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ESTABILIDAD III - Capítulo 1. Ejercicios De Aplicación 112

Facultad de Ingeniería – UNNE Estabilidad III

Ejercicio Nº: 1

Determinar el trabajo de deformación en una viga prismática apoyada en los

extremos y cargada uniformemente (despreciar influencia del esfuerzo cortante).

a) Solución 1 - Calcular el trabajo interno:

∫ ∫ =

−==

l

0

l

0

5222

i EI240lq

dx2xqx

2lq.

EI21dx

EI2M.U

b) Solución 2 - Calcular el trabajo externo:

( )∫ ∫ =+−==l

0

l

0

52433

e EI240lq

dxxlx2xlEI24

qq.

21y.dx.q.

21T

Ejercicio Nº:2

Calcular el trabajo de deformación en la viga de la figura aplicando el teorema de

Clapeyron y utilizando los coeficientes de influencia.

( ) ( ) ( )[ ]222211212211112211e PPPPPP21PP

21P

21T δ+δ+δ+δ=δ+δ=δ∑=

De Tabla →l.EI3

ba1 2i

2i

ii =δ ; [ ]2j

2i

2jiij bal

l.EI6ba1

−−=δ

kg/cm001976,0800*1446*10*1,2*3

600*200*16

22

11 ==δ

kg/cm003087,0800*1446*10*1,2*3

300*500*16

22

22 ==δ

E.I=cte

Datos: P1=600 kg. E=2,1*106 kg/cm2 P2=500 kg I=1446 cm4



kg/cm002099,0800*1446*10*1,2*6

)300200800(*300*200*16

222

2112 =−−

=δ=δ

[ ]2222122111

21e .P.PP2.P

21T δ+δ+δ=

[ ] =++= 003087,0*500002099,0*500*600*2001976,0*60021 22

Kgcm26,371.1= Ejercicio Nº:3

Determinar el trabajo de deformación en la viga prismática de la figura, sometida

a carga P en el centro y a un par M en el extremo A, aplicando teorema de Clapeyron.

Desplazamientos: EI16

MlEI48

ply

23

2l += ;

EI3Ml

EI16pl 2

A +=ϕ

Aplicando T.C. →

ϕ+= Ae .My.P

21T

2l

EI16l.PM

EI6lM

EI96lPT

2232

e ++=

Ejercicio Nº:4

Calcular el valor de la reacción A de la viga de la figura.

a) Solución 1- La reacción A está determinada por la condición de que el punto A no desciende si se suprime el apoyo sustituyéndola por la reacción.

Datos: P1=1,2 t P2=0,5 t P3=0,8 t



En base a los coeficientes de influencia podríamos escribir que:

0.A.P.P.P AA3A32A21A1A =δ−δ+δ+δ=δ Por Maxwell sabemos que iAAi δ=δ

)tm(

EI67,41 3

AA =δ t23,167,41

67,8*8,00,18*5,033,29*2,1A =++=

)tm(EI

33,29 3A1 =δ

)tm(EI00,18 3

A2 =δ

)tm(EI67,8 3

A3 =δ

b) Solución 2 – Considerando dos estados de carga y aplicando Betti:

Por Betti → I,IIII,I UU = ; 0*t1U I,II =

0.P.P.P.AU A33A22A11AAII,I =δ+δ+δ+δ−→

Estado I ( )0A =δ

Estado II



Ejercicio Nº:5 Cálculo de desplazamientos

Sea una viga en voladizo solicitada en su extremo libre por una carga P y un momento M. Se pide calcular la traslación Aδ y el giro Aϕ .

a) Cálculo aplicando teorema de Castigliano

z.PMMZ +=

( )∫ +=l

0

2dzz.PM.EI21U

Buscamos el descenso:

( )( )∫ =+=∂∂ l

0dz.zz.PM2.

EI21

PU

A

32

3lP

2lM

EI1 δ=

+

Para la rotación:

( )∫ =+=∂∂ l

0dzz.PM2.

EI21

MU

A

2

2lPl.M

EI1 ϕ=

+

b) Cálculo aplicando P.T.V. Diagrama M para estado de deformaciones



Diagrama M para estado virtual de cargas Para traslación Para rotación

Traslación ( ) ( )[ ] →

+++=δ→ l.l.PM2M

6t1l

EI1.t1 A

( )( )

+=δ

3l.P

2l.M

EIt1t11 32

A

Rotación ( ) ( )[ ] →

+++=ϕ→ l.l.PMM

2tm1

EI1.tm1 A

( )( ) [ ]2

A l.Pl.M2EI2tm1

tm1 +=ϕ

Ejercicio Nº:6 Aplicación Teorema De Castigliano.

Sea una viga simplemente apoyada, solicitada con una carga uniformemente repartida, de momento de inercia constante. Se pide el descenso de la sección media del tramo.

