MÉTODOS NUMÉRICOS

GRUPO 100401_76

TRABAJO COLABORATIVO 1

IVÁN EDUARDO ROMERO VARELA CÓDIGO: 80849433

ALEXANDER CÓRDOBA CÓDIGO 80881743

ADALBERTO VILLALBA RAMÍREZ CÓDIGO 82392179

ÁNGELO ERICK GONZÁLEZ F. CÓDIGO: 80901603

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA, UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

INGENIERÍA DE SISTEMAS

BOGOTÁ

2015

INTRODUCCIÓN

A medida que avanzamos a un nivel profesional encontramos las matemáticas más complejas desde una perspectiva real, es decir, los problemas que se plantean en la vida cotidiana, sobre todo en ingeniería, que abarcan como plano inicial el contenido matemático y aritmético para la solución de los problemas planteados.

Como ingenieros no solo encontramos una solución a los problemas sino también una eficiente, aplicable teórica y prácticamente que indiscutiblemente se verá afectada por medios ajenos a la práctica, valores que tenemos en cuenta para concluir con éxito una situación, optimizándola gracias a métodos numéricos obteniendo una solución exacta y precisa del problema.

En el trabajo a continuación, se plantea de manera sencilla los conceptos básicos para tener en cuenta y arrancar exitosamente el curso de métodos numéricos, estudiar los conceptos los conceptos de error y los diversos tipos de errores para diferenciar los diversos tipos de errores (ERROR ABSOLUTO, RELATIVO, ERROR RELATIVO APROXIMADO (E.R.A). ERROR POR TRUNCAMIENTO Y POR REDONDEO) y los métodos para calcular las raíces de una ecuación BISECCIÓN, REGLA FALSA, NEWTON RAPHSON Y PUNTO FIJO.

OBJETIVOS

Construir con los aportes grupales referentes a las diferencias de los tipos de errores. Lograr el conocimiento sobre los tipos de errores, y métodos para calcular raíces. Presentación de un cuadro comparativo entre los tipos de errores. Presentación Cuadro comparativo de los métodos para calcular las raíces de una

ecuación.

FASE UNO

TEORÍA DE ERRORES

Los errores se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado, ya sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida.

ERROR ABSOLUTO.

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior. Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

ERROR RELATIVO.

Es la división entre el error absoluto y el valor exacto. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo, porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.

ERROR RELATIVO APROXIMADO

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

ERA = ER x 100

Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.

Solución:

a) El error de medición del puente es:

Error Absoluto = 10 000 - 9 999 = 1cm

y para el remache es de

Error Absoluto = 10 - 9 = 1cm

b) El error relativo aproximado para el puente es de:

ERA = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%

y para el remache es de

ERA = 1/10 x 100% = 10%

Ambas medidas tiene un error de 1 cm, el error relativo aproximado del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

ERRORES DE REDONDEO

Casi la totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes.

Reglas de Redondeo

1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. Entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar.

2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último dígito en la columna de las milésimas.

3 .Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación.

4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones.

(Multiplicación o División) +/- (multiplicación o división)

o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas.

Ejemplos:

5.6723 -------------------------- 5.67´ 3 Cifras Significativas

88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas

1.25001 -------------------------- 1.3 2 Cifras Significativas

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinómica: Serie de Taylor

Por ejemplo:

La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por: La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimoorden.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

Cuadro Comparativo

Error absoluto Error relativo Error relativo aproximado

Errores de redondeo Errores de truncamiento

Valor exacto menos valor aproximadoEjemplo: la medición de un local, se cree que su medida es 11 mts, nos informan que el valor real es 15 mts Ea=4 mts

Es la diferencia entre el valor exacto y el valor medido, puede ser positivo o negativo dependiendo si el valor medido es mayor o menor al valor real exacto

Error absoluto divido entre el valor exacto Por 100Ejemplo: 4/15*100=26,6%

Se obtiene como el error absoluto (valor exacto menos valor medido), pero se divide sobre el valor exacto. Este nos da una aproximación más precisa del error.

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:ERA = ER x 100

Suele ser un mejor indicador de la precisión, es más independiente de la escala usada, y esto es una propiedad más que deseable. Es el error relativo multiplicado por cien, se da en porcentaje.

Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal, podemos dar una aproximación de ese número de menos cifras.Ejemplo:

5.8621 -586 3 cifras significativas

86.98745-86.987 5 cifras significativas

3.56002-3.6 2 cifras significativas para esta condición se cumpla aumenta en uno si el 3 decimal es impar mayor a 5

Este error es usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos.Ejemplo: Teniendo este número real

3.987654321

Se tronca dejando los primeros 4 dígitos decimales

3.9876

En términos matemáticos del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos.

MAPA CONCEPTUAL

FASE DOS

CUADRO COMPARATIVO DIFERENTES MÉTODOS

MÉTODO DE BISECCIÓN METODO DE NEWTON -RAPHSON METODO ITERATIVO DE PUNTO FIJOEs el método más elemental y antiguo para

determinar las raíces de una ecuación. Está

basado directamente en el teorema de

Bolzano. Consiste en partir de un intervalo

[x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que

sabemos que existe, al menos, una raíz real. A

partir de este punto se va reduciendo el

intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan

pequeño como exija la precisión que hayamos

decidido emplear.

El método de bisección es menos eficiente que

el método de Newton, pero es mucho más

seguro asegurar la convergencia.

Si f es una función continua en el intervalo [a,

b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método

En análisis numérico, el método de Newton es

un algoritmo eficiente para encontrar

aproximaciones de los ceros o raíces de una

función real. También puede ser usado para

encontrar el máximo o mínimo de una función,

encontrando los ceros de su primera derivada.

