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DESIGUALDADES Enfoque Problem-solving
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DESIGUALDADES
Enfoque Problem-solving
Gerard Romo Garrido
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Versión de este documento: 07/04/2020
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Índice
1 Las desigualdades fundamentales. →
2 La desigualdad AM-GM. →
3 El cuadro general de las desigualdades entre medias. →
4 La desigualdad Cauchy-Schwarz. →
5 El principio de reordenación. La desigualdad de Chebyshev. →El principio de reordenación de dos elementos. El principio de reordenación general.La desigualdad de Chebyshev.
6 La desigualdad de Jensen. →
7 Desigualdades simétricas. Normalización y homogenización. →
8 Problemas con desigualdades numéricas y algebraicas. →
9 Desigualdades con funciones trigonométricas. →
10 Desigualdades en problemas de geometría. →
11 Inecuaciones. →
12 Aplicación de las desigualdades en la resolución de ecuaciones. →
Soluciones. →
Fuentes. →
Apéndice. →El "problem-solving", tal y como yo lo entiendo.Las competiciones AMC, un excelente sendero hacia las IMO.
1 Las desigualdades fundamentales.
Las dos desigualdades fundamentales y sus aplicaciones.
Partimos de las dos desigualdades fundamentales:
(a) y
(b) y
Sean y
(c) Sea . Entonces por el modelo (a), y por tanto:
(d) , nuevamente por el modelo (a), y por tanto
1.1Demuestra que
1.2
Demuestra que para
1.3 Demuestra que
1.4Demostrar que para todo x, se cumple:
2 La desigualdad AM-GM.
Desigualdad AM-GM con dos variables.
Si
y la igualdad solo sucede si .
Demostración.
Hemos visto en el tema anterior que
Substituyendo y por y tenemos
Desigualdad AM-GM en general.La identidad anterior se puede generalizar para n números no negativos :
y se produce la igualdad si y solo si .
2.1 Demostrar que si , entonces
2.2Si y , entonces
2.3a) Demostrar que
b) Demostrar que
2.4Demuestra la desigualdad AM-GM con tres números: Si , entonces
2.5 Problema resuelto.Sean números reales positivos. Entonces, para cualquier permutación
de los mismos se cumple
Solución:En efecto, solo hay que observar que , y por tanto, aplicando la desigualdad AM-GM:
2.6Demuestra que
2.7Sea un número natural. Demuestra que
2.8Demuestra que si entonces
2.9
Sean , . Demuestra que .
2.10
Demuestra que, si , entonces .
2.11Demostrar que si son positivos, entonces:
2.12Si son tres reales positivos cualesquiera, demostrar que
2.13Demuestra que si
2.14Sean números reales positivos tales que . Demuestra que
2.15Sean . Demuestra que
2.16Demostrar que, si ,
2.17Determina el mínimo de .
2.18Suponiendo que , demostrar que
2.19Sean números reales positivos. Demostrar que
2.20Sean números reales positivos. Demostrar que
2.21 D
Sean números reales positivos tales que . Demostrar que
2.22 D
Dados cumpliendo , demostrar que
2.23 M
Sean números reales positivos tales que . Demostrar que
Russia MO 2004
3 El cuadro general de las desigualdades entre medias.
La desigualdad AM-GM es un caso particular del cuadro general de desigualdades "entre las medias".
Con dos variables:
En general:
Si son números no negativos:
y se produce una igualdad si y solo si .
Nota: Las siglas se toman del inglés: HM: Harmonic-Mean, GM: Geometric Mean, AM: Arithmetic Mean, QM: Quadratic Mean.
3.1 Dados dos números reales positivos , se cumple y la igualdad solo se cumple cuando .
3.2 Problema resuelto.
Variaciones de la desigualdad AM-HM:
a) b)
y se cumple la igualdad si y solo si
En efecto, partimos de la desigualdad AM-HM:
3.3 Problema resuelto.Demostrar la Desigualdad de Nesbitt (Inglaterra, 1903):
Sea
Primera demostración. Vemos que esta función se adapta perfectamente a la variación de la desigualdad AM-HM anterior:
Segunda demostración. Aplicando la desigualdad (h) demostrada anteriormente:
Tercera demostración. Aplicando la desigualdad AM-GM:
La aplicamos a los dos paréntesis:
4 La desigualdad Cauchy-Schwarz.
Desigualdad Cauchy-Schwarz.Para cualquier conjunto de números reales y ,
y la igualdad solo pasa cuando las n-tuplas son proporcionales:
Corolario.
Demostración.Basta tomar .
Desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel".Para cualquier conjunto de números reales y para cualquier conjunto
de números positivos,
Demostración.
Basta aplicar la desigualdad Cauchy-Schwarz con y .
Nota histórica.Bunyakovskii (1804-1889) publicó esta desigualdad en una monografía sobre desigualdades entre integrales en 1859, veinticinco años antes que Schwarz (1843-1921), pero es más conocida como desigualdad de Cauchy-Schwarz.
4.1 Demostrar que la desigualdad AM-QM es un caso particular de la desigualdad Cauchy-Schwarz.
4.2Sean números reales positivos tales que . Determina el valor mínimo
de .
