11' P2 (1.2)
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SOLUCION SEGUNDA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALESIngeniería Civil Códigos 10008-11039-19003-95007- 96008
Primer Semestre 2011(25/05/2011)
Pregunta 1
Una masa de 12 slug estira un resorte de 4 pies y el medio que rodea el sistemamasa-resorte ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a 4.5veces la velocidad instantánea. El peso se suelta 6 pulgadas por debajo de laposición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de v0 pies/seg.¿Quevalores puede tener v0 para que la masa pase por la posición de equilibrio?Respuesta:Como m = 1
2 slug )W = 32 � 12 = 16 = 4k ) k = 4Luego la ecuación es :1
2x00 +
9
2x0 + 4x = 0
con las condiciones x (0) = 12 y x
0 (0) = �v0 y v0 > 0pues la velocidad esta dirigida hacia arriba.................................................................................................................0.4
Resolviendo la ecuación homogénea obtenemos:x (t) = Ae�8t +Be�t con A y B constantes.................................................................................................................0.4De las condiciones x (0) = 1
2 y x0 (0) = �v0
obtenemos el sistema :A+B = 1
2�8A�B = �v0
�de donde A =
2v0 � 114
y B =4� v07
................................................................................................................0.2El objeto pasará por la posición de equilibrio si x (t) = 0; es decir si:�2v0 � 114
�e�8t +
�4� v07
�e�t = 0
.
................................................................................................................0.2De donde obtenemos:, e7t =
2v0 � 12 (4� v0)
con v0 > 0
................................................................................................................0.2Para todo t > 0 se tiene que e7t � 1; entonces2v0 � 12 (4� v0)
> 1 con v0 > 0
................................................................................................................0.2Resolviendo la inecuación se tiene que la masa pasará por la posición de
equilibrio si
v0 >9
4................................................................................................................0.4
1
Pregunta 2
Para x > 0 usando método de Frobenius encuentre la solución general alrede-dor de x = 0 de la ecuación de Laguerre de orden 2: xy00+(1�x)y0+2y = 0:
Solución:Multiplicando por x la ecuación se tiene:
x2y00 + (1� x)xy0 + 2xy = 0; x = 0; punto singular regular
�(x) = xr1Xk=0
ck(r)xk; �0(x) = xr�1
1Xk=0
(k + r)ck(r)xk;
�00(x) = xr�21Xk=0
(k + r � 1)(k + r)ck(r)xk
Formando los términos de la ecuación diferencial:
x2�00(x) = xr1Xk=0
(k + r � 1)(r + k)ck(r)xk
x�0(x) = xr1Xk=0
(k + r)ck(r)xk
x2�0(x) = xr1Xk=0
(k + r)ck(r)xk+1 = xr
1Xk=1
(k + r � 1)ck�1(r)xk
2x�(x) = xr1Xk=0
2ck(r)xk+1 = xr
1Xk=1
2ck�1(r)xk
Reemplazando en la ecuación diferencial:
xr
" 1Xk=0
((k + r � 1)(k + r) + (k + r)) ck(r)xk +1Xk=1
(�(k + r � 1) + 2) ck�1(r)xk#
= 0
xr
"((r � 1)r + r) c0(r) +
1Xk=1
[((k + r � 1)(k + r) + (k + r)) ck(r) + (�k � r + 3) ck�1(r)]xk#
= 0
Polinomio indicial: q(r) = r2; q(r) = 0, tiene por solución r = r1 = r2 = 0
q(k + r) = (k + r)2; luego (k + r)2ck(r) + (�k � r + 3)ck�1(r) = 0; 8k � 1
................................................................................................................0.3ck(r) =
k+r�3(k+r)2 ck�1(r); 8k � 1
c1(r) =r�2(r+1)2 c0(r)
c2(r) =r�1(r+2)2 c1(r) =
(r�1)(r�2)(r+1)2(r+2)2 c0(r)
