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CALCULO INTEGRAL

TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

PRESENTADO POR:

JHONATAN LEONARDO RIOSCARLOS HERNANDO ANGEL COD.

1118550011ILSEN BARON COD:

33646784ELVIS AUNTA QUIROGA

10460657

TUTOR JAC!SON ARIEL URRUTIA

GRUPO 100411"355

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA # ADISTANCIA UNADCEAD #OPAL

 NOVIE$BRE DE %015

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INTRODUCCION

U&' ()* )+,-/'+ + 2/&/2/+ +) /&,)'/& '&'/*''+ '+ /9))&,)+ ,&/'+ )/&,)'/&; +) 2)) ' )+'' ' 2',) 2

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 1. Encontrar el área de la región comprendida entre la curva f  ( x )= x3− x2−6 x  y el eje x

Solución

L-) )

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3. Dada la curva  y=√ 4− x2

 la cual gira alrededor del eje x hallar el área de la superficie

de revolución en el intervalo [1!1"

S#$%&'#(.

 A=2π ∫a

b

([ f  ( x ) ] [√1+( dyd x )2])dx

 y=√ 4− x2 → dydx

=  − x

√ 4− x2

 A=2π ∫−1

1

((√ 4− x2 )√1+(  − x

√ 4− x2 )2

)dx→A=2π ∫−11

( (√ 4− x2 )√1+   x2

4− x2 )dx

 A=2π ∫−1

1

( (√ 4− x2 )√   44− x2 )dx→A=2 π ∫−11

[( 2√ 4− x2

√ 4− x2 )]dx→A=2π ∫−11

2dx

 A=2π [2 x ]| 1

−1→ A=2π [2 (1 )−(2 (−1 ) ) ]→ A=2π [2+2 ]→ A=8π U 2

). *allar la longitud de+ y=¿

 ln(cosx)   entre x=0 y x=π /3

S#$%&'#(

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L' )-'/& 2'' @'' ' &/,- ) ' -('; =-)+,' -) +) )) @'' ' )/('' ) '9-&/& -) ))('' ' -''; )'/*'=+ )+,:

f  ( x )=ln  (cosx )

D)/('&:

f ' ( x )=

  1

cosx (−senx )=

−senxcosx

  =−tanx

A@' '2/'=+ ' 9=-' ) &/,-:

 L=∫0

π /3

√ 1+ [−tanx ]2 dx

R))=2'*'&:

 L=∫1

π /3

√ 1+ tan2 x dx

S/=2/9/'&:

 L=∫0

π /3

√ sec2 x dx

 L=∫0

π /3

secxdx

D)+''=+ ' /&,)':

 L= (ln(secx+tanx))|0π /3

 L=[ ( ln(sec π /3+tanπ /3))−(sec0+ tan0 ) ]

 L=[ ln  (2+√ 3)−ln (1+0)]

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 L=[1,31−0 ]

 L=1,31

 

,. Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por

f  ( x )=2− x2  y g ( x )=1  alrededor de la recta  y=1

S#$%&'#(

V =π ∫a

b

[ f  ( x ) ]2dx→V =π ∫−1

1

(2− x2−1 )2

dx→V =π ∫−1

1

(1− x2)2

dx

V =π ∫−1

1

(1−2 x2

+ x4

)dx→V =π [ x−

2

3 x3

+1

5 x5

]| 1

−1

-. *alle el volumen generado al rotar en el eje x1 la región encontrada por la pará/ola

 x= y2  y la recta  x=2 y

S#$%&'#(

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I-''=+ )-'/&)+ 2'' 2) ),)=/&' + =/,)+ ) /&,)'/&

 y2=2 y

 y2−2 y=0

 y ( y−2 )=0

 y=0 y=2

r ( y )= y2+1

 R ( y )=2 y+1

A@' '2/'=+ ' 9=-'

(2 y+1)2−¿ ( y2+1 )2 dy

π ∫0

2

¿

 y

(¿¿4+2 y 2+1)−(4  y2+4 y+1)dy

π ∫0

2

¿

π ∫0

2

− y4+2 y2+4 y dy

A@' )('-'=+ ' /&,)' )& + /=/,)+

π ( y5

5 +

2 y3

3  +

 4 y2

2 )|20

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π (10415  −0)=104 π 15   =21.78U 3

