1.2_SEÑALES CONTINUAS BASICAS (EN EL TIEMPO)

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Capítulo 1Conceptos Básicos

¿Qué es una señal?

Una señal es una función de una o más variables físicas que contiene información acerca comportamiento o la naturaleza de algún fenómeno.

Ejemplos de señales:

• Los voltajes en circuitos eléctricos

• Nuestra voz

• Las imágenes

• El índice Dow Jones semanal

Tipos de señales

Señales Continuas y DiscretasUna señal x (t ) es una señal continua si está definida para todo el tiempo t . Una señal discres una secuencia de números, denotada comúnmente como x [n], donde n es un número enteUna señal discreta se puede obtener al muestrear una señal continua.

Señales Analógicas y Digitales

Si una señal continua x (t ) puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo, entonces eseñal recibe el nombre de señal analógica. Si una señal discreta x [n] puede tomar únicameun número finito de valores distintos, recibe el nombre de señal digital .

Señales Reales y ComplejasUna señal x (t ) es real si sus valores son números reales, y una señal x (t ) es compleja si svalores son números complejos, es decir: x (t ) = x 1(t ) + j x 2(t ).

Señales Determinísticas y AleatoriasLas señales determinísticas son aquellas cuyos valores están completamente especificadoscualquier tiempo dado y por lo tanto, pueden modelarse como funciones del tiempo t . L

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8



señales aleatorias son aquellas que toman valores aleatorios (al azar) en cualquier tiempo day deben ser caracterizadas estadísticamente.

Señales Pares e ImparesUna señal es par si se cumple que x (-t ) = x (t ) para todo t . Es impar si x (-t ) = - x (t ) para todoCualquier señal puede ser expresada como una suma de dos señales, una de las cuales es y la otra impar:

x (t ) = x e(t ) + x o(t )

donde x e(t ) = 0.5 x (t ) + x (-t ) x o(t ) = 0.5 x (t ) - x (-t )

Señales Periódicas y No PeriódicasUna señal continua es periódica con periodo T si existe un valor positivo T tal que

x(t + T ) = x(t ) para todo t

Cualquier señal que no sea periódica se llama no periódica o aperiódica. El valor más peque

de T que satisface esta ecuación se llama periodo fundamental.

El recíproco del periodo fundamental es la frecuencia fundamental, se mide en Hertz (ciclos segundo) y describe qué tan seguido la señal periódica se repite.

T F

1=

La frecuencia angular, medida en radianes por segundo, se define como

T

π 2=Ω

Una señal discreta x [n] es periódica si satisface la condición:

x [n] = x [n + N ] para todos los enteros n

donde N es un número entero. El valor más pequeño de N que satisface esta ecuación se llaperiodo fundamental. La frecuencia angular fundamental, medida en radianes, se define por

N

π ω

2=

Señales de Energía y PotenciaSe dice que una señal es de energía, si y sólo si la energía total de la señal satisface

condición

0 < E < ∞

Se dice que una señal es de potencia, si y sólo si la potencia promedio de la señal satisfacecondición

0 < P < ∞

Para el caso continuo:



∫ ∞

∞−= dt t E )(x 2

∫ −=2/

2/

2 )(x1 T

T dt t

T P

Para el caso discreto:

[ ]∑∞

−∞==

nn E

2x

[ ]∑−

==

1

0

2x1 N

nn

N P

Señales Continuas Básicas

Función Escalón Unitario

<

>= 0 0

0 1)(

t

t

t u

[ ]

<

≥= 0 0

0 1n

n

nu

Función Impulso Unitario

=∞

≠=

0

0 0)(

t

t

t δ



[ ]

=≠=0 1

0 0

n

n

nδ

Señales Senoidales)cos()( θ +Ω= t At x

[ ] )cos( φ ω += n An x

Señales Exponenciales Complejast j

et xΩ

=)(

[ ] n jen x ω =

Transformaciones a la variable independiente



Inversión de tiempo Corrimiento de tiempo Escalamiento de tiempo

x(-t) x(t-t0) x(at)

¿Qué es un sistema?

