Profesores participantes:

SEMINARIO DE PRODUCCIÓN DE MATERIALES DE

PROFESORES DE CARRERA

1ª Muestra De Materiales Educativos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL NAUCALPAN

Cruz Salcedo Blanca Cecilia

Cruz Vázquez Daniel

Flores Reyes Fernando

García Sánchez Héctor

García Sánchez Javier

Garcilazo Galnares Angélica

Hernández Saavedra Carlos

Ramírez Maciel Juan Carlos

Rivera Vargas Héctor Gabriel

Rodríguez Jiménez Ramón

Tamayo Zaragoza Juan

Terrazas Castro Juan Manuel

Vera Butanda Florencio

Landa Orozco Eliseo

Martínez Gallardo Víctor Manuel

Mejía Olvera Fermín

Mendoza Cano Francisco

Mercado Martínez Miguel

Monzoy Vásquez José Alberto

Paulin Zamora Alfredo

Moreno Guzmán Salvador

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA MATEMÁTICAS IV

UNIDAD 4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

I.DATOS GENERALES

PROFESOR(A) Blanca Cecilia Cruz Salcedo

ASIGNATURA Matemáticas IV

SEMESTRE

ESCOLAR Cuarto semestre

PLANTEL Naucalpan

II.PROGRAMA

UNIDAD

TEMÁTICA

Unidad 4. Funciones Trigonométricas

PROPÓSITO(S)

DE LA UNIDAD

Comprenderá la extensión del concepto de razón trigonométrica a

función trigonométrica. Estudiará las funciones seno y coseno en su

forma característica de variación y el análisis de sus parámetros.

Modelará situaciones de comportamiento periódico para resolver

problemas.

APRENDIZAJE(S)

Analiza e identifica los parámetros que aparecen en las funciones:

f(x) = D + Asen (Bx + C) f(x) = D + Acos (Bx + C)

D desplazamiento vertical, A amplitud, B frecuencia, y

desfasamiento.

TEMA(S)

Gráfica de las funciones:

f(x) = D + Asen (Bx + C) f(x) = D + Acos (Bx + C)

Análisis del comportamiento de la gráfica respecto de los

parámetros:

A, B, C y D

III. ESTRATEGIA

Esta estrategia es para reforzar los aprendizajes de esta unidad referentes a los

cambios de representación algebraico a gráfico y viceversa, haciendo variaciones

en los parámetros de las funciones seno y coseno.

IV. SECUENCIA

TIEMPO

DIDÁCTICO

Una sesión de 2 horas. Se realiza en Sala Telmex.

DESARROLLO Y

ACTIVIDADES

Inicio

El profesor hace una pequeña explicación de GeoGebra

considerando que no todos los alumnos tengan conocimiento de este

software y como recordatorio de los comandos que se utilizarán para

aquellos que tengan conocimiento previo del software.

Desarrollo

Se les pide a los alumnos que grafiquen en GeoGebra la función

f(x) = sen (x). Posteriormente se les pide que grafiquen la función

f(x)=asen(x) cuando a es entero positivo, negativo o racional. Se

les pide que anoten las variaciones observadas en una hoja.

Una vez realizadas las observaciones se les solicita que grafiquen

la función f(x)=sen(bx) y que anoten una vez más las variaciones

observadas respecto a la función f(x) = sen (x) en la hoja de papel.

Posteriormente deben realizar la misma comparación variando el

parámetro c, es decir: f(x) = sen (x+c) Estas observaciones deben

ser igualmente documentadas.

Por último, se varía el parámetro d: f(x) = sen (x)+d y se compara

con la función f(x) = sen (x).

Como segunda actividad, se les proyectarán diferentes gráficas de

funciones trigonométricas para que obtengan su expresión

algebraica. Estas deben ser escritas en la hoja que se le entregará

al profesor.

Cierre

Se hará una discusión grupal sobre las comparaciones hechas en

la primer actividad, donde los alumnos deben ser capaces de

explicar como se modifica la gráfica f(x) = sen (x) al variar sus

parámetros.

Posteriormente se discute las expresiones algebraicas propuestas

en la segunda actividad. Se comentan las dudas en caso de existir

y se termina la sesión.

ORGANIZACIÓN Los alumnos trabajarán en parejas. Utilizando una computadora

cada uno.

En caso de que los recursos no sean suficientes se distribuirán los

alumnos en el número de computadoras disponibles.

MATERIALES Y

RECURSOS DE

APOYO

Computadora para cada uno de los alumnos. Un cañón, pantalla

para proyección, pizarrón, plumón, hoja de papel y lápiz.

EVALUACIÓN El trabajo realizado durante la sesión se evalúa grupalmente en la

actividad de cierre. Los alumnos utilizarán una rúbrica para evaluar el

trabajo de sus compañeros. La calificación obtenida corresponderá al

10% de la calificación de la unidad.

