d%!,r!'! de (uerpo "%#re / !s%,e u! "etr! ! tod!s "!s +uer9!s

e:ter!s *ue !(t


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U t!#"6 u%+or'e de 5787 N de peso soport! ! u p!dre / su =%&! *ue pes! 77 N / 4>7 N8 respe(t%$!'ete8(o'o se 'uestr! e !" +%,ur! 13.?. S% e" soporte -""!'!do puto de !po/o est) de#!&o de" (etro de ,r!$ed!dde" t!#"6 / s% e" p!dre se e(uetr! ! 1877 ' de" (etro8 -! Deter'%e "! '!,%tud de "! +uer9! =!(%! !rr%#! 'e&er(%d! so#re e" t!#"6 por e" soporte. -# Deter'%e d6de de#e set!rse "! %K! p!r! e*u%"%#r!r e" s%ste'!. -(Rep%t! "! p!rte -# p!r! otro e&e.

F%,ur! 13.?. U s%ste'! #!"!(e!doSolui/%

-! O#ser$e pr%'ero *ue8 !de')s de '8 "!s +uer9!s e:ter!s *ue !(t

74>7-7781-L77- =− x N m N

m x 3B.3=

-( P!r! %"ustr!r *ue "! e"e((%6 de" e&e es !r#%tr!r%! e"%&! u e&e perped%(u"!r ! "! p),%! *ue p!se por "!u#%(!(%6 de" p!dre. Re(uerde *ue e" s%,o de" 'o'eto de tors%6 !so(%!do (o u! +uer9! es pos%t%$o s%d%(=! +uer9! t%ede ! ,%r!r !" s%ste'! e set%do (otr!r%o !" de "!s '!e(%""!s de" re"o&8 '%etr!s *ue e"s%,o de" 'o'eto de tors%6 es e,!t%$o s% "! +uer9! t%ede ! ,%r!r !" s%ste'! e e" set%do de "!s'!e(%""!s de" re"o&. E este (!so Στ 7 produ(e@

77781-4>7-7781-7857-7781- =+−− xm N m N m N

De "! p!rte -! se s!#e *ue N 1 17 N. Por t!to8 se puede reso"$er p!r! : / e(otr!r *ue@

: 383 '

Este resu"t!do est) e (o(ord!(%! (o e" o#te%do e "! p!rte -#


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Preu%t$ sor.res$ 12&2

E e" e&e'p"o 13.18 s% e" puto de !po/o o se e(uetr! #!&o e" (etro de ,r!$ed!d de "! t!#"!8 0*u; otr!est%'!(%6 ser2! e(es!r%! p!r! reso"$er e" pro#"e'!

EJE4PLO 12&2& U%$ #$%o que so.ort$ u% .eso

U! perso! sost%ee u! es+er! de >787 N e su '!o. E" !te#r!9o est) e pos%(%6 =or%9ot!"8 (o'o se'uestr! e !" +%,ur! 13.!. E" '

#r!9o e !" !rt%(u"!(%6. De !(uerdo (o "! pr%'er! (od%(%6 de e*u%"%#r%o se t%ee8 (o "! d%re((%6 y pos%t%$!=!(%! !rr%#!@

∑ =−−= 778>7 N R F F y -1

A" p!rt%r de "! se,ud! (od%(%6 de e*u%"%#r%o se s!#e *ue "! su'! de "os 'o'etos de tors%6 !"rededor de

(u!"*u%er puto de#e ser (ero. Co "! !rt%(u"!(%6 O (o'o e" e&e se t%ee

∑ = 77τ

7=− g md F

7784>-78>7-7784- =− cm N cm F

N F >L4=

Este $!"or p!r! F puede sust%tu%rse e !" e(u!(%6 -1 p!r! produ(%r@

R >44 N


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11/126


dode se =! e"e,%do =!(%! "! dere(=! / =!(%! !rr%#! (o'o "!s d%re((%oes pos%t%$!s. Co'o R8 T / θ so%(6,%t!s o se puede o#teer u! so"u(%6 s6"o ! p!rt%r de est!s dos e:pres%oes -E" >7t! == N N θ

θ ?181

Este resu"t!do pos%t%$o %d%(! *ue "! est%'!(%6 de "! d%re((%6 de R +ue (orre(t!.

Por


12/126


Co'poetes de +uer9! Br!9o de 'o'eto re"!t%$o ! O -' Mo'eto de tors%6 e toro ! O

-N . '

T se >487 877 -877 T se >487

T (os >487 7 7

377 N 5877 −-5877 -377

77 N 3877 −-3877 -77R se θ

7 7

R (os θ 7 7

EJE4PLO 12&

or'!" ' / "! +uer9! de +r%((%6 est)t%(! " e. L! +uer9! de re!((%6 P e&er(%d! por "! p!red so#re "! es(!"er! es

=or%9ot!"8 puesto *ue "! p!red o preset! +r%((%6. Ad$%ert! (6'o se =! %("u%do s6"o +uer9!s *ue !(t

so#re "! es(!"er!. Por e&e'p"o8 "!s +uer9!s e&er(%d!s por "! es(!"er! so#re e" p%so / "! p!red o so p!rte de"

pro#"e'! / por "o '%s'o o !p!re(e e e" d%!,r!'! de (uerpo "%#re. A" !p"%(!r "! pr%'er! (od%(%6 de

e*u%"%#r%o ! "! es(!"er! se t%ee@

∑ =−= 7 ! F x


13/126


∑ =−= 7 g m N F y

E "! se,ud! e(u!(%6 se $e *ue N ',. Ade')s8 (u!do "! es(!"er! est) ! puto de des"%9!rse8 "! +uer9! de

+r%((%6 de#e ser u '):%'o d!do por ! s,m"x

µ e N 7857 ->7 N 37 N. -Re(uerde "! e(u!(%6 >.@ !

e ≤ µ

s N .

De 'odo *ue8 ! este ),u"o8 P 37 N.

P!r! e(otr!r θ'% se de#e ut%"%9!r "! se,ud! (od%(%6 de e*u%"%#r%o. Cu!do "os 'o'etos de tors%6 se

to'! !"rededor de" or%,e O e e" p%e de "! es(!"er! se o#t%ee@

∑ =−= 7(os3

θ θ τ

g m sen O

Pero (o'o P 37 N (u!do "! es(!"er! (!s% e'p%e9! ! des"%9!rse8 / ', >7 N8 est! e:pres%6 produ(e@

3>8157>7

3t! === N N g mm#nθ

P>1=m#nθ

U ';todo !"ter!t%$o p!r! !!"%9!r este pro#"e'! es (os%der!r "! %terse((%6 O de "!s "2e!s de !((%6 de "!s

+uer9!s ' / P. Puesto *ue e" 'o'eto de tors%6 !"rededor de (u!"*u%er or%,e de#e ser (ero. Esto re*u%ere

*ue "! "2e! de !((%6 de R -"! resu"t!te de ' * "9 p!se por O. E otr!s p!"!#r!s8 puesto *ue "! es(!"er! est)

est!(%o!r%!8 "!s tres +uer9!s *ue !(t

+uer9!s so o%urre%tes. Co est! (od%(%6 podr2! eto(es o#teer e" ),u"oφ

*ue R +or'! (o "!

=or%9ot!" -dode φ es ')s ,r!de *ue θ. Co'o est! !pro:%'!(%6 depede de "! "o,%tud de "! es(!"er! usted

t%ee *ue (oo(er e" $!"or de p!r! o#teer u $!"or de θ'2

.

E0eriio. P!r! "os ),u"os %d%(!dos e "! +%,ur! 13.178 'uestre *ue t! φ 3 t! θ

EJE4PLO 12&=& Su.er$%!o u%$ u$r%ii/%

-! Est%'e "! '!,%tud de "! +uer9! ( *ue u! perso! de#e !p"%(!r ! "! rued! pr%(%p!" de u! s%""! de rued!s

p!r! rod!r"! so#re "! ,u!r%(%6 de u! !(er! -F%,. 13.11!. Est! rued! pr%(%p!"8 "! (u!" es "! *ue ""e,! ! est!r e

(ot!(to (o "! ,u!r%(%68 *ue t%ee u! !"tur! $8 t%ee u r!d%o r . -# Deter'%e "! '!,%tud / d%re((%6 de R


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F%,ur! 13.11. -! Perso! / s%""! de rued!s (o peso tot!" ', *ue so e"e$!dos so#re u! ,u!r%(%6 por u!

+uer9! (. -# det!""es de "! rued! / "! ,u!r%(%6. -( D%!,r!'! de (uerpo "%#re p!r! "! rued! (u!do est) &usto !

puto de ser e"e$!d!. Tres +uer9!s !(t

!(t

es (o(;tr%(! ! "! rued! pr%(%p!". Se supoe *ue e" r!d%o de "! rued! ')s pe*ueK! es e" '%s'o *ue e" de "!

rued! pr%(%p!" de 'odo *ue se puede us!r r p!r! e" r!d%o. Est%'e u peso (o'#%!do de ', 1 577 N p!r! "!

perso! / "! s%""! de rued!s / e"%&! u r!d%o de rued! de r 47 ('8 (o'o se 'uestr! e "! +%,ur! 13.11#.

T!'#%; se"e((%oe u! !"tur! de ,u!r%(%6 de $ 17 ('. Se supoe *ue "! s%""! de rued!s / su o(up!te so

s%';tr%(os / *ue (!d! rued! soport! u peso de ?77 N. Eto(es se pro(ede ! !!"%9!r u! de "!s rued!s.

Cu!do "! rued! est) ! puto de ser e"e$!d! de "! (!""e8 "! +uer9! de re!((%6 e&er(%d! por e" p%so so#re "! rued!

e e" puto t%ede ! (ero. Por t!to8 e este 'o'eto s6"o !(t

!" e(u!(%6 de" 'o'eto de tors%6. A p!rt%r de" tr%),u"o OP 'ostr!do e !" +%,ur! 13.11# se $e *ue e" #r!9o

de 'o'eto d de "! +uer9! ,r!$%t!(%o!" '8 *ue !(t

rued! e toro !" puto P es@

73- =−− $r F d g m

73-3 3

=−−− $r F $$r g m

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3 3

N mm

mmm N F 477

187487-3

187-187-487-3-?77- 3

=−

−=


15/126

1> APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

-Ad$%ert! *ue se =! '!te%do s6"o u d2,%to (o'o s%,%+%(!t%$o. Este resu"t!do %d%(! *ue "! +uer9! *ue de#e

!p"%(!rse ! (!d! rued! es sust!(%!". Usted !(!so *uerr) est%'!r "! +uer9! re*uer%d! p!r! rod!r u! s%""! de

rued!s =!(%! !rr%#! de u! r!'p! de !((eso e u! !(er! t2p%(! p!r! (o'p!r!r

-# Se us! "! pr%'er! (od%(%6 p!r! e" e*u%"%#r%o p!r! deter'%!r "! d%re((%6@

∑ =−= 7(os θ R F F x

∑ =−= 7 g m sen R F y θ

D%$%d%edo "! se,ud! e(u!(%6 etre "! pr%'er! se o#t%ee@

581>77

?77t! ===

N

N

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Se puede us!r !" tr%),u"o re(to 'ostr!do e "! +%,ur! 13.11d p!r! o#teer N@

N N N F g m N L77477-?77-- 3333 =+=+=

E&er(%(%o. Resue"$! este pro#"e'! (o #!se e "! o#ser$!(%6 de *ue "!s tres +uer9!s *ue !(t

(otr!((%6 t;r'%(!. Supo%edo *ue "! '!s! de "! estru(tur! de" puete es despre(%!#"e (o'p!r!d! (o "! (!r,!

(!"(u"e "!s +uer9!s de tes%6 o (o'pres%6 e tod!s "!s (o'poetes estru(tur!"es (u!do est) soport!do u!

(!r,! de ? 377 N e su (etro -$;!se e" pro#"e'! >


16/126


F%,ur! 13.13. -! Estru(tur! de !put!"!'%eto p!r! u puete. -# L!s +uer9!s *ue !(t

peros e e" puto B.

L! ot!(%6 de +uer9! *ue se us!r) !*u2 o es de" +or'!to usu!". !st! !=or! se =! us!do "! ot!(%6 FAB

p!r!

s%,%+%(!r "! +uer9! e&er(%d! por A so#re B. S% e'#!r,o8 p!r! est! !p"%(!(%6 tod!s "!s "etr!s do#"es sus(r%t!s !

