1 Números racionales.docx

7/23/2019 1 Nmeros racionales.docx

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1 Nmeros racionalesINTRODUCCIN RESUMEN DE LA UNIDAD

Esta unidad desarrolla conceptos y tcnicasya conocidos de otros cursos. Sin embargo,

Dos fraccionesa

byd

son equivalentesc

es conveniente repasar las distintas interpretacionesque ofrecen las fracciones, las diferenciasde interpretacin de fracciones positivas y negativas,y la diferencia entre fracciones propias e impropias.

A lo largo de la unidad se resolvern operacionestales como sumas, restas, multiplicaciones, divisionesy obtencin del comn denominador de variasfracciones, que pondrn de manifiesto su utilidad pararesolver problemas de la vida diaria. !onviene "acerrefle#ionar a los alumnos sobre la presenciade las fracciones en distintos conte#tos.

Adems, se traba$ar la relacin entre los nmerosracionales y los nmeros decimales, aprendiendoa pasar de unos a otros. Se practicar la lecturay escritura de nmeros decimales e#actos y sue#presin en forma de fracciones decimales.

si se cumple que a c = b d.

%raccin irreducible es aquella que no se puedesimplificar.

&ara comparar, sumar y'o restar fracciones,estas deben tener igual denominador.

El producto de dos fracciones es otra fraccincuyo numerador es el producto de los numeradores,y con denominador, el producto de los denominadores.

&ara dividir fracciones se reali(a el productocru(ado de los trminos de cada una deellas.

El con$unto de los nmeros racionales lo formanlos nmeros enteros y los nmeros fraccionarios.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

)econocer las formasde representacin quetiene una fraccin.

*umerador y denominador.

)epresentacin escrita,numrica, grfica y en la recta.

+tili(acin de dibu$os y e#presiones.

dentificacin de una fraccin.

)epresentacin de una fraccin.

)econocer y obtener

fracciones equivalentesa una dada.

-btencin de fracciones

equivalentes a una dada.

-btencin de fracciones equivalentes.

Determinacin de si dos fraccionesson equivalentes.

Amplificar y simplificarfracciones.

Amplificacin de fracciones.

Simplificacin de fracciones.

%raccin irreducible.

-btener fracciones equivalentespor amplificacin y simplificacin.

)econocimiento de la fraccin irreducible.

)educir fraccionesa comn denominador.

-btencin del comndenominador de varias fracciones.

!omparacin de fracciones.

squeda del denominador comnde dos fracciones.

-rdenacin de un con$unto de fracciones.

Sumar, restar,multiplicar y dividir

fracciones.

Suma y resta de fracciones.

/ultiplicacin y divisinde fracciones.

-peraciones con fracciones.

-peraciones combinadas.

-btener la formadecimal de una fraccin.

E#presin de fraccionesen forma decimal.

-btencin de la e#presin decimalde una fraccin.

)econocer los diferentestipos de nmerosdecimales.

Decimal e#acto.

Decimal peridico puro.

Decimal peridico mi#to.

Distincin de los nmeros decimalese#actos, peridicos puros y peridicosmi#tos.

-btener fraccionesa partir de

nmeros

E#presin de nmerosdecimales como fracciones.

!lculo de la e#presin fraccionaria deun nmero decimal e#acto o peridico.


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-0E12- 3

RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIN QUE TIENE UNA FRACCIN

*-/)E4 !+)S-4 %E!5A4

+na fraccin est compuesta por un n!"#$% y un %"n&!'n$%. D"n&!'n$% &artes en que se divide la unidad. N!"#$% &artes que tomamos de la unidad.

EJEMPLO

F#$((')n*6

7

*+/E)AD-) 8 6

DE*-/*AD-) 8 7

D"n&!'n$% Dividimos la unidad en cuatro partes iguales.

N!"#$% 1omamos tres partes del total.

6 6% %

7 7

FORMAS DE REPRESENTACIN DE UNA FRACCIN

+na fraccin se puede representar de distintas formas4

)epresentacin "+(#',$.

)epresentacin -#/'($. )epresentacin n!0#'($. )epresentacin "n $ #"(,$ n!0#'($.

