11. contraste de hipóteses
-
Upload
german-mendez -
Category
Education
-
view
285 -
download
3
Transcript of 11. contraste de hipóteses
![Page 1: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/1.jpg)
MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOSE NUMÉRICOS
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas
CONTRASTE DE HIPÓTESES
UNIDADE 11UNIDADE 11
ÍNDICEÍNDICE
![Page 2: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/2.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
ConceptosConceptos
1. Introdución2. Hipóteses estatísticas.3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.4. Tipos de erros5. Criterios de decisión. 6. Pasos para a construción dun contraste
de hipóteses.
![Page 3: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/3.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
ConceptosConceptos
1. Contraste de hipóteses para a media2. Contraste de hipóteses para a proporción
.3. Contraste de hipóteses para a diferenza
de medias.4. Relación entre contraste de hipóteses e
intervalos de confianza.
![Page 4: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/4.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
Os obxectivos principais dos procedementos de inferencia tratados ata agora son dous:Determinar o valor concreto dun
parámetro poboacional ( Estimación puntual )Construír unha rexión aleatoria que
conteña un parámetro poboacional cunha probabilidade prefixada de antemán (Intervalos de confianza)
![Page 5: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/5.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
Neste tema veremos unha terceira forma de inferencia estatística denominada Contraste de hipóteses O contraste de hipóteses serve para
corroborar ou rexeitar unha afirmación ( hipótese ) sobre a poboación en estudo.
![Page 6: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/6.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
A teoría do contraste de hipóteses foi proposta por Egon Pearson e Jerzy Neymann en 1928, analizaron a técnica do contraste, a eficiencia relativa e a optimidade dos contrastes. A pesar dalgunha controversia, nos anos 50 chegou a ser de práctica xeral.
![Page 7: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/7.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
Probar estatísticamente unha hipótese é comprobar se a información que proporciona unha mostra observada concorda (ou non) coa hipótese estatística formulada sobre o modelo de probabilidade en estudo e, polo tanto, decidir se aceptar (ou non) a hipótese formulada cunhas marxes de erro previamente prefixadas.
![Page 8: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/8.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
É dicir, Contrastar unha hipótese é comparar as prediccións coa realidade que observamos. Se dentro da marxe de erro que nos permitimos admitir, temos coincidencia, aceptaremos a hipótese e, en caso contrario a rexeitaremos.
![Page 9: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/9.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
Polo tanto, un contraste de hipóteses é un procedemento que nos permite decidir se unha hipótese realizada sobre un parámetro descoñecido se acepta ou se rexeita cunha probabilidade prefixada α, chamada nivel de significación
![Page 10: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/10.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
Vexamos exemplos de situacións nas que podemos utilizar o contraste de hipóteses
![Page 11: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/11.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
Exemplo 1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm e, en efecto, prodúceos cunha lonxitude media de 15,50 mm e unha desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tempo, quérese comprobar se a máquina segue funcionando correctamente, pois se teñen sospeitas de que se desaxustou.
![Page 12: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/12.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
mm54,15x mmx 04,0
mmx 04,0
Exemplo 1: Temos que decidir se a lonxitude media segue sendo μ =15,50 ou, se pola contra, µ ≠ 15,50; en cuxo caso, deberemos reaxustar a máquina. Para verificalo extraemos unha mostra de 90 parafusos e resulta que a media é A diferenza pode deberse a que:
A máquina se desaxustou e μ ≠ 15,50A máquina funciona ben e a diferenza débese
ao azar, consecuencia de elixir unha mostraPara decidir entre as dúas posibilidades faremos un contraste de hipóteses (Contraste de hipóteses para a media)
15,54x 0,04μx
![Page 13: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/13.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
Exemplo 2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é do 95%.