F %d%(! s6"o e" (uerpo *ue e&er(e "! +uer9!. E" (uerpo so#re e" (u!" !(t

Pr%'ero se !p"%(! "! pr%'er! "e/ de Neto ! "! estru(tur! (o'o u todo e "! d%re((%6 $ert%(!". L!s +uer9!s

%ter!s o etr! e (!d! (os%der!(%6. Se #!"!(e! e" peso de "! (!r,! (o "!s +uer9!s or'!"es *ue "os

soportes so#re "os (u!"es des(!s! e" puete e&er(e e "os dos e:tre'os@

∑ =++= 7 g % & y F N N F

N N N % & 377?=+

A (ot%u!(%6 se (!"(u"! e" 'o'eto de tors%6 e toro ! A ot!do *ue "! "o,%tud tot!" de "! estru(tur! de"

puete es L >7 '.

∑ =−= 73I- g % F ' N 'τ

N F

N g

% J7743

==

Au*ue se podr2! repet%r e" ()"(u"o de" 'o'eto de tors%6 p!r! e" e:tre'o dere(=o -puto E8 de#er2! est!r

("!ro *ue8 por r!9oes de s%'etr2!8 N &

4 77 N.


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1? APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

A=or! #!"!(ee "!s +uer9!s $ert%(!"es *ue !(t

*ue e&er(e e" poste so#re e" pero e e" puto A t%ee u! (o'poete y

e,!t%$!. -S% e" poste est) e tes%6 "os ()"(u"os resu"t!r) (o $!"or e,!t%$o p!r! "! '!,%tud de "! +uer9!8

!u*ue de "! e:tes%6 (orre(t!.

∑ =−= 7P47 sen F N F &( & y

N F &( 377?=

El result$!o .ositi+o #uestr$ que l$ su.osii/% !e o#.resi/% "ue orret$&

A=or! se puede e(otr!r "!s +uer9!s *ue !(t

!put!r) =!(%! "! dere(=!

-F%,. 13.13# esto %d%(! *ue "! $%,! etre "os putos A / C est) #!&o tes%6@

∑ =−= 7P47(os &( &C y F F F

N N F &C 377JP47(os377?- ==

Cos%dere "!s +uer9!s $ert%(!"es *ue !(t

= F )C

/ *ue F &C

= F %C

@

∑ =−= 7377?P473 N sen F F (C y

N F (C 377?=

F%!"'ete se #!"!(e! "!s +uer9!s =or%9ot!"es so#re B supo%edo *ue e" poste BD est) e (o'pres%6@

∑ =−+= 7P47(osP47(os () (C &( x F F F F

7P47(os377?-P47(os377?- =−+ () F N N

N F () 77713=

De est! +or'! "! $%,! super%or e u puto (o este d%seKo de#e ser 'u/ +uerte.

12&LIDOS

E e" estud%o de 'e()%(! =!st! !=or! se =! supuesto *ue "os o#&etos per'!e(e %de+or'!#"es (u!do "!s+uer9!s e:ter!s !(t

Se !!"%9!r) "! de+or'!(%6 de s6"%dos e +u(%6 de "os (o(eptos de es+uer9o / de+or'!(%6. E" es"uer)o esu! (!t%d!d propor(%o!" ! "! +uer9! *ue produ(e u! de+or'!(%6 ')s espe(2+%(!'ete8 e" es+uer9o es "!


18/126


+uer9! e:ter! por u%d!d de )re! de se((%6 tr!s$ers!" *ue !(t

-13.>

E u set%do 'u/ re!"8 es u! (o'p!r!(%6 etre "o *ue "e o(urre ! u o#&eto s6"%do -!" !p"%()rse"e u! +uer9!/ "! +or'! e "! *ue ;ste respode !" su(eso -se de+or'! ! (%ert! e:tes%6

Mode"o p")st%(o de u! estru(tur! e !r(o e (od%(%oes de (!r,!. L!s "2e!s odu"!d!s %d%(! re,%oes dode"!s tes%oes so '!/ores. T!"es 'ode"os so


19/126


20/126


0Cu)" es e" '6du"o de You, p!r! e" s6"%do e")st%(o (u/! (ur$! es+uer9o−de+or'!(%6 se 'uestr! e "! +%,ur!

13.15

Preu%t$ sor.res$ 12&


21/126


Est%'e e" '6du"o de (orte p!r! "!s p),%!s de su "%#ro de te:to. 0E" ,rosor de" "%#ro t%ee !",8 d%(=!s +uer9!s d%str%#u%d!s de '!er!

u%+or'e o(urre (u!do u o#&eto est) %'erso e u +"u%do. U o#&eto so'et%do ! este t%po de de+or'!(%oes

e:per%'et! u (!'#%o e su $o"u'e pero o e su +or'!. E" es"uer)o !e +olu#e% se de+%e (o'o "!

propor(%6 etre "! '!,%tud de "! +uer9! or'!" F / e" )re! A de"! se((%6 tr!s$ers!". L! (!t%d!d P FA

re(%#e e" o'#re de .resi/%. S% "! pres%6 so#re u o#&eto (!'#%! por u! (!t%d!d∆

P ∆

FA8 eto(es e"

o#&eto e:per%'et!r) u (!'#%o ∆V e su $o"u'e. L! !e"or#$i/% !e +olu#e% es %,u!" !" (!'#%o e e"

$o"u'e ∆V d%$%d%do etre e" $o"u'e %%(%!" V7. As2 pues8 de !(uerdo (o "! e(u!(%6 13.>8 se puede

(!r!(ter%9!r u! (o'pres%6 de $o"u'e -$o"u';tr%(o e +u(%6 de" #/!ulo +olu#?trio B de+%%do (o'o@

77 II

I

3 3

3 3

& F

v*.-mendende!*rm+ci,

v*.-mendees!-erz* (

3

3

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−=∆∆

−===ε

σ -13.

U s%,o e,!t%$o se %sert! e est! e(u!(%6 de de+%%(%6 de 'odo *ue B se! u


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E "! t!#"! 13.1 o#ser$e *ue t!to "os s6"%dos (o'o "os "2*u%dos t%ee u '6du"os $o"u';tr%(o. S% e'#!r,o8

o =!/ '6du"os de (orte % '6du"os de You, p!r! "2*u%dos por*ue o soport! u es+uer9o de (orte o u

es+uer9o de tes%6 -e "u,!r de eso8 +"u/e

TABLA 13.1. V!"ores t2p%(os p!r! '6du"os e")st%(os

Sust!(%! M6du"o de You,-1717 N'3

M6du"o de (orte-1717 N'3

M6du"o $o"u';tr%(o-1717 N'3

Tu,steo 4> 15 37A(ero 37 85 Co#re 11 583 15L!t6 81 48> 81A"u'%%o ?87 38> ?87V%dr%o 8> −?8 387 −483 >87 −>8>Cu!r9o >8 38 38?A,u! − − 7831Mer(ur%o − − 38

Co%reto .reo#.ri#i!o

S% e" es+uer9o so#re u o#&eto s6"%do e:(ede (%erto $!"or8 e" o#&eto se +r!(tur!r). E" '):%'o es+uer9o *ue puede!p"%(!rse !tes de *ue o(urr! "! +r!(tur! depede de "! !tur!"e9! de" '!ter%!" / de" t%po de es+uer9o !p"%(!do.Por e&e'p"o8 e" (o(reto t%ee u! res%ste(%! ! "! tes%6 de (!s% 3 : 17 N'38 u! res%ste(%! ! "! (o'pres%6de 37 : 17 N'3 / u! res%de(%! !" (orte de 3 : 17 N'3. S% e" es+uer9o !p"%(!do so#rep!s! estos $!"ores8 e"(etro se +r!(tur!. Es u! pr)(t%(! (o'


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EJE4PLO 12&& Diseo !e ese%$rio

Re(uerde e" e&e'p"o .17 e e" (u!" se !!"%96 u (!#"e us!do p!r! sosteer ! u !(tor '%etr!s se #!"!(e!#!=!(%! e" es(e!r%o. L! tes%6 e e" (!#"e er! de 57 N. 0u; d%)'etro de#er2! teer u (!#"e de !(ero de 17 'de "!r,o s% o se *u%ere *ue se !"!r,ue ')s de 78> (' e est!s (od%(%oes

Solui/%

A p!rt%r de "! de+%%(%6 d" '6du"o de You, se puede reso"$er p!r! e" )re! de se((%6 tr!s$ers!" re*uer%d!.

Supo%edo *ue "! se((%6 tr!s$ers!" es (%r(u"!r se puede deter'%!r e" d%)'etro de" (!#"e. A p!rt%r de "!e(u!(%6 138 se t%ee@

7I

I

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/ensi,n 0*r nde!*rm+ci,

/ensi,ndees!-erz*1

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E" r!d%o de" (!#"e puede e(otr!rse ! p!rt%r de & = π r 2

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π π

mmmmr d 584?81-33 ===

EJE4PLO 12&& Co#.resi/% !e u%$ es"er$ !e l$t/%

U! es+er! de "!t6 %%(%!"'ete est) rode!d! de !%re8 / "! pres%6 de" !%re e&er(%d! so#re e""! es 187 : 17> N'

3

-pres%6 !t'os+;r%(! or'!". L! es+er! se su'er,e e e" o(;!o ! u! pro+ud%d!d ! "! (u!" "! pres%6 es 387 :

17?

N'3

. E" $o"u'e de "! es+er! e e" !%re es de 78>7 '4

. 0E (u)to (!'#%!r) este $o"u'e u! $e9 *ue "!

es+er! est; su'er,%d!

Solui/%

A p!rt%r de"! de+%%(%6 de '6du"o $o"u';tr%(o8 se t%ee@


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77 II

I

3 3

3 3

& F

v*.-mendende!*rm+ci,

v*.-mendees!-erz* (

3

3

∆∆

−=∆∆

−===ε

σ

(

3 3

∆−=∆ 7

Co'o "! pres%6 +%!" es 'u(=o '!/or *ue "! %%(%!" se puede despre(%!r "! pres%6 %%(%!" / est!#"e(er *ue ∆P

P −P7 387 : 17

?

N'3

. Por t!to@

35

317

3?4

7 17J81I1718J

I17783->787-m x

m N x

m N xm

(

3 3 −−=−=

∆−=∆

E" s%,o e,!t%$o %d%(! u! d%s'%u(%6 e e" $o"u'e.

RESU4E'

U o#&eto r2,%do est) e e*u%"%#r%o s% / s6"o s% "! +uer9! e:ter! resu"t!te so#re ;" es (ero / e" 'o'eto de

tors%6 e:ter! resu"t!te so#re ;" es (ero respe(to ! (u!"*u%er e&e@

∑ =→

7 F -13.1

∑ =→

7 τ -13.3

L! pr%'er! (od%(%6 es "! de e*u%"%#r%o tr!s"!(%o!"8 / "! se,ud! es "! de e*u%"%#r%o rot!(%o!". Est!s dos

e(u!(%oes per'%te !!"%9!r u! ,r! $!r%ed!d de pro#"e'!s. Ase,

de" (!'#%o de e:tes%6. E" es+uer9o es propor(%o!" ! "! de+or'!(%68 / "! (ost!te de propor(%o!"%d!d es e"

'6du"o e")st%(o@

nde!*rm+ci,

es!-erz*e."s/ic* M,d-.* =

-13.>

Tres t%pos (o'ues de de+or'!(%6 so@ -1 "! res%ste(%! de u s6"%do ! e"o,!rse #!&o u! (!r,!8 (!r!(ter%9!d!

por e" #/!ulo !e You%8 Y -3 "! res%ste(%! de u s6"%do !" 'o$%'%eto de p"!os %teros *ue se des"%(e


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uo so#re otro8 (!r!(ter%9!d! por e" #/!ulo !e orte8 S -4 "! res%ste(%! de u s6"%do o +"u%do ! u (!'#%o de

$o"u'e8 (!r!(ter%9!d! por e" #/!ulo +olu#?trio8 B.

7I

I

' '

& F 1

∆=

-13.

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I

I

∆=

-13.?

