1.2 Interés Compuesto

8/16/2019 1.2 Interés Compuesto

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INTERÉS COMPUESTO

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PROF. MAG. ALFREDO VENTO ORTIZ


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EL RÉGIMEN DE INTERÉSCOMPUESTO

Una operación financiera es concertada en elrégimen del interés compuesto si los interesesgenerados en cada período (llamado “período de

capitalización”), se desembolsan o se suman alcapital inicial en dicho período . Cabe observarque en el interés compuesto el capital creceexponencialmente.

La tasa de interés con la cual se calculan losintereses en este régimen se denomina tasaefectiva y ésta sólo se puede transformar

utilizando operaciones de exponenciación. 2


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CÁLCULO DEL VF PARA UNPERÍODO

Suponga que usted dispone de un capital inicial de S/. 150, que otorgauna Tasa Efectiva Mensual de 5%. Calcule el Valor Final a un período.

150

VF = 150*(1.05)

0 1 mes

(1.05)

Por lo tanto el VF generado por S/. 1 luego de un mes será: VF = 1 + 0.05 = 1.05 (Factor de capitalización por período)

De este modo el VF generado por S/. 150 luego de un mes será: VF = 150 *(1.05)

SoluciónCapital inicial = S/. 150TEM= 5%

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CÁLCULO DEL VF CON VARIOSPERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN

150

VF 1

0 1 2 3 4

(1.05)

VF 2

(1.05)

En el contexto del ejercicio anterior, calcule el Valor Final al cuarto período.SoluciónCapital inicial = S/. 150TEM= 5%Factor de capitalización mensual =(1.05)

Por lo tanto, S/. 1 al comenzar el segundo período seconvertirá en S/. 1.05 al final del segundo período.

Entonces, para el segundo período se tendría: VF2 = 150 (1.05)2

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CÁLCULO DEL VF CON VARIOSPERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN

En el contexto del ejercicio anterior, calcule el Valor Final al cuarto período.SoluciónCapital inicial = S/. 150TEM= 5%Factor de capitalización mensual =(1.05)

Si empleamos el mismo razonamiento para los siguientesperíodos, obtendremos los equivalentes futuros delcapital inicial 150:

VF4=150(1.05)4 VF3=150(1.05)3

VF2=150(1.05)2 VF1=150(1.05)

150

0 1 2 3 4 5


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OPERACIONES BÁSICAS DE LASMATEMÁTICAS FINANCIERAS

“SUMAR INTERESES A UN CAPITAL INICIAL” Si deseamos hallar el equivalente futuro (VF) de un capital

inicial (VA), simplemente debemos multiplicarsucesivamente su magnitud por los factores decapitalización de cada período.

CAPITALIZACIÓN

“RESTAR INTERESES A UN CAPITAL FINAL” Si deseamos hallar el equivalente actual (VA) de un capitalfuturo (VF), simplemente debemos dividir sucesivamentesu magnitud entre los factores de capitalización de cadaperíodo.

ACTUALIZACIÓN

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PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA:ECUACIÓN DE VALOR

“En una operación financiera, el dinero no se crea ni sedestruye, sólo se transforma a la tasa efectiva de dicha

operación”

Siempre se deberá cumplir que a la tasa de la operación(llamada TIR), todos los ingresos deben ser “equivalentes” con todos los egresos, por lo tanto, sus valores actuales ovalores futuros deben ser iguales.

El planteamiento de dicha igualdad constituye lo quedenominados la “ecuación de valor”, la cual debemos utilizarpara resolver TODOS los problemas referidos a lasmatemáticas financieras.

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Ejemplo 1: Con tasas fijas

Una empresa obtiene un pagaré vencido de valor nominalS/. 5,000, a una TEM de 2% y con vencimiento a 120días.

Determine el importe a pagar en la fecha de vencimiento.

0 1 2 3 4

S/.5000

VF=?

2% 2% 2% 2%

Diseñamos el flujo de caja

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Solución 1: Con tasas fijas

Se plantea el valor final de la siguiente manera:

VF = 5 000 x (1,02) x (1,02) x (1,02) x (1,02) VF = 5 000 (1,02)4 = 5 412,16

5000

0 1 2 3 4

VF =?

(1.02)(1.02)(1.02)(1.02)

Factor decapitalización

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Una empresa invierte S/. 3000 en la compra de un papelcomercial. Hallar el monto generado a fines del mes 15, siel rendimiento que ofrece este activo financiero es unaTEM de 2,5%.

VF=?