Se queremos coñecer a veracidade desa información, consideraremos a hipótese: a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é igual a 95% e a contrastaremos coa información obtida a partir dunha mostra. (Contraste de hipóteses para a proporción)
![Page 14: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/14.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Introdución1. Introdución
Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a segunda empresa afirma que os seus motores duran máis que os da primeira. Para determinar se aceptamos ou rexeitamos esta afirmación da empresa, podemos utilizar o contraste de hipóteses para a diferenza de medias.456456
![Page 15: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/15.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Hipóteses estatísticas2. Hipóteses estatísticas
Unha hipótese estatística é unha afirmación respecto a algunha característica dunha poboación.
![Page 16: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/16.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Hipóteses estatísticas2. Hipóteses estatísticas
Unha hipótese estatística pode ser: Paramétrica: é unha afirmación sobre os valores dos parámetros poboacionais descoñecidos.
Clasifícanse en: Simple: se a hipótese asigna valores únicos aos parámetros ( μ = 1'5, σ = 10, ...). Composta: se a hipótese asigna un rango de valores aos parámetros poboacionais descoñecidos ( μ > 1'5, 5 < σ < 10, ...).
![Page 17: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/17.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Hipóteses estatísticas2. Hipóteses estatísticas
Non Paramétrica: É unha afirmación sobre algunha característica estatística da poboación en estudo.
Por exemplo:as observacións son independentes a distribución da variable é normal a distribución é simétrica, ...
![Page 18: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/18.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.Hipótese nula. Hipótese alternativa.
O primeiro paso no contraste consiste en formular as seguintes hipóteses:
A hipótese nula: denótase por H0 e é a afirmación que se considera verdadeira e que se quere contrastar.
A hipótese alternativa: denotada por H1, é a afirmación contraria á formulada na hipótese nula.
![Page 19: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/19.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.Hipótese nula. Hipótese alternativa.
Observacións:
1º.- A aceptación de H0 non implica que esta sexa correcta, se non que os datos da mostra non proporcionaron evidencia suficiente como para refutala.
![Page 20: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/20.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.Hipótese nula. Hipótese alternativa.
2º.- Se o experimentador quere apoiar con contundencia un determinado argumento é debido a que este non pode ser asumido gratuitamente e, polo tanto, só poderá ser defendido a través do rexeitamento do argumento contrario. Por exemplo, se un médico quere avalar
empiricamente que unha nova vacina é efectiva, entón a hipótese nula será:H0: “A vacina non é efectiva”
![Page 21: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/21.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa3. Hipótese nula. Hipótese alternativa
Exemplo 1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm. e, en efecto, prodúceos cunha lonxitude media de 15,50 mm. e unha desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tempo, quérese comprobar se a máquina segue funcionando correctamente, pois se teñen sospeitas de que se desaxustou.
![Page 22: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/22.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa3. Hipótese nula. Hipótese alternativa
Para poder decidir, definimos como hipótese nula:
H0:“a máquina funciona ben”: μ=15,50 mm.
E, polo tanto: H1 : μ≠15,50 mm.
![Page 23: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/23.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa3. Hipótese nula. Hipótese alternativa
Exemplo2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é do 95%.
H0:“a proporción de aprobados é do 95% ”: p=0,95
E, polo tanto:H1: p≠0,95 mm
![Page 24: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/24.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa3. Hipótese nula. Hipótese alternativa
Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a segunda empresa afirma que os seus motores duran máis que os da primeira.
H0 : μ1-μ2 = 0
E, polo tanto: H1 : μ1-μ2 ‡ 0
![Page 25: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/25.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. 4. Tipos de errosTipos de erros..
O contraste de hipóteses non establece a verdade da hipótese, senón un criterio que nos permite decidir se unha hipótese se acepta ou se rexeita segundo as mostras observadas difiren significativamente dos resultados esperados.
Neste proceso podemos incorrer en dous tipos de erros segundo sexa a situación real e a decisión que tomemos.
![Page 26: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/26.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. 4. Tipos de errosTipos de erros..
Erro de tipo I: Rexeitamos a hipótese nula cando esta é certa. Error de tipo II: Non rexeitamos a
hipótese nula cando esta é falsa.As catro posibles situacións que
poden dar lugar a un contraste de hipóteses esquematízanse no seguinte cadro:
![Page 27: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/27.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. 4. Tipos de errosTipos de erros..