Para aplicar Castigliano, suponemos que en la sección media actúa una carga puntual P en la dirección del desplazamiento requerido.

dz.EI2

M.U2

∫= despreciando la influencia del esfuerzo de Corte

En una sección genérica 2zqz.RM2

lz02

A −=→≤≤

2p

2lqR A +=



dz.EI2

M.2U 2l

0

2

∫=

dz2zqz.

2P

2lq.

EI1U

22

l

0

2

∫

−

+= (1)

dz2

zqz.q2P

2l.q

z2P

2lq.

EI1 2

l

0

2232

2

∫

+

+−

+=

2

l

0

52

442

32

3322

z20q

z8q.P

z8

l.qz

12Pz

6P.l.q

z12

lqEI1

+−−++=

−+=

96l.PPl.q

3845

240lq

EI1 32

452

EIl.P

481

EIl.q

38450

PU 34

−+=∂∂

( )

v

2lz

4

0P EIl.q

3845

PU

==

δ==

∂∂ : descenso de la sección media.

Se simplifica el trabajo, buscando la PU

∂∂ a través de la expresión (1)

∫

−

+=

∂∂ 2

l

0

2dz.

2z

2zqz.

2P

2lq2.

EI1

PU

( )=

−

=

∂∂ ∫

=

2l

0

2

0Pdz.z

2zqz.

2lq.

EI1

PU 2

l

0

43

8z.q

z6l.q

EI1

−

v

2lz

4

EIl.q

3845

=δ==

Para la viga dada, aplicando teorema de Castigliano hallar la rotación de la sección B. Suponemos que además de la carga q, en la sección B actúa un momento M.

2z.q

zl

M2l.q

Mz2

−

−=

−=

lM

2l.q

R A



dz2z.q

lz.M

2z.l.q

EI21.U

22l

0

−

−

= ∫

∫

−

−

−=∂∂ l

0

2

dzlz

2z.q

lz.M

2z.l.q

.EI1

MU

( )B

3l

0

2

0M EI24l.q

dzl

z2z.q

2z.l.q

.EI1

MU ϕ=−=

−−=

∂∂ ∫

=

Idem. Hallar la rotación en A.

∫

−−

+=

l

0

22

dz2z.qM

lz.M

2z.l.q.

EI21U

dz.1l

z2z.q

Ml

z.M2

z.l.q.

EI1

MU l

0

2

∫

−

−−+=

∂∂

( )A

3l

0

232

0M EI.24l.q

dz.2z.q

2z.l.q

l.2z.q

2z.q

.EI1

MU ϕ=−=

+−−=

∂∂ ∫

=

Ejercicio Nº:7 Teorema de Castigliano

Dada la viga y la carga de la figura, determinar en la sección media el valor del descenso. (E.I = cte.)

→

+=

lM

2l.q

R A 2z.q

Mzl

M2l.q

Mz2

−−

+= lz0 ≤≤



→<< 0,2z0

2z'.Pz.14,7M +=

→<< 5,3z0,2 ( )0,2z102z'.Pz.14,7M −−+=

→<< 0,7z5,3 ( ) ( )5,3z'P0,2z102z'.Pz.14,7M −−−−+=

+

+= ∫ dz

2z'.Pz.14,7

EI.21U

20,2

0( ) +

−−+∫

5,3

0,2

2

dz0,2z102z'.Pz.14,7.

( ) ( )

−−−−++ ∫

0,7

5,3

2

dz5,3z'P0,2z102z'.Pz.14,7.

EI1

'PU =

∂∂ +

+∫ dz

2z

2z'.Pz.14,7

0,2

0+

+−+∫

5,3

0,2dz

2z20z.10

2z'.Pz.14,7.

( ) ( )

−−

−−+−++ ∫

0,7

5,3dz5,3z

2z5,3z'P20z.10

2z'.Pz.14,7.

( )+

+−+

=

∂∂

=

5,3

0,2

2330,2

0

3

0'P 2z.10

3z.5

3z

214,7

3z

214,7

EI1

'PU

+−−++−+

0,7

5,3

22323z.70

2z.10

2z.35

3z.5

2z.25

3z

214,7

[ ] [ ] [ ]

+−++−+=

0,75,3

235,30,2

230,20

3 z.70z.10z.477,0z.5z.477,0z.19,1EI1

[ ] [ ] [ ]{ } ( ) mtmEI

8,54.95,14261,16318,1680,4052,9.EI1 3 δ==−+−+=



Aplicación P.T.V. Calcular el descenso en la sección media de la viga.

Estado virtual

( )( ) [ +++++=δ 28,14*75,110*0,128,14*0,1*2

610,2*28,14*0,1*

31m*t1EI

] ( )32mt6,5442,2064,2452,950,3*10*75,1*3150,1.10*75,1*2 =++=++

( )3tmEI

6,54m =δ

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