4.3Encontrar el máximo de la función , con , y .
4.4
Sean números reales tales que y. Hallar el valor máximo de e.
4.5Demostrar que si , entonces
4.6Demostrar que si , entonces
4.7
Demuestra que si , entonces
4.8 M
Sean números reales positivos. Demostrar que si
Entonces .
4.9 F
Demuestra el siguiente corolario a la desigualdad Cauchy-Schwarz:
y acontece la igualdad si y solo si las parejas y son proporcionales.
Que se puede generalizar por inducción al caso de n números:
y acontece la igualdad si y solo si las tuplas y son proporcionales.
4.10 MD
Sean . Demostrar que
Pham Kim Hung
4.11 F
Supongamos que y . Demostrar que
IRAN MO 1998
5 El principio de reordenación. La desigualdad de Chebyshev.
El principio de reordenación de dos elementos.
5.1 MF
Demuestra que, si y , entonces .
A esta desigualdad la llamaremos "Principio de Reordenación de dos elementos".
5.2 MF
Demuestra que, si ,
5.3 F
Sean números reales tales que . Demostrar que
Czech and Slovak Republics, 2004
El principio de reordenación general.
El Principio de reordenación de dos elementos introducido en el apartado anterior se puede extender a cualquier n-tupla de números:
Dadas dos secuencias ordenadas de números: y ,
La suma es maximal, la suma es minimal. Esto quiere decir que la suma con cualquier otra permutación se encontrará entre estas dos:
Además, se cumple
y se cumple
Nota:Para simplificar la escritura, en las primeras soluciones de este tema se utiliza la siguiente notación:
5.4 D
Demostrar la desigualdad AM-GM aplicando el Principio de Reordenación.
5.5Demostrar que
5.6Demostrar que
Nota: Este problema ya fue propuesto en 2.19. Se propone ahora resolverlo mediante reordenación.
5.7Demostrar la desigualdad de Nesbitt introducida en 3.3 aplicando la técnica de este apartado.
5.8 Demostrar que, dados números reales positivos, y , se cumple:
5.9Demostrar que si , entonces
Nota: Los problemas 10.12 y 10.15 de desigualdades con los lados del triángulo están resueltos mediante el principio de reordenación.
La desigualdad de Chebyshev.
Versión directa de la desigualdad de Chebyshev.Sean dos secuencias y ordenadas de la misma forma (es decir, ambas crecientes o ambas decrecientes). Entonces, aplicando el principio de la reordenación que acabamos de ver, tenemos:
Sumando todas estas desigualdades obtenemos:
Versión inversa de la desigualdad de Chebyshev.Si las secuencias y están ordenados de forma inversa, es decir, una es creciente y la otra decreciente, tenemos la desigualdad contraria:
5.10 Problema resuelto.Demostrar que, si ,
IMO 2001 #2Solución:
Aplicando ,
donde . Luego
Vemos que las secuencias
y
están ordenadas de la misma forma, y por tanto podemos aplicar la desigualdad de Chebyshev:
Ahora aplicamos la desigualdad AM-HM (ver 3.2b):
Y aplicamos la desigualdad QM-AM:
Finalmente observamos que
Y por tanto
Con lo que llegamos a:
Tal y como queríamos ver. La igualdad se cumple cuando .
Fuente: https://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2001_IMO_Problems/Problem_2
Nota: Este mismo problema se volverá a resolver en 6.1 mediante otra técnica.
5.11 F
Sean números reales positivos tales que . Demostrar que
6 La desigualdad de Jensen.
Definición. Función convexa.Diremos que una función es convexa en cuando, para cualquier par en
se cumpla
es decir, cuando la gráfica de la función está siempre por debajo del segmento que une dos de sus puntos.
Teorema. Si en , entonces la función es convexa en .
Demostración. Tomamos valores y . Fijando los valores , consideremos la función
.
Entonces
Por hipótesis, ,y por tanto es creciente. Luego:
Es decir, la función es decreciente, y por tanto, puesto que en todo momento estamos suponiendo , tenemos que .
Finalmente:
tal y como queríamos ver.
Desigualdad de Jensen.Si es una función convexa en , entonces, para todo , y para todo cumpliendo , se cumple
En particular, tomando , tenemos el siguiente corolario:
Si es una función convexa en , entonces, para todo ,
Nota: Si la función es cóncava se verifican las desigualdades contrarias.
6.1 Problema resuelto.Demostrar que, si ,
IMO 2001 #2
Solución:
Primera versión.
Puesto que la desigualdad es homogénea, podemos suponer (ver Tema 7).
La función es convexa, luego podemos aplicar la desigualdad de Jersen:
Y ahora tenemos en cuenta que , y por tanto
En donde hemos tenido en cuenta (ver problema 2.1)
Finalmente:
Segunda versión.De nuevo, puesto que la desigualdad es homogénea, podemos suponer (ver Tema 7).
