100412_70_Trabajo_Fase_2

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAECUACIONES DIFERENCIALES

Cód. 100412

ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE DOS

Presentado a:

JAVIER ANDRÉS MORENO

Tutor

Entregado por:

MICHAEL ANDRÉS PUENTES ESPEJOCódigo: 1075660526

JHON FREDY ORTIZ ARMEROCódigo: 1075659228

MILTON YAMID MORANTE PINZÓNCódigo: 1075666285

JACSON JULIAN RODRIGUEZ GONZALEZCódigo: 80547878

JUAN CARLOS ROZO VELANDIACódigo: 1071143214

Grupo: 100412_70

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRÓNICACEAD JOSÉ ACEVEDO Y GÓMEZ

ABRIL 17 DEL 2016BOGOTÁ D.C.

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INTRODUCCION

La solución de problemas cotidianos por métodos matemáticos, es algo que día a día va tomandmás fuerza en la sociedad. Esto se puede asociar a lo relacionado con la exactitud de losresultados matemáticos, como bien sabemos, en el ámbito numérico las cosas están bien o estánmal; por ello nos sirve para obtener resultados precisos.

La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se hadestacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada uno de los problemas propuestos a desarrollar por cada estudiante y grupal. Simular el comportamientodinámico de este sistema por ordenador consiste en plantear y resolver la ecuación diferencialque define su comportamiento, y generar una serie de salidas gráficas que muestren la evoluciódel sistema en el tiempo.

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OBJETIVOS

Si deseamos realizar un proceso satisfactorio durante esta actividad, debemos cumplir con unaserie de requisitos que los podemos clasificar como objetivos, los cuales damos a conocer enseguida:

Investigar todos los conceptos relacionados con los temas a desarrollar durante la soluciónde los ejercicios y los problemas planteados.

Presentar los ejercicios realizados de manera individual, para que puedan ser analizados yagregados al documento final con anterioridad.

Llevar un método de integración de aportes, para que la consolidación del documento finalsea más ágil y no presente demoras.

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION .........................................................................................................................OBJETIVOS ..................................................................................................................................

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL ................................................................DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA ........................................................ 1CONCLUSIONES ........................................................................................................................ REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................................... Referencias ....................................................................................................................................

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Temáti ca: ecuaciones diferenciales de orden superior

Ejercicio 1.

Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas concoeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

RespuestaMICHAEL ANDRÉS PUENTES ESPEJO

PROPOSICIÓN ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZON O EXPLICACION

A. ´´ +2 ´ − 8 = 0 " 2, - 8y = 0Donde y(0) = 0 ,0 1 Es una función diferencial homogénea concoeficientes constantes.Solución,, 2, - 8y = 0Escribimos la ecuación auxiliar en términos de“m”. 2 - 8 = 0Resolvemos la ecuación.(m+4) (m-2) = 0m1 = -4 ; m2 = 2Luego la función homogénea.

,, −

, − 4 2 , 4− 2 como y, (0) = -1-1 = -4c1e0 + 2 c1e0

1 41 2 1→ 1 4 2 → 1 42 Y (0) = 0Y = − 0 = +2 0 = 1 2 1 0 =

2- 2→ 2 1 42 - 4 1 3 1

13

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=− − − =− +⁄

→16 ,, − +

Nombre estudiante que realiza el ejercicioPROPOSICIÓN ENUNCIADO O

EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN

′′ + = 2 Resolver la siguiente ecuación diferencial por elmétodo de variación de parámetros1

ℎ

− 1

´ =−− 1

´ │ = =− │

∫ 1 0 ∫ ln

││cosx

Por estos se tiene que:

RespuestaJHON FREDY ORTIZ


RAZÓN O EXPLICACIÓN

B. ´´ +8 ´ + 16 = 0 Tipo de ecuación: Ecuación diferencial linealhomogénea con coeficientes constantes.

D 8D 16 0

Factorizando: D 40

Por tanto, las raíces son:

D 4 D4

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Raíces reales iguales, por tanto, el conjuntofundamental de soluciones seria:

CFS{e−,xe−} solución: y Ce− Cxe−

RespuestaJHON FREDY ORTIZ



C. ´´ +2 ´ − = 0, Ecuación lineal homogénea Donde y(0)=0,y´(0)=-1

m 2m 1 0

m⁄ 2± 4 41 121 1±√ 2

y ce(− +√ ) ce(− −√ )

0 cc ,c c y c( 1√ 2)e(− +√ )

c( 1√ 2)e(− −√ )

1 ( 1√ 2)c 1√ 2 c

1 c√ 2c c√ 2c c 12√ 2

y 12√ 2e( +√ ) 12√ 2e(− −√ )

RespuestaJacson Julián Rodríguez G.



D. 3 ´´ + 14 ´ +58 = 0 Ecuación lineal homogénea3 14 58

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±√42

m14± 144 3

2 3

146±√ 196 6966

73 ±√ 5006

73 10√ 56

173 5√ 53

273 5√ 53

∝ =∝

Y= + Y= x ( √ √x)

RespuestaMILTON YAMID MORANTE PINZÓN



E. ´´ −4 ´ + 4 = 0 Ecuación homogénea lineal con coeficientesconstantes.

4 4 0

Polinomio asociado es:

4 4 0

Factorizamos:Sacamos raíz del primer y tercer coeficiente.(x+1) ; (x-2)

Las raíces de la ecuación serían:

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12 ; 2

Tenemos:

4 4 0

La solución general de la ecuación sería:

Respuesta



Ejercicio 2.(Desconocido, s.f.)

Demostrar que3 X y 3

x ; sonsoluciones linealmente independientes dela siguiente ecuación diferencial:

0642 ydxdy

x y x en el

Intervalo: x

xy 4xy6y 0

Primer paso, corroborar el Wronskiano para el par de soluciones dadas, y1 y y2:

wy,y y yy y [x |x|3x3|x|] Entonces:

w 3x|x| 3x|x|

Es diferente de cero, para todo valor negativo dex, por lo cual podemos concluir que en elintervalo ∞<x<∞, son linealmenteindependientes para todo x menor que cero, peroson linealmente dependientes para todo x mayorque cero.

Do otro modo:

y Cx C|x| y 3Cx 3C|x| y 6Cx 6C|x| Remplazando:

x 6Cx 6C|x| 4x 3Cx 3C|x|6 Cx C|x| 0

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Factorizando:6Cx 6Cx|x| 12Cx 12Cx|x|6Cx 6C|x| 0

Simplificando:

6Cx|x| 12Cx|x| 6C|x|≠0 Para finalizar podemos decir que de igual formaque para cualquier valor negativo de x, laecuación es diferente de cero, dado el exponentedel valor absoluto.

Respuesta

PROPOSICIÓN ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓNEjercicio 3.

Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

Solución:

y y secx

m 1 0 m, ±i

y c cosx c senx

wcosx senxsenx cos x cosx senx 1

w 0 senxsecx cos x

cosx secx secx

u ww tanx secx1 tanx se

u tanx secx d

u wwsecx1 secx

u secx dx ln|secx tanx|

y ccosx csenx cosxsecxsenx ln|secx tanx| y ccosx cssenx 1senx ln|secx ta|

Respuesta

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Ejercicio 4.