7I

I

3 3

& F (

∆−=

-13.

PRE5U'TAS

1. 0U (uerpo puede est!r e e*u%"%#r%o s% s6"o !(t

3. 0U (uerpo puede est!r e e*u%"%#r%o s% est) e 'o$%'%eto E:p"%*ue.

4. Lo(!"%(e e" (etro de ,r!$ed!d de "os s%,u%etes o#&etos u%+or'es@ -! es+er!8 -# (u#o8 -( (%"%dro

(%r(u"!r re(to.

5.E" (etro de ,r!$ed!d de u o#&eto puede "o(!"%9!rse +uer! de" o#&eto. Propor(%oe uos (u!tos e&e'p"os

e "os (u!"es ;ste se! e" (!so.

>. Se "e d! ! usted u ped!9o de tr%p"!/8 (u/! +or'! es !r#%tr!r%!8 &uto (o u '!rt%""o8 u ("!$o / u!

p"o'!d!. 0Podr2! us!r estos !rt2(u"os p!r! "o(!"%9!r e" (etro de ,r!$ed!d de" tr%p"!/ -Su,ere(%!@ Use e"

("!$o p!r! suspeder e" tr%p"!/.

. Co e" +% de *ue u! s%""! se e*u%"%#re so#re u! p!t!8 0D6de de#e est!r "o(!"%9!do e" (etro de ,r!$ed!d

de "! s%""!

?. 0U o#&eto puede est!r e e*u%"%#r%o s% "os

E:p"%*ue.


26/126


. Cu!do se "e$!t! u o#&eto pes!do8 0por *u; se re(o'%ed! '!teer "! esp!"d! "o ')s $ert%(!" pos%#"e8

e+e(tu!do e" 'o$%'%eto so#re rod%""!s e "u,!r de +"e:%o!rse / "e$!t!r"! (o "! (%tur!

17. Propor(%oe !",uos e&e'p"os dode $!r%!s +uer9!s !(t

F%,ur! P131

RESPUESTA@ 1787 N =!(%! !rr%#! 877 N . ' e set%do (otr!r%o ! "!s '!e(%""!s de" re"o&.

13.3. Es(r%#! "!s (od%(%oes de e*u%"%#r%o e(es!r%!s p!r! e" (uerpo *ue se 'uestr! e "! +%,ur! P13.3.Cos%dere e" or%,e de "! e(u!(%6 de" 'o'eto de tors%6 e e" puto O.


27/126


28/126


29/126


13.11. Step=e e'pu&! ! su =er'!! Jo/(e e u! (!rret%""! (u!do ;st! es dete%d! por u "!dr%""o de .77 ('de !"tur! -F%,. P13.11. Los '!u#r%os +or'! u ),u"o de 1>.7[ (o "! =or%9ot!". So#re "! rued!8 *uet%ee u r!d%o de 37.7 ('8 se e&er(e u! (!r,! =!(%! !#!&o de 577 N. -! 0u; +uer9! de#e !p"%(!rStep=e ! "o "!r,o de "os '!u#r%os p!r! !pe!s poer e (!'%o "! rued! so#re e" "!dr%""o -# 0Cu)" es"! +uer9! -'!,%tud / d%re((%6 *ue e" "!dr%""o e&er(e so#re "! rued! &usto (u!do "! rued! e'p%e9! !"e$!t!rse so#re ;ste Supo,! e !'#!s p!rtes -! / -# *ue e" "!dr%""o per'!e(e +%&o / o se des"%9!

por e" sue"o.

F%,ur! P1311

RESPUESTA@ -! > N -# 1 757 N ! "! %9*u%erd! / =!(%! !rr%#! ! 48

13.13. Dos p"!t%""os de u! #!"!9! est) sep!r!dos >7.7 ('. U tedero des=oesto =! 'o$%do e" puto de!po/o de "! #!"!9! 1.77 (' ')s !"") de" (etro. 0u; por(et!&e de" $erd!dero peso de "! 'er(!(2!est) re,%str!do de ')s e" tedero -Supo,! *ue "! #!"!9! t%ee '!s! despre(%!#"e.

13.14. U! es(!"er! u%+or'e de 1>.7 ' *ue pes! >77 N des(!s! (otr! u! p!red s% +r%((%6. L! es(!"er!+or'! u ),u"o de 7.7[ (o "! =or%9ot!". -! E(uetre "!s +uer9!s =or%9ot!" / $ert%(!" *ue e" sue"oe&er(e so#re "! #!se de "! es(!"er! (u!do u #o'#ero de 77 N est) ! 5.77 ' de "! p!rte %+er%or. -# S%"! es(!"er! est) ! puto de des"%9!rse (u!do e" #o'#ero est) .77 ' ')s !rr%#!8 0(u)" es e" (oe+%(%etede +r%((%6 est)t%(! etre "! es(!"er! / e" sue"o

RESPUESTA@ -! ! e 3 N N 1 477 -# 78435

13.15. U! es(!"er! u%+or'e de "o,%tud L / '!s! ' 1 des(!s! (otr! u! p!red s% +r%((%6. L! es(!"er!+or'! u ),u"o θ (o "! =or%9ot!". -! E(uetre "!s +uer9!s =or%9ot!" / $ert%(!" *ue e" sue"o e&er(eso#re "! #!se de "! es(!"er! (u!do u #o'#ero de '!s! '3 est) ! u! d%st!(%! x de "! p!rte %+er%or. -#S% "! es(!"er! est) ! puto de des"%9!rse (u!do e" #o'#ero est) ! u! d%st!(%! d desde e" p%e de "!es(!"er!8 0(u)" es e" (oe+%(%ete de +r%((%6 est)t%(! etre "! es(!"er! / e" sue"o

13.1>. L! +%,ur! P13.1> 'uestr! u '!rt%""o de (!rp%tero e e" 'o'eto de s!(!r u ("!$o de u! super+%(%e=or%9ot!". S% u! +uer9! de 1>7 N se e&er(e =or%9ot!"'ete (o'o se 'uestr!8 e(uetre -! "! +uer9!e&er(%d! por "!s uK!s de" '!rt%""o so#re e" ("!$o8 / -# "! +uer9! e&er(%d! por "! super+%(%e so#re e" putode (ot!(to (o "! (!#e9! de" '!rt%""o. Supo,! *ue "! +uer9! e&er(%d! por e" '!rt%""o so#re e" ("!$o es

p!r!"e"! ! ;ste.


30/126


F%,ur! P131>

RESPUESTA! 1875 N ! 787 -# -4?7 i 77 0 N

13.1. U t!#"6 u%+or'e (o u! "o,%tud de .77 ' / '!s! de 47.7 , des(!s! de '!er! =or%9ot!" etredos #!rr!s =or%9ot!"es de u !d!'%o. L! #!rr!s est) sep!r!d!s 5.>7 '8 / 1.>7 ' de" t!#"6 (ue",!+uer! de u "!do de" !d!'%o. D%#u&e u d%!,r!'! de (uerpo "%#re p!r! e" t!#"6. 0Cu) "e&os puede(!'%!r u p%tor de ?7.7 , de '!s! so#re "! p!rte *ue so#res!"e de" t!#"6 !tes de (!er

13.1?. U !uto'6$%" de 1 >77 , t%ee u! #!se de rued!s -"! d%st!(%! etre "os e&es de 4.77 '. E" (etro de'!s! de" !uto'6$%" est) so#re "! "2e! (etr!" e u puto ! 1.37 ' tr!s e" e&e de"!tero. E(uetre "!+uer9! e&er(%d! por e" p%so so#re (!d! rued!.

RESPUESTA@ 385 N so#re (!d! e,r!e / 5851 N so#re (!d! rued! +rot!"

13.1. U poste $ert%(!" (o se((%6 tr!s$ers!" (u!dr!d! t%ee 17.7 ' de !"to. Su e:tre'o %+er%or est)e(err!do e u! #!se de 1.>7 ' de !"to *ue es pre(%s!'ete (u!dr!d! pero =!st! (%erto puto =o",!d!.U! +uer9! de >.>7 N ! "! dere(=! !(t

F%,ur! P131

RESPUESTA! 38 N -# 33.3 N

13.37. U! seK!" =e'%s+;r%(! de 1.77 ' de d%)'etro / des%d!d de '!s! u%+or'e es soste%d! por dos(uerd!s8 (o'o se 'uestr! e "! +%,ur! P13.37. 0u; +r!((%6 de" peso de "! seK!" es soste%do por (!d!(uerd!


31/126


F%,ur! P1337

13.31. S%r Desp%st!do port! su !r'!dur! / s!"e de" (!st%""o 'ot!do e su +%e" &!'e",o p!r! #us(!r "! '!er! de'e&or!r "! (o'u%(!(%6 etre "!s do(e""!s / "os dr!,oes -F%,. PI3.31. Des!+ortu!d!'ete sues(udero #!&! de'!s%!do e" puete "e$!d%9o / !" +%!" ;ste se det%ee (u!do +or'! u ),u"o de 37.7[

#!&o "! =or%9ot!". Desp%st!do / su (!#!""o se det%ee (u!do su (etro de '!s! (o'#%!do est) ! 1.77' de" +%!" de" puete. \ste t%ee .77 ' de "!r,o / u! '!s! de 3 777 ,. E" (!#"e *ue "o "e$!t! est)

u%do !" puete >.77 ' desde "! #%s!,r! e e" e:tre'o de" (!st%""o / =!(%! u puto so#re "! p!red de"(!st%""o 13.7 ' !rr%#! de" puete. L! '!s! de Desp%st!do (o'#%!d! (o su !r'!dur! / (or(e" es de 1777 ,. Deter'%e -! "! tes%6 e e" (!#"e / "!s (o'poetes de +uer9! -# =or%9ot!" / -( $ert%(!" *ue!(t

F%,ur! P1331

RESPUESTA! 4>8> N -# 118> N -( −581 N

13.33. Dos "!dr%""os u%+or'es %d;t%(os de "o,%tud L se (o"o(! uo so#re e" otro e e" #orde de u!super+%(%e =or%9ot!" so#res!"%edo "o '):%'o pos%#"e s% (!er8 (o'o se $e e "! +%,ur! P13.33.

E(uetre "! d%st!(%! :.

F%,ur! P1333

13.34. L! +%,ur! P13.34 'uestr! ! u! s!"t!dor! (o ,!rro(=! *ue sost%ee e e*u%"%#r%o u! ,!rro(=! de 3.5 N e&er(%edo u! +uer9! =!(%! !rr%#! U (o u! '!o !de"!te8 / u! +uer9! =!(%! !#!&o D (o u!

'!o !tr)s. E" puto C es e" (etro de ,r!$ed!d de "! ,!rro(=!. 0Cu)"es so "!s '!,%tudes de U / D


32/126


F%,ur! P1334

RESPUESTA@ 83 N / >8 N

Se((%6 13.5 Prop%ed!des e")st%(!s de s6"%dos

13.35. Supo,! *ue e" '6du"o de You, p!r! u =ueso es de 1.> : 1717 N'38 / *ue u =ueso se +r!(tur! s% se

e&er(e ')s de 1.>7 : 17

N'3

. -! 0Cu)" es "! +uer9! '):%'! / *ue puede e&er(erse so#re e" =ueso+;'ur e "! p%er! s% ;ste t%ee u d%)'etro e+e(t%$o '2%'o de 3.>7 (' -# S% u! +uer9! de est!'!,%tud se !p"%(! (o'pres%$!'ete8 0(u)to se !(ort! u =ueso de 3>.7 (' de "!r,o

13.3>. U! (!r,! de 377 , (ue",! de u !"!'#re de 5.77 ' de "!r,o8 (o 7.377 ] 175 '3 de )re! de se((%6tr!s$ers!"8 / '6du"o de You, de .77 : 1717 N'3. 0Cu)to !u'et! su "o,%tud

RESPUESTA@ 587 ''

13.3. U !"!'#re de !(ero de 1 '' de d%)'etro puede soport!r u! tes%6 de 7.3 N. Supo,! *ue ustede(es%t! u (!#"e =e(=o de estos !"!'#res p!r! soport!r u! tes%6 de 37 N. 0De *u; orde de'!,%tud de#er2! ser e" d%)'etro de" (!#"e

13.3?. U %Ko se des"%9! ! tr!$;s de u p%so e u p!r de 9!p!tos (o sue"! de ,o'!. L! +uer9! +r%((%o!te*ue !(t

RESPUESTA@7813 ''

13.47. U !"!'#re (%"2dr%(o de !(ero de 3.77 ' de "!r,o (o u d%)'etro de se((%6 tr!s$ers!" de 5.77 ''se (o"o(! so#re u! po"e! "%,er! s% +r%((%6. U e:tre'o de" !"!'#re se (oe(t! ! u! '!s! de >.77 ,/ e" otro e:tre'o se (oe(t! ! u! '!s! de 4.77 ,. 0Cu)to se !"!r,! e" !"!'#re '%etr!s "!s '!s!sest) e 'o$%'%eto

13.41. U !"!'#re (%"2dr%(o de !(ero de "o,%tud L % (o u d%)'etro de se((%6 tr!s$ers!" d se (o"o(! so#reu! po"e! "%,er! s% +r%((%6. U e:tre'o de" !"!'#re se (oe(t! ! u! '!s! ' 1 / e" otro e:tre'o se(oe(t! ! u! '!s! '3. 0Cu)to se !"!r,! e" !"!'#re '%etr!s "!s '!s!s est) e 'o$%'%eto


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13.43. C!"(u"e "! des%d!d de" !,u! de" '!r ! u! pro+ud%d!d de 1 777 '8 dode "! pres%6 =%dr)u"%(! es!pro:%'!d!'ete de 1.77 : 17? N'3. -L! des%d!d de" !,u! de '!r e "! super+%(%e es de 1.747 : 174

,'3.