V. REFERENCIAS DE APOYO

BIBLIOGRAFÍA DE

CONSULTA PARA

LOS ALUMNOS.

• Sullivan, Michael, Precálculo. Prentice-Hall

Hispanoamérica, México 1997.

• Johnson, L. , Steffensen, Arnold R. (2009). Álgebra y

Trigonometría con Aplicaciones. México: Trillas.

BIBLIOGRAFÍA DE

CONSULTA PARA

EL PROFESOR

• Leithold, L. (1999). Álgebra y Trigonometría con Geometría

Analítica. México: Oxfod University Press.

• Swokowski, E. y Cole, J. (2011). Álgebra y Trigonometría con

Geometría Analítica. (13a ed.) México: cengage Learning.

• Manual de GeoGebra

www.geogebra.org/help/docues.pdf

• Sullivan, Michael, Precálculo. Prentice-Hall Hispanoamérica,

México 1997.

• Demana, F., Waits, B., Foley, G. y Kennedy, D. (2007).

Precálculo Gráfico, Numérico, Algebraico. México: Pearson

Addison Wesley.

• Johnson, L., Steffensen, Arnold R. (2009). Álgebra y

Trigonometría con Aplicaciones. México: Trillas.

• Leithold, L. (1999). Álgebra y Trigonometría con Geometría

Analítica. México: Oxfod University Press.

• Swokowski, E. y Cole, J. (2011). Álgebra y Trigonometría con

Geometría Analítica. (13a ed.) México: CENGAGE Learning.

Práctica de funciones trigonométricas utilizando como herramienta el software de Geogebra.

La realización de esta sesión está diseñada para trabajar en Sala Telmex. Primeramente, se revisarán algunos aspectos relativos al software necesarios para realizar la práctica, si ya has trabajado con Geogebra apoya a tus compañeros que no lo han hecho. En el segundo apartado se presenta la secuencia de funciones trigonométricas.

I. Uso de software Geogebra.

Pon atención a la explicación de la maestra sobre el uso de Geogebra. En este apartado hay algunas imágenes de lo que se menciona en clase por si necesitas apoyo.

Vistas en Geogebra

Geogebra permite trabajar en las siguientes Vistas:

Gráfica Gráfica 3D

Algebraica CAS (sistema de cálculo algebraico)

Hoja de cálculo Calculadora de probabilidades

Estas distintas Vistas pueden mostrarse u ocultarse utilizando el menú Vista.

En esta práctica trabajaremos en la vista gráfica y algebraica. La siguiente imagen muestra

donde se localizan las 2 vistas, así como la de la entrada.

• Barra de Entrada algebraica

Los objetos que se registran en la vista gráfica y/o la vista algebraica se pueden crear,

redefinir y modificar directamente escribiendo en la Barra de Entrada su expresión

algebraica. Sean valores, coordenadas o ecuaciones, estás se reflejarán en la vista gráfica y

la vista algebraica. También es posible utilizar funciones predeterminadas dentro del

software como lo son la función seno y coseno.

• Configuración de la vista gráfica

a. Ejes, graduación, líneas auxiliares.

Es posible configurar el plano cartesiano de acuerdo a nuestras necesidades. Da click

en el botón derecho y elige propiedades en menú que aparece.

En el apartado de vista gráfica se muestran varias pestañas, en la del Eje X o la

del Eje Y se puede modificar la graduación, unidades, rotular los ejes, etc. En

nuestro caso las unidades deben ser en radianes para el eje x.

En la pestaña Básico es posible modificar el grosor del trazo y su color.

Navega por los diferentes menús realizando cambios para que observes las modificaciones

en el plano gráfico.

Nombre:_______________________________________ Grupo:___________

II. Cambio de registros de representación para funciones seno y coseno. Instrucciones: escribe lo que se te pide a continuación, verifica que tus respuestas sean correctas utilizando Geogebra. No está permitido saltarse ejercicios ya que existe una secuencia. La forma de trabajo es individual, en caso de no tener una computadora para ti, se permite trabajar en pareja. De forma grupal se discutirán las respuestas para su evaluación. Ejercicio 1.

1. Escribe una función seno, sin desplazamientos. _________________________________________________________________

2. Escribe algunos puntos que pertenezcan a la función que propones en el punto 1. _________________________________________________________________

3. Introduce la función seno (punto 1) en Geogebra y comprueba que pasen por los puntos que propusiste en el punto 2. Responde SI en caso de ser correctos, NO si hay error. _____________________

Ejercicio 2.

1. Modifica la función seno para obtener la siguiente gráfica. Considera que no hay desfasamiento.

Describe brevemente cambio sufrió la función respecto a la función f(x)= sen(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función propuesta es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

Ejercicio 3.