Resolver la ecuación diferencial por elmétodo de los coeficientesindeterminados.y" 3yʹ 2y 3x 1

La solución es de la forma

y yy

Resolviendoy tendréLa solución complementaria debe satisfacer laecuación homogénea, o seay" 3y2́y0 Y la ecuación auxiliar esm 3m 2 Resuelvo la ecuaciónm 2m 1 Por tanto las raíces seriam1 2 m21 Por tanto, reemplazando me quedaráy c e−cos0x c e− sen0x

y c e− 1 0 ce

− Ahorayp→f x 3x 1 y la solución particular debe satisfacer la ecuación nohomogénea, o seay" 3y2́y3x 1(1)Entonces y Bx c y′ BY y" 0 Remplazamos en (1)0 3B 2Bx c3x 1 3B 2Bx 2c 3x Ordenando2Bx 3B 2c 3x

Como los dos polinomios son iguales suscoeficientes deben ser iguales(1) 2B 3 (2) 3B 2c 1

→Resolviendo2B 3 → B Reemplazando en (2) tendré

332 2c 1

92

2c 1 → 2c 192 →

2c− → c− Por lo tanto, al reemplazar eny= Bx c Tendré y x y la solución será

y c e− 32x74

Respuesta

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Ejercicio 5.

Encontrar el operador diferencia. x 3xye

b. x 2xx 1 c. xe

Solución:

El enunciado de a

a. x 3x e

El operador que a,ya que

Dx D Dx D1 0

El operador que a es D6, ya que:

D 63x eD 6D 63x e D 6D3x e63x eD 63x De eD3x18x e

D 63x6 e e3 18 x eD 618 x e3 e18x e

D 63 e D3 e 63 e36 e 18 e18 e18 e0

Respuesta a:Por lD6 anula a x b. x 2xx 1 x x 2x2xx 3x2x

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Dx 3x2xD Dx 3x2x

D5x 9x2D D5x 9x2

D20x18x 0D D20x18xD60x18 DD60x18D120x 0D D120xD1200

Respuesta b:Por l anul2xx 1 c. xe El operador que a esD1,ya que:

D 1xeD 1D 1xe

D 1Dxe xeD 1x De eDxxe D 1xe e xeD 1eDe e e e 0

Respuesta c:Por lD1 anula a xe

Respuesta



Ejercicio 6.

Resolver la siguiente ecuacióndiferencial:

Hacemos cambio de variables

y´´ = u´y´ = u

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0 y = c

Reemplazamos

0

Separación de variables

∗1 1

Resolvemos la integral1

∗ ∗−

Recordamos que u = y´

∗−

∗− −∗− Reemplazamos−

−

− +

(UNICOOS, 2013)

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

Primera Actividad

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se leaplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzamortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que ssuelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESION MATEMATICA


Estudiante: Michael Andrés Puentes Espejo

0 Ecuación.

X(t) = c1cos ,, Solución

4 = mg = K ⁄ Para encontrar K observamos que la masa de4lb. Estira el resorte 3 pulgadas o ⁄ pie,empleando la ley Hooke se tiene.

1618⁄ 8√ 2 Lo que implica K = 16 lb/pie. Como g = 32

pie/seg2 , se tiene que m = ⁄ = ⁄

Por lo tanto.

X(t) = c1cos(8√ 2 t) + (8√ 2 t)Condición inicial x (0) = 6 pulgadas =12⁄ pie yX´ (0) =√ 2 / .

X (t) =12⁄ (8√ 2 t) +18⁄ (8√ 2 t)

A = √ ,tan∅ 4

X (t) =√ 8√ 2 t +∅

)

con∅ tan4 1.326

la amplitud es A=√ ,En forma Senoidal.

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periodo es T=√ √ 8√ 2 ̅ ∅ , Lo que implica.

̅ ∅8√ 2 0,16042…

frecuencia natural es K =√ tiempo que transcurre desde que suelta la masahasta que pasa la posición de equilibrio verifica

Segunda Actividad

EJERCICIO Y SOLUCIÓN

PLANTEADA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES

A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Enunciado:

Enunciado: El movimiento de unsistemamasa-resorte conamortiguación está regido por laecuación diferencial:

0252

2

xdt dx

bdt

xd

En donde, 1)0( x , 0)0(' x .