13.44. S% e" es+uer9o de" (orte e e" !(ero e:(ede !pro:%'!d!'ete 5.77 : 17 N'3 e" !(ero se ro'pe.Deter'%e "! +uer9! de (orte e(es!r%! p!r!@ -! (ort!r u pero de !(ero de 1.77 (' de d%)'etro8 / -#=!(er u =o/o de 1.77 (' de d%)'etro e u! p"!(! de !(ero de 7.>77 (' de espesor.

RESPUESTA@ ! 4815 : 175 N -# 83 : 175 N

13.45. -! E(uetre e" d%)'etro '2%'o de u !"!'#re de !(ero de 1.7 ' de "!r,o *ue o se e"o,!r) ')s de.77 '' (u!do se (ue",! u! (!r,! de 47 , e su e:tre'o %+er%or. -# S% e" "2'%te e")st%(o p!r! este!(ero es de 4.77 : 17 N'38 0o(urr%r) u! de+or'!(%6 per'!ete (o est! (!r,!

13.4>. Cu!do e" !,u! se (o,e"! se e:p!de (er(! de .77^. 0Cu)" ser2! e" !u'eto de pres%6 detro de" #"o*ue de" 'otor de su !uto'6$%" s% e" !,u! e ;" se (o,e"!r! -E" '6du"o $o"u';tr%(o de" =%e"o es de3.77 : 17 N'3.

RESPUESTA@ 187 : 17 N'3

13.4. P!r! su se,ur%d!d e e" !s(eso u 'ot!K%st! ut%"%9! u! (uerd! de /"o de >7.7 ' *ue t%ee 17.7 ''de d%)'etro. Cu!do sost%ee !" !"p%%st! de 7.7 , e u e:tre'o "! (uerd! se e"o,! 1.7 '.E(uetre e" '6du"o d; You, (orrespod%ete !" '!ter%!" de "! (uerd!.

PROBLEMAS ADICIONALES

13.4?. U puete de >7.7 ' de "!r,o / .77 : 175 , de '!s! est) soport!do so#re u p%"!r e (!d! e:tre'o8(o'o se 'uestr! e "! +%,ur! P13.4?. U! (!'%oet! (o 4.77 : 175 , de '!s! se "o(!"%9! ! 1>.7 ' deu e:tre'o. 0Cu)"es so "!s +uer9!s so#re e" puete e "os putos de soporte

F%,ur! P134?

RESPUESTA@ NA >8 : 17> N NB 587 : 175 N

13.4. U '!r(o (o "! +or'! de "! "etr! ZAZ se %te,r! (o dos ped!9os u%+or'es de 'et!"8 (!d! uo de 3.7 N de peso / 1.77 ' de "!r,o8 !rt%(u"!dos e "! p!rte super%or / '!te%dos &utos por 'ed%o de u!"!'#re =or%9ot!" de 1.37 ' de "o,%tud -F%,. P13.4. L! estru(tur! des(!s! so#re u! super+%(%e s%+r%((%6. S% e" !"!'#re se (oe(t! e putos ! u! d%st!(%! de 7.>7 ' de "! p!rte super%or de" '!r(o8deter'%e "! tes%6 e e" !"!'#re.

F%,ur! P134


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13.4. Re'2t!se ! "! +%,ur! 13.1?(. U d%te" de (o(reto re+or9!do pre(o'pr%'%do t%ee 1.>7 ' de "!r,o. E")re! de se((%6 tr!s$ers!" de" (o(reto es de >7.7 ('3. E" (o(reto e(%err! u! #!rr! de re+uer9o de!(ero (o )re! de se((%6 tr!s$ers!" de 1.>7 (' 3. L! #!rr! ue dos +uertes p"!(!s ter'%!"es. E" '6du"ode You, p!r! e" (o(reto es de 47.7 : 17 N'3. Despu;s de *ue e" (o(reto +r!,u! / "! tes%6or%,%!" T1 e "! #!rr! se re"!&!8 e" (o(reto est!r) #!&o u es+uer9o de (o'pres%6 de .77 : 17 N'3.-! 0Cu)t! d%st!(%! (o'pr%'%r) "! #!rr! !" (o(reto (u!do se "%#ere "! tes%6 or%,%!" e e""! -#0B!&o *u; tes%6 T3 est!r) "! #!rr! ( 0Cu)to ')s "!r,! *ue "! "o,%tud s% tes%6 ser) "! #!rr! -d

Cu!do se $ert%6 e" (o(reto8 0"! #!rr! =!#r2! est!do e"o,!d! por (u)t! e:tes%6 de su "o,%tud s%tes%6 -e E(uetre "! tes%6 or%,%!" re*uer%d! T1 e "! #!rr!.

RESPUESTA@ -! 78577 '' -# 5787 N -( 3877 '' -d 3857 '' -e 587 N

13.57. U! es+er! s6"%d! de r!d%o R / '!s! M se (o"o(! e u (!!"8 (o'o se %"ustr! e "! +%,ur! P13.57. L!ssuper+%(%es %ter%ores de" (!!" o o+re(e +r%((%6. Deter'%e "!s +uer9!s e&er(%d!s por e" (!!" so#re "!es+er! e "os dos putos de (ot!(to.

F%,ur! P1357

13.51. L! +%,ur! P1351 'uestr! ! u (=!,o de 17.7 , *ue su#e por u! es(!"er! u%+or'e de 137 N /"o,%tud L. Los e:tre'os super%or e %+er%or de "! es(!"er! des(!s! so#re super+%(%es s% +r%((%6. E"e:tre'o %+er%or est) +%&o ! "! p!red 'ed%!te u! (uerd! =or%9ot!" *ue puede soport!r u! tes%6'):%'! de 117 N. -! D%#u&e u d%!,r!'! de (uerpo "%#re p!r! "! es(!"er!. -# E(uetre "! tes%6 e "!(uerd! (u!do e" (=!,o =! su#%do u ter(%o de "! es(!"er!. -( E(uetre "! d%st!(%! '):%'! d *ue e"(=!,o puede su#%r por "! es(!"er! !tes de *ue se ro'p! "! (uerd!. E:prese su respuest! (o'o u!+r!((%6 de L.

F%,ur! P1351

RESPUESTA@ -# 8 N -( 78?? L13.53. U oso =!'#r%eto *ue pes! ?77 N (!'%! so#re u! $%,! (o "! %te(%6 de ""e,!r ! u! (!!st! de

(o'%d! *ue (ue",! e uo de sus e:tre'os -F%,. P1353. \st! es u%+or'e8 pes! 377 N / su "!r,o es de.77 ' "! (!!st! pes! 7.7 N. -! D%#u&e u d%!,r!'! de (uerpo "%#re p!r! "! $%,!. -# Cu!do e" osoest) e x 1.77 ' e(uetre "! tes%6 e e" !"!'#re / "!s (o'poetes de "! +uer9! e&er(%d! por "!

p!red so#re e" e:tre'o %9*u%erdo de "! $%,!. -( S% e" !"!'#re puede soport!r u! tes%6 '):%'! de 77 N8 0(u)" es "! d%st!(%! '):%'! *ue e" oso puede (!'%!r !tes de *ue se ro'p! e" !"!'#re


35/126


F%,ur! P1353

13.54. E" $%e&o M!(Do!"d te2! u! ,r!&! e "! *ue =!#2! u! puert! -F%,. P1354. L! puert! 'ed2! 4.77 'de !(=o / 1.7 ' de !"tur! (o #%s!,r!s e "!s p!rtes super%or %+er%or. E" !"!'#re de rete%d! =!(e u),u"o de 4787o (o "! p!rte super%or de "! puert! / est!#! su&eto por 'ed%o de u tesor ! u! tes%6de 377 N. "! '!s! de "! puert! er! de 57 ,. -! deter'%e "! +uer9! =or%9ot!" e&er(%d! so#re "! puert!

por "! #%s!,r! %+er%or. -# E(uetre "! +uer9! =or%9ot!" e&er(%d! so#re "! puert! por "! #%s!,r! super%or.-d Deter'%e "! +uer9! $ert%(!" (o'#%!d! e&er(%d! por !'#!s #%s!,r!s. -d 0Cu)" de#e ser "! tes%6 e

e" !"!'#re de rete%d! de '!er! *ue "! +uer9! =or%9ot!" e&er(%d! por "! #%s!,r! super%or se! (ero

F%,ur! P1354

RESPUESTA! 17 dere(=! -# 1483 N dere(=! -( 33 N =!(%! !rr%#! -d 13 N

13.55. U pes(!te u%+or'e de 1 377 N se sost%ee por 'ed%o de u (!#"e8 (o'o se %"ustr! e "! +%,ur! P13.55.E" pes(!te ,%r! !"rededor de u p%$ote e "! p!rte %+er%or8 / u o#&eto de 3 777 N (ue",! de su p!rtesuper%or. E(uetre "! tes%6 e e" (!#"e / "!s (o'poetes de "! +uer9! de re!((%6 e&er(%d! por e" p%soso#re e" pes(!te.

F%,ur! P1355

13.5>. U "etrero u%+or'e de peso F, / !(=o 3L (ue",! de u! "%,er! $%,! =or%9ot!"8 !rt%(u"!d! e "! p!red /soport!d! por u (!#"e -F%,. P13.5>. Deter'%e -! "! tes%6 e e" (!#"e / -# "!s (o'poetes de "!+uer9! de re!((%6 e&er(%d! por "! p!red so#re "! $%,! e t;r'%os de F,8 d8 L / θ.


36/126


F%,ur! P135>

RESPUESTA@ -! T F, -L _d se θ -3L d -# R : F, -L d (ot θ-3L d R / F, L-3L d

13.5. L! +%,ur! P135 'uestr! u! ,r


37/126


38/126


F%,ur! P13>1

RESPUESTA@ T 38?1 N R : 38> N

13.>3. Dos se')+oros de 377 N est) susped%dos de u so"o (!#"e (o'o se %d%(! e "! +%,ur! P13>3. I,oree" peso de" (!#"e / ! de'uestre *ue s% θ1 θ3 eto(es T1 T3. -# Deter'%e "!s tres tes%oes T18 T3/ T4 s% θ1 θ3 .77[.

F%,ur! P13>3

13.>4. L! +%,ur! P13.>4 'uestr! u! +uer9! *ue !(t

p!r! e" (u!" e" !r'!r%o !pe!s e'p%e9! ! "!de!rse.

