100410_216_TRACOL 1_2012 II

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIACALCULO DIFERENCIAL 2012_2

TRABAJO COLABORATIVO 1

UNADCEAD ACACIAS

ESCUELA DE CIENCIA BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍASINGENIERÍA INDUSTRIALCALCULO DIFERENCIAL

ACTIVIDAD 6, TRABAJO COLABORATIVO 1

TUTOR:SOLON EFREN LOSADA

ANDREA RIVEROSC.C. 1032453944

FABER JAVIER BARÓN PÉREZC.C. 1033371948

JORGE ELIECER CASTROC.C. 10324303

OCTUBRE 24 DE 2012 VILLAVICENCIO – META

1


ÍNDICE DE CONTENIDOS

pág.INTRODUCCIÓN…………………………...……………………………………………………….. 3OBJETIVOS….……………..………………………………………….…………………………….. 4DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD …………………………………...………………………… 5CONCLUSIONES…...………………………………………………………………….………….… 11BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………….. 12

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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo se realiza con el fin de estudiar las sucesiones, límites y determinar de que clase son, igualmente para tener claro su definición y como se debe aplicar el desarrollo de cada uno en cada ejercicio. La elaboración de la actividad aumenta nuestra capacidad de razonamiento, y nos enseña como se deben emplear de forma adecuada las fórmulas, a establecer similitudes y reconocer diferencias.A continuación se presentan unos ejercicios de aplicación que nos permitirán fortalecer los conocimientos adquirido en la Unidad 1 del curso Cálculo Diferencial.

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OBJETIVO

Determinar y hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones aritméticas y progresiones geométricas, determinar sus características, su diferencia común, su primer término, la suma de su n primeros términos y su sentido de variación.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Identificar los principios y características de las sucesiones. Hallar los primeros términos de una sucesión, a partir de su término general, dado el (o los)

primer (os) término (s) de una sucesión, y la relación de recurrencia Hallar el término general, en caso de ser posible; o aún, dados los primeros términos de una

sucesión, hallar una sucesión que se ajuste a estos términos. Determinar el sentido de variación de una sucesión, su período (si existe), una cota superior y

una cota inferior (si existen). Hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones aritméticas y

determinar sus características: Hallar su diferencia común, su primer término, la suma de su n primeros términos y su sentido

de variación. Hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones geométricas y

determinar sus características: su razón común, su primer término, la suma de sus primeros términos y su sentido de variación.

Indicar, dadas varias sucesiones, cuáles de ellas convergen. Indicar, dadas varias sucesiones, cuáles de ellas divergen.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

FASE 1

A. Halle los términos generales de las sucesiones:

1. Cn={3,1 ,−1 ,−3 ,−5 ,…}Cn=C1+(n−1 )dCn=3+(n−1)(−2)Cn=3−2n+2Cn=−2n+5

2. Cn={1,3,9,27,81……}Cn=Cn∗q

n−1

Cn=1∗3n−1

3. Co={12,

34,1 ,

54,32,………}

Co=n+1

4

FASE 2

B. Sucesiones monótonas.

4. Demostrar que la sucesión On={ 2nn+1 } es estrictamente creciente.

O0=2(0)

(0)+1=0

O1=2 (1)(1)+1

=1

O2=2(2)

(2)+1=4

3

O3=2(3)

(3)+1=6

4=3

2

O4=2(4)(4 )+1

=85

On={ 2nn+1 }={0 ,1 , 43 , 32 , 85 ,………} Es estrictamente creciente.

5


U n+1−U n≥0

2(n+1)(n+1 )+1

− 2nn+1

=

2n+2n+2

− 2nn+1

=

(2n+2 ) (n+1 )−2n(n+2)(n+2 )(n+1)

=

2n2+2n+2n+2−2n2−4nn2+n+2n+2

=

2

n2+3n+2≥0

2≥0 La sucesión es estrictamente creciente

5. Demostrar que es On={1n } es estrictamente decreciente.

O1=11=1

O2=12=1

2

O3=13=1

3

O4=14=1

4

O5=15=1

5

On={1n }={1 , 12 , 13 , 14 , 15 ,………} Es estrictamente decreciente.

U n+1−U n≤0

1n+1

−1n

=

6


n (1 )−1(n+1)(n+1 )(n)

=

n−n−1

n2+n=

-1≤0 La sucesión es decreciente

C. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar, con ellas, si son

o no crecientes.