A ter en conta:Os dous tipos de erros son incompatibles: só é
posible cometer un erro de tipo I se se rexeita a hipótese nula; mentres que o erro de tipo II está ligado ao non rexeitamento da hipótese nula.
H0 certa H0 falsa
H0 rexeitada Erro tipo I Decisión correcta
H0 non
rexeitada
Decisión correcta
Erro tipo II
![Page 28: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/28.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Toda decisión esta suxeita a erro e, polo tanto, calquera criterio utilizado para optar por unha ou pola outra hipótese atenderá a controlar o risco de equivocarse.
Temos dous posibles enfoques iniciais:Unicamente pretendemos controlar o risco
de cometer un erro de tipo IA decisión tomada garante probabilidades
prefixadas de antemán para ambos os dous erros.
![Page 29: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/29.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Acoutar a probabilidade de erro de tipo I
Esta proposta responde a aquelas situacións nas que o experimentador aposta inicialmente pola hipótese nula e só está disposto a rexeitala se a evidencia na súa contra é moi importante, preocupándose en menor medida de aceptala erroneamente.
![Page 30: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/30.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Exemplo:Nun proceso xudicial no
que se decide entre a inocencia ou a culpabilidade do reo só se rexeitará a hipótese nula (o acusado é inocente) se a evidencia das probas acerca da súa culpabilidade vai máis alá de calquera dúbida razoable.
![Page 31: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/31.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Definición: Chámase nivel de significación dun contraste, α, á probabilidade de cometer un erro tipo I
α = P ( “rexeitar H0” / ”H0 é certa” )
![Page 32: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/32.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Fixar o nivel de significación é decidir de antemán a probabilidade máxima que se está disposto a asumir, de rexeitar a hipótese nula cando é certa.O nivel de significación o elixe o
experimentador, aínda que os valores usados habitualmente son 0,1; 0,05 ou 0,01
![Page 33: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/33.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
A selección dun nivel de significación leva a dividir en dúas rexións o conxunto de posibles valores do estatístico de contraste:
Unha de probabilidade α, coñecida como rexión de rexeitamento ou crítica. Unha de probabilidade 1- α, coñecida como rexión de aceptación.
![Page 34: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/34.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Se o estatístico de contraste toma un valor pertencente á rexión de aceptación, non existen razóns suficientes para rexeitar a hipótese nula cun nivel de significación α e o contraste dise estatisticamente non significativo
![Page 35: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/35.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Se o valor do estatístico cae na rexión de rexeitamento, entón asumimos un nivel de significación α, que os datos non son compatibles coa hipótese nula e a rexeitamos. Dise que o contraste é estatisticamente significativo
![Page 36: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/36.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
A ubicación das rexións de rexeitamento e de aceptación dependerá do tipo de hipótese alternativa.
![Page 37: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/37.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Para unha hipótese nula simple do tipo H0 : θ =θ0
as hipóteses alternativas máis importantes son:
H0 : θ ‡ θ0
– Se α = P ( “rexeitar H0” / ”H0 é certa” )
– Entón a rexión de rexeitamento vén dada por:
RRα = (-∞,d(1-α)/2)U(dα/2,+∞)
Contraste bilateral
![Page 38: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/38.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Se H0 : θ≤θ0 Hα : θ > θ0
Entón a rexión de rexeitamento vén dada por:
– RRα = (dα ,+∞)
Contraste unilateral dereito
Se H0 : θ≥θ0 Hα : θ < θ0
Entón a rexión de rexeitamento vén dada por:
RRα = (-∞,d(1-α))Contraste unilateral
esquerdo
![Page 39: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/39.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Prefixar a probabilidade de ambos os dous errosExisten situacións nos que incorrer nun erro de tipo II é tanto máis grave que cometer un erro de tipo I.
![Page 40: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/40.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Exemplo:Na execución dunha proba para detectar a presenza dun virus, cuxo desenvolvemento pode ser mortal se non é medicado a tempo, realizouse o seguinte contraste:
H0 : “ o virus non está presente”
Hα : “ o virus si está presente”
![Page 41: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/41.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
Un erro de tipo I implicaría admitir a existencia do virus erroneamente.