F%,ur! P13>4. Pro#"e'!s >4 / >5

RESPUESTA@ -! µC 78>?1 "! +uer9! or'!" !(t48 pero !=or! u! +uer9! F se !p"%(! =or%9ot!"'ete esu #orde super%or. -! 0Cu)" es "! +uer9! '2%'! re*uer%d! p!r! *ue e" !r'!r%o e'p%e(e ! "!de!rse -#0Cu)" es e" (oe+%(%ete '2%'o de +r%((%6 est)t%(! re*uer%do p!r! e$%t!r *ue e" !r'!r%o se des"%(e (o "!!p"%(!(%6 de u! +uer9! de est! '!,%tud -( E(uetre "! '!,%tud / d%re((%6 de "! +uer9! '2%'!re*uer%d! p!r! $o"(!r e" !r'!r%o s% e" puto de !p"%(!(%6 puede e"e,%rse e (u!"*u%er p!rte de ;ste.

13.>>. U! #!rr! u%+or'e de peso F, / "o,%tud L se sost%ee e sus e:tre'os por u! depres%6 ru,os!8 (o'ose 'uestr! e "! +%,ur! P13.>>. -! De'uestre *ue e" (etro de ,r!$ed!d de "! #!rr! est) d%re(t!'ete

so#re e" puto O (u!do "! #!rr! est) e e*u%"%#r%o. -# Deter'%e e" $!"or de e*u%"%#r%o de" ),u"o θ.

F%,ur! P13>>

RESPUESTA@ -# 787


39/126


13.>. U #!st6 ,o"pe! u! #o"! / "e propor(%o! u %'pu"so =or%9ot!" de t!" +or'! *ue "! #o"! rued! s%des"%9!rse '%etr!s (o'%e9! ! 'o$erse. 0A *u; !"tur! so#re e" (etro de "! #o"! -e t;r'%os de" r!d%ode "! #o"! se re!"%96 e" ,o"pe

13.>?. U! $%,! u%+or'e de '!s! ' est) %("%!d! ! u ),u"o θ respe(to de "! =or%9ot!". Su e:tre'osuper%or produ(e u! %("%!(%6 de 7[ e u! (uerd! 'u/ ru,os! !'!rr!d! ! "! p!red8 / su e:tre'o%+er%or des(!s! so#re u p%so ru,oso -F%,. P13>?. ! S% e" (oe+%(%ete de +r%((%6 est)t%(! etre "!

$%,! / e" p%so es de µ( deter'%e u! e:pres%6 p!r! "! '!s! '):%'! M *ue puede (o",!rse de "! p!rtesuper%or !tes de *ue "! $%,! se des"%(e. -# Deter'%e "! '!,%tud de "! +uer9! de re!((%6 e e" p%so /de "! +uer9! e&er(%d! por "! $%,! so#re "! (uerd! e P e +u(%6 de m8 M / θ.

F%,ur! P13 >?

RESPUESTA@ -! M -'3 -3µe se θ (os θ - (os θ −µs se θ−1@ -# R -' M , -1 µs313 F , [M3

µe3 -' M3]13

13.>. L! +%,ur! P13.> 'uestr! u! !r'!dur! *ue soport! u! +uer9! =!(%! !#!&o de 1 777 N !p"%(!d! !" putoB. I,ore e" peso de "! !r'!dur!. Los p%"!res e A / C so u%+or'es. -! Ap"%*ue "!s (od%(%oes dee*u%"%#r%o p!r! de'ostr!r *ue A 4 N / *ue C 45 N. # Muestre *ue8 de#%do ! "!s +uer9!s *ue!(t

F%,ur! P13>

13.>. U! es(!"er! de t%&er! de peso despre(%!#"e se (ostru/e (o'o se 'uestr! e "! +%,ur! P13.>. U! p%tor! de ?7.7 , de '!s! est) p!r!d! so#re "! es(!"er! ! 4.77 ' de" puto %+er%or. Supo,! !" p%so s%

+r%((%6 / e(uetre8 -! "! tes%6 e "! #!rr! =or%9ot!" *ue (oe(t! "!s dos p!rtes de "! es(!"er!8 -# "!s+uer9!s or'!"es e A / B8 / -( "!s (o'poetes de "! +uer9! de re!((%6 e "! !rt%(u"!(%6


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F%,ur! P13>

RESPUESTA@ -! 144 N -# NA 583 N / NB 3>? N -( R : 144 N / R / −3>? N13.7. U! p%st! de #!%"e *ue '%de 37.7 ' por 37.7 ' t%ee u! '!s! de 1 777 ,. Tres p!re&!s de #!%"!r%es8

(!d! u! de 13> , de '!s! est) !" pr%(%p%o e "!s es*u%!s super%or %9*u%erd!8 super%or dere(=! e%+er%or %9*u%erd!. -! 0D6de est) e" (etro de ,r!$ed!d %%(%!" -# L! p!re&! e "! es*u%! %+er%or%9*u%erd! se 'ue$e 17.7 ' ! "! dere(=!. 0D6de est) e" ue$o (etro de ,r!$ed!d -( 0Cu)" es e"(etro de ,r!$ed!d s% es! p!re&! t!rd! .77 s e (!'#%!r su pos%(%6

13.1. U! rep%s! est) 'ot!d! so#re u! p!red $ert%(!" por 'ed%o de u so"o tor%""o8 (o'o se 'uestr! e "!+%,ur! P131. I,ore e" peso de "! rep%s! / e(uetre "! (o'poete =or%9ot!" de "! +uer9! *ue e"tor%""o e&er(e so#re "! rep%s! (u!do se !p"%(! u! +uer9! $ert%(!" de 7.7 N e "! +or'! e *ue se%d%(!. -Su,ere(%!@ I'!,%e *ue "! rep%s! est) u po(o sue"t!.

F%,ur! P13>1

RESPUESTA@ 8? N

13.3. L! +%,ur! P13.3 'uestr! u! +uer9! $ert%(!" !p"%(!d! t!,e(%!"'ete ! u (%"%dro u%+or'e de pesoF,. E" (oe+%(%ete de +r%((%6 est)t%(! etre e" (%"%dro / tod!s "!s super+%(%es es de 7.>77. E(uetre8 e+u(%6 de F, "! '):%'! +uer9! P *ue puede !p"%(!rse s% o(!s%o!r *ue ,%re e" (%"%dro. -Su,ere(%!@Cu!do e" (%"%dro est) e e" puto de des"%9!'%eto8 !'#!s +uer9!s de +r%((%6 est) e sus $!"ores'):%'os. 0Por *u;


41/126


F%,ur! P133

13.4. U !"!'#re de "o,%tud L%8 '6du"o de You, Y / )re! de se((%6 tr!s$ers!" A se e:t%edee")st%(!'ete e u! (!t%d!d ∆L. Por "! "e/ de ooe "! +uer9! rest!ur!dor! es − ∆L. -! Muestre *ue YA L%. -# Prue#e *ue e" tr!#!&o *ue se =!(e !" e:teder e" !"!'#re e u! (!t%d!d ∆L es ` YA-∆L33L%.

13.5. Dos #o"!s de te%s se (o"o(! e u re(%p%ete de (r%st!"8 (o'o se 'uestr! e "! +%,ur! PI35. Sus(etros / e" puto A se e(uetr! so#re u! "2e! re(t!. -! Supo,! *ue "!s p!redes so s% +r%((%6 /deter'%e P18 P3 / P4. -# Deter'%e "! '!,%tud de "! +uer9! e&er(%d! so#re "! #o"! dere(=! por "! #o"!

%9*u%erd!. Supo,! *ue (!d! #o"! t%ee u! '!s! de 1?7 ,.

F%,ur! P135

13.>. E "! +%,ur! P13> "!s #!"!9!s re,%str! F,1 47 N / F,3 437 N. S% se %,or! e" peso de" t!#"6 desoporte8 0! *u; d%st!(%! de" p%e de "! 'u&er est) su (etro de '!s!8 d!do *ue su !"tur! es de 3.77 '

F%,ur! P13>>

RESPUESTA@187 '

13.. U (!#"e de !(ero de 4.77 ('3 de )re! de se((%6 tr!s$ers!" t%ee u! '!s! de 3.57 , por 'etro de"o,%tud. S% >77 ' de (!#"e (ue",! de u peK!s(o $ert%(!"8 0(u)to se est%r! e" (!#"e #!&o su prop%o

peso -P!r! e" '6du"o de You, de" !(ero (osu"te "! t!#"! 13.1

13.?. ! C!"(u"e "! +uer9! (o "! (u!" u '!estro de !r!te ,o"pe! u! t!#"! s% "! r!p%de9 de su '!o e e"'o'eto de" %'p!(to es de 17.7 's / d%s'%u/e ! 1.77 's dur!te u t%e'po de (ot!(to de 7.773 77s (o "! t!#"!. L! '!s! de "! '!o / e" #r!9o (oord%!dos es de 1.77 ,. -# Est%'e e" es+uer9o de" (orte


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s% est! +uer9! es e&er(%d! so#re u! t!#"! de p%o de 1.77 (' de espesor *ue '%de 17.7 (' de !(=o. -(S% e" '):%'o es+uer9o de (orte *ue u! t!#"! de p%o puede re(%#%r !tes de ro'perse es de 4.7 : 17

N'38 0se ro'per) "! t!#"!

RESPUESTA@ -! 5 >77 N -# 58>7 : 17 N'3 -( s2

13.. U! (u#et! est) =e(=! de =o&! de 'et!" de",!d!. E" +odo / "! p!rte super%or de u! (u#et! t%ee r!d%os

de 3>.7 (' / 4>.7 ('8 respe(t%$!'ete. L! (u#et! '%de 47.7 (' de !"tur! / est) ""e! de !,u!. 0D6deest) e" (etro de ,r!$ed!d -I,ore e" peso de "! prop%! (u#et!.

13.. Pro#"e'! de rep!so. U tr)%"er (o u! (!r,! F, se &!"! por u $e=2(u"o (o u! +uer9! P8 (o'o se%"ustr! e "! +%,ur! P13. E" tr)%"er se (!r,! de t!" +or'! *ue su (etro de '!s! se u#%(! (o'o se'uestr!. I,ore "! +uer9! de +r%((%6 de rod!'%eto / (os%dere *ue ! represet! "! (o'poete x de "!!(e"er!(%6 de" tr)%"er. -! E(uetre "! (o'poete $ert%(!" de P e t;r'%os de "os p!r)'etros d!dos.-# S% ! 3.77 's3 / = 1.>7 '8 0(u)" de#e ser e" $!"or de d p!r! *ue P/ O -es de(%r8 %,u! (!r,!$ert%(!" so#re e" $e=2(u"o -( E(uetre "os $!"ores de P: / P/ d!do *ue F, 1 >77 N8 d 7.77 '8 L 4.77 '8 = 1.>7 ' / −3.77 's3.

F%,ur! P13

RESPUESTA@ -! P/ -F,L -d −!=, -# 7847 ' -( P -−47 i >>4 0 N

13.?7. U !"!'#re de !"u'%%o t%ee 7.>7 ' de "o,%tud / u! se((%6 tr!s$ers!" (%r(u"!r de 7.?7 '' de

d%)'etro. F%&o e su e:tre'o super%or8 e" !"!'#re soport! u! '!s! de 1.37 , *ue se #!"!(e! e u(2r(u"o =or%9ot!". Deter'%e "! $e"o(%d!d !,u"!r re*uer%d! p!r! produ(%r de+or'!(%6 de 1.77 : 174.

13.?1. E" !r'!96 de u puete de 377 ' de "o,%tud se e:t%ede ! tr!$;s de u r2o -F%,. PI3.?1. C!"(u"e "!+uer9! de tes%6 o (o'pres%6 e (!d! (o'poete estru(tur!" (u!do u (!rro de 1 47 , est) ee" (etro de" puete. Supo,! *ue "! estru(tur! es "%#re de des"%9!rse =or%9ot!"'ete p!r! per'%t%re:p!s%6 / (otr!((%6 t;r'%(!8 *ue "!s (o'poetes estru(tur!"es est) (oe(t!d!s por peros!rt%(u"!dos / *ue "!s '!s!s de "!s (o'poetes estru(tur!"es so pe*ueK!s (o'p!r!d!s (o "! '!s! de"(!rro.

F%,ur! P13?1

RESPUESTA@ NA NE 8 N FAB 1785 N FBC FDC FDE FAC ?85 N FCE FBD 1>8 N

13.?3. E" !r'!96 de u puete de 177 ' de "!r,o est) soport!do e sus e:tre'os por "o *ue puede des"%9!rse"%#re'ete -F%,. P13?3. U (!rro de 1 >77 , est) ! "! '%t!d etre "os putos A / C. De'uestre *ue e"

peso de" (!rro est) d%str%#u%do de '!er! u%+or'e etre "os putos A / C8 / (!"(u"e "! +uer9! e (!d!