6. Oc={ 3n2+16n2+2n+1 }

O1={ 3 (1)2+1

6(1)2+2 (1)+1 }= 3+16+2+1

=49

O2={ 3(2)2+1

6(2)2+2(2)+1 }= 12+124+4+1

=1329

O3={ 3(3)2+1

6(3)2+2(3)+1 }= 27+154+6+1

=2861

O4={ 3(4 )2+1

6 (4)2+2(4)+1 }= 48+196+8+1

= 49105

O5={ 3(5)2+1

6(5)2+2(5)+1 }= 75+1150+10+1

= 76161

Oc={ 3n2+16n2+2n+1 }={4

9,1329,2861,

49105

,76

161,……}

Es estrictamente creciente.

7. Oc={5n+1

n2 }

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O1=5(1)+1

(1)2 =5+11

=6

O2=5(2)+1

(2)2 =10+14

=114

O3=5(3)+1

(3)2 =15+19

=169

O4=5 (4)+1

(4 )2 =20+116

=2116

Cota superior 6; cota inferior 0. n2=0

FASE 3

D. Progresiones.

8. Qué término de una progresión aritmética es 21 si su primer término es -6 y la diferencia común es 3?

n=?U n=21U 1=−6d=3

U n=U 1+ (n−1 )d

U n−U 1

d=n−1

n=U n−U 1

d+1

n=21−(−6 )

3+1

n=21+63

+1

n=273

+1

n=9+1n=10

8


9. Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad tiene el pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y por cada metro adicional se canceló el 20% más que el inmediatamente anterior, sabiendo que en total se pagaron$193.738.560?

n=?an=193.738 .560a1=15.000 .000

r=65

an=a1∗rn−1

ana1

=rn−1

¿( ana1)=¿ . rn−1

¿( ana1)=(n−1)∈. r

(n−1 )=¿( ana1

)¿ . r

n=

¿ ( ana1)

¿ . r+1

n=¿ (193.738 .560

15.000.000 )¿( 6

5 )+1

n= 2,558459420,1823221556

+1

n=14,032677+1n=15,032677

n=15,03267 7mts

10. Entre Bogotá e Ibagué hay aproximadamente 165 kilómetros. Dos caminantes parten cada uno de una ciudad hacia la otra. ¿A los cuántos días se encuentran si el que va de Ibagué a Bogotá camina 1 km el primer día, 2 km el segundo día, 3 km el tercer día y así sucesivamente, el otro en sentido contrario, es decir Bogotá – Ibagué, camina 20 km el primer día, 18 km el segundo día, 16 km el tercer día y así sucesivamente? ¿Cuántos kilómetros recorre cada uno?

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S1=1+2+3….

S1=n (n+1 )

2

20 ,18 ,16S2 = 20 + 18 + 16 +... = 20 - 0 + 20 - 2 + 20 - 4 +...S2 = 20*n - 2 (0 + 1 + 2 + 3)S2 = 20 * n - (n * (n-1))S2 = (20 - (n-1) )* nS2 = (21 - n )* nS1 + S2 = 165n (n+1 )

2+n (21−n )= 165

n2+n+42n−2n2= 330 n2−43n+330=0 Discr=(43 )2−(4 )330=1849−1320=529= (23 )2 n1_2 = (43 +/- 23)/2n1 = (43 - 23)/2 = 10 díasn2 = (43 + 23)/2 = 33 díasLa solución de 33 días supera la distancia entre ciudades33*34/2 = 561 km para el que partió de BogotáNos queda la solución de10 díasVerificaciónEl que parte de Santa Fe de BogotáS1 (10) 1 + 2 + 3 + 4 +... + 10 = 10*11/2 = 55 kmEl que parte de IbaguéS2 (10) = 20 + 18 + 16 +... + 2 = (21 - 10)*10 = 11*10 = 110 km

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La suma es de 165 km, se encuentran a los 2/3 del camino,2/3 recorre el que sale de Ibagué, 1/3 el que sale de Bogotá

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CONCLUSIONES

Durante el desarrollo del trabajo podemos identificar clases de sucesiones. Demostrar analíticamente cuando una sucesión es acotada superiormente e inferiormente. Pudimos desarrollar diferentes enlaces de conocimientos en las diversas actividades o ejercicios

para el desarrollo del trabajo. Manejamos la capacidad analítica del pensamiento humano en los factores de los temas. Profundización de los diferentes temas aptos para el desarrollo de los próximos trabajos.

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BIBLIOGRAFÍA

Modulo de Cálculo Diferencial. http://www.unad.edu.co/biblioteca/ www.julioprofe.net http://www.youtube.com/watch?v=sR5KYTap0Cg www.monografias.com › Matemáticas Modulo Curso cálculo diferencial segunda edición c "copyright UNAD Jorge

Eliécer Rondón Duran UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍAUNIDAD DE

CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C., 2010 www.mitareanet.com/mates1.htm

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