A gravidade de incorrer nun erro de tipo II é evidente, xa que equivale a descartar o virus cando o paciente si que o adquiriu.
![Page 42: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/42.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
En situacións deste tipo, ademais de prefixar o nivel de significación, é conveniente precisar tamén a probabilidade que se está disposto a asumir de non rexeitar a hipótese nula erroneamente; incorrer nun erro de tipo II.Defínese :
β = P ( “non rexeitar H0” / ”Hα é certa” )
![Page 43: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/43.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión
A ter en conta:• Fixado o nivel de significación, a probabilidade de erro de tipo II diminúe coa distancia entre H0 e Hα
•A probabilidade de incorrer nun erro de tipo II diminúe (aumenta) se aumenta (diminúe) a probabilidade de cometer un erro de tipo I.•Só é posible diminuir simultaneamente as probabilidades de ambos os dous erros aumentando o tamaño mostral.
![Page 44: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/44.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
1ºpaso.- Especificar sen ambigüidade, as hipóteses nula e alternativa.Dependendo do sentido da hipótese alternativa, poderemos falar de contraste bilateral ou unilateralContraste bilateral: H1: p ‡ p0
Contraste unilateral: H1: p < p0
ou H1: p > p0
![Page 45: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/45.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
2º paso.- Fixar o nivel de significaciónO nivel de significación, α, é a probabilidade de rexeitar a hipótese nula cando esta é certa (Erro tipo I)Este nivel deberemos prefixalo de antemán e tomaremos valores pequenos (0,05; 0,01; 0,1) xa que determinaremos as rexións de aceptación e rexeitamento a partir deste nivel α.
![Page 46: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/46.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
2º paso.- Fixar o nivel de significación
Contrate bilateral
Contrastes unilaterais
![Page 47: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/47.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
3º paso.- Determinación do estatístico de contraste
Todos os estatísticos que imos utilizar nesta unidade, dependerán do parámetro sobre o cal se elaborou a hipótese nula.
![Page 48: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/48.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
Se a hipótese é sobre a media poboacional
Se a hipótese é sobre a proporción poboacional
Se a hipótese é sobre a diferenza de medias
n
XZ
n
pp
ppZ
1
ˆ
2
22
1
21
2121
nn
XXZ
![Page 49: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/49.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
4ºpaso.- Determinar as rexións de aceptación e rexeitamento.
Contraste bilateral
zα/ 2-zα/ 2
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α/ 2 α/ 2
![Page 50: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/50.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
Contraste unilateral esquerdo
Contraste unilateral dereito
-zα
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α
zα
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α
![Page 51: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/51.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
5º paso.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste, elixido no paso 3, para esta mostra concreta.
A partir da mostra observada podemos obter un valor concreto do estatístico de contraste.
![Page 52: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/52.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
6º paso.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación.Unha vez obtido o valor concreto do estatístico na mostra e a rexión de aceptación poderemos determinar se este valor é considerado aceptable ou non e, polo tanto, se aceptamos ou rexeitamos a hipótese nula
![Page 53: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/53.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
EXEMPLO 1:O concello de Carballo afirma que o 65% dos accidentes de tráfico no que están implicados mozos son debidos ao alcohol. Un investigador decide contrastar dita hipótese para o que toma unha mostra formada por 35 accidentes e observa que 24 deles foron debidos ao alcoholQue podemos dicir sobre a información do concello?
![Page 54: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/54.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
EXEMPLO 1:1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa
H0 : p = 0.65
Hα : p ‡ 0.65
2º.- Elixir o nivel de significaciónTomaremos como un bo nivel de significación α=0´01
![Page 55: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/55.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
EXEMPLO 1:3º.- Determinación do estatístico de contrasteA hipótese realízase sobre a proporción poboacional; polo tanto, o estatístico de contraste é:
Estatístico de contraste n
pp
ppz
00
0
1
ˆ
![Page 56: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/56.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
EXEMPLO 1:4º.- Determinación das rexións de aceptación e de rexeitamentoTrátase dun contraste bilateral, polo tanto o valor crítico é zα/2 = 2.58 ; que é o valor que separa a rexión de aceptación da de rexeitamento.