Este método parte de una aproximación inicial

x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada

por la fórmula:

La expresión anterior puede derivarse a partir

de un desarrollo en serie de Taylor.

Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una

aproximación a r tal que r=x+h. Si f'' existe y

El método del punto fijo es un método

iterativo que permite resolver sistemas de

ecuaciones no necesariamente lineales. En

particular se puede utilizar para determinar

raíces de una función de la forma f(x) siempre

y cuando se cumplan los criterios de

convergencia.

Consiste en obtener una raíz o solución, de

una ecuación de la forma f(x) = 0, la misma

que se debe transformar es una ecuación

equivalente de punto fijo g(x), de tal forma

que al reordenar la ecuación f(x) = 0, “x” se

ubique al lado izquierdo de la ecuación de

manera que se defina: x= g(x). (BUCHELI,

2013)

converge a la raíz de f. De hecho, una cota del

error absoluto es:

En la n ésima iteración. La bisección converge

linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin

embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y

f(b) tienen distinto signo.

Unas cuantas iteraciones del método de

bisección aplicadas en un intervalo [a1;b1]. El

punto rojo es la raíz de la función.

es continua, por el teorema de Taylor tenemos:

En donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir

hes pequeña), es razonable ignorar el término

O(h2):

Por lo que obtenemos la siguiente expresión

para h:

(4)

A partir de la ecuación (4) y teniendo en

cuenta que r=x+h es fácil derivar la ecuación

(1).  

     

EJEMPLO_1

0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O(h2) (2)

0 = f(x) + hf'(x) (3)

MÉTODO REGLA FALSASe trata de encontrar la raíz de una ecuación. La ecuación tiene la forma f(x), es decir, es una función de x. Además, f(x) está definida en el intervalo [a, b].

El método de la interpolación lineal inversa, requiere varias condiciones: 1.- f(a)*f(b) < 0 Es decir, que el producto de la función de x, f(x), evaluada en a, f(a), multiplicada por la función de x, f(x), evaluada en b, f(b), sea negativo (menor a cero). 2.- Que la función f(x) se aproxime por otra función L(x).

f(x) es aproximadamente igual a L(x)

Por tanto encontramos un punto falso c

Donde C es la raíz que se anda buscando Después se calcula f(C) para ver su valor. Si se obtiene cero, no se debe avanzar más, pero gen caso de no ser así, se realiza lo siguiente: Se calcula f(C)*f(a) si este producto es menor a cero (negativo), entonces ahora C equivaldrá a b, y se repite el cálculo para encontrar una nueva C.

En el caso de que f(C)*f(b) sea la que haya dado el producto menor a cero, o sea negativo, entonces ahora a equivaldrá a C, y se repite el cálculo para encontrar una nueva C.

a este método, se le conoce como: Método de la falsa posición.

EJEMPLO: Encontrar la raíz de f(x)=cosx por el método de la falsa posición en el intervalo [1,2] y Ɛs =0.001.

SOLUCION: a=1, b=2 f(a=1)=cos 1 = 0.5403 f (b=2)=cos 2 = -0.4161 f(a)*f (b) < 0 (0.5403)*(-0.4161) < 0 si hay raíz C_ant= 99999 para arrancar Itera=0 Ɛs =0.001 Encontrado= False

DIAGRAMA DE FLUJO MÉTODO DE LA REGLA FALSA

DIAGRAMA DE FLUJO MÉTODO DE NEWTON –RAPHSON

Si

Inicio

NGRAD,N,M,I,A,A

PROX,NRAIZ,X,N

MI,B,C,Y,REL

NMI, APROX, NGRAD 1

2<NGRAD

<20

N= NGRAD

FINNO

α

NRAIZ=1,NGRAND 1NRAIZ>NGRAD

X=(0,1)

L=1NMI L>NMI

B(1)=A(1)

I=2,MI>M

B(I)=A(I)+X*B(I-1)

β6

Raiz

NRAIZ, Y

I=2,NI>N

A(I)=B(I)

N=N-1

M=M-1

M=N+1

(A(I),I=I,M)

(A(I),I=I,M)

APROX=10−NAPROX

Encabezado

α

C(I)=B(I)

I=2,NI>N

C(I)=B(I)+X*C(I-1)

Y=X-B(M )C(M )

REL=|X−YY |

REL=APROX

6

≤

>5

X=Y

No convergen en NMI iteraciones

β

1

DIAGRAMA DE FLUJO MÉTODO DE BISECCIÓN

No

Si

No Si

f ( x ) , a , b , xi , ε ; i=1 ;ea ( i )=100

f (xai) f (xbi)<0

xa (1 )=xai ; xb (1 )=xbi

INICIO

ea (i)≥ tolImp: Raíz en la gráfica.

f (xai) f (xbi)<0

xa ( i+1 )=xai ;xb (i+1 )=xbi

f (xai) f (xbi)>0 xa (i+1 )=xai ;xb ( i+1 )=xbi

xr (i+1 )= xa (i+1 )− xb (i+1 )2

;εa=(i+1 )= xr−xr (i+1)xr (i+1)

∗100

i→i+1

CONCLUSIONES

Se hace bastante ilustrativo el hecho de usar recursos como cuadros comparativos, mapas conceptuales y diagramas de flujo, para así tener un entendimiento claro de los principales aspectos de los conceptos en cuestión y del procedimiento a la hora de aplicarlos.

Con el desarrollo de este trabajo colaborativo reconocemos que los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos y decir que la aproximación es aceptable, por esta razón debemos conocer los tipos de errores y cuáles son los adecuados según el problema.

BIBLIOGRAFÍA

http://errorredtrun.blogspot.com/

https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-error-absoluto-error-relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento

www.umng.edu.co/documents/10162/.../TEORIA+DEL+ ERROR .doc