10.3.3 Síntesis del Modo de Componente.

En cuanto al procedimiento de condensación estática, la síntesis del modo de componente es, de hecho, un análisis Ritz, y el método podría haber sido presentado en la sección anterior como una aplicación específica. Sin embargo, como se ha señalado en reiteradas ocasiones, el aspecto más importante en un análisis Ritz es la selección de los vectores de la base Ritz apropiadas ya que los resultados pueden ser tan buenos como los vectores de la base Ritz permitan que sean. El esquema específico utilizado en la síntesis del modo componente es de particular interés.

La síntesis del modo de componente se ha desarrollado en gran medida como una consecuencia natural del procedimiento de análisis seguido en la práctica cuando se analizan las estructuras grandes y complejas. El procedimiento de práctica general es que diferentes grupos realizan análisis de los diferentes componentes de la estructura bajo consideración. Por ejemplo, en un análisis de planta, un grupo puede analizar una tubería principal y otro grupo un sistema de tuberías conectado a ésta. En un primer análisis preliminar, ambos grupos trabajan por separado y modelan los efectos de los otros componentes en el componente específico que consideran de forma aproximada. Por ejemplo, en el análisis de los dos sistemas de tuberías mencionadas anteriormente, el grupo de análisis de la rama lateral puede asumir empotramiento en el punto de intersección con la tubería principal, y el grupo de análisis de la tubería principal puede introducir un resorte y masa concentrados para permitir la rama lateral. La ventaja de considerar los componentes de la estructura por separado es principalmente uno de programación de tiempo; es decir, los grupos independientes pueden trabajar en los análisis y diseños de los componentes al mismo tiempo. Es principalmente por esta razón que la síntesis del modo componente es muy atractivo en el análisis y diseño de grandes sistemas estructurales.

Suponga que los análisis preliminares de los componentes se han llevado a cabo y que ahora deberá ser analizada la estructura completa. Es en esta etapa que la síntesis del modo de componente es un procedimiento natural a usar. Es decir, con las características de la forma de modo de cada componente conocido, parece natural utilizar esta información en la estimación de las frecuencias y las formas de los modos de la estructura completa. El procedimiento específico puede variar, pero, en esencia, las formas de los modos de los componentes se utilizan en un análisis de Rayleigh-Ritz para calcular formas de los modos y frecuencias aproximadas de la estructura completa.

Considérese que cada componente de la estructura fue obtenido empotrando todos los grados de libertad de frontera y se denotan las matrices de rigideces de los componentes como K1, KII, … , KM. Suponga que solo los componentes L-1 y L se conectan, L=2, . . . M, entonces se puede escribir la matriz rigidez

Usando una notación análoga para la matriz de masas, se obtiene lo siguiente

Suponga que los eigen-valores más pequeños y sus correspondientes eigen-vectores para cada componente han sido calculado, es decir, se tiene para cada componente lo siguiente:

donde ΦL y 𝚲L son las matrices de los eigenvectores calculados y los eigenvalores del L-ésimo componente.

En la síntesis del modo de componente, las formas aproximadas de modo y las frecuencias pueden obtenerse usando el análisis Rayleigh-Ritz:

Una consideración importante es la exactitud que se puede esperar. El análisis tiende a fronteras

superiores a los eigenvalores exactos del problema KΦ=λMΦ.

Ejemplo 10.18. Considérese el eigenproblema , KΦ=λMΦ donde

Use los eigenproblemas subestructurados indicados por las líneas punteadas en K y M para establecer la matriz de cargas R para un análisis de síntesis del modo de componente. Luego, calcule las aproximaciones para el eigenvalor y eigenvector.

Para la subestructura I, se tiene

con la eigensolución

y para la subestructura II,

con la eigensolución

Por lo tanto obtenemos para la matriz R,

Ahora, realizando el análisis de Ritz se obtienen

y por lo tanto,

Los eigenvalores exactos son

y por lo tanto, se puede observar que se obtuvo en pi una buena aproximación para 𝜆1, pero p2 y p3

no representan aproximaciones a los eigenvalores.