Rexión de aceptación (-2´58, 2´58)
![Page 57: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/57.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
5º.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste para esta mostra concreta.
0´444
350´6510´65
0´650´686z
:sTipificamo
35n0´686;3524
p
ˆ
![Page 58: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/58.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación.
Como 0´444 está no intervalo (-2´58, 2´58) acéptase a hipótese nula e dicimos, a un nivel do 1%, que a proporción de accidentes debidos ao alcohol é do 65%
![Page 59: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/59.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
x
y
zα/ 2=2.58-zα/ 2 =-2.58
RA en azulRR en roj o
N(0,1)
0.444
1-α=0.99
α/ 2=0.005
α/ 2=0.005
![Page 60: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/60.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
Temos unha poboación onde estudamos unha variable que segue N(μ,σ) con σ coñecida.Queremos contrastar a hipótese
H0 : μ =μ0
a partir dos resultados dunha mostrade tamaño n para a cal a media mostral é
x
![Page 61: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/61.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
Para isto seguiremos os seguintes pasos:
1) Fixar o nivel de significación: α
![Page 62: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/62.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
2) Establecer a hipótese alternativa
Hipótese nula
Hipótese alternativa
Tipo de contraste
μ = μ0 μ ‡ μ0 Bilateral
μ ≤ μ0 μ > μ0
Unilateral dereita
μ ≥ μ0 μ < μ0
Unilateral esquerda
![Page 63: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/63.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
3) Elixir o estatístico de contraste
N(0,1) unha segue
nσμx
z 0
![Page 64: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/64.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
4) Construír a rexión de aceptación
H0 HαR. aceptación
μ = μ0
μ ‡ μ0
(-zα/2, zα/2)
μ ≤ μ0
μ > μ0
(-∞, zα )
μ ≥ μ0
μ < μ0
(-zα, ∞)
zα/ 2-zα/ 2
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α/ 2 α/ 2
zα
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α
-zα
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α
![Page 65: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/65.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
5) Verificación
rexéitaseHR.AxSe
acéptaseHR.AxSe
o
o
![Page 66: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/66.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
Se σ é descoñecida e o tamaño da mostra n é grande (n≥30)Farase como no caso anterior substituíndo a varianza poboacional σ2 pola cuasevarianza mostral ŝ2
Polo que o estatístico de contraste é
nsμx
z 0
ˆ
![Page 67: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/67.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
EXEMPLO1: Crese que o tempo medio de ocio que adican ao día os estudantes de Bacharelato segue unha distribución N(350,60) (minutos). Para contrastar esta hipótese, tómase unha mostra aleatoria de 100 alumnos e obsérvase que o tempo medio é 320 minutos. Que se pode dicir desta afirmación ao nivel do 10%?
![Page 68: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/68.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
EXEMPLO 1:1º.- Formulamos as hipóteses:
H0 : μ = 350 Hα : μ ‡ 350
2º.- O nivel de significación é α = 0´1
3º.- Estatístico de contraste
4º.- Rexión de aceptación (-1´645, 1´645)
nσμx
z 0
![Page 69: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/69.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
6º.- Como -5 non está no intervalo (-1.645, 1.645)rexéitase a hipótese nula e, polo tanto, ao nivel do
10% ponse en dúbida que o tempo medio adicado ao ocio polos alumnos sexa 350 minutos.
5
10060
350320z
60σ100;n320;x
sTipificamo -5º.
![Page 70: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/70.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
x
y
zα/ 2=1.645-zα/ 2=-1.645
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α/ 2 α/ 2
-5
![Page 71: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/71.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
EXEMPLO2:Quérese contrastar o contido de azucre de distintos cargamentos de remolacha. Sábese que o contido medio de azucre para remolacha de regadío é do 18% e con media superior para o de secano, sendo a desviación típica 6% para ambos os dous casos. Tómase unha mostra de 20 cargamentos. Que valor da media permitirá tomar a decisión se é de secano ou de regadío ao nivel do 5%?
