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MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

5M1 - Sistemas

OBJETIVOS2

GENERAL.

Crear modelos matemáticos que describan los sistemas empresariales.

Conceptos Básicos3

Definición de Sistema.Definición de modelo.Tipos de modelos:

Estático. Dinámico. Determinístico. Estocástico. Discretos. Continuos. Físicos. Matemáticos (Analíticos, Numéricos)

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Introducción

• Hoy en día, las empresas ya no buscan la estabilización debido a que esto significa detenerse en un ambiente de alta competencia.

• Estabilizarse significa parar y las empresas que lo hacen tienen pocas oportunidades de progresar y obtener utilidades.

• Por lo tanto peligra su permanencia, que es uno de los aspectos fundamentales que debe buscar toda organización

SISTEMAS5

¿Qué es un sistema?

Es un conjunto de partes inter-relaciondas.Existe en un medio ambiente separado por sus límites.

Persigue un objetivo.Dependen del observador.

Límite del sistema

Parte del sistema

Relación

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Ejercicio 1

¿Todos los sistemas son iguales?¿De qué depende?

Definición de los sistemas

EstructuralSe define el sistema identificando y describiendo

cada una de sus partes.Se considera que luego de hacer esto se puede

conocer al sistema.

FuncionalSe define el sistema considerando cada una de

sus partes como una caja negra y conociendo las interrelaciones que existen entre ellas.

Se conoce al sistema, si es que se conoce su dinámica.

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Ejercicio 2

Diga a qué tipo de definición corresponde cada uno de los siguientes sistemas.

1. Diagrama de un circuito electrónico.2. Plano de una casa.3. Diagrama de procesos de una organización.4. Organigrama.5. Modelo de control de una planta.6. Modelo epidemiológico de una enfermedad.

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Propiedades de los sistemas

Sinergia.La interrelación de las partes es mayor o

menor que la simple suma de las partes.

EntropíaIndica el grado de desorden del sistema. Se

puede reducir la entropía ingresando información al sistema.

Equilibrio homeostático.Equilibrio dinámico

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Ejercicio 3

¿Cuál es un sistema?11

¿Dónde están los sistemas?

¿Sistema?

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¿Dónde están los sistemas?

Los sistemas son constructos mentales.

Corresponden a la representación mental de los objetos del mundo real.

Cada sistema depende del punto de vista del observador (modelador).

Corresponden a modelos de la realidad (modelo mental)

Diferentes Personas Diferentes Visiones Diferentes Sistemas

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Modelos de simulación

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Definición de “Modelo”

• Un modelo es una representación de un objeto, sistema, o idea, de forma diferente a la de la identidad misma.

• Usualmente, su propósito es ayudarnos a explicar, entender o mejorar un sistema.

• Un modelo de un objeto puede ser una réplica exacta de éste (aunque en un material diferente y a escala diferente), o puede ser una abstracción de las propiedades dominantes del objeto.

Modelos

• Es una abstracción de la realidad.

• Es una representación de la realidad que ayuda a entender cómo funciona.

• Es una construcción intelectual y descriptiva de una entidad en la cual un observador tiene interés.

• Se construyen para ser transmitidos.

• Supuestos simples son usados para capturar el comportamiento importante.

Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y en consecuencia para modificarla.No es posible modificar la realidad, en cierta dirección, si es que no se dispone de un modelo que la interprete.

Ejercicio

1. Indica métodos/procedimientos alternativos para modificar la realidad, sin necesidad de usar modelos abstractos.• ¿Qué tan confiables son?• ¿Se puede desarrollar una teoría que las respalde?

2. Indique dominios del conocimiento humano donde todavía no se dispone de modelos que la interpreten.

¿Para qué sirve un modelo?

Ayuda para el pensamiento

Ayuda para la comunicación

Para entrenamiento e instrucción

Ayuda para la experimentación

Herramienta de predicción

¿el modelo o la realidad?

Modelos Mentales y Formales• Modelos Mentales.

Depende de nuestro punto de vista, suele ser incompletos y no tener un enunciado preciso, no son fácilmente transmisibles.

Ideas, conceptualizaciones• Modelo Formales. Están

basados en reglas, son transmisibles.

Planos, diagramas, maquetas

Piedra de Sayhuite, Abancay

Ejercicio Diga a qué categoría (mental o formal) pertenecen los siguientes sistemas:

1. Opinión sobre el nuevo gabinete.

2. Opinión sobre el nuevo gabinete escrito en El Comercio.

3. Dibujo hecho a mano acerca de la nueva casa.

4. Plano de la nueva casa.

5. Orden en que llegan los insumos a una máquina.

6. Distribución de probabilidad del orden en que llegan los insumos a una máquina.

7. Orden que sigue un documento para ser aprobado.

8. Flujograma de aprobación de documentos.

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Sistema

ExperimentaciónExperimentación

con un modelo del sistema real

Modelo matemático

Modelo Físico

SIMULACIÓNSolución analítica

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• El concepto de la representación de algún objeto, sistema o idea, con un modelo, es tan general que es difícil clasificar todas las funciones que satisfacen los modelos.

FUNCIÓN DE LOS MODELOS

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Cinco usos legítimos y comunes:

1. Una ayuda para el pensamiento.

2. Una ayuda para la comunicación.

3. Para entrenamiento e instrucción.

4. Una herramienta de predicción.

5. Una ayuda para la experimentación

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Clasificación de los modelos de simulación

Algunos de estos esquemas de clasificación son los siguientes:

1. Estático vs. Dinámico

2. Determinístico vs. Estocástico

3. Discreto vs. Continuo

4. Físico (o icónico) vs. analógico vs. simbólico

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Modelos estáticos

Son aquellos que no toman en cuenta, explícitamente, a la variable tiempo.