Encuentre la ecuación delmovimiento para los siguientescasos:Caso 1 : Movimientosubamortiguado: 6b .Caso 2 : Movimiento críticamenteamortiguado: 10b .Caso 3 : Movimiento sobreamortiguado: 14b .Solución:Caso 1: 6b La ecuacióncaracterística es:

0252 b , cuyas raíces

son i432

10066 2

La ecuación de movimiento tienela forma:

Como es un caso de movimiento sin amortiguación.

0

La ecuación característica es:

0

De modo que:

Entonces:

√

√ i

La ecuación de movimiento es de la forma:

cos

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t eC t seneC t x t t 3cos3)( 42

41

)3cos3(3)(' 21

41

t C t senC et x t

)33cos(4 21

3 t senC t C e t

Para 1)0( x y 0)0(' x , setiene el sistema:

11 C ,

21 430 C C Por tanto:

11 C y

43

2 C

Finalmente, la ecuación demovimiento tiene la forma:

)3cos43

3()( 4 t t senet x t

Caso 2: 10b La ecuación característica es:0252 b , cuyas

raíces son

52

1001010 2


t t t et C C teC eC t x 521

52

51 )()(

t t et C C eC t x 5

21

5

2 )(5)('


11 C ,12 50 C C

Por tanto: 11 C y 52

C Finalmente, la ecuación demovimiento tiene la forma:

)51()( 5 t et x t Caso 3: 14b La ecuacióncaracterística es:

a.

0252

b , cuyasraíces son

2472

1001414 2


t t eC eC t x )247(2

)247(1)(

Sabemos que: mg=4

L=3 pulgadas= 0.25 pies

Empleando la ley de Hooke:

F=kl

Entonces:

4=k(0.25)

Por lo tanto: K=16/pie

Por otra parte,

g=32/ mg=4se tiene:

m= 8√ 2

La ecuación de movimiento es:

cos8√ 2 8√ 2

8√28√2 8√28√2

Condiciones iniciales:

X(0)=6 pulgadas =0.5 pie

X´(0)=√

0.5=x(0)= cos

0.5=

√ 2 ´0 (8√ 2) 8√ 2 cos(ot)

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Cód. 100412

t t eC eC t x )247(2

)247(1 )247()247()('


211 C C )247()247(0 21

C C

Por tanto:48

247241C y

4824724

2C

Finalmente, la ecuación demovimiento tiene la forma:

t t eet x )247()247(

4824724

4824724)(

√2=(8√2)

18

xt12cos8√ 2

18 8√ 2

A=

A=√ 2)2

A√

tan(0)=

4

x(t)=√sen(8√2t+0)

Ø-arctan(4)=1.326

Por lo tanto:

La amplitud es:

A=√

El periodo es:

T= √ √ La frecuencia natural es:

F= √ 8√2t+Ø=π

T= −Ø√

T=0.16042

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CONCLUSIONES

Luego de realizar las actividades planteadas para este momento, se puede tener comoconclusiones lo siguiente:

Se desarrolla la actividad grupal del curso utilizando las herramientas presentadas en launidad y en el entorno de conocimiento del curso.

Se realizan aportes individuales que generan el desarrollo de la actividad de manera máscompleta.

El método de compilación del archivo, da como resultado un documento final completoelaborado por los integrantes del curso desde el inicio de las actividades.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Referencias

Desconocido. (s.f.).Tema 15: Ecuaciones diferenciales II: Ecuaciones lineales de orden superior y sistemas lineales . Obtenido dehttp://www.dmae.upct.es/~plgomez/archivos%20docencia/teoriagrado2011-12/tema15-ecdiferenciales2-a.pdf

UNICOOS, U. (16 de Febrero de 2013). EDO 08bis Ecuacion Diferencial Homogenea de segundo orden UNIVERSIDAD unicoos . Obtenido dehttps://www.youtube.com/watch?v=dRyvVwv1yLc&ebc=ANyPxKqB7-

KT_OJA3sb6EJ5Qrp13U7BoME4y9DdqcrvYSvjmUwICC0LPLIKW-JaDd0Y4ijTFhqNmfmyf9N1KiryV37PmZvoR5A&nohtml5=False

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