![Page 72: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/72.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
EXEMPLO 2:1º.- Formulamos as hipóteses:
H0 : μ ≤ 18 Hα : μ > 18
2º.- O nivel de significación é α = 0´05
3º.- Estatístico de contraste
4º.- Rexión de aceptación (-∞, 1´645)
nσμx
z 0
![Page 73: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/73.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
x
y
zα=1.645
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α=0.95
α=0.5
![Page 74: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/74.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media
Polo tanto, 20´2% é o punto crítico que nos permitirá tomar a decisión se é de secano ou de regadío ao nivel do 5%.
20,2%x1.645
20618x
-6º.
20618x
z
6σ20;n?;x
sTipificamo -5º.
![Page 75: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/75.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporción Contraste de hipóteses para a proporción
Temos unha distribución binomial de parámetros B(n,p) e queremos contrastar o valor de p
H0 : p = p0
Para iso eliximos unha mostra de tamaño n na que obtivemos que
pp ˆ
![Page 76: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/76.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
Para iso seguiremos os seguintes pasos:
1) Fixar o nivel de significación: α
![Page 77: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/77.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
2) Establecer a hipótese alternativa
Hipótese nula
Hipótese alternativa
Tipo de contraste
p = p0 P ‡ p0 Bilateral
p ≤ p0 p > p0
Unilateral dereita
p ≥ p0 p < p0
Unilateral esquerda
![Page 78: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/78.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
3) Elixir o estatístico de contraste
N(0,1) unha segue
np1p
ppz
00
0
ˆ
![Page 79: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/79.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
4) Construír a rexión de aceptación
H0 HαR. aceptación
p = p0
p ‡ p0
(-zα/2, zα/2)
p ≤ p0
p > p0
(-∞, zα )
p ≥ p0
p < p0
(-zα, ∞)
zα/ 2-zα/ 2
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α/ 2 α/ 2
zα
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α
-zα
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α
![Page 80: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/80.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
5) Verificación
rexéitaseHR.ApSe
acéptaseHR.ApSe
o
o
ˆ
ˆ
![Page 81: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/81.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
EXEMPLO1:Ronald A. Fisher comenza a súa obra “Deseño de experimentos” co seguinte exemplo:
Unha dama afirma que o sabor dunha taza de té con leite é distinto cando se verte antes o leite que o té. Para contrastar esta afirmación prepáranse 10 tazas de té; en 5 de elas vértese antes o leite e nas 5 restantes, antes o té.
![Page 82: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/82.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
A continuación, a dama proba en orde aleatoria as 10 cuncas e acerta en 8 das 10.Este feito é unha evidencia significativa a favor da hipótese?Para contestar a esta
pregunta estudaremos cada un dos pasos que deberemos seguir na resolución de calquera problema de contraste de hipóteses.
![Page 83: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/83.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa
Tomaremos como hipótese nula a máis conservadoraH0 :“O sabor dunha cunca de té é indiferente da orde no que se verten o leite e o té”
e como hipótese alternativa, a nova información que temos H1 : “O sabor dunha cunca de té é distinto se se verte primeiro o leite e logo o té ou se se fai ao contrario”
![Page 84: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/84.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
Estas hipóteses verifícanse se ao elixir unha mostra, a proporción de acertos é igual a 0,5 ou maior ca 0,5 .
Polo tanto: p=0,5 p>0,5
![Page 85: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/85.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
2º.- Fixar o nivel de significación
Tomaremos como un bo nivel de significación α=0,05
![Page 86: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/86.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
3º.-Determinación do estatístico de contraste
A hipótese realízase sobre a proporción poboacional; polo tanto, o estatístico de contraste é:
0,160,5p
100,510,5
0,5p
np1p
ppZ
ˆˆˆ
![Page 87: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/87.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
4º.- Determinación das rexións de aceptación e de rexeitamentoTrátase dun contraste unilateral, polo tanto, o valor crítico é zα = 1.645 ; que é o valor que separa a rexión de aceptación da de rexeitamento.