EJEMPLO

REPRESENTACINESCRITA

REPRESENTACINNUMRICA

REPRESENTACINRFICA

REPRESENTACINEN LA RECTA NUM2RICA

Dos quintos9

:;3 < 9 3

:

!uatro sptimos 7=

;3 < 7 3

=

!uatro tercios7

6 ;9 ;3 < 3 7 9

6

1


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1

1 C&!51",$ $ +'-'"n," ,$$.

REPRESENTACINESCRITA

REPRESENTACINNUMRICA

REPRESENTACINRFICA

REPRESENTACINEN LA RECTA NUM2RICA

!uatro quintos7

:

Siete quintos=

:

2 P$#,'"n%& %" %'67&8 9$11$ $ /#$((')n :" #"5#"+"n,$ ; "+(#'6" ()!& +" "".

a> %? % ............... octavos

b> %%

............... ...............

c>% % ............... medios

9

d> %% ............... ...............

3 9

:

9

c>

3 3

? 6 39

9 9

6 :

b>9

:

3d>

7 3

9 @ 6


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-0E12- 9

RECONOCER > OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA

*-/)E4 !+)S-4 %E!5A4

a c

Dos fracciones y son ":'?$1"n,"+ cuando el producto cru(ado de numeradores y denominadoresb des igual.

a=

c

b d

a d = b c

EJEMPLO

Bas fracciones9

y7

son equivalentes, ya que 9 @ = 6 7.6 @

1 D'67$ 1$+ +'-'"n,"+ /#$(('&n"+.

a>6

@c>

9

6e>

7

?

b>7

@d>

:

3

3

9

2 O6+"#?$n%& " "7"#('('& $n,"#' ?"!&+ :" $1-n$+ /#$(('&n"+8 $ 5"+$# %" +"#%'/"#"n,"+ n&+ %$n " !'+!& #"+1,$%&. C&1&($ "n %&+ -#5&+ "+,$+ /#$(('&n"+.

%racciones queCrupo 3 representan la

mitad de la tarta.

%racciones queCrupo 9 representan dos

tercios de la tarta.

3 C$1(1$ ,#"+ /#$(('&n"+ ":'?$"n,"+.

a>

39

b>3@

97

c>9

7

d>@

39

= = =

= = =

= = =

= = =

4 @$$ " n!"#& :" /$,$ 5$#$ :" 1$+ /#$(('&n"+ +"$n ":'?$"n,"+.

a>3

=x b>

7=

?c>

x=

9

: 3< 6 x 6< 3:

1

EE


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-0E12- 6

AMPLIFICAR > SIMPLIFICAR FRACCIONES 1

*-/)E4 !+)S-4 %E!5A4

AMPLIFICACIN DE FRACCIONES &ara obtener una fraccin equivalente a otra fraccin dada !1,'51'($!&+ el numerador y el

denominador de dic"a fraccin 5 n n!"#& %'+,'n,& %" ("#&. Este mtodo se llama amplificacin.

-bserva que podemos obtener tantas fracciones amplificadas como queramos.

EJEMPLO

O6,0n n$ /#$((')n ":'?$1"n," ; $!51'/'($%$ %"1

.2

3

3 6=

6 3=

6Bas fracciones son equivalentes, es decir,

3y

6

9 9 6 @ 9 @ representan el mismo nmero. 9 @

C$1(1$ /#$(('&n"+ ":'?$1"n,"+ 5 $!'/'($(')n.

a>3

9

b>9

6

7

=3

=

7 9

:

=9

=

: 6

@$$ %&+ /#$(('&n"+ ":'?$"n,"+.

a>9

6

9 7=

9=

6 7 6

9 :=

9=

6 : 6

b>3

= =

7

c>7

= =

:

d>

= =

9

= =

= =

= =

%%

%

%

%

%

ADAPTACIN

CUCULAR


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SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES

S'!51'/'($# una fraccin es encontrar otra fraccin equivalente a ella dividiendo numeradory denominador por un factor comn.

-bserva que el proceso, al contrario que en la amplificacin, no se puede reali(arindefinidamente. Se termina al encontrar una fraccin que no se puede simplificar. Esta fraccinse llama/#$((')n '##"%('".

EJEMPLO

!51'/'($ 1$+ +'-'"n,"+ /#$(('&n"+.

5=

: 4 :=

3

1 3< 4 : 9

son equivalentes

2 =3B

9< 4 3

9I por tanto,

@ @

3>

3

9 6

)ecuerda que, dadas dos fracciones con igual denominador, es mayor la que tienemayor numerador.

1 O#%"n$ "+,$+ /#$(('&n"+.

4=

3

2 3: 6< 6< 6< 6< 6 > >

4=

=

5


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10/27

1BUSCAR EL DENOMINADOR COMN

Gueremos comparar las siguientes fracciones4=

,

3OR

=,

6,

:

7 : @

7=,

96,

=

39 3: 97

%

%

%

%


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-0E12- :

SUMAR8 RESTAR8 MULTIPLICAR > DIVIDIR FRACCIONES

*-/)E4 !+)S-4 %E!5A4

SUMA ORESTAG

DEFRACCIONES CON I3UAL

DENOMINADORBa suma Lo resta> de fracciones con igual denominador es otra fraccin con el mismodenominador y cuyo numerador es la suma Lo resta> de los numeradores.

EJEMPLO

1 4 5H I

3 3 3

+ =

+n tercio ms cuatro tercios son cinco tercios.

SUMA O RESTAG DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR

&ara sumar Lo restar> fracciones con distinto denominador, reducimos primero a denominador comn y,despus, sumamos Lo restamos> sus numeradores.

EJEMPLO

@$ "+,$ +!$ %" /#$(('&n"+*1H

6.

3 5

&ara sumar las fracciones "ay que obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador.

3=

3 :=

:

6 6 : 3:

@=

@ 6

: : 6

=3?

3:

*os interesa obtener el mKnimo comn denominador de 6 y :, en este caso 3:.A"ora sumamos las fracciones con igual denominador4

3+

@=

:+

3?=

96

6 : 3: 3: 3:

1 R"$1'$ 1$+ +'-'"n,"+ &"#$('&n"+.

a>6

3

+:

=

7 7 7

b>33 = 33 =

33 ?

c>@

7=

g>3

3=

? 6 9 6

d>:

?=

">39

7=

7 9< : 6

DIVISIN DE FRACCIONES

Ba divisin de dos fracciones es otra fraccin cuyo numerador es el producto del numerador de la primerapor el denominador de la segunda fraccin, y cuyo denominador es el producto del denominadorde la primera fraccin por el numerador de la segunda4

a*

c

b d

a db c

EJEMPLO11

* =33 :

=::

2 5 9 6 @

3 R"$1'$ 1$+ +'-'"n,"+ %'?'+'&n"+ %" /#$(('&n"+.

a>?

47

=

6 :

e>?

64

3@

=3?

b>

4:

=

: =

f>9

47

=

= 6

c>7

43=

: =

g>@

46

=

7 ?

d>:

43

=

9 3


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1

NMEROS DECIMALES PERIDICOS PUROS

Gueremos obtener la forma fraccionaria del nmero decimal 9,666J = 9,6.

Si 9,666J no tuviera infinitas cifras decimales, podrKamos obtener la forma fraccionaria comoen el caso de los nmeros decimales e#actos.

&or tanto, no podemos actuar de esta manera.

9,666J

# = 9,666J

% 3


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15 C&!51",$ 1$+ +'-'"n,"+ &"#$('&n"+.

a> :,= = :,===J

# = :,===J

% 3


23/27

1

6 C$1(1$ $ /!$ /#$(('&n$#'$ %" 1&+ n!"#&+ %"('!$"+.

a> 3:,7=7=7=J

/ultiplicamos

por 3


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1NMEROS DECIMALES PERIDICOS MIKTOS

Gueremos obtener la forma fraccionaria del nmero decimal 9,3666J = 9,36.

Si actuamos como en el caso de los decimales puros, tenemos que4

# = 9,3666J

% 3


25/27

1

7 EJ5#"+$ "+,&+ n!"#&+ %"('!$1"+ "n /!$ %" /#$((')n.

a> :,6= = :,6===J

#=

:,6===J%

3


26/27

18 C&!51",$ $ +'-'"n," &"#$(')n.

6,:=7=7J

/ultiplicamospor 3. 7,6====J c> 6,7 d> 9,77 e> 76,9=9=J f> 9 = 3,7379J

%

%


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DECIMALEKACTO

DECIMALPERIDICO PURO

DECIMALPERIDICO MIKTO

IRRACIONAL

262 O MATEM4TICAS 3. ESO O /A1E)AB %-1-!-&ABE P SA*1BBA*A

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