3000

15 meses1413210

2.5% 2.5% 2.5% 2.5%

inversión


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(1,025) (1,025) (1,025) (1,025)

3 000

VF =?

0 1 2 13 14 15

Se plantea el valor final de la siguiente manera:

VF= 3 000 (1,025)15

VF= 4 344,89


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Tasa 2.5%

Nper 15

Va 3,000.00

VF 4,344.89

Solución 2: Con Excel

1. Ingresar a la opción funciones – fx.2. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” .3. Seleccionar VF.4. Ingresar Aceptar.

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Faltando 8 meses para su vencimiento, una empresadescuenta una letra de valor nominal S/. 6540. Si enesta operación se utilizará una TEM de 2,2%, determineel importe neto a recibir.

876210

6540

VA =?


2.2% 2.2% 2.2% 2.2%

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(1,022)(1,022)(1,022)(1,022)

6540

VA =?

876210

El Valor Actual se plantea de la siguiente manera:

VA = 6 540 / (1.022)8 = 5 495,04


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Tasa 2.2%

Nper 8

Vf 6,540.00

VA 5,495.04


1. Ingresar a la opción funciones – fx.2. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” .3. Seleccionar VA.

4. Ingresar Aceptar.

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Un capital de S/. 8000 ha generado un monto de S/.12800 luego de 30 meses. Hallar la TEM a la cual estuvosujeta.

302928210

12800

8000

i i i i

i = tasa decimal mensual

Valor actual

Valor finalDiseñamos el flujo de caja

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i = tasa decimal mensual

12800

8000

(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)30 meses2928210

Planteamiento para hallar la tasa decimal mensual: 12800 = 8000 (1+i)30 i = (12 800 / 8 000) (1/30) - 1 = 0,015790 i% = 1,5790%


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Un capital de S/. 9000 ha generado un monto de S/.15300, si estuvo sujeto a una tasa de 3,5% mensual.Hallar el plazo de la operación.

n(n-1)(n-2)210

15300

9000


3.5% 3.5% 3.5% 3.5%

Valor actual

Valor final

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(1,035)(1,035)(1,035)(1,035)

9000

15300

n(n-1)(n-2)210


Planteamiento para hallar el número de períodos: 15 300= 9 000 (1.035) n n = Log (15 300 / 9 000) / Log (1.035) n = 15,42

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Tasa 3.50%

Va 9,000Vf 15,300

NPER 15.42


1. Ingresar a la opción funciones – fx.2. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” .3. Seleccionar NPER

4. Ingresar Aceptar.

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Ejemplo 6: Con principal fijo y tasavariable

El día de hoy se realiza un depósito de S/. 2000. Hallar elmonto generado a fines del mes 5, si la tasa que ganaráeste depósito es de 2% mensual por los primeros 2 meses

y luego cambia a 3% mensual.

0 1 2 3 4 5

2000

VF =?

2% 2% 3% 3% 3%


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Solución 6: Con principal fijo y tasavariable

0 1 2 3 4 5(1.02)(1.02) (1.03) (1.03) (1.03)

2000

VF =?Factor decapitalización

NUEVOFactor de

capitalización

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Hallando el Valor Final: VF= 2 000 (1,02)2x (1,03)3 VF= 2 273,75

Con Excel:

Solución 6: Con principal fijo y tasavariable

VA 2000 VA 2,080.80

n 2 n 3

i% 2.00% i% 3.00%

VF 2,080.80 VF 2,273.75

Primero, hallamos el VF paralos primeros dos períodos,con la función VF, explicadaanteriormente.

Luego, tomando enconsideración el VF al período2 como el nuevo VA en elperíodo 3, se determina el VFal cabo del 5to mes.

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Ejemplo 7: Con principal variable ytasa fija

Hoy se realiza un depósito de S/. 5000. Hallar el montogenerado a fines del mes 5, si en el mes 3 se realiza otrodepósito de S/. 2000. La tasa que ganará es de 2%

mensual.

0 1 2 3 4 5

5000 2000

VF =?Diseñamos el flujo de caja

2% 2% 2% 2% 2%

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Solución 7: Con principalvariable y tasa fija

0 1 2 3 4 5

5000

2000

VF Total

2% 2%2% 2% 2%

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Solución 7: Con principalvariable y tasa fija

Planteamiento del Valor Final Total: VF total = VF (5 000) +VF (2 000) = 5 000 (1,02)5+2 000(1,02)2 = 7 601,20

Con Excel

VA 5000 VA 2,000.00

n 5 n 2

i% 2.00% i% 2.00%VF 5,520.40 VF 2,080.80

VF total 7,601.20

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Ejemplo 8: Con principalvariable y tasa variable

Hace 8 meses una persona depósito de S/. 5 000en una cuenta de ahorro, tres meses después

retiro S/. 2 000 y dos meses más tarde realizóotro depósito de S/. 5 000. Si la tasa que se pagóen esta cuenta fue de 2% mensual por losprimeros 4 meses y 3% los siguientes meses,

hallar su saldo actual.