![Page 88: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/88.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
x
y
zα=1.645
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α=0.95
α=0.5
![Page 89: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/89.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
5º.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste para esta mostra concreta.
0,8108
p que xa
1,8750,16
0,5-0,8 é oestatístic do valor o
) té de cuncas 10 as ( straballamo que coa mostra Na
0,160,5p
Z : é elixido oestatístic O
ˆ
ˆ
![Page 90: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/90.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación.
Como 1,875 > 1,65, este valor está dentro da rexión de rexeitamento e polo tanto, rexeitamos a hipótese de que o sabor dunha taza de té é independente da orde na que se mesturen o té e o leite cun nivel de significación do 5%
![Page 91: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/91.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
x
y
zα=1.645
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α=0.95
α=0.5
1.875
![Page 92: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/92.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
EXEMPLO 2:Un adestrador asegura que os seus xogadores encestan máis do 92% dos tiros libres nos adestramentos. Co fin de contrastar esta afirmación escolleuse aleatoriamente unha mostra de 60 lanzamentos, dos que 42 entraron na canastra. Estes resultados, poñen en dúbida a afirmación do adestrador ou non?
![Page 93: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/93.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
EXEMPLO 2:1º.- Formulamos as hipóteses:
H0 : p ≥ 0.92 Hα : p < 0.92
2º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´1
3º.- Estatístico de contraste
4º.- Rexión de aceptación (-1,28, ∞)
n
p1p
ppz
00
0
ˆ
![Page 94: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/94.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
rexéitase a hipótese nula e ponse en dúbida, a un nivel do 10%, a afirmación do adestrador.
1´28,-6,28- Como-6º.
6´28
600´9210´92
0´920´7z
60n0´7;6042
p :sTipificamo -5º. ˆ
![Page 95: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/95.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción
-6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
x
y
-zα=-1.28
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α=0.9
α=0.1
-6.28
![Page 96: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/96.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
Temos dúas poboacións normais, N(μ1,σ1) y N(μ2,σ2) con desviacións típicas coñecidas.Queremos contrastar a hipótese H0 : μ1- μ2=v
Para iso collemos unha mostra de cada unha das poboacións de tamaños n1 e n2
Nesas mostras obtivemos as medias mostrais: 21 xex
![Page 97: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/97.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
Para iso seguiremos os seguintes pasos:
1) Fixar o nivel de significación: α
![Page 98: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/98.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de medias.medias.
2) Establecer a hipótese alternativa
Hipótese nula
Hipótese alternativa
Tipo de contraste
μ1-μ2 = v μ1-μ2 ‡ v Bilateral
μ1-μ2 ≤ v μ1-μ2 > vUnilateral
dereita
μ1-μ2 ≥ v μ1-μ2 < vUnilateral esquerda
![Page 99: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/99.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
3) Elixir o estatístico de contraste
N(0,1) unha segue
nσ
nσ
μμxxz
2
22
1
21
2121
![Page 100: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/100.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
4) Construir a rexión de aceptación
H0 Hα
R. aceptación
μ1-μ2 =
v μ1-μ2 ‡ v (-zα/2, zα/2)
μ1-μ2 ≤
v
μ1-μ2 >
v(-∞, zα )
μ1-μ2 ≥
v
μ1-μ2 <
v(-zα, ∞)
zα/ 2-zα/ 2
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α/ 2 α/ 2
zα
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α
-zα
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α
α
![Page 101: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/101.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
5) Verificación
rexéitaseHR.AxxSe
acéptaseHR.AxxSe
o21
o21
![Page 102: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/102.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
EXEMPLO: Co fin de determinar se existen diferenzas significativas entre dous grupos de estudantes, realizamos o mesmo exame a 30 alumnos do primeiro grupo e a 35 do segundo; obténdose a seguinte información:
Nota media
Desviación típica
1º grupo 5,5 0,5
2º grupo 5,2 1
![Page 103: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/103.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
EXEMPLO:Dexesamos contrastar a hipótese sobre a non existencia de diferenzas significativas entre ambos os dous grupos cun nivel de significación do 1%.