• Ejemplo: costo para cantidad de camas reservadas (en un hospital)

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Modelos dinámicos

• Los modelos dinámicos son una representación de la conducta dinámica de un sistema, Mientras un modelo estático involucra la aplicación de una sola ecuación, los modelos dinámicos, por otro lado, son reiterativos.

• Los modelos dinámicos constantemente aplican sus ecuaciones considerando cambios de tiempo.

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Modelo determinístico

• En éstos ni las variables exógenas, ni las endógenas, se obtienen por medio del azar, debido a que se suponen relaciones exactas para las características de operación. Son variables con valores preestablecidos.

• Es aquel en el cual se establecen las condiciones para que al ejecutar el experimento se determine el resultado

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Modelos estocástico

• Los valores de ésta o estas variables, se obtienen al azar.

• Es aquel en el cual información pasada, no permite la formulación de una regla para determinar el resultado preciso de un experimento

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Modelos continuos

En modelos continuos, el cambio de valores se basa directamente en los cambios de tiempo.

La simulación continua es análoga a un deposito en donde el fluido que atraviesa una cañería es constante. El volumen puede aumentar o puede disminuir, pero el flujo es continuo.

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Modelos discretos

• El estado de los cambios en los modelos sólo se dan cuando esos eventos ocurren.

• La llegada de órdenes, o las partes que están siendo ensambladas, así como los clientes que llaman.

• Una fábrica que ensambla partes es un buen ejemplo de un sistema de evento discreto. Las entidades individuales (partes) son ensambladas basadas en eventos (recibo o anticipación de órdenes).

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Modelos físicos

• Llamados así, debido a que se semejan al sistema en estudio.

• Durante muchos años, los ingenieros han usado modelos de tamaño natural y han reducido y puesto a escala a los mismos para probarlos. (NASA, líneas aéreas comerciales)

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Modelo analógico

• Los modelos análogos poseen algunas propiedades similares a los objetos representados pero sin ser una réplica morfológica de los mismos.

• Un ejemplo de un modelo análogo es un mapa impreso que se construye mediante un conjunto de convenciones cartográficas, que conducen a un resultado final claramente distinto del objeto representado. Mediante esta transformación se persigue hacer legibles propiedades tales como altitud, distancia, localización física de objetos geográficos, sus relaciones importancia.

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Modelos simbólicos• Los modelos simbólicos se

construyen mediante reglas notablemente más abstractas ya que esta denominación suele aplicarse a los casos en los que el objeto real se representa mediante una codificación matemática.

• Un ejemplo de modelo simbólico es la representación de un edificio mediante la identificación y codificación en una estructura geométrica de sus elementos básicos. El modelo así construido permite la aplicación de algoritmos para, por ejemplo, la estimación de esfuerzos a los que esta sometido.

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Espectro continuo de modelos de simulación

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Ejemplos de simulación por computadoras

• Compañía de reciclaje

• Metro

• Barcos

• Biblioteca

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Estructura de modelos de simulación

• Para su estudio, los sistemas se han clasificado en dos categorías: discretos y continuos.

• Para recordar: un sistema discreto es aquel para el que los cambios en las variables de estado cambian instantáneamente en puntos separados del tiempo.

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• Ejemplo:Una gasolinera es un ejemplo de sistema discreto, puesto que las variables de estado como el número de automóviles que esperan el servicio de abastecimiento de combustible, cambian solamente cuando un cliente llega o cuando un auto completa el servicio y sale de la estación. Un sistema continuo es aquel para el que las variables de estado cambian continuamente con respecto al tiempo.

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• Una aeronave que se desplaza en el aire es un ejemplo de sistema continuo puesto que sus variables de estado tales como su posición y su velocidad pueden cambiar instantáneamente con respecto al tiempo.

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Obs.

En realidad muy pocos sistemas se pueden considerar totalmente continuos o discretos, pero puesto que algún tipo de cambio predomina en la mayoría de éstos, es posible clasificarlos como discretos o continuos.

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Estructura de los modelos de simulación

Definir el sistema

• Componentes– Entidad– Atributos– Actividades– Eventos– Variables de estado

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• Entidad: denota un objeto o componente de interés en un sistema, por ejemplo, un cliente, un servidor o una máquina.

• Atributos: denota una propiedad de una entidad, por ejemplo, la prioridad de los clientes en la fila de espera.

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• Actividades: todo proceso que provoque cambios en el sistema se conocerá como actividad, Ejemplo: programar un nuevo modulo en un sistema académico.

• Eventos: Un evento es un hecho que ocurre instantáneamente y que cambia el estado del sistema, como por ejemplo la llegada de un nuevo cliente a un banco.

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• Variables de estado:Las variables de estado describen el estado de un sistema o uno de sus componentes, ya sea al comienzo, al final o durante un periodo. Estas variables interaccionan con las variables exógenos del sistema y con las endógenas, de acuerdo con las relaciones funcionales supuestas para el sistema. El valor de una variable de estado, durante un periodo particular de tiempo, puede depender no solamente de los valores de una o más variables exógenos en algún periodo precedente, sino también del valor de ciertas variables de salida en periodos anteriores.

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Ejemplo: de sistemas y sus componentes

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PRIMERA PRACTICA DIRIGIDA

• Realizar por grupos y exponer: los siguientes sistemas y sus componentes– Biblioteca– Universidad– Fabrica de PC´s– Estación de gasolina– Hospital– Iglesia– Empresa de software