(o'poete estru(tur!". Espe(%+%*ue s% (!d! (o'poete estru(tur!" est) #!&o tes%6 o (o'pres%6.


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Supo,! *ue "!s (o'poetes estru(tur!"es est) (oe(t!d!s por peros !rt%(u"!dos / *ue "!s '!s!s de"!s (o'poetes so pe*ueK!s (o'p!r!d!s (o "! '!s! de" (!rro.

F%,ur! P13?3


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45/126


46/126


A" !p"%(!r "! se,ud! "e/ de Neto !" 'o$%'%eto de" #"o*ue8 &uto (o "! e(u!(%6 14.18 se o#t%ee@

∑ =−= +m x9 F x

xm

9

+ −= -14.3

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de" desp"!9!'%eto. Los s%te'!s *ue se (o'port! de est! +or'! se d%(e *ue preset! #o+i#ie%to $r#/%io

si#.le& U% ob0eto se #ue+e o% #o+i#ie%to $r#/%io si#.le sie#.re que su $eler$i/% es .ro.orio%$l

$l !es.l$)$#ie%to $ .$rtir !e $lu%$ .osii/% !e equilibrio * su !irei/% es o.uest$.

U !rre,"o e:per%'et!" *ue e:=%#e 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e est) %"ustr!do e !" +%,ur! 14.3. U! '!s! (o

u! p"u'%""!u%d! ! e""!8 os(%"! de '!er! $ert%(!" e uresorte. M%etr!s "! '!s! os(%"! u! =o&! d ep!pe" se'ue$e de '!er! perped%(u"!r ! "! d%re((%6 de" 'o$%'%eto de" resorte8 / "! p"u'! tr!9! u p!tr6 (o +or'!

de od!.

(iur$ 1&2. U !p!r!to e:per%'et!" p!r! de'ostr!r e" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e. U! p"u'! u%d! ! "!

'!s! os(%"!te tr!9! u p!tr6 odu"!tor%o so#re e" p!pe" *ue se 'ue$e.

E ,eer!"8 s% u! p!rt2(u"! se 'ue$e ! "o "!r,o de" e&e x8 se d%(e *ue "o =!(e (o u 'o$%'%eto !r'6%(o

s%'p"e (u!do x8 e" desp"!9!'%eto de "! p!rt2(u"! desde e" puto de e*u%"%#r%o8 $!r2! e e" t%e'po de !(uerdo

(o"! re"!(%6@

-(os φ ω += / & x -14.4

Dode A8 ω / φ so (ost!tes. Co e" +% de propor(%o!r s%,%+%(!do +2s%(o ! est!s (ost!tes se =! ,r!+%(!do

x (o'o +u(%6 de / e "! +%,ur! 14.4!. Este es &usto e" p!tr6 *ue se o#ser$! (o e" !p!r!to e:per%'et!"

'ostr!do e !" +%,ur! 14.3. L! $#.litu! A de" 'o$%'%eto es e" desp"!9!'%eto '):%'o de "! p!rt2(u"! e !"

d%re((%6 x8 /! se! pos%t%$! o e,!t%$!. L! (ost!te ω se (oo(e (o'o "reue%i$ $%ul$r de" 'o$%'%eto /

sus u%d!des so r!d%!es por se,udo. -L! s%,%+%(!(%6 ,eo';tr%(! de ω se !!"%9!r) e "! se((%6 14.3. E"


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5? APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

),u"o (ost!te φ 8 *ue re(%#e e" o'#re de o%st$%te !e "$se -o ),u"o de +!se8 est) deter'%!do por e"

desp"!9!'%eto / "! $e"o(%d!d %%(%!"es de "! p!rt2(u"!. S% "! p!rt2(u"! est) e su pos%(%6 '):%'! x A e / 78

eto(es φ 7 / "! (ur$! de x $ersus t se 'uestr! e "! +%,ur! 14.4#. S% "! p!rt2(u"! est) e !",u! otr! pos%(%6

e t 78 "!s (ost!tes φ / A %d%(! (u)" er! e" desp"!9!'%eto e e" t%e'po t 7. L! (!t%d!d -ωt φ se

(oo(e (o'o "$se de" 'o$%'%eto / es

L!s u%d!des de ! so (%("os por se,udo s−1

8 o =ert9 -9.

A" rees(r%#%r "! e(u!(%6 14.> se o#t%ee "! +re(eu(%! !,u"!r@

T !

π π ω 3

3 ==-14.



48/126


0Cu)" tedr) *ue ser "! (ost!te de +!se φ e "! e(u!(%6 14.4 s% se estu$%er! des(r%#%edo u o#&eto

os(%"!tor%o *ue por (!su!"%d!d est) e e" or%,e e t 7


U o#&eto e:per%e't! 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e de !'p"%tud A. 0A tr!$;s de *u; d%st!(%! tot!" e" o#&eto se

'ue$e dur!te u (%("o (o'p"eto de su 'o$%'%eto -! A38 -# A -( 3A -d 5A

Se puede o#teer "! $e"o(%d!d "%e!" de u! p!rt2(u"! *ue e:per%'et! u 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e

d%+ere(%!do "! e(u!(%6 14.4 respe(to de" t%e'po@

- φ ω ω +−== / sen &/ d

xd v

-14?

L! !(e"r!(%6 de "! p!rt2(u"! es@

-(os3 φ ω ω +−== / &

/ d

vd +

-14.

Co'o x = & c*s 5 ω / + φ 68 se puede e:pres!r "! e(u!(%6 14. e "! +or'!@

x+ 3ω −= -1.

Puesto *ue "! +u(%6 seo os(%"! etre ± 18 e "! e(u!(%6 14.? se $e *ue *ue "os $!"ores e:tre'os de $ so

±ωA. Co'o "! +u(%6 (oseo t!'#%; os(%"!etre

±18 "! e(u!(%6 14. %d%(! *ue "os $!"ores e:tre'os de !

so ±ω3

A. E (ose(ue(%! "! r$.i!e) #ái$# / "! '!,%tud de "! $eler$i/% #ái#$de u! p!rt2(u"! *ue s

e'ue$e e 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e so@

&vm"x ω = -14.17

&+m"x3ω =

-14.11

L! +%,ur! 14.5! e:pres! e" desp"!9!'%eto $ersus t%e'po p!r! u $!"or !r#%tr!r%o de "! (ost!te de +!se. L!s

(ur$!s de $e"o(%d!d / !(e"er!(%6 se %"ustr! e "!s +%,ur!s 14.5# / (. Se,


49/126


(iur$ 1&


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>7 APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

φ φ ω

3333

3

73

7 (os sen & &v

x +=

+

Us!do "! %det%d!d se3 φ (os3 φ 18 se puede reso"$er p!r! A@

3

73

7

+=ω v x &

-14.1>

L!s s%,u%etes so .ro.ie!$!es i#.ort$%tes de u! p!rt%(u"! *ue e+(t

(od%(%6 su+%(%ete / e(es!r%! p!r! e" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e8 e opos%(%6 ! tod!s "!s otr!s

("!ses de $%#r!(%6.

• E" desp"!9!'%eto desde "! pos%(%6 de e*u%"%#r%o8 "! $e"o(%d!d / "! !(e"er!(%6 $!r%! seo%d!"'ete (oe" t%e'po8 pero o est) e +!se8 (o'o se 'uestr! e !" +%,ur! 14.5.

• L! +re(ue(%! / e" per%odo de 'o$%'%eto so %deped%etes de "! !'p"%tu%. -Se 'uestr! esto de !'er!

e:p"%(%t! e "! s%,u%ete se((%6.

Preu%t$ sor.res$ 1&&

0Se puede us!r "!s e(u!(%oes 3.. 3.178 3.11 / 3.13 -$;!se (%e')t%(! p!r! des(r%#%r e" 'o$%'%eto de u

os(%"!dor !r'6%(o s%'p"e

EJE4PLO 1&1& U% uer.o osil$%te

U (uerpo os(%"! (o 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e ! "o "!r,o de" e&e x. Su desp"!9!'%eto desde e" or%,e $!r2!

(o e" t%e'po de !(uer+o (o "! e(u!(%6@

+=

5(os7785- π

π / m x

Dode / est) e se,udos / "os ),u"os e "os p!r;tes%s est) e r!d%!es. -! deter'%e "! !'p"%tud8 "!

+re(eu(%! / e" per%odo de" 'o$%'%eto. -# C!"(u"e "! $e"o(%d!d / "! !(e"er!(%6 de" (uerpo e (u!"*u%er t%e'po

/ . -( Co "os resu"t!dos de" %(%so -# deter'%e "! pos%(%68 $e"o(%d!d / !(e"er!(%6 de" (uerpo e t 1877 s.

-d Deter'%e "! r!p%de9 '):%'! / "! !(e"er!(%6 '):%'! de" (uerpo. -e E(uetre e" desp"!9!'%eto de"

(uerpo etre t 7 / t 1877 s.

Solui/%


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-!A" (o'p!r!r est! e(u!(%6 (o "! 14.4 "! e(u!(%6 ,eer!" p!r! e" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e@ x = &

c*s 5 ω / + φ 6 se $e *ue & 5877 ' / ω π r!ds8 por t!to8 ! = ω 82π π3π 78>77 9 / T 18! 3877

s.

-# Ap"%(!do der%$!d!s ! "! e(u!(%6 d!d!8 tee'os@

+−=

+−==

5I7785--

57785-

π π π π

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/ d

d / senm

d/

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+−==

5(osI7785--

5(osI7785- 33

π π π π

π π π / sm/

/ d

d / sm

/ d

vd +

-( A" o#sre$!r *ue "os ),u"os e "!s +u(%oes tr%,oo';tr%(!s est) e r!d%!es se o#t%ee e t 1877 s@

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5(os7785- −=−=

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π π π

sm sm sen sm/ sen smv ILB8L?7?87-I7785-5

>I7785-

5I7785- =−−=

−=

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π π

π π π

33333 IB83??7?87-3I7785-5

>(osI37785-

5(osI7785- sm sm sm/ sm+ =−−=

−=

+−= π

π π

π π π

-dA p!rt%r de "!s e:pres%oes ,eer!"es p!r! $ / ! e(otr!dos e e" %(%so -# se us! e" =e(=o de *ue "os

$!"ores '):%'os de "!s +u(%oes seo / (oseo so "! u%d!d. E (ose(ue(%!8 $ $!r2! etre ± 5877 π

'?s8 / ! $!r2! etre ± 5877 π3 '?s3 de 'odo *ue@

sm smvm"x I7813I7785 == π

333 I>84BI7785 sm sm+m"x == π

Los '%s'os resu"t!dos se o#t%ee s% se ut%"%9! vm"x

= ω & / m"x

= ω 2

&8 dode & 5877 ' / ω π r!ds

-e L! (oorde!d! x e t 7 es@

mmm x L483?7?87-7785-5

7(os7785- ==

+=

π

E e" %(%so se e(otr6 *ue "! (oorde!d! x e t 1877 s es −384 ' por t!to8 e" desp"!9!'%eto etre t 7

/ t 1877 ses@

mmm x x x JJ8>L483L4837 −=−−=−=∆


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De#%do ! *ue "! $e"o(%d!d de "! p!rt2(u"! (!'#%! de s%,o dur!te e" pr%'er se,udo8 "! '!,%tud de ∆: o es

"! 's%!' *ue "! d%st!(%! re(orr%d! e e" pr%'er se,udo. -P!r! (u!do =! tr!s(urr%do e" pr%'er se,udo8 e"

o#&eto =! p!s!do por e" puto x −384 ' u! $e98 $%!&!do ! x −5877 ' / re,res!do ! x −384 '.

E0eriio. 0Cu)" es "! +!se de" 'o$%'%eto e t 3877 s

Res.uest$@ π5 r!d. 1&2& 'UE6A 6ISITA DEL SISTE4A BLOQUERESORTE

Cos%dere de ue$o e" s%ste'! #"o*ue−resorte -F%,. 14.>. Supo,! otr! $e9 *ue "! super+(%%e o t%ee +r%((%6 por t!to8 (u!do e" #"o*ue se desp"!(e desde e" e*u%"%#r%o8 "!