V =π [(1−23 (1 )3+15 (1 )5)−(−1−23 (−1 )3+ 15 (−1 )5)]V =π [(1−23+ 15 )−(−1+ 23−15 )]→V =π [   815−(−815 )]→V =1615 π U 3

0. *allar el centroide ( ´ X , Ý )  de la región limitada por la curva  y= x

2

 y la recta

 y= x+2

Solución

 x2= x+2→ x2− x−2=0→ ( x−2 ) ( x+1 )=0

 x−2=0→ x=2 ; x+1=0→x=−1

 A=∫−1

2

[ x+2− x2 ] dx→ A=[12 x2+2 x−13 x3]|  2−1

 A=[( 12 (2 )2+2 (2 )−13 (2 )3)−( 12 (−1 )2+2 (−1 )−13 (−1 )3)]

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 A=[(2+4−83 )−( 12−2+ 13 )]→ A=[ 103  −(−76 )]→ A=103  + 76 → A=92

 M  x=

∫a

b

( x [ f  ( x )−g ( x ) ] )dx→M  x=∫−1

2

( x [ x+2− x2 ])

 M  x=∫−1

2

( x2+2 x− x3 )dx→M  x=[ 13 x3+ x2−14 x4]|  2−1

 M  x=[( 13 (2 )3+(2 )2−14 (2 )4)−( 13 (−1 )3+ (−1 )2−14 (−1 )4)]

 M  x=[(83+4−4)−(−

13  +1−1

4 )]→M  x=[

83−  5

12 ]→M  x=94

 M  y=1

2∫

a

b

([ f  ( x )−g ( x ) ] [ f  ( x )+g ( x ) ] )dx

 M  y=1

2∫−1

2

([ x+2− x2 ] [ x+2+ x2 ] )dx→M  y=1

2∫−1

2

( x2+4 x+4− x4 )dx

 M  y=1

2 [ 13 x3+2 x2+4 x−15 x5]|  2−1

 M  y=1

2 ([ 13 (2 )3+2 (2 )2+4 (2 )−15 (2 )5]−[13 (−1 )3+2 (−1 )2+4 (−1 )−15 (−1 )5])

 M  y=1

2 ([83 +8+8−325 ]−[−13   +2−4+ 15 ])

 M  y=1

2 [ 18415  −(−3215 )]→ M  y=12 [18415  + 3215 ]→M  y=12 (21615 )→ M  y=365

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´ X =→ M  y A

  → ´ X =

36

5

9

2

→ ´ X =72

45→ ´ X =

8

5

Ý =→ M  x A

  → Ý =

9

4

9

2

→ Ý =18

36 → Ý =

1

2

L-) ) )&,/) )+,< -/' )& ) 2-&,

( 85 , 12 )

 

. %na varilla de longitud -2 cm tiene una densidad lineal ue var4a proporcionalmente al

cuadrado de su distancia a uno de los extremos! es decir   ρ ( x )= Rx2

 para 5 una constante.

Si la densidad en el extremo más pesado es de 0622 g7cm! halle su masa total y centro de

masa(Ce ) = ρ ( x )=¿

 unidades de masa por unidad de longitud.

!= R∫0

60

 x2

!= R( x3

3 )|600

!= R( 2160003   −0)

!=72000 c!3 R

 R=7200g /c!

3600c!2 =2g /c!3

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!=72000c!3∗2 g/c!3

!=144000 g

∫0

60

2 x3

2∫0

60

 x3

2( x4

4 )|600(6480000−0 )=6480000 gc!

C e=6480000 gc!

14000 g  =45c!