1. Modifica la función coseno para obtener la siguiente gráfica. Considera que no hay desfasamiento.

Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= cos(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

2. Modifica los parámetros necesarios para obtener la siguiente gráfica cosenoidal

Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= cos(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

3. Modifica los parámetros necesarios para obtener la siguiente gráfica

Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= sen(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

4. Modifica los parámetros necesarios para obtener la siguiente gráfica. Considera que se trata de una función coseno sin corrimiento de fase.

Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= cos(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

5. Modifica los parámetros necesarios para obtener la siguiente gráfica. Considera que se trata de una función seno sin corrimiento de fase.

Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= sen(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________

¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

6. La siguiente gráfica muestra una función seno, modifica los parámetros necesarios para representarla.

Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= sen(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________ Compara tu respuesta con los compañeros cercanos a ti. ¿Es posible representar la gráfica anterior con más de una expresión algebraica? ___________ Justifica tu respuesta _________________________________________________ __________________________________________________________________

7. La siguiente gráfica muestra una función coseno, modifica los parámetros necesarios para representarla.

Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= cos(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________ Compara tu respuesta con los compañeros cercanos a ti. ¿Es posible representar la gráfica anterior con más de una expresión algebraica? ___________ Justifica tu respuesta _________________________________________________ __________________________________________________________________

8. La siguiente gráfica muestra una función seno, modifica los parámetros necesarios para representarla.

Describe brevemente que pasa con el periodo de la función _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________

¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

9. La siguiente gráfica muestra una función coseno, modifica los parámetros necesarios para representarla.

Describe brevemente que pasa con el periodo de la función _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

10. La siguiente gráfica muestra una función seno, modifica los parámetros necesarios para representarla.

¿Qué parámetros modificaste? _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________

11. Propón una función seno y una función coseno que pasen por los puntos (pi , 4) y (3pi, -6) Escribe las expresiones algebraicas: ___________________________________ _________________________________________________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________ ¿Es posible obtener otras funciones además de las propuestas? _________________________________________________________________

Universidad Nacional Autónoma

de México

Colegio de Ciencias y Humanidades

Apoyo a la aplicación de los programas de

estudio de las

asignaturas de Matemáticas I y II

S E C U E N C I A D I D Á C T I C A

M A T E M Á T I C A S II

Página 2

1. Datos descriptivos

Grupo de Trabajo de Apoyo a la aplicación de los programas de estudio

de las asignaturas de Matemáticas I y II

Unidad 4: Congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras

Tema: Problemas de longitudes y áreas que involucran semejanza,

congruencia y el teorema de Pitágoras

2. Metas y Objetivos

Objetivo de la Unidad:

Al finalizar, el alumno:

Aplicará los conceptos de congruencia y semejanza y usará el Teorema de

Pitágoras en la resolución de problemas que involucren triángulos.

Argumentará deductivamente sobre la validez de algunas afirmaciones

geométricas y procesos en la resolución de problemas.

Aprendizajes esperados

El alumno:

• Utiliza correctamente la notación propia de la congruencia.

• Comprende el concepto de congruencia.

• Reconoce cuándo dos triángulos son congruentes con base en la

definición.

• Aplica los criterios de congruencia de triángulos para justificar

congruencia entre lados, ángulos y triángulos.

• Resuelve problemas, por medio de los criterios de congruencia.

Fundamentación

El programa de estudios de Matemáticas II establece que al abordar el estudio

de la geometría euclidiana, los estudiantes necesitan aprender a describir

objetos geométricos y sus partes de acuerdo con sus formas, dimensiones y

propiedades. Se plantea que dicho estudio debería contribuir al desarrollo de

habilidades de pensamiento reflexivo en la medida en que los alumnos

exploren, identifiquen propiedades y relaciones que lleven al planteamiento de

conjeturas y proposiciones generales, así como a la necesidad de construir

argumentos que validen dichas proposiciones (CCH, 2016)

Todo ello en el marco del enfoque general que se propone para las asignaturas

de Matemáticas I-IV: resolución de problemas como método de enseñanza

pero también como objeto de aprendizaje, cuidando la transición de la

aritmética al álgebra. Siguiendo estos lineamientos, esta secuencia plantea una

Página 3

actividad en la que, trabajando en una clase-taller, los estudiantes enfrenten y

resuelvan un problema geométrico cuya resolución requiera poner en juego

conocimientos sobre las condiciones bajo las cuales dos triángulos son

congruentes o semejantes, y las implicaciones de que tales condiciones se

cumplan.

3. Conocimientos previos (Antecedentes):

• Proporcionalidad

• Noción de congruencia de triángulos

• Criterios de congruencia de triángulos

• Noción de semejanza de triángulos

• Criterios de semejanza de triángulos

Materiales

Papel

Lápiz

Fotocopias

Pizarrón

Marcadores

Borrador

Evaluación

Durante la implementación de la secuencia, se deberá monitorear la actividad

de los estudiantes para recabar información sobre las dificultades que

enfrenten, sus formas de atacarlas, los avances que vayan logrando. Esta

información tendrá que utilizarse para idear formas de ayudarlos a construir los

aprendizajes esperados, dentro de un ambiente en el que se privilegie el

esfuerzo continuo por mejorar colectivamente.