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53/126


A=or! se re*u%ere u! solui/% p!r! "! e(u!(%6 14.1?8 es de(%r u! +u(%6 :-t *ue s!t%s+!,! est! e(u!(%6

d%+ere(%!" de se,udo orde. Co'o "!s e(u!(%oes 14.1? / 14. so e*u%$!"etes8 "! so"u(%6 de#e ser "! de u

'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e@

-(os φ ω += / & x

P!r! (o'preder esto (o '!/os ("!r%d!d supo,! *ue : ! (os -ωt φ . Eto(es@

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2

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2

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2

x8d/

2

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2

x8 de 'odo *ue se resue"$e "! e(u!(%614.1?. Se (o("u/e *ue $!$ +e) que l$ "uer)$ que $t-$ sobre u%$ .$rt,ul$ es li%e$l#%ete .ro.orio%$l $l

!es.l$)$#ie%to !es!e $lu%$ .osii/% !e equilibrio * $t-$ e% !irei/% o.uest$ 8F = kx 93 l$ .$rt,ul$

e"et-$ u% #o+i#ie%to $r#/%io si#.le.

Re(uerde *ue e" per%odo de (u!"*u%er os(%"!dor !r'6%(o s%'p"e es T 3πω -E(. 14.5 / *ue "! +re(eu(%! es e"

%$erso de" per%odo. Se s!#e ! p!rt%r de "!s e(u!(%oes 14.1 / 14.1? *ue ω √ '8 por "o *ue se puede

e:pres!r e" per%odo / "! +re(ue(%! de" 'o$%'%eto de este s%ste'! (o'o@

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==-14.1

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M!s !


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C$so es.ei$l 1. Cos%dere !=or! u (!so espe(%!" p!r! u! 'e&or (o'pres%6 de" s%,%+%(!do +2s%(o de "!e(u!(%6 14.48 "! e:pres%6 *ue de+%e e" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e. Se us!r) est! e(u!(%6 p!r! des(r%#%r e"'o$%'%eto de u s%ste'! #"*ue−resorte os(%"!tor%o. Supo,! *ue &!"! e" #"o*ue u! d%st!(%! A ! p!rt%r de"

puto de e*u%"%#r%o / "o sue"t! desde e" reposo ! est! pos%(%6 e:ted%d!8 (o'o se 'uestr! e !" +%,ur! 14.. L!so"u(%6 p!r! c de#e o#ede(er "!s (od%(%oes %%(%!"es de *ue e t 78 : A / $7 7. Est!s (od%(%oes se"o,r! s% se e"%,e φ 7 / se o#t%ee x A (os ωt (o'o "! so"u(%6. P!r! $er%+%(!r est! so"u(%6 !d$%ert! *ues!t%s+!(e "! (od%(%6 :7 A e t 78 puesto *ue (os 7 1. As2 pues8 se $e *ue A / φ (ot%ee "! %+or'!(%6e "!s (od%(%oes %%(%!"es

F%,ur! 14.. S%ste'! #"o*ue−resorte *ue p!rte de" reposo e x = & . E este (!so φ 7 /8 por t!to x = & c*s ω /

I$est%,ue !=or! e" (o'port!'%eto de "! $e"o(%d!d / "! !(e"er!(%6 p!r! este (!so espe(%!". Puesto *ue : A(os ωt@

/ sen &/ d

xd v ω ω −==

/ &/ d

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+ ω ω (os3

−==

A p!rt%r de "! e:pres%6 de "! $e"o(%d!d se $e *ue8 puesto *ue se 7 78 v: 7 e t 78 (o'o se re*u%ere. L!e:pres%6 p!r! "! !(e"er!(%6 %d%(! *ue e / 78 = −ω 2 &. F2s%(!'ete est! !(e"er!(%6 e,!t%$! t%ee set%do

puesto *ue !" +uer9! *ue est) !(tu!do so#re e" #"o*ue est) d%r%,%d! =!(%! "! %9*u%erd! (u!do e" desp"!9!'%etoes pos%t%$o. E e+e(to8 e "! pos%(%6 e:tre'! *ue se 'uestr! e "! +%,ur! 14.8 F = − 9& -=!(%! "! %9*u%erd!8 / "!!(e"er!(%6 %%(%!" es −ω 2 & = − 9&8m.

Otro !(er(!'%eto p!r! pro#!r *ue x = & c*s ω t es supoer "! so"u(%6 (orre(t! us!do "! re"!(%6 t! φ −v: 8 ω x: -E(. 14.15. Puesto *ue v: 7 e t 78 t! φ 7 / por e""o φ 7. -L! t!,ete de π t!'#%; es %,u!" !(ero8 pero φ π d! e" $!"or e*u%$o(!do p!r! x:


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E" desp"!9!'%eto8 "! $e"o(%d!d / "! !(e"er!(%6 $ersus t%e'po p!r! este (!so espe(%!" se ,r!+%(! e "! +%,ur!14.?. Ad$%ert! *ue "! !(e"er!(%6 !"(!9! $!"ores e:tre'os de ±ω 3A (u!do e" desp"!9!'%eto t%ee $!"orese:tre'os de ± A8 puesto *ue "! +uer9! es '):%'! e d%(=!s pos%(%oes. Ade')s8 "! $e"o(%d!d t%ee $!"orese:tre'os de ±ω A8 "os (u!"es o(urre e x 7. E (ose(ue(%!8 "! so"u(%6 (u!t%t!t%$! (o(uerd! (o !"des(r%p(%6 (u!"%t!t%$! de este s%ste'!.

(iur$ 1&. Desp"!9!'%eto8 $e"o(%d!d / !(e"er!(%6 $ersus t%e'po p!r! u s%ste'! #"o*ue−resorte (o'o e"*ue se 'uestr! e !" +%,ur! 14.8 e:per%'et!do 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e e "!s (od%(%oes %2(%!"es e*ue t 78 x: A / v: 7 -(!so espe(%!" 1. Los or2,ees e O (orrespode !" (!so espe(%!" 38 e" s%ste'!

#"o*ue−resorte e "!s (od%(%oes %2(%!"es 'ostr!d!s e !" +%,ur! 14.. C$so es.ei$l 2. Supo,! !=or! *ue se "e d! !" #"o*ue u! $e"o(%d!d %%(%!" v: =!(%! "! dere(=! e e" 'o'etoe *ue e" s%ste'! est) e "! pos%(%6 de e*u%"%#r%o8 de '!er! *ue e / 78 x: 7 / v: v. -F%,. 14.. L!e:pres%6 p!r! : !=or! de#e s!t%s+!(er est!s (od%(%oes %2(%!"es. Puesto *ue e" #"o*ue se 'ue$e e "! d%re((%6 x pos%t%$! e / 78 / e $%st! de *ue x: 7 e / 78 "! e:pres%6 p!r! : !=or! de#e teer "! +or'! x = & sen ω /.

(iur$ 1&:. E" s%ste'! #"o*ue−resorte %d%(! su 'o$%'%eto e "! pos%(%6 de e*u%"%#r%o e t 7. S% su$e"o(%d!d %%(%!" es v: ! "! dere(=!8 "! (oorde!d! : de" #"o*ue $!r2! (o'o x = 5v: 8 ω 6 sen ω /

S% se !p"%(! "! e(u!(%6 14.15 / "! (od%(%6 %%(%!" de *ue x: 7 e t 78 se o#t%ee t! φ −∞ / φ −π3.

Por t!to8 "! e(u!(%6 14.4 se (o$%erte !=or! e : A (os -ωt −π38 "! (u!" puede es(r%#%rse (o'o : A seωt. Ade')s8 de !(uerdo (o "! e(u!(%6 14.1>8 se $e *ue A $7ω8 e (ose(ue(%!8 : se puede e:pres!r (o'o@

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L! $e"o(%d!d / "! !(e"er!(%6 e este (!so so@

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Estos resu"t!dos so (os%stetes (o "os =e(=os de *ue -1 e" #"o*ue s%e'pre t%ee u! r!p%de9 '):%'! e x 78 / -3 "! +uer9! / "! !(e"er!(%6 so (ero e est! pos%(%6. L!s ,r)+%(!s de est!s +u(%oes vers-s t%e'po e !"+%,ur! 14.? (orrespode !" or%,e e .

Preu%t$ sor.res$ 1&<

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EJE4PLO 1&2& FCui!$!o o% los b$;esG

U !uto'6$%" de 1477 , de '!s! se (ostru/e (o u !r'!96 soport!do por (u!tro resortes. C!d! resorte

t%ee u! (ost!te de +uer9! de 37 777 N. S% dos perso!s *ue $%!&! e e" !uto t%ee u! '!s! (o'#%!d! de

17 , e(uetre "! +re(ue(%! de $%#r!(%6 de" !uto (u!do p!s! por u #!(=e e e" (!'%o.

Solui/%

Supo,! *ue "! '!s! est) d%str%#u%d! e*u%t!t%$!'ete8 de 'odo *ue (!d! resorte soport! u (u!rto de "! (!r,!.

L! '!s! tot!" es de 1 57 ,8 / e (ose(ue(%!8 (!d! resorte soport! 4> ,8

Por (os%,u%ete8 "! +re(ue(%! de $%#r!(%6 es8 se,


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778>-I73>7-(os / sen sm/ &v −=−= ω ω 778>-(osI3>81-(os 33 / sm/ &+ −== ω ω

1&& E'ER5IA DEL OSCILADOS AR4O'ICO SI4PLE

A=or! se e:!'%!r) "! eer,2! 'e()%(! de" s%ste'! #"o*ue−resorte des(r%to e "! +%,ur! 14.. De#%do ! *ue "!super+%(%e o preset! +r%((%6 se esper! *ue "! eer,2! 'e()%(! tot!" se! (ost!te8 (o'o se de'ostr6 e e"(!p2tu"o . Se puede ut%"%9!r "! e(u!(%6 14.? p!r! e:pres!r "! e%er,$ i%?ti$ (o'o@

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L! eer,2! pote(%!" e")st%(! !"'!(e!d! e e" resorte p!r! (u!"*u%er e"o,!(%6 x est) d!d! por 9x2

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*ue "! su'! de#e ser (ost!te. De =e(=o8 "! eer,2! 'e()%(! tot!" es %,u!" ! "! eer,2! pote(%!" '):%'!

!"'!(e!d! e e" resorte (udo x ± A8 pues e estos putos v 7 /8 por t!to8 o =!/ eer,2! (%;t%(!. E "!

pos%(%6 de e*u%"%#r%o8 do(e EP

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P s%e'pre so pos%t%$!s / su su'! e todo 'o'eto

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!"'!(e!d! e e" resorte ! "! eer,2! (%;t%(! de" #"o*ue.

(iur$ 1&H. -! Eer,2!s (%;t%(! / pote(%!" $ersus t%e'po p!r! u os(%"!dor !r'6%(o s%'p"e (o φ 7. -#

Eer,2!s (%;t%(! / pote(%!" vers-s desp"!9!'%eto p!r! u os(%"!dor !r'6%(o s%'p"e. E (u!"*u%er! de "!s

,r)+%(!s o#ser$e *ue EC E

P (ost!te.


59/126


(iur$ 1&1. Mo$%'%eto !r'6%(o s%'p"e p!r! u s%ste'! #"o*ue−resorte / e re"!(%6 (o e" 'o$%'%eto deu p;du"o s%'p"e. Los p!r)'etros e "! t!#"! se re+%ere !" s%ste'! #"o*ue−resorte8 supo%edo *ue : A e t 78 por t!to8 : A (os ωt -$;!se (!so espe(%!" 1

L! +%,ur! 14.17 %"ustr! "! pos%(%68 $e"o(%d!d8 !(e"er!(%68 eer,2! (%;t%(! / eer,2! pote(%!" de" s%ste'! #"o*ue−resorte p!r! u per%odo (o'p"eto de 'o$%'%eto. L! '!/or p!rte de "!s %de!s e:puest!s =!st! !=or! se%(orpor! e est! %'port!te +%,ur!. Est


60/126


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3

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3

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62/126


(iur$ 1&12. Cu!do θ es pe*ueKo8 u p;du"o s%'p"e os(%"! e 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e e toro ! "! pos%(%6 de e*u%"%#r%o θ 7. L! +uer9! rest!ur!dor! es ', se θ8 "! (o'poete de "! +uer9! ,r!$%t!(%o!"t!,ete !" !r(o.