89 $a aceleración de una part4cula ue se mueve a lo largo de una recta es

a (t )=π 2cos (πt ) !/ se g2   Si en el instante inicial (t =0) ! la posición de la part4cula es

(s=0 ) y la velocidad es

"=8! /s hallar s cuando t1

Solución

L' '))'/& )+ ' +)-&' )/('' ) ' /+,'&/'; ' ()/' )+ ' /&,)' ) ' '))'/& ' /+,'&/' 2+//& )+ ' /&,)' ) ' ()/' @''=+ 2/=) ' 9-&/& ()/' '+

" (t )=∫ a (t )d t → " (t )=∫ [π 2cos ( πt ) ]dt → " ( t )=π sin (πt )+C 

" (0 )=8→ π sin (π ∗0 )+C =8→0+C =8→C =8

∴" (t )=π sin (πt )+8

A@' 2))=+ ' @'' ' 9-&/& 2+//& )+2), ' ,/)=2

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# (t )=∫ " (t ) dt→# (t )=∫ [π sin (πt )+8 ]dt→# (t )=−cos (πt )+8 t +C 

# (0 )=0→=−cos (π ∗0 )+8 (0 )+C =0→−1+C =0→C =1

∴# (t )=−cos ( πt )+8 t +1

# (1 )=−cos (π )+8 (1 )+1→# (1 )=1+8+1→ # (1 )=10

12. %na fuer:a de )#( se reuiera para detener un resorte ue esta estirado desde su

longitud natural 12cm a una longitud de 1, cm. ;cuánto tra/ajo se hace al estirar el resorte

de 1, a 1 cm

$ =  40 % 

0.15!−0.10!=

  40 % 

0.05!

=800 % /!

&=∫0,05

0.08

800 x

&=400 x2|0.080.05

&=2.56−1=1.56 '

119 $as funciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas pors=52+2 x

 y

 ( ( x )=100− x2  determinar el excedente del consumidor y productor suponiendo ue se

ha esta/lecido el euili/rio del mercado

Solución

I-''=+ '+ 9-&/&)+ 2'' )+,')) ) 2-&, ) )-///

52+2 x=100− x2→ x2+2 x+52−100→x2+2 x−48=0

( x+8 ) ( x−6 )=0→ x=−8 ; x=6

T='=+ 8 2 +) -&' '&,/' &)',/('

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 ( (6 )=100−62 → ( (6 )=100−36→ ( (6 )=64

 ) *=(6,64)

 *C =∫0

+ ( ( x ) dx− ) +→ *C =∫

0

6 (100− x2 )dx−6∗64

 *C =[100 x−13 x3]|60−384→ *C =100 (6 )−13 (6 )3−384

 *C =600−72−384→*C =144

 *)=+ )−∫0

+

# ( x ) dx→ *)=6∗64−∫0

6

(52−2 x )dx

 *)=384−[52 x− x2 ]|60 →*)=384−[52 (6 )−62 ]

 *)=384−[312−36 ]→*)=384−276→*)=108

16. El costo marginal de un art4culo cuando se producen x unidades es de

−3 x2+60 x+4000

S#$%&'#(

−3 x2+60 x+4000

 -ntegrando

C =∫−3 x2+60 x+4000

C =−3 x3

3  +

60 x2

2  +4000 x+$ 

C =− x3+30 x2+4000+$ 

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Co!oe. costode10un/dades esde 090000entonces unacuesta0 9000

 y ree!1.a2ando en.a ecuac/ 3 n 4ueda :

9000=−1+30+4000+$ 

$ =9000+1−30−4000

$ =4971

 )or .o tanto .a func/ 3 n decosto tota. es :

c=− x3+30 x2+4000+4971

 )or.otanto e.costotota. 1ara.as50un/dades es:

c=(−50 )3+30 (502 )+4000 (50 )+4971

C =−125000+75000+200000+4971

C =154971 1esosese. costode.as50un/dades

CONCLUSIONES

• E =, ) /&,)'/& 2 +-+,/,-/& '=/ ) ('/') +) '+' )& ' )' ) '')&'. E =, &+/+,) )& /)&,/9/' -&' 2',) ) -) +) (' ' /&,)' & -&'&-)(' ('/') ,; ) = -) +) ,)&' -&' /&,)' =

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?i/liograf4a

• DURAN; J. E. >%010?.  MÓDULO CÁLCULO INTEGRAL.  >T. E. ESCUELA DECIENCIAS BSICAS; E.? BOGOT D.C.: UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA #A DISTANCIA. R)-2)' ) %6 ) A+, ) %015

• $',@; L. >07 ) 03 ) %01%?.  youtube . O,)&/ ) I&,)' )9/&/' & '=/ )('/'): @,,2+:.-,-).=',@(K)D&G08

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