Esta información puede recabarse de maneras diversas: mediante notas,

rúbricas, interrogatorios dirigidos… y puede ser útil también para emitir

valoraciones sobre el grado en que los estudiantes logran cumplir los objetivos

de la tarea.

Página 4

Secuencia Didáctica

ACTIVIDADES In

icio

El profesor indicará los aprendizajes a trabajar en la clase. Distribuirá entre el grupo

una hoja con la primera parte de la consigna (Anexo 1) que acto seguido, el profesor

y alumnos voluntarios irán leyendo en voz alta.

El profesor se asegurará de que la tarea es clara para todos y entonces se acordará

un periodo de tiempo para trabajar en ella. A continuación, comenzará la actividad.

Des

arr

oll

o

Actividad 1.1 Los estudiantes llegarán a una aparente paradoja que involucra una

“inexplicable pérdida” de área al recortar la figura 1 y reconfigurarla para llegar a la

figura 2.

Figura 1

Figura 2

Actividad 1.2 Luego de discutir en grupo posibles explicaciones a esta paradoja

aparente, el profesor distribuirá entre los alumnos la segunda parte de la consigna

(Anexo 2), que también será leída en voz alta.

Actividad 2.1 Cuando todos los estudiantes tengan clara la naturaleza de esta

segunda parte, se acordará un periodo de tiempo para trabajar en ella y comenzará

nuevamente la actividad. Al hacerlo, deberán utilizar sus conocimientos sobre

congruencia y semejanza de triángulos para probar

Síntesis

ACTIVIDAD 3.1.

ACTIVIDAD 3.2.

ACTIVIDAD 3.3.

Recursos didácticos:

• Pizarrón

• Plumones

Página 5

• Computadora

• Cañón

Bibliografía sugerida para el alumno:

Anexo 1

• Primera parte

Considera las figuras que se muestran en la hoja anexa.

La Figura 1 es un rectángulo de dimensiones 13 × 5. Recórtalo. Luego recorta siguiendo las líneas gruesas, para obtener dos triángulos y dos trapecios.

Usa estas piezas como un rompecabezas y construye la Figura 2.

Calcula el área de ambas figuras.

¿Notas algo extraño?

¿Qué está sucediendo?

Discute con tu profesor y con el resto del grupo posibles explicaciones a esta paradoja.

Anexo 2

• Primera parte

Analiza esta versión de la figura 1. Calcula la medida de los segmentos 𝑒ℎ̅̅ ̅ y 𝑔𝑏̅̅̅̅ . Usa argumentos geométricos, no te dejes llevar por las apariencias.

Página 6

Explica con tanto detalle como te sea posible todos los procedimientos y razonamientos que emplees para hallar la longitud de esos dos segmentos. Usa las hojas blancas que proporcionará el profesor.

¿Cuáles son las dimensiones verdaderas de la Figura 2?

¿Cómo se explica entonces la paradoja que encontraste en la primera parte?

1

DESCRIPCIÓN DE UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Para lograr que los alumnos alcanzaran los aprendizajes señalados en el Programa de Cálculo Diferencial e Integral I, cada clase-taller de 2 horas, la desarrollamos en tres partes: i) Presentación e introducción del profesor en cada tema, aprox. 30 minutos. ii) Trabajo de los alumnos de manera individual y/o en equipo aprox. 50 minutos iii) Discusión grupal y revisión individual del trabajo aprox. 40 minutos. En las últimas dos partes de la clase los alumnos regulares y avanzados conjuntamente con el profesor daban atención diferenciada a los alumnos con mayores dificultades para lograr los aprendizajes. PRIMERA ESTRATEGIA DIDÁCTICA: LA INTUICIÓN GEOMÉTRICA Una estrategia didáctica que nos permite el desarrollo de una habilidad importante de los alumnos, en los procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, y en particular de los conceptos del Cálculo Diferencial e Integral, es LA INTUICIÓN GEOMÉTRICA, comprendida en términos de lo que puede ayudar a los alumnos en la solución de un problema. La intuición geométrica tiene que ver con el entendimiento de un problema a partir de una figura y el plan para resolverlo, utilizando diferentes registros de representación, en particular la representación geométrica, este planteamiento permite al alumno aproximarse y profundizar en el problema, desde un enfoque gráfico, visualizando el contenido del mismo y su posible estrategia de solución. Un problema donde aplicamos la anterior estrategia para Cálculo Diferencial e Integral I, fue en la Unidad 1, Procesos infinitos y la noción de límite. Problema1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A PROCESOS INFINITOS Consideremos un cuadrado unitario, es decir, de lado igual a la unidad. Ahora realicemos paso a paso el siguiente proceso: Primero se divide este cuadrado unitario transversalmente, de tal manera que queden dos rectángulos iguales, sombreamos uno de ellos, dejando sin sombrear el otro de estos rectángulos. En segundo lugar, dividimos este rectángulo, de tal manera que queden dos cuadrados iguales, nuevamente sombreamos uno de ellos, dejando sin sombrear el otro cuadrado. Con este nuevo cuadrado se procede de la misma manera que se hizo con el cuadrado original. Se sigue el proceso al infinito…. ¿Qué va a pasar con el área An sombreada, así como el área an que va quedando sin sombrear?