Dode s es e" desp"!9!'%eto de "! p"o'!d! 'ed%do ! "o "!r,o de" !r(o / e" s%,o 'eos %d%(! *ue "! +uer9!

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E otr!s p!"!#r!s8 el .erio!o * l$ "reue%i$ !e u% .?%!ulo si#.le !e.e%!e% s/lo ! el$ lo%itu! !e l$

uer!$ * l$ $eler$i/% !ebi!$ $ l$ r$+e!$!. Co'o e" per%odo es %deped%ete de "! '!s!8 se (o("u/e *ue

todos "os p;du"os s%'p"es *ue t%ee "! '%s'! "o,%tud / est) e !" '%s'! u#%(!(%6 -por "o *ue g es(ost!te os(%"! (o per%odos %,u!"es. L! !!"o,2! etre e" 'o$%'%eto de u p;du"o s%'p"e / e" s%ste'!

#"o*ue−resorte se %"ustr! e "! +%,ur! 14.17.


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E" 'o$%'%eto de u p;du"o s%'p"e8 (!ptur!do(o +oto,r!+2! de deste""o '


64/126


Preu%t$ sor.res$ 1&=

A u #"o*ue de '!s! m pr%'ero se "e per'%te (o",!r de u resorte e e*u%"%#r%o est)t%(o8 !" (u!" !"!r,! u!

d%st!(%! L ')s !"") de su "o,%tud e e*u%"%#r%o. E" #"o*ue / e" resorte eto(es se poe ! os(%"!r. 0E" per%odo

de este s%ste'! es 'eor8 %,u!" o '!/or *ue e" per%odo de u p;du"o s%'p"e *ue t%ee "o,%tud L / u!

p"o'!d! m

EJE4PLO 1&= Co%ei/% e%tre lo%itu! * tie#.o

C=r%st%! u/,es -13−1>8 e" 'e&or re"o&ero de "! =%stor%!8 su,%r%6 *ue podr2! de+%%rse u! u%d!d

%ter!(%o!" de "o,%tud (o'o "! "o,%tud de u p;du"o s%'p"e *ue tu$%er! u per%odo de e:!(t!'ete 1 s.

0Cu) (ort! ser2! "! !(tu!" u%d!d de "o,%tud s% se =u#%er! se,u%do sus %d%(!(%oes

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Por t!to8 "! "o,%tud de" 'etro ser2! "%,er!'ete 'eor *ue u (u!rto de su "o,%tud !(tu!". Ad$%ert! *ue e"


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EJE4PLO 1&& U%$ b$rr$ osil$%te

U! #!rr! de '!s! M / "!r,o L est) !rt%(u"!d! e uo de sus e:tre'os / os(%"! e u p"!o $ert%(!" -F%,. 14.15.

E(uetre e" per%odo de os(%"!(%6 s% "! !'p"%tud de" 'o$%'%eto es pe*ueK!8

(iur$ 1&1


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? APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

L! +%,ur! 14.1> 'uestr! u (uerpo r2,%do susped%do por u !"!'#re u%do e !" !prte super%or de u soporte+%&o. Cu!do e" (uerpo se =!(e ,%r!r (%erto ),u"o pe*ueKo θ8 e" !"!'#re tor(%do e&er(e u 'o'eto de tors2orest!ur!dor so#re e" (uerpo *ue es propor(%o!" !" deps"!9!'%eto !,u"!r. Es de(%r@

θ τ 4 −=

Dode W re(%#e e" o'#re de (ost!te e")st%(! de tors%6 de" !"!'#re de soporte. E" $!"or de W puede

o#teerse !p"%(!do u 'o'eto de tors%6 (oo(%do p!r! ,%r!r e" !"!'#re u ),u"o θ *ue puede 'ed%rse. L!

!p"%(!(%6 de "! se,ud! "eu/ de Neto p!r! e" 'o$%'%eto rot!(%o!" produ(e@

(iur$ 1&1=. U p;du"o de tors%6 (ost! de u (uerpo r2,%do susped%do por u !"!'#re u%do ! u soporte

r2,%do. E" (uerpo os(%"! e toro ! "! "2e! OP (o u! !'po"%tud θ'):

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∑ =−= 33

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d I 4 θ

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θ θ

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Este s%ste'! re(%#e e" o'#re de .?%!ulo !e torsi/%. No =!/ u! restr%((%6 de ),u"o pe*ueKo e est!

s%tu!(%68 '%etr!s o se e:(ed! e" "2'%te e")st%(o de" !"!'#re. L! +%,ur! 14.1 'uestr! "! rued! de e*u%"%#r%o de

u re"o& os(%"!do (o'o u p;du"o de tors%68 eer,%9!do por e" soporte pr%(%p!".


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(iur$ 1&1. L! rued! de e*u%"%#r%o de este !t%,uo re"o& de #o"s%""o es u p;du"o de tors%6 / re,u"! e"'e(!%s'o *ue '!t%ee e" t%e'po.

1&=& CO4PARACIO' DEL 4O6I4IE'TO AR4O'ICO SI4PLE CO' EL 4O6I4IE'TOCIRCULAR U'I(OR4E

Se puede eteder / $%su!"%9!r 'e&or 'u(=os !spe(tos de" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e !" estud%!r su re"!(%6(o e" 'o$%'%eto (%r(u"!r u%+or'e. L! +%,ur! 14.1? es u! perspe(t%$! de u !rre,"o e:per%e't!" *ue'uestr! est! re"!(%6. U! pe"ot! est) u%d! !" #orde de u tor!'es! de r!d%o A8 "! (u!" se %"u'%! desde u

"!do (o u! ")'p!r!. L! pe"ot! pro/e(t! u! so'#r! so#re u! p!t!""!. Se e(uetr! *ue (o+or'e "!tor!'es! ,%r! ! r!p%de9 !,u"!r (ost!te8 "! so'#r! de "! pe"ot! se 'ue$e =!(%! !tr) / =!(%! !de"!te e'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e.

F%,ur! 14.1?. U d%spos%t%$o e:per%'et!" p!r! de'ostr!r "! (oe:%6 etre 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e /'o$%'%eto (%r(u"!r u%+or'e. Co+or'e "! #o"! ,%r! so#re "! tor!'es! (o r!p%de9 !,u"!r (ost!te suso'#r!so#re "! p!t!""! se 'ue$e =!(%! !tr)s / =!(%! !de"!te e 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e.

Cos%dere u! p!rt2(u"! "o(!"%9!d! e e" puto P so#re "! (%r(u+ere(%! de" (2r(u"o de r!d% A8 (o'o se 'uestr!e e" +%,ur! 14.1! (o "! "2e! OP +or'!do u ),u"o φ (o e" e&e x e / 7. Este (2r(u"o re(%#e e" o',rede irulo !e re"ere%i$ !" (o'p!r!r e" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e (o e" 'o$%'%eto (%r(u"!r u%+or'e8 / seto'! "! pos%(%6 de P e t 7 (o'o "! pos%(%6 de re+ere(%!. S% "! !prt2(u"! s e'ue$e ! "o "!r,o de" (2r(u"o (or!p%de9 !,u"!r (ost!te ω =!st! *ue OP +or'! u ),u"o θ (o e" e&e x (o'o e !" +%,ur! 14.1#8 eto(es8 e(%erto t%e'po t a 78 e" ),u"o etre OP / e" e&e x es θ ωt φ . Co+or'e "! p!rt2(u"! se tr!s"!d! por e" (2r(u"o8"! pro/e((%6 P so#re e" e&e x8 '!r(!d! (o e" puto 8 se 'ue$e =!(%! !de"!te / =!(%! !tr)s ! "o "!r,o de" e&e x8etre "os "2'%tes x ± A.


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F%,ur! 14.1. Re"!(%6 etre e" 'o$%'%eto (%r(u"!r u%+or'e de u puto P / e" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"ede u puto . U! p!rt2(u"! e e" puto P se 'ue$e e u (2r(u"o de r!d%o A (o r!p%de9 !,u"!r (ost!te ω.-! U (2r(u"o de re+ere(%! *ue 'uestr! "! pos%(%6 de P e t 7. -# L!s (oorde!d!s x de "os putos P / so%,u!"es / $!r2! e e" t%e'po (u!do : A (os -ωt φ . -( L! (o'poete x de "! $e"o(%d!d de P es %,u!" ! "!$e"o(%d!d de . -d L! (o'poete : de "! !(e"er!(%6 de P es %,u!" ! "! !(e"er!(%6 de .

O#ser$e *ue "os putos P / s%e'pre t%ee "! '%s'! (oorde!d! x. De !(uerdo (o e" tr%c!,u"o re(to OP se

$e *ue est! (oorde!d! x es@

-(os φ ω += / & x

Est! e:pres%6 de'uestr! *ue e" pto se 'ue$e (o 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e ! "o "!r,o de" e&e x. E

(ose(ue(%!8 se (o("u/e *ue@

El #o+i#ie%to $r#/%io si#.le $ lo l$ro !e u%$ l,%e$ ret$ .ue!e re.rese%t$rse #e!i$%te l$ .ro*ei/%

!e u% #o+i#ie%to irul$r u%i"or#e $ lo l$ro !e u% !iá#etro !e u% ,rulo ! ere"ere%i$ .

Por 'ed%o de u !r,u'eto s%'%"!r se puede $er p!rt%r de "! +%,ur! 14.1# *ue "! pro/e((%6 de P ! "o "!r,o de"

e&e y 'uestr! t!'#%; u 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e. E (ose(ue(%!8 el #o+i#ie%to irul$r u%i"or#e

.ue!e o%si!er$rse u%$ o#bi%$i/% !e !os #o+i#ie%tos $r#/%ios si#.les8 uo ! "o !"r,o de x / uo ! "o

"!r,o de y8 dode "os dos d%+%ere e su +!se por 7.

Est! %terpret!(%6 ,eo';tr%(! 'uestr! *ue e" t%e'po p!r! u! re$o"u(%6 (o'p"et! de" puto P so#re e" (2r(u"o

de re+ere(%! es %,u!" !" per%odo de 'o$%'%eto T (orrespod%ete !" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e etre x ±

A. Es de(%r8 "! r!p%de9 !,u"!r ω de P es "! '%s'! *ue "! +re(eu(%! !,u"!r ω de u 'o$%'%eto !r'6%(os%'p"e ! "o "!r,o de" e&e x -por eso se us! e" '%s'o s2'#o"o. L! (ost!te de +!se φ p!r! e" 'o$%'%eto

!r'6%(o s%'p"e (orrespod%ete !" ),u"o %%(%!" *ue OP +or'! (o e" e&e x. E" r!d%o de" (2r(u"o de re+ere(%!8

A8 es %,u!" ! "! !'p"%tud de" 'o$%'%eto !r'6%(o s%'p"e.

Puesto *ue "! re"!(%6 etre "! r!p%de9 "%e!" / !,u"!r p!r! e" 'o$%'%eto (%r(u"!r es $ ωr -$;!se "! E(.

17.178 "! p!rt2(u"! *ue s e'ue$e so#re e" (2r(u"o de re+ere(%! de r!d%o A t%ee u !$e"o(%d!d de '!,%tud ωA.

De !(uerdo (o !" ,eo'etr2! e "! +%,ur! 14.1( se $e *ue "! (o'poete x de "! $e"o(%d!d es −ωA se -ωt


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?7 APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

φ . Por dse+%%(%68 e" puto t%ee u! $e"o(%d!d d!d! de d:dt. A" d%+ere(%!r "! e(u!(%6 14.41 respe(to de"

t%e'po se e(uetr! *ue "! $e"o(%d!d de es "! '%s'! *ue "! (o'poete x +de "! $e"o(%d!d de P.

L! !(e"er!(%6 de P so#re e" (2r(u"o de re+ere(%! est) d%r%,%d! r!d%!"'ete =!(%! !detro e d%re((%6 ! O /

t%ee u !'!,%tud v2

8& =

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13067ondas5331 Oscialciones y Ondas

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