Los sistemas responden a señales particulares produciendo otras señales o algún comportamiedeseado.

Ejemplos de sistemas:

• Sistema de reconocimiento de una persona a través de la voz. La entrada es una señal de vel sistema es una computadora, la señal de salida es la identidad de la persona que habla.

• Sistema de telecomunicaciones. La señal de entrada puede ser voz o datos, el sistema es ucombinación de transmisor, canal y receptor, la señal de salida es una estimación del mensaoriginal.

Propiedades de los sistemas

EstabilidadSe dice que un sistema es estable si y sólo si cada entrada acotada produce una salida acotadEn otras palabras, la salida no diverge si la entrada no diverge. Si esto no se cumple, el sistemainestable.

Estable: [ ] [ ] [ ] [ ]( )2nx1nxnxny3

1−+−+=

Inestable: [ ] [ ]nxny nr =



MemoriaUn sistema posee memoria si su señal de salida depende de valores pasados de la señal entrada. El sistema es sin memoria si la salida depende exclusivamente del valor presente deseñal de entrada.

Con memoria: [ ] [ ] [ ] [ ]( )2nx1nxnxny3

1 −+−+=

Sin memoria: [ ] [ ]nxny 2=

CausalidadSe dice que un sistema es causal si el valor presente de la señal de salida depende únicamentelos valores presente y/o pasados de la señal de entrada. En contraste, un sistema es no causala salida depende de valores futuros de la señal.

Causal: [ ] [ ] [ ] [ ]( )2nx1nxnxny31

−+−+=

No causal: [ ] [ ] [ ] [ ]( )1nxnx1nxny31 −+++=

InvertibilidadUn sistema es invertible si su entrada puede ser recuperada a partir de la señal de salida. Si nopuede hacer esto, el sistema es no invertible.

Invertible: )tx(ty(t) 0−=

No invertible: (t)xy(t)2

=

Invarianza con el tiempoUn sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento en el tiempo de la señal de entraproduce un desplazamiento en el tiempo idéntico en la señal de salida. De lo contrario, el siste

es variante con el tiempo.

Invariante con el tiempo: ( )dττxL

1y(t)

t

∫ ∞−=

Variante con el tiempo: [ ] [ ]nxny nr =

LinealidadSe dice que un sistema es lineal si satisface el principio de superposición. Un sistema que vieste principio es no lineal .

Principio de superposición: ∑∑==

=→= N

i

ii

N

i

iiaa

11

(t)yy(t)(t)xx(t)

Lineal: [ ] [ ] [ ] [ ]( )2nx1nxnxny31

−+−+=

No lineal: [ ] [ ]nxny nr =

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo(SLITs para los cuates)

Considérese el siguiente producto:



[ ] [ ] [ ] [ ]nδ0xnδnx =

Generalizamos haciendo un producto con una delta desplazada:

[ ] [ ] [ ] [ ]nδk xk nδnx =−

En la expresión anterior n representa el índice del tiempo, de modo que x[n] representa una señax[k ] representa el valor de la señal x[n] en el instante k . Esta propiedad nos permite expresa

señal x[n] de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] +−+−+++−++−+= 2nδ2x1nδ1xnδ0x1nδ1x2nδ2xnx

Podemos compactar esta ecuación de la forma siguiente:

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

k nδk xnx

Este es un ejemplo gráfico de esta ecuación:

Supongamos que tenemos un SLIT y que cuando la entrada a este sistema es un impulso unita

δ [n] obtenemos una salida a la que denominamos h[n].

Debido a las características del sistema se debe de cumplir el principio de superposición, adem

de que si la entrada es la misma función impulso pero desplazada (δ [n-k]), obtendremos la misrespuesta con su respectivo desplazamiento (h[n-k]).



Basándonos en todo lo anterior la salida de un SLIT estará dada por la ecuación siguiente:

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

k nhk xny

Poniéndolo en palabras, la salida de un SLIT es una suma ponderada de respuestas al impu

desplazadas en el tiempo. A la ecuación anterior se le llama sumatoria de convolución y se escrtambién de manera compacta:

[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=

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