¿A la larga, cuál es el valor de las áreas An y an? Estabilización

¿Cómo cambia (la variable) área en cada paso? Variación

¿Cuál es el estado próximo de cada área? Predicción

¿Quién es más grande (área anterior o área posterior)? Comparación

¿Cómo cambian los cambios de las áreas? Acumulación

1Lecciones de Cálculo Diferencial e Integral I, Hernández, Landa, , et.al. CCH-Naucalpan, 2012.

2

I. Comportamiento de un proceso infinito Para responder la primera pregunta

¿A la larga, cuál es el valor de las áreas An y an? Estabilización Es necesario proceder a analizar y contestar la segunda pregunta.

¿Cómo cambia (la variable) área en cada paso? Variación Para ello debemos describir paso por paso el proceso del problema. Consideremos el siguiente cuadrado unitario, es decir, de lado igual a la unidad.

PASO 1: Se divide al cuadrado anterior a la mitad

Llamemos con An al área perdida y con an al área que queda.

PASO 2: De la figura anterior (paso 1), se procede a dividir a la mitad al rectángulo sombreado

A1=1/2

a1=1/2

A2=1/2+1/4

a2=1/4

A0=0

a0=1

3

PASO 3: Se divide al cuadrado sombreado de la figura anterior a la mitad y se quita una de ellas.

Así se continúa el proceso infinito… II. Comportamiento de un proceso infinito. Representación tabular y GRÁFICA. TABULACIÓN: Si se continúa el proceso en la misma forma, y se van llenando los renglones para cada uno de los pasos en la tabla siguiente, tenemos:

PASO 1 A1= 0.5 a1=0.5

PASO 2 A2= 0.75 a2=0.25

PASO 3 A3= 0.875 a3=0.125

PASO 4 A4= .9375 a4=0.0625

PASO 5 A5= a5=

PASO 6 A6= a6=

… … …

PASO n An= an=

A3=1/2+1/4+1/8

a3=1/8

4

Así las gráficas de An vs n, y la de an vs n, son las siguientes

III. Representación simbólica de procesos infinitos Si separamos las dos tabulaciones y observamos que se continúa el proceso en forma indefinida:

• ¿A qué valor se aproxima cada vez más el área An? • ¿A qué valor se aproxima cada vez más el área an?

Con lo cual tenemos las siguientes notaciones: NOTACIÓN 1

El área An se aproxima al valor L= 1 El área an se aproxima al valor L= 0

Cuando n se aproxima a infinito Cuando n se aproxima a infinito

Si ahora sólo escribimos la primera y última filas, y las flechas, de las últimas tabulaciones, tenemos la segunda notación:

n (Pasos) An

1 A1= 0.5

2 A2= 0.75

3 A3= 0.875

4 A4= .9375

5 A5=

6 A6=

… ….

1

n (Pasos) an

1 a1=0.5

2 a2=0.25

3 a3=0.125

4 a4=0.0625

5 a5=

6 a6=

… …

0

5

NOTACIÓN 2

An L= 1 an L=0

n n

Si cambiamos la primera flecha por: lím___=_____, entre An , an , y el límite L, tenemos una tercera y última notación: NOTACIÓN 3

1=→

nn

Alím

0=→

nn

alím

Además, si el proceso anterior se representa aritméticamente como se muestra en la tabla siguiente y se van llenando los renglones para cada uno de los pasos, ¿cuál será la expresión algebraica para el enésimo término?

PASO 1 A1= ½ a1=1/2

PASO 2 A2= 1/2+1/4 a2=1/4

PASO 3 A3= 1/2+1/4+1/8 a3=1/8

PASO 4 A4= 1/2+1/4+1/8+1/16 a4=1/16

PASO 5 A5= 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 a5=1/32

PASO 6 A6=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 a6=1/64

… ... ...

PASO n An= 1/2+1/4+…+1/2n an=1/2n

Se observa, no tan fácilmente, que las expresiones algebraicas para los enésimos términos de cada uno de los dos procesos infinitos son las siguientes (Previamente se trabaja con los alumnos, la Notación Sigma):

1

1lim lim

2

n

n in ni

A→ →

=

= y nna

2

1=

La pregunta importante para el alumno es: ¿En términos de las áreas de rectángulos sombreados, que se puede decir o conjeturar, del valor de la suma infinita?