La función es cóncava, y por tanto podemos aplicar la desigualdad de
Jersen:
Aplicando la desigualdad AM-GM, y teniendo en cuenta que la función es estrictamente creciente:
Fuente: https://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2001_IMO_Problems/Problem_2
Nota: Este mismo problema fue resuelto en 5.1 mediante otra técnica.
6.2Dados números reales no negativos tales que , demostrar que
6.3 Demuestra la desigualdad AM-GM como caso particular de la desigualdad de Jensen.
6.4 Si y , determina el mínimo de
6.5 Demostrar que, en todo triángulo ,
es decir, el mínimo perímetro de un triángulo inscrito en una circunferencia fija se obtiene con el triángulo equilátero.
6.6 Demostrar que, en todo triángulo ,
6.7 Demostrar que, en todo triángulo ,
6.8 D
Suponiendo que , demostrar que
Las tres proposiciones siguientes nos permiten ahorrarnos verificar la convexidad de la función:
Proposición.Si una función real satisface la condición
Entonces, para todo , se cumple
Proposición.Si una función real satisface la condición
Entonces, para todo , se cumple
Observación.De hecho, la proposición anterior se puede generalizar a cualquier tipo de media: Aritmética, geométrica, armónica...
Proposición.Si es una función definida en , entonces, para todo , y para todo cumpliendo , se cumple
si y solo si se cumple para el caso .
Problema resuelto.Supongamos que . Demostrar que
IMO Shortlist
Solución:Aplicando la segunda proposición anterior, es suficiente demostrar que, para todo
,
Que es equivalente a demostrar
Lo cual es cierto, pues
Fuente principal de todo este capítulo: Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung), páginas 67 en adelante.
7 Desigualdades simétricas. Normalización y homogenización.
Desigualdades simétricas.Una desigualdad simétrica es aquella que se puede expresar como
Cumpliendo para cualquier permutación de .
Un ejemplo clásico de desigualdad simétrica es la Desigualdad de Schur:
Problema resuelto. Desigualdad de Schur.Suponiendo , entonces
Solución.
Aprovechando que la desigualdad es simétrica, podemos suponer que .Sean , . Entonces:
y la desigualdad queda:
Lo cual es cierto porque . La igualdad acontece cuando y , es decir, cuando o cuando (o cualquiera de sus permutaciones).
Observación.Esta desigualdad es equivalente a
con ,que fue demostrada independientemente en el problema 2.11.
Desigualdad de Schur generalizada.Si y tomando cualquier constante , se cumple:
Observación.Se puede demostrar que la desigualdad de Schur es cierta también para . Y se puede demostrar que si es par, la desigualdad es cierta para cualquier terna no necesariamente positivos.
Homogenización.
Inecuaciones homogéneas.Decimos que una función es homogénea de grado n si, para todo ,
En particular, diremos que es homogénea de grado 0 si
Por ejemplo, la función con es homogénea de grado 0
puesto que
Llamaremos desigualdad homogénea de grado n a toda desigualdad de la forma con homogénea de grado n.
Las desigualdades homogéneas de grado 1 se pueden "escalar", es decir, podemos multiplicar sus variables por cualquier valor de . En efecto:
Homogenizar una inecuación es utilizar la condición dada en el enunciado convertirla en una inecuación homogénea equivalente.
7.1 F
Si y , demostrar que
7.2 M
Sean números reales positivos tales que . Demostrar que
7.3 M
Sean números reales positivos tales que . Demostrar que
Normalización.
Las desigualdades homogéneas se pueden normalizar, es decir, podemos añadir restricciones que no figuraban en el enunciado. Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar . Aunque no figura en el enunciado, podemos añadir la condición . En efecto, supongamos que , y sean , , .
Entonces , y nuestra desigualdad se convierte en , que es la misma que la anterior.
7.4 M Sean números positivos. Demostrar que
7.5Demostrar que, si ,
IMO 2001 #2
Observación.Una lista ampliada de condiciones que se pueden añadir a una desigualdad homogénea podría ser la siguiente:
7.6 F
Sean números reales positivos tales que . Demuestra que
IMO 2000 #2
8 Problemas con desigualdades numéricas y algebraicas.
8.1 F a) Demuestra que
b) Demuestra, por inducción, que
c) Con ayuda del apartado anterior, mejora la desigualdad del apartado (a) demostrando que
8.2 MF Demostrar que si , entonces
8.3 F Supongamos que , siendo . Demostrar que
8.4 MF Sean números positivos. Demostrar que
8.5 M
Sean números reales positivos tales que . Prueba la desigualdad siguiente:
OME Fase Nacional 2009 #5
8.6 MD
Sean cumpliendo
demostrar que
USAMO 2001 #3
8.7 M
Sean números reales positivos tales que
Demostrar que
USAMO 2011 #1
8.8 D
Dados , demostrar que
USAMO 2003 #5
8.9 F
Dados enteros positivos diferentes, demostrar que
IMO 1978 #5
8.10 F
Demuestra que
para todo .
9 Desigualdades con funciones trigonométricas.
9.1 F Demuestra que
para cualquier con y
9.2 F
Determina el valor mínimo de
para AIME 1983 #9
9.3 MF
Determina el valor mínimo de
9.4 F
Demuestra que
para todo tales que y .