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Solución 8: Con principalvariable y tasa variable

2% 2% 2% 2% 3% 3% 3% 3% 0 1 2 3 4 5

5000

2000

VF Total

5000

7 6 8

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Solución 8: Con principalvariable y tasa variable

VF = 5000(1,02)4x(1,03)4+5000(1,03)3-2000(1,02)(1,03)4 = 9 259,03

Con Excel:

VA 5000 VA 5,412.16 VA 5000 VA 2000 VA 2,040.00

n 4 n 4 n 3 n 1 n 4

i% 2% i% 3% i% 3% i% 2% i% 3%

VF 5,412.16 VF 6,091.43 VF 5,463.64 VF 2,040.00 VF 2,296.04

VF TOTAL 9,259.03

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Ejemplo 9: Con períodofraccionario

Una empresa invierte S/. 4 000 en un papelcomercial que paga una TEM de 2%, hallar el VFque generará luego de 108 días.

2 % mensual

0

4000

VF =?

108 días

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Solución 9: Con períodofraccionario

Factor mensual = (1,02) para cada 30 días

VF = 4000 (1.02)(108/30) = 4295.57

4000

VF=?

0

(1.02) (1.02) (1.02)

1 mes 2 meses 3 meses 108/30 meses

VA 4000

n 3.60

i% 2%

VF 4,295.57

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Una empresa obtiene un pagaré vencido de S/. 5 000a una TEA de 15%. Si desea cancelar dicho préstamoa los 80 días, hallar el importe a pagar.

80 días0

5000

VF=?

15% anual

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VF = 5 000 (1,15)80/360 = 5 157.73

VF=?

80/36060/36030/3600

5000 Factor anual = (1.15) para cada 360 días

VA 5000n 0.22222

i% 15%

VF 5,157.73

35


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Una empresa obtuvo un avance en cuentacorriente por S/. 2 000 a una TEM de 6%, sidesea cancelar dicho préstamo 21 días después

de haberlo recibido. Hallar el pago que tendráque realizar.2000

Pago = ?

21 días6% mensual

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VF = 2 000 (1.06)(21/30)

VF = 2 083,26

Con ExcelVA 2000

n 0.70000

i% 6%

VF 2,083.26

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VALOR ACTUAL EN EL INTERESCOMPUESTO (VA)

Se le define como el equivalente actual de unflujo de dinero futuro.

Se le debe entender como el resultado de restara un capital futuro los intereses generados(descuento) por su VA a cierta tasa.

Para hallar el VA de un capital futuro, se le

divide por los sucesivos factores decapitalización que componen el plazo aconsiderar en la operación.

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CALCULO DEL VA EN ELINTERES COMPUESTO

VF

Interés

VA VA(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

0 1 2 3 4 . . . . n

V A = VF - Interés = VF(1+i)n

Interés = Descuento compuesto 39

Ejemplo 12: Valor Actual con


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Ejemplo 12: Valor Actual contasas fijas

Una empresa desea descontar una letra devalor nominal S/. 6 788,45 que vence dentrode 158 días, si la tasa de descuento a utilizaren la operación es 2,5% TEM, determine el

importe que recibirá en la operación.6788.45

VA =?

158 días43210

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Solución 12: Valor Actual contasas fijas

VA = 6 788.45 = 5 960.62

(1.025)(158/30)

10 2 3 4 158 días(1.025) (1.025) (1.025) (1.025) (1.025)

6788.45

VF 6788.45

n 5.27

i% 2.5%

VA 5,960.62

VA =?

41

Ej l 13 D t


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Ejemplo 13: DescuentoCompuesto

Faltando 5 meses para su vencimiento, sedescuenta, una letra de valor nominal S/. 8 000. Sise utiliza una TEM de 3,5%, hallar el descuento.

8000

V A = ?

3.5 % 3.5 % 3.5 % 3.5 % 3.5 %0 1 2 3 4 5

42

S l ió 13 D t


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Solución 13: DescuentoCompuesto

VA = 8 000 = 6 735,79(1,035)5

210 3 4 5

VA=?

8000

(1.035) (1.035) (1.035) (1.035) (1.035)

1.2 Interés Compuesto

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