![Page 104: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/104.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
EXEMPLO :1º.- Formulamos as hipóteses:
H0 : μ1-μ2 = 0 Hα : μ1-μ2 ‡ 0
2º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´01
3º.- Estatístico de contraste
4º.- Rexión de aceptación (-2.575, 2.575)
2
22
1
21
2121
nσ
nσ
μμxxz
![Page 105: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/105.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
acéptase a hipótese sobre a non existencia de diferenzas significativas entre os grupos.
2.575 2´575,-1´56 Como -6º.
1´56
351
300´5
05´25´5z
1σ0´5;σ35;n30;n5´2;5´5xx
:sTipificamo5º.
22
212121
![Page 106: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/106.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias
-3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
x
y
zα/ 2=2.575-zα/ 2=-2.575
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α=0.99
α/ 2=0.005α/ 2=0.005
1.56 1.56
![Page 107: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/107.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. 10. Relación entre contraste de hipóteses e Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.intervalos de confianza.
Existe unha gran relación entre o intervalo de confianza para un parámetro dunha distribución e un contraste de hipóteses relativo ao mesmo.Exemplo: Formulamos a hipótese de que a media μ dunha distribución toma un determinado valor.Construímos o intervalo de confianza para unha mostra particular. Cando este intervalo non conteña o valor μ0 equivalerá a rexeitar a hipótese nula
H0 : μ = μ0
![Page 108: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/108.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. 10. Relación entre contraste de hipóteses e Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.intervalos de confianza.
EXEMPLO: O gremio de restaurantes de Carballo afirma que o prezo medio do menú do día é de 8 euros e queremos contrastar esta hipótese. Para iso faremos:
Paso 1º.- Hipótese nula: H0 : μ = 8 €
Hipótese alternativa: Hα : μ ‡ 8 €
Paso 2º.- Fixamos o nivel de significación α=0,05
![Page 109: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/109.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. 10. Relación entre contraste de hipóteses e Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.intervalos de confianza.
EXEMPLO:Paso 3º.- O estatístico de contraste é
Paso 4º.- Determinar a rexión de aceptación
(-zα/2, zα/2) = (-1.96, 1.96)
nsμx
z 0
ˆ
![Page 110: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/110.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. 10. Relación entre contraste de hipóteses e Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.intervalos de confianza.
EXEMPLO:Paso 5º.-Eliximos unha mostra aleatoria de 40 restaurantes e obtemos que o prezo medio da mostra e a desviación típica mostral son:
1´976
400,80
88,25z valor ese osTipifiquem
euros0,80seeuros8,25x
ˆ
![Page 111: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/111.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. 10. Relación entre contraste de hipóteses e Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.intervalos de confianza.
EXEMPLO:Paso 6º.-Rexeitamos a hipótese nula xa que existe evidencia suficiente de que o prezo do menú sexa distinto de 8 euros1,976 non está na rexión de aceptación (-1.96, 1.96)
![Page 112: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/112.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. 10. Relación entre contraste de hipóteses e Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.intervalos de confianza.
-3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
x
y
zα/ 2=1.96-zα/ 2=-1.96
RA en azulRR en rojo
N(0,1)
1-α=0.95
α/ 2=0.025α/ 2=0.025
1.56 1.976
![Page 113: 11. contraste de hipóteses](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062319/5588a666d8b42a5c098b45ae/html5/thumbnails/113.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. 10. Relación entre contraste de hipóteses e Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.intervalos de confianza.
EXEMPLO:Achemos agora un intervalo de confianza para a media poboacional ao nivel do 5%
Polo tanto
O intervalo de confianza non cobre o valor da media poboacional ao nivel de significación do 5%
8´4988´002,40
0,801,968,25
n
szxIC
2α
ˆ
8´4988´002,8μ0