10 Desigualdades en problemas de geometría.
Teorema.Cuando trabajamos con triángulos debemos tener muy en cuenta que los valores
deben cumplir, además, la desigualdad triangular: La suma de dos lados siempre es mayor que el lado restante. Esta desigualdad fundamental del triángulo puede aparecer en cuatro formas equivalentes:
a) , , b) , , c) d) , , con positivos.
Nota.La caracterización d) se denomina "Transformación Ravi", y geométricamente equivale a determinar los puntos de tangencia entre el triángulo y la circunferencia inscrita. Mediante esta transformación podemos convertir una desigualdad geométrica en una desigualdad algébrica. El problema 10.14 es un buen ejemplo de esta técnica.
10.1Si son los lados de un triángulo, demuestra que
10.2 Si son los lados de un triángulo, entonces:
10.3 Supongamos que en un triángulo se cumple
Demuestra que
10.4 Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que
y determinar cuándo ocurre la igualdad.
Asian Pacific Mathematics Olympiad 1996, Problema #5
10.5 M
Dado un triángulo , demuestra que:
a)
b)
10.6 M
Demuestra que, en todo triángulo , se cumple , donde R es el circunradio y r el inradio del triángulo.
10.7 MF
Demuestra que en cualquier triángulo
10.8 F
Dos circunferencias, y , tienen radio 5 y 12 respectivamente, y la distancia entre sus centros es de 13 unidades. Las circunferencias se cortan en los puntos P y Q. Se traza una recta l que pasa por P y corta la circunferencia en y en . Determina el máximo valor de .
West Windsor Plainsboro Math Tournament 2013
10.9 F
Sea un triángulo acutángulo. Demostrar que:a) .b) .
10.10 M
Dado un triángulo , demostrar que:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
10.11 F
Siendo a, b y c los lados de un triángulo y T su área, demostrar que
¿Cuándo se da la igualdad?IMO 1961 #2
10.12 D
Sean son los lados de un triángulo. Demostrar que
IMO 1964 #2
10.13 M
Demostrar que las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen
10.14 F
Demuestra que las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen
10.15 F
Sean las longitudes de los tres lados de un triángulo. Demostrar que
IMO 1983 #6
Nota:Los problemas de este apartado corresponden a los siguientes enunciados dentro de “Problemas de Geometría”:
10.3=6.84 10.4=6.15 10.5=6.58 10.6=6.59 10.7=6.7210.8=6.74 10.9=6.80 10.10=6.85 10.11=7.6 10.12=7.710.13=7.8 10.14=7.9
11 Inecuaciones.
11.1 M
Resuelve la siguiente inecuación:
IMO 1960 #2
11.2 D
Determina todos los números reales para los que se satisface la inecuación:
IMO 1962 #2
11.3 F
Dados , resuelve la inecuación
12 Aplicación de las desigualdades en la resolución de ecuaciones.
12.1 M
Encontrar todas las soluciones enteras positivas de
OME 2017 Fase Local #4
12.2 D
Sean enteros positivos tales que y . Prueba que
Indica justificadamente cuando se alcanza la igualdad.
OME Fase nacional 2013 #1
Soluciones.
1.1
Partimos de (c) :
1.2
1.3Es un caso particular de 1.1 tomando .
1.4
por aplicación directa de 1.3
2.1Aplicamos la desigualdad AM-GM tres veces:
2.2
Pero, aplicando la desigualdad AM-GM:
Luego
2.3a) Primera versión: Aplicando la desigualdad AM-GM:
, ,
Luego
Segunda versión:
Reduciendo la desigualdad al modelo (b)
b) Basta aplicar el apartado anterior teniendo en cuenta que , y por tanto:
2.4Utilizamos la siguiente factorización:
Y aplicando el ejercicio anterior:
Ahora, mediante el siguiente cambio llegamos a la desigualdad deseada.
2.6
Por la desigualdad AM-GM: , luego
, , , luego
Nota: Esta desigualdad se puede demostrar directamente:
2.7
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
Aplicada a los números , y teniendo en cuenta que
2.8Aplicamos la desigualdad AM-QM:
2.9
Aplicamos la desigualdad AM-QM:
Luego
Por otro lado: , luego
2.10
Aplicamos la desigualdad AM-QM:
2.11Sean , , y .Entonces
,
y de la misma manera: ,
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
Luego
2.12Aplicamos la desigualdad AM-GM:
2.13Aplicamos la desigualdad AM-GM por separado en cada paréntesis:
Multiplicando estas dos desigualdades llegamos al resultado deseado.
2.14
Nos vamos a basar en la siguiente desigualdad:
En efecto, por la desigualdad AM-GM:
y de la misma manera: y
Por tanto
2.15
Aplicamos la desigualdad AM-GM dos veces:
2.16Aplicando la desigualdad AM-GM tres veces:
2.17Aplicamos la desigualdad AM-GM:
Y la igualdad la encontramos cuando
2.18Aplicando la desigualdad AM-GM,
Y de la misma manera, y .
Sumando las tres igualdades siguientes tenemos
2.19Aplicando la desigualdad AM-GM:
2.20Aplicando la desigualdad AM-GM:
Y de la misma manera:
Y solo nos queda sumar las tres desigualdades anteriores.
2.21Aplicamos la desigualdad AM-GM:
Y por lo tanto:
De la misma manera:
,
Sumando las tres desigualdades anteriores llegamos a
Fuente de la solución: "2010 IMO Summer IMO Training: Inequalities Adrian Tang". pág. 2
2.22Aplicando la desigualdad GM-AM,
Y aplicando el mismo principio a los otros dos sumandos llegamos a
De nuevo, aplicando la desigualdad GM-AM:
Y aplicando el mismo principio a los otros dos sumandos llegamos a
Finalmente, basta tener en cuenta que, aplicando la desigualdad GM-AM:
2.23
Lo cual es cierto, pues aplicando la desigualdad AM-GM:
Y de la misma forma con las otras dos variables llegamos a
3.1 Basta aplicar la Desigualdad GM-HM:
4.1Tomamos ,
4.2
Tomando , y
y aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz, tenemos:
Y la igualdad solo ocurre cuando , o
4.3
y este máximo aparece para
4.4Por la Desigualdad Cauchy-Schwarz:
El valor máximo es , que ocurre cuando , y por
tanto
4.5
4.6Tomando y
Y es, por tanto, una aplicación directa de la desigualdad Cauchy-Schwarz.
Observación. Este problema se podría haber resuelto aplicando la desigualdad GM-HM:
Dividiendo los dos lados por , la desigualdad se transforma en
Y aplicando la Desigualdad GM-HM:
Y de la misma forma
4.7
Tomando las cuaternas y
y vemos que es una aplicación directa de la desigualdad Cauchy-Schwarz.
4.8Aplicamos la Desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel":
4.9Basta elevar al cuadrado y desarrollar algebraicamente:
Que es la desigualdad Cauchy-Schwarz.
4.10Observamos que
Luego
Luego nuestro problema se reduce a demostrar que
Aplicamos la desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel":
Y haciendo lo mismo en los otros dos sumandos llegamos a:
Fuente de la solución: "Secrets in Inequalities (volume 1)" (Pham Kim Hung) pág. 35
4.11
En donde hemos aplicado la desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel".
5.1
5.2Puesto que la desigualdad es simétrica en las dos variables, podemos suponer .
Y, aplicando el principio de Reordenación,
5.3Desarrollando la expresión algébrica tenemos
Primera versión.
Si y , esta última desigualdad es una aplicación directa del Principio de Reordenación.Si y entonces , contradiciendo la hipótesis del enunciado .De la misma manera, si y , entonces
, contradiciendo de nuevo la hipótesis .Finalmente, el caso y implica, por el principio de la Reordenación,
, y por lo tanto se satisface la desigualdad propuesta.
Segunda versión. Basta tener en cuenta que y que Luego
5.4
Primera versión.Sean y
Sean , , , ... ,
y , , ... ,
Las secuencias y están ordenadas de forma opuesta. Luego:
Segunda versión.Sin pérdida de generalidad podemos suponer que (ver Normalización, Tema 7).
Realizamos el cambio de variable , , ..., , con ,
Luego y el problema se reduce a demostrar
Observamos que la secuencia es creciente, mientras que la secuencia
es decreciente. Por lo tanto, aplicando el Principio de Reordenación,
5.5Las secuencias y están ordenadas de la misma manera. Luego
y la igualdad se produce si y solo si
5.6
5.7Sean números reales positivos.
Las secuencias y están ordenadas de la misma manera. Luego
Y sumando estas dos desigualdades llegamos a
que es la desigualdad de Nesbitt (3.3).
5.8
Las secuencias y están ordenadas de la misma manera:
Luego:
Luego, sumando las desigualdades anteriores, llegamos (!) al resultado deseado.
5.9Primera versión.
Y de la misma forma
y
Luego
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que .Y por tanto:
Y también . Luego, aplicando el criterio de Reordenación,
tal y como queríamos ver.
Segunda versión.Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que .
Luego: , y también .
Luego, aplicando el criterio de Reordenación,
Y por tanto:
Fuente de esta versión: Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung), pág. 92.
5.11Primera versión.
Supongamos la secuencia ordenada .Entonces ,Y también ,
Y finalmente se cumple
Entonces, aplicando la versión "inversa" de la desigualdad de Chebyshev:
Con
Así pues,
Ya solo queda demostrar que , lo cual es cierto por el Corolario a la desigualdad Cauchy-Schwarz:
Segunda versión.Supongamos la secuencia ordenada .Entonces ,Y también
Luego
Aplicamos la versión "directa" de la desigualdad de Chebyshev:
Donde
Y
Ahora, se demuestra (!!!!) que
Fuente de la segunda versión: Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung), pág. 54
6.2Sea . Esta función es cóncava, y por tanto podemos aplicar la Desigualdad de Jensen:
Y ahora aplicamos
Y aplicamos ahora que la función es estrictamente creciente:
Así pues,
6.3Sean números reales positivos.Si uno de los valores es cero, la desigualdad AM-GM se cumple trivialmente. Luego podemos suponer que .Consideremos la función . Es una función estrictamente creciente. Luego
Es decir, queremos demostrar que
Que es precisamente la desigualdad de Jensen aplicada a la función cóncava .
6.4
Observamos que la función es convexa en , pues su segunda derivada es
positiva. Aplicamos la desigualdad de Jensen:
Este mínimo se alcanza cuando . En efecto:
6.5Sabemos que en todo triángulo se cumple , luego
Luego y cumplen las condiciones de la
desigualdad de Jensen.
Por otro lado, es una función cóncava en , luego:
O equivalentemente:
6.6 Siguiendo con los elementos introducidos anteriormente,
es una función convexa en , luego:
O equivalentemente:
6.7
, y por tanto
Es decir:
Con la igualdad si y solo si .
6.8
La función es creciente, luego
Tomando la función , la desigualdad anterior equivale a demostrar
Y, aplicando la desigualdad de Jersen, se reduce a demostrar que es convexa en :
Fuente de esta solución: Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) pág. 70.
7.1Vemos que la desigualdad es homogénea de grado 2 en todos sus términos excepto en la constante 1. Pero aprovechando la condición , tenemos , y la podemos transformar en la siguiente desigualdad equivalente:
Que es una desigualdad ya demostrada.
7.2
En primer lugar observamos que .
Ahora realizamos la siguiente sustitución: , ,
Esta última desigualdad se demuestra fácilmente mediante el método de reordenación:
7.3
Solución:Vemos que esta inecuación no es homogénea, y procedemos a homogeneizarla:
Ahora desarrollamos la parte de la izquierda:
Luego queremos demostrar:
Aplicamos la desigualdad AM-GM apropiada:
De la misma manera:
Y ya solo falta sumar las tres desigualdades anteriores, puesto que:
7.4Puesto que la desigualdad es homogénea, podemos suponer que , y por tanto:
Con el cambio de variable , , obtenemos la desigualdad equivalente
Y finalmente, con el cambio de variable , , llegamos finalmente a
Ahora utilizamos la siguiente identidad:
Luego
Finalmente, aplicamos la desigualdad AM-GM:
y ya solo nos queda multiplicar las dos desigualdades anteriores.
7.5Vemos que
es una función homogénea de grado 0, luego podemos añadir la restricción .
En efecto, supongamos que . Entonces
Y realizamos el cambio de variable , , , obteniendo una desigualdad equivalente a la primera:
Nota: La solución de este problema sigue en 6.1.
7.6
Realizaremos la misma sustitución que en el problema 7.2: , ,
Y esta desigualdad es el problema 2.11.
8.1
a) Observamos que , , ... luego elevando al cuadrado, tenemos
b) Por inducción en n:
Si : cierto.
Si ; cierto.
Suponiendo que es cierto para n, es decir:
queremos demostrar que también lo es para n+1:
Lo cual es obviamente cierto.
c) Aplicando el apartado anterior:
8.2Las secuencias y están ordenadas de la misma manera, luego podemos aplicar la desigualdad de :
Podemos volver a aplicar la d. s con la secuencias y :
Uniendo estas dos desigualdades llegamos a:
Es decir:
Tal y como queríamos ver.
8.3 Aplicamos la desigualdad Cauchy-Schwarz:
Nota: Un desarrollo más limpio sería comparar las ternas y y aplicar la desigualdad Cauchy-Schwarz:
8.4Aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz:
8.5
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
Y esta última desigualdad es 1.7.
Nota: En las soluciones oficiales el enunciado se reduce hasta la desigualdad de Nessbit (3.3).
8.6Primera versión.Observamos que no es posible que los tres números sean mayores que 1, pues
, contradiciendo la hipótesis del enunciado.
Supongamos que . Entonces y por tanto
Veamos ahora la desigualdad contraria.Puesto que los tres números no pueden ser mayores que 1, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, b y c son ambos menores o ambos mayores que 1, es decir:
Interpretando la igualdad como una ecuación de segundo grado en , tenemos que
Y por tanto:.
Todo se reduce a demostrar que
Y se demuestra aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz en la forma:
A nuestro problema:
Y por tanto
, tal y como queríamos ver.
Segunda versión.La desigualdad inferior se demuestra igual que en la primera versión. Veamos la desigualdad superior:Igual que en la primera versión, podemos suponer sin pérdida de generalidad que b y c son ambos mayores o iguales que 1 o ambos menores o iguales que 1, es decir, podemos suponer que
Es conocido que , y por tanto
Y por tanto:
Fuente de estas dos versiones: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2001_USAMO_Problems/Problem_3
Nota: En dicha página web podemos encontrar una tercera versión mediante sustituciones trigonométricas.
8.7Primera versión.Realizamos el siguiente cambio de variable:
Luego
Y por tanto:
Por otro lado,
Por otro lado,
y de la misma forma
,
Luego
Puesto que , tal y como queríamos ver.
Esta última desigualdad es el apartado b del Problema 3.2.
Segunda versión.Se sigue el mismo desarrollo, hasta llegar a
Puesto que, por hipótesis, , seguimos así:
Y esta última desigualdad es consecuencia directa de aplicar la desigualdad AM-GM:
Tercera versión.La condición se puede reescribir como
Y por lo tanto:
Y por tanto:
Pero esta última desigualdad se demuestra aplicando la desigualdad AM-GM:
Fuente de las versiones 2 y 3: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2011_USAMO_Problems/Problem_1&oldid=78098
8.8Puesto que todos los términos son homogéneos, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que , y por lo tanto la desigualdad a demostrar se transforma en la siguiente:
Observamos que
Y esto mismo podemos hacer en los otros dos términos de la suma, obteniendo
Ahora observamos que
Y realizando esto mismo con los otros términos de la suma, llegamos a
Fuente de la solución: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2003_USAMO_Problems/Problem_5Nota: En esta página web se presentan tres soluciones alternativas más.
8.9
Por un lado, tenemos el conjunto ordenado
Sea la permutación de tal que
Entonces, por el Principio de Reordenación,
Puesto que la expresión de la derecha es el reodenamiento mínimo.
Pero , y por tanto
tal y como queríamos ver.
8.10Primera versión.
Aplicando la desigualdad AM-GM:
De nuevo aplicando la desigualdad AM-GM:
Así pues, tenemos la desigualdad
Que, después de unas transformaciones apropiadas, se convertirá en la desigualdad del enunciado:
Segunda versión.
Observamos que
Y de la misma forma , luego
Tercera versión.
Observamos que
Y por tanto la desigualdad del enunciado es equivalente a, que es trivial puesto que
Fuente de la segunda y tercera versión: 101 Problems in Algebra from the training of the USA IMO team (Adreescu, Feng, 2001), página 29.
9.1Vemos que la desigualdad se adapta al modelo de la desigualdad Cauchy-Schwarz:
Tomando , y , que están bien definidos pues
Solo queda demostrar que
En efecto,
Por la desigualdad del problema 1.1
9.2
Sean ,
Observamos que su producto es constante:
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
Luego el valor mínimo de la función es 12.
La igualdad se obtiene si
La función cumple y , luego el valor se alcanzará
entre 0 y .
9.3
Vemos que las secuencias xx 33 cos,sin y están ordenadas en el mismo orden:
Luego , por el Principio de la Reordenación (ver Tema 5):
9.4Primera versión. Aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz.Vemos que se trata de una aplicación directa de la desigualdad Cauchy-Schwarz tomando
y y
Solo queda demostrar que , lo cual se puede demostrar como aplicación de la
desigualdad GM-QM:
O también se podría haber demostrado directamente mediante la identidad del seno del ángulo doble:
Luego
Con lo que llegamos finalmente a la desigualdad del enunciado.
Segunda versión. Aplicando la desigualdad AM-GM.
Desarrollamos los dos lados de la desigualdad:
Pero, aplicando la desigualdad AM-GM,
y puesto que (ver la primera versión)
Y por tanto
Por otro lado, está claro que , y sumando estas dos
desigualdades llegamos a demostrar la desigualdad .
Fuente de esta segunda versión: 103 Trigonometry Problems From the Training of the USA IMO Team (Titu Andreescu, Zuming Feng, 2005) , pág. 93.
10.1Puesto que son los lados de un triángulo , podemos escribir
, , , con
Luego
Luego
10.2Puesto que son los lados de un triángulo , podemos escribir
, , , con
Está claro que pues
Veamos la primera desigualdad:
Y esta desigualdad se demostró en el bloque teórico.
10.3Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que , y vamos a demostrar que
.Por la desigualdad triangular: y por el Teorema del Seno:
Luego:
Pero ,
luego y por tanto .
Fuente de esta solución: 103 Trigonometry Problems From the Training of the USA IMO Team (Titu Andreescu, Zuming Feng, 2005) , pág. 93.
10.4Aplicaremos el resultado del problema 3.1: Dados dos números reales positivos , se cumple
y la igualdad solo se cumple cuando .
Aplicaremos este lema con y (que son positivos por el Teorema de la Desigualdad Triangular) tenemos
Aplicamos este mismo lema dos veces más:
Y sumamos las tres identidades anteriores:
Simplificando llegamos a la desigualdad pedida en el enunciado.
La igualdad se cumplirá cuando se cumplan las tres igualdades por separado, esto es,
y y , es decir, cuando el triángulo sea equilátero.
10.5a) Partimos de la identidad trigonométrica de la tangente de la suma:
Y teniendo en cuenta que:
Luego:
b) Aplicamos la Desigualdad AM-GM:
Fuente: 103 Trigonometry Problems From the Training of the USA IMO Team (Titu Andreescu, Zuming Feng, 2005) , pág. 94.
10.6
Por otro lado, sabemos que
Luego
Ahora aplicamos , (ver 2.10)
y por tanto
La igualdad se obtiene cuando , es decir:
es decir, cuando el triángulo es equilátero.
10.7
Por otro lado, aplicando identidad notable del seno del ángulo mitad,
Tenemos que demostrar
El Teorema del Coseno nos dice que
Aplicando la desigualdad , que es una de las desigualdades básicas (ver Tema 1)
lo que demuestra la desigualdad del enunciado.
10.8Primera versión.Sean R y S los centros de las circunferencias y , respectivamente.Vemos que .
Sean y
El triángulo es isósceles, y por tanto
El triángulo es isósceles, y por tanto
Luego
Aplicamos el Teorema del Coseno a los triángulos y :
Y por tanto:
Que tomará el valor máximo cuando y el valor máximo será .
Segunda versión.Sean N y M las correspondientes proyecciones perpendiculares de R y S e la recta XY.
Sea . Entonces .Como en la primera versión, vemos que es recto, y por tanto
Luego
Y finalmente: y la igualdad se produce cuando
Fuente de esta versión: "AIME Solution Set 2015 David Altizio January 12, 2018" pág. 12
10.9a)
y esta última igualdad es la identidad trigonométrica de la tangente de la suma.
b) Primera versión.
Aplicamos la desigualdad HM-GM:
Segunda versión.Aplicando directamente la desigualdad AM-GM:
10.10a) Aplicando el Teorema del Seno:
Por lo tanto
Aplicando la identidad trigonométrica "Suma-A-Producto":
En donde hemos utilizado:
Lo cual es cierto pues ya que
Nota: También podemos aplicar la identidad trigonométrica del seno del ángulo mitad:
Para simplificar la parte derecha de la desigualdad:
b) Primera versión. Aplicando el apartado a.
Del apartado a se deduce directamente
Luego es suficiente demostrar:
O equivalentemente:
Que fue demostrado en 2.1 como aplicación directa de la desigualdad AM-GM.
Segunda versión. Sin aplicar el apartado a.
Por el Teorema del Coseno,
Luego la desigualdad (*) es equivalente a
Pero vemos que porque aplicando 1.1c
y de la misma forma
y multiplicando estas tres desigualdades demostramos la desigualdad (**).
c) Todo se reduce a "desguazar" los elementos implicados:
Aplicando la identidad trigonométrica "Producto-A-Suma":
y de la misma manera se demuestra que
tal y como queríamos ver.
d) Basta aplicar los apartados c y a de este mismo problema:
e) Se deduce directamente de d:
f) Es una aplicación directa de la desigualdad AM-GM y el apartado anterior:
g) Aplicando el apartado a:
, y por tanto:
Aplicando la desigualdad AM-GM:
10.11Al menos una de las alturas de un triángulo pasa por su interior. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que esta altura interior es la que pasa por el vértice B.
Trazamos la altura BD por el vértice B, y sea h su longitud. Sean y por tanto . Podemos suponer .
Por Pitágoras , y Luego
Por otro lado,
Y por tanto:
La función , cuando tiene forma parabólica, con ceros en 0 y b, y
siempre es negativa, con un mínimo en , en donde vale
Luego
Tal y como queríamos ver.
Es fácil comprobar que la igualdad aparece cuando se trata de un triángulo equilátero. En dicho caso tenemos
Y por tanto encontramos que la desigualdad es una igualdad:
10.12Sin pérdida de generalidad podemos suponer que . Veamos que entonces tenemos:
En efecto, veamos la primera desigualdad:
Lo cual es cierto pues
Aplicamos el Principio de reordenación a la desigualdad del enunciado:
Vemos que la desigualdad del enunciado es minimal, luego cualquier permutación será mayor.
Y por tanto:
De donde se deduce directamente la desigualdad del enunciado.
Fuente de esta solución: Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) pág. 15
10.13Puesto que la desigualdad es simétrica en y , podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que . Vamos a demostrar la desigualdad por casos, en función de la posición de .
Primer caso:
Por otro lado, por la desigualdad triangular,
Sumando las dos desigualdades anteriores obtenemos:, tal y como queríamos ver.
Segundo caso:
Y sumando las dos desigualdades anteriores obtenemos la desigualdad deseada:
Tercer caso: Vemos que en el caso anterior solo se ha utilizado la condición , luego el mismo razonamiento sirve para demostrar la desigualdad del enunciado.
10.14Primera versión.
Luego
En donde hemos aplicando la fórmula de Heron:
Pero
Luego
En donde hemos aplicado (11.3.1) y
Segunda versión. Aplicamos la Transformación de Ravi:
, , con positivos.
Con lo que hemos de demostrar
Pero esta desigualdad es 2.1
10.15Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que .
Entonces, puesto que estamos trabajando con los lados de un triángulo, se cumple:
En efecto, veamos la segunda desigualdad:
y, efectivamente, pues suponemos y por la desigualdad triangular.
Una vez establecido esto, el problema se resuelve mediante el método de Reordenación,
teniendo en cuenta que
Simplificamos la parte de la izquierda:
Simplificamos la parte de la derecha:
Cancelando términos llegamos a:
Multiplicando por a ambos lados llegamos a la desigualdad del enunciado:
11.1Esta inecuación lleva implícita la condición , y también
, pues anularía el denominador de la división de la parte izquierda.
Multiplicamos y dividimos la parte izquierda por el conjugado para eliminar la raíz:
Luego la inecuación del enunciado es equivalente a:
Así pues, el resultado