2 31

1 1 1 1lim lim ... ?

2 2 2 2

n

n in ni

A→ →

=

= = + + + =

6

Para lo anterior considere la suma finita: 1

2

... si multiplicamos ambos lados por con <1

(¿Por qué esta condición? analice cuando )se obtiene

... restando ambas igualdades y despejando

n

n

n

n

n n

S a ar ar r r

r n

rS ar ar ar S

−= + + +

→

= + + + resulta:

(1 ) (1 ) entonces sucede que lim lim lim lim

1 1 1 1 1

Note: lim 0 sólo si <1

n n n

n nn n n n

n

n

a r a r a r aS S

r r r r r

r r

→ → → →

→

− −= = = − =

− − − − −

=

Utilizando este resultado se obtiene que:

2 31

1 11

2 21 1 1 1lim lim ... lim 1

12 2 2 21

2

n

n

n in n ni

A→ → →

=

− = = + + + = =

−

lo cual se intuye geométricamente. Algunas reflexiones: Las ideas básicas de las matemáticas nacen de situaciones concretas y visuales, representables intuitiva y geométricamente. La aritmética, por ejemplo, surge del intento de dominar la multiplicidad presente en la realidad, con la geometría se trata de explorar racionalmente la forma y la extensión, el álgebra se ocupa de explorar, en una abstracción de segundo orden, las estructuras subyacentes a los números y a las operaciones entre ellos, es una especie de símbolo del símbolo, el Cálculo Diferencial e Integral nació con la intención de explorar las estructuras del cambio y de las transformaciones de las cosas en el tiempo y en el espacio.

LA INTUICIÓN GEOMÉTRICA, constituye un aspecto importante en la enseñanza de la matemática, actividad totalmente natural si se tiene en cuenta la naturaleza misma de la matemática como una ciencia y una herramienta.

Actividad de aprendizaje.

Objetivo. Esta actividad tiene como propósito el de explorar los efectos de los

parámetros 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 en la gráfica de la función trigonométrica:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑.

Exploración 1. Explore el efecto que produce el parámetro 𝑎 en la gráfica de

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑥).

1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano,

en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) c) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) d) 𝑦 = −1

2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Llene la siguiente tabla y luego traslade las parejas ordenadas de puntos al

plano cartesiano. Dibuja cada gráfica con diferente color.

𝑥 0 𝜋

4

𝜋

2

3𝜋

4

𝜋 5𝜋

4

3𝜋

2

7𝜋

4

2𝜋

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

3𝑠𝑒𝑛(𝑥)

−1

2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

¿Qué puede concluir acerca del efecto del parámetro 𝑎 en las gráficas?

2) Use sus gráficas para contestar lo siguiente.

a) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

b) Para 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

c) Para 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

d) Para 𝑦 = −1

2𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

e) ¿Cuál es el periodo de la graficas?

i) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ii) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) iii) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) iv) 𝑦 = −1

2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Exploración 2. Explore el efecto que produce el parámetro 𝑏 en la gráfica de

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥).

1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano,

en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(1

2𝑥)

Llene la siguiente tabla y luego traslade las parejas ordenadas de puntos al

plano cartesiano. Dibuja cada gráfica con diferente color.

𝑥 0 𝜋

4

𝜋

2

3𝜋

4

𝜋 5𝜋

4

3𝜋

2

7𝜋

4

2𝜋

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

𝑠𝑒𝑛(3𝑥)

𝑠𝑒𝑛(1

2𝑥)

¿Qué puede concluir acerca del efecto del parámetro𝑏 en las gráficas?

2) Use sus gráficas para contestar lo siguiente.

a) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

b) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

c) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

d) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (1

2𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

e) ¿Cuál es el periodo de la graficas?

i) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ii) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

iii) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) iv) 𝑦 = −1

2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Exploración 3. Explore el efecto que produce el parámetro 𝑑 en la gráfica de

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑑.

1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano,

en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2

c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3

Llene la siguiente tabla y luego traslade las parejas ordenadas de puntos al

plano cartesiano. Dibuja cada gráfica con diferente color.

𝑥 0 𝜋

4

𝜋

2

3𝜋

4

𝜋 5𝜋

4

3𝜋

2

7𝜋

4

2𝜋

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2

𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2

𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3

¿Qué puede concluir acerca del efecto del parámetro 𝑑 en las gráficas?

2) Use sus gráficas para contestar lo siguiente.

a) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor del desplazamiento vertical?

b) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2, ¿Cuál es el valor del desplazamiento vertical?

c) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2, ¿Cuál es el valor del desplazamiento vertical?

d) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3, ¿Cuál es el valor del desplazamiento vertical?

e) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

f) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2, ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

g) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2, ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

h) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3, ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?