c3(r) =r
(r+3)2 c2(r) =r(r�1)(r�2)
(r+1)2(r+2)2(r+3)2 c0(r)
2
ck(r) =(r � 2)(r � 1)r(r + 1):::(r + k � 3)
(r + 1)2(r + 2)2:::(k + r)2c0(r); 8k � 1
................................................................................................................0.4Con r = 0 y c0(0) = 1, se tiene c1(r) = �2; c2(r) = 1
2 yck(0) = 0; 8k � 3
�1(x) = 1� 2x+1
2x2
................................................................................................................0.3Aplicando logaritmo a ck(r) y luego derivando se tiene:
ln(ck(r)) = [ln(r � 2) + ln(r � 1) + ln(r) + ln(r + 1) + :::+ ln(r + k � 3)]�2 [ln(r + 1) + ln(r + 2) + :::+ ln(k + r)]
c0k(r)
ck(r)=
1
r � 2 +1
r � 1 +1
r+ :::+
1
r + k � 3
�2�1
r + 1+
1
r + 2+ :::+
1
r + k
�c0k(r) =
"(r � 1)r(r + 1):::(r + k � 3)(r + 1)
2 � (r + 2)2 ::: (r + k)2+(r � 2)r(r + 1):::(r + k � 3)
(r + 1)2::: (r + k)
2
+(r � 2)(r � 1)(r + 1):::(r + k � 3)(r + 1)
2 � (r + 2)2 ::: (r + k)2+ � � �+ (r � 2)(r � 1)(r + 1):::(r + k � 2)
(r + 1)2 � (r + 2)2 ::: (r + k)2
�2�1
r + 1+
1
r + 2+ :::+
1
r + k
�ck(r)
�c0(r)
8k � 3
................................................................................................................0.4Con r = 0 y c0(0) = 1 se tiene:
c0k(0) =2 � 1 � 2 � 3 � 4 � :: � (k � 3)12 � 22 � 32 � ::: � k2 =
2 � 1 � 2 � 3 � ::: � (k � 3) � (k � 2)(k � 1)k(k!)2(k � 2)(k � 1)k
c0k(0) =2
(k � 2)(k � 1)k � k! ; 8k � 3
................................................................................................................0.4Coonsiderando en forma independiente las derivadas de c1(r) y c2(r)
3
�2(x) =
"5x� 9
4x2 +
1Xk=3
2
(k � 2)(k � 1)k � k!xk
#+ ln(x)�1(x)
Solución general
�(x) = c1�1(x) + c2�2(x); c1; c2�R
................................................................................................................0.2
.Pregunta 3(a) Demuestre que:
sen(at) � sen(bt) = asen(bt)� bsen(at)a2 � b2 ; a 6= b
(b) Resuelva la ecuación con valores iniciales. Use transformada de Laplace.
y00 + 4y = f(t); donde f(t) =�
0; si 0 � t < 42sen(�t); si t � 4
tal que y(0) = 1; y0(0) = 0
Solución:(a)
L�asen(bt)� bsen(at)
a2 � b2
�(s) =
1
a2 � b2
�ab
s2 + b2� ba
s2 + a2
�=
ab
a2 � b2
�s2 + a2 � s2 � b2(s2 � b2)(s2 + a2)
�=
ab
(s2 + b2)(s2 + a2)
=a
s2 + a2� b
s2 + b2
= L (sen(at)) (s) � L (seb(bt)) (s)= L(sen(at) � sen(bt))(s)
Como L es inyectivo, se tiene que sen(at) � sen(bt) = asen(bt)� bsen(at)a2 � b2
................................................................................................................0.6
(b) Tenemos:
y00 + 4y = 2sen(�t) � u(t� 4)= 2u(t� 4)sen(�t� 4�)
................................................................................................................0.3
4
Aplicando transformada de Laplace queda:
s2Y (s)� s+ 4Y (s) = 2e�4s�
�
s2 + �2
�Entonces:
Y (s) =s
s2 + 22+ e�4s
��
s2 + �2� 2
s2 + 22
�................................................................................................................0.4
Y (s) =s
s2 + 22+ e�4s (L(sen(�t))(s) � L(sen(2t)) (s))
Y (s) =s
s2 + 22+ e�4s(L(sen(�t) � sen(2t))(s))
................................................................................................................0.3Usando (a)
Y (s) =s
s2 + 22+ e�4s
�L��sen(2t)� 2sen(�t)
�2 � 22
�(s)
�Aplicando L�1 :
y(t) = cos(2t) +
��sen(2(t� 4))� 2sen(�(t� 4))
�2 � 4
�u(t� 4)
................................................................................................................0.4
5