Exploración 4. Explore el efecto el efecto que produce el parámetro 𝑐 en la

gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑐).

1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano,

en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +𝜋

3)

c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −𝜋

3) d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −

𝜋

2)

Llene la siguiente tabla y luego traslade las parejas ordenadas de puntos al

plano cartesiano. Dibuja cada gráfica con diferente color.

𝑥 0 𝜋

4

𝜋

2

3𝜋

4

𝜋 5𝜋

4

3𝜋

2

7𝜋

4

2𝜋

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +𝜋

3)

𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −𝜋

3)

𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −𝜋

2)

¿Qué puede concluir acerca del efecto del parámetro 𝑑 en las gráficas?

¿En qué se parecen las gráficas?

¿En qué son diferentes las gráficas?

Llene la siguiente tabla.

Función. Amplitud. Periodo. D. de la fase. D. vertical.

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋) − 3

𝑦 = −𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 −𝜋

4) − 2

𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 +𝜋

2) + 3

𝑦 = −1

2𝑠𝑒𝑛(4𝜋𝑥 + 4) − 1

𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛 (𝜋

4𝑥 + 3) +

3

4

Funciòn seno.ggb

Prof. Alfredo Paulín Z.

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA MATEMÁTICAS III

Unidad 1.- Elementos de trigonometría

Aprendizajes a lograr con la secuencia:

El alumno:

a) Comprenderá que el concepto de razón trigonométrica se deriva de la relación de los lados de

un triángulo rectángulo y que son respectivamente invariantes en triángulos semejantes.

b) Determinará los valores de las razones trigonométricas (aproximados y exactos) para los

ángulos de 30°,45° y 60° y empleó la calculadora para verificarlos.

• Cálculo de valores aproximados de las razones trigonométricas de 45° usando cuadrados de

distintas medidas de sus lados y las de 30°, 60° usando triángulos equiláteros.

• Cálculo los valores exactos de dichas razones, usando un cuadrado de lado “1” para las de

45° y un triángulo equilátero de lado “2” para las de 30° y 60° como se explicará en el

desarrollo de la secuencia.

1) Fase inicial.- Días antes de la actividad, se formarán equipos de 4 o 5 alumnos. El día de la

actividad cada equipo traerá el siguiente material: 3 juegos de escuadras de diferente tamaño

(grande, mediano y chico) y otros 3 juegos idénticos a los anteriores, como los que se muestran

en las siguientes figuras:

Los alumnos identificarán estas escuadras como triángulos rectángulos escalenos.

Los alumnos identificarán estas escuadras como triángulos rectángulos isósceles.

Prof. Alfredo Paulín Z.

Además, traerán un pliego de papel bond, masking tape o diurex, lápiz, goma, bolígrafo, regla

graduada, calculadora y su cuaderno de apuntes.

2) Fase de desarrollo:

En todas las actividades, los alumnos encontraran los resultados por ellos mismos, orientados

por el profesor cuando sea necesario.

En este momento, se les recordó a los alumnos lo que son los triángulos equiláteros, isósceles y

escalenos; el uso del Teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos así como la identificación

de los catetos y la hipotenusa. También se recordó la definición de las razones trigonométricas

de cualquier ángulo (estos temas ya se les habrán dado previamente). Esto es:

. . . . . ., cos , tan

. .

C O C A C OsenA A A

H H C A= = = y, por supuesto las recíprocas,

. .cot ,sec ,csc

. . . . . .

C A H HA A A

C O C A C O= = = donde A es cualquiera de los ángulos agudos, H es la

hipotenusa del triángulo, . .C O es el cateto opuesto al ángulo A y, . .C A es el cateto adyacente al

ángulo A .

También quizá sea necesario recordarles lo que es un valor aproximado y lo que es un valor

exacto.

Cálculo de los valores aproximados de razones trigonométricas de 45°

Después del recordatorio, se les indicó a los equipos que tomaran de su material cada uno de los 3

pares de escuadras que son triángulos isósceles y que busquen la forma de unir cada par de

escuadras iguales para que formen cuadrados como los que se indican a continuación:

Prof. Alfredo Paulín Z.

La idea es que no tengan problemas para observar que el lado que debe coincidir es la hipotenusa

para formar los cuadrados. En caso de haber dificultades se les orientará.

A continuación dibujarán en sus pliegos de papel bond los cuadrados y anotarán en ellos las

medidas de sus lados. Observando sus cuadrados, se darán cuenta fácilmente que sus ángulos

miden 90° ya que son ángulos rectos y que la diagonal bisecta los ángulos de 90°.

Ahora, se le pedirá a un alumno de cada equipo que tome una sola escuadra de cada juego, que

discuta con sus compañeros y que nos diga la medida de los ángulos y de los lados de cada

triángulo. Es de suponer que nos conteste que cada triángulo tiene dos ángulos de 45° y uno de 90°

( no importa el tamaño); con respecto a los lados, lo que se pretende es que los alumnos los

identifiquen como triángulos isósceles por tener dos lados iguales y que representan los lados del

cuadrado (los catetos) y uno diferente (hipotenusa). También se le pedirá que, usando el Teorema

de Pitágoras, calculen el valor de la hipotenusa de cada triángulo.

Teniendo los lados de los triángulos, usando las definiciones, se pueden calcular los valores

aproximados de las razones trigonométricas de 45°. En este momento, no importa que usen valores

decimales.

Cálculo de los valores exactos de razones trigonométricas de 45°

Para obtener los valores exactos de las razones trigonométricas de 45° se les explicó a los alumnos

que se usará un cuadrado de lado “1”, aunque se pueden usar otras medidas de lado. En caso de

que sea necesario, se les mostrarán las siguientes figuras:

En el caso de que l = 1, h = √2 , y el triángulo isósceles nos quedará así:

Prof. Alfredo Paulín Z.

Y podrán calcular los valores exactos de las razones trigonométricas de 45° y los verificaran con su

calculadora. Considero que se podrán dar cuenta y puedan explicar por qué 1

45 cos452

sen = =

o por qué tan 45 1=

Además, se espera que los alumnos comprendan que el concepto de razón trigonométrica se deriva

de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y que no varían en triángulos semejantes,

que es uno de los aprendizajes de la unidad 1 de Matemáticas III.

Cálculo de los valores aproximados de razones trigonométricas de 30° y 60°

De manera similar a como se realizó en las de 45°, ahora se les indicó a los equipos que tomaran

de su material cada uno de los 3 pares de escuadras que son triángulos escalenos y que busquen la

forma de unir cada par de escuadras iguales para que formen triángulos equiláteros como los que se

indican a continuación:

En este caso los lados que se unirán para formar los triángulos equiláteros, serán los catetos más

grandes. Se espera que los alumnos lo hagan fácilmente. En caso de dificultades, el profesor

siempre estará guiando la actividad.

A continuación, por equipos, dibujarán en sus pliegos de papel bond los triángulos equiláteros y

anotarán en ellos las medidas de sus lados ( que les debe de dar una medida igual) y los pegarán en

las paredes o en el pizarrón del aula. Se les preguntará a los alumnos cuanto miden los ángulos

interiores de cada uno de los triángulos. Se espera que contesten que sus ángulos son iguales y que

miden 60°. Por otro lado, se les pedirá que observen que la línea que se forma cuando unieron las

escuadras es la altura “h” de cada triángulo, que se puede calcular por Teorema de Pitágoras y que

bisecta al ángulo del vértice de donde parte. Se les pedirá que calculen dicha altura para cada

triángulo, no importa que usen decimales. Con las medidas de los lados de los triángulos rectángulos

escalenos y usando las definiciones de razones trigonométricas, se les pedirá que calculen los

valores aproximados de las razones trigonométricas de 30° y 60°. Se espera que los alumnos

Prof. Alfredo Paulín Z.

comprendan que el concepto de razón trigonométrica se deriva de la relación entre los lados de un

triángulo rectángulo y que no varían en triángulos semejantes, que es uno de los aprendizajes de la

unidad 1 de Matemáticas III.

Cálculo de los valores exactos de razones trigonométricas de 30° y 60°

Para que entiendan mejor los alumnos, se les mostrarán las siguientes figuras:

En el caso de que l =2 (hipotenusa), h = √3 (un cateto), y el otro cateto con valor de “1”, el triángulo

rectángulo escaleno (representado por una escuadra) nos quedará así:

Y podrán calcular los valores exactos de las razones trigonométricas de 30° y 60°, que podrán

verificar con su calculadora. Se les mencionará que se pueden utilizar otras medidas del lado de los

triángulos equiláteros, pero esto complicaría los cálculos.

Se considera que la clase de dos horas es suficiente para llevar a cabo esta actividad.

3) Fase de síntesis. Se le pedirá a un alumno de cada equipo que haga un breve resumen de la

actividad y que exprese lo que aprendieron sus integrantes con la secuencia, el profesor hará

las precisiones que se requieran. Se les darán otros ejercicios para resolver en casa, como los

siguientes:

Prof. Alfredo Paulín Z.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcula lo que se te pide de acuerdo a la figura y luego comprueba con tu calculadora.

Sen 30°, cos 30°, sen 60°, cos 60°, tan 30°, cot 60°. ¿es necesario conocer las medidas de los lados

el triángulo?

2. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos midan 30° y 60° respectivamente y calcula las

razones trigonométricas de esos ángulos. ¿son iguales a las que obtuviste durante la secuencia?

3. Dibuja un triángulo rectángulo isósceles y calcula las razones trigonométricas de 45°. . ¿son iguales a

las que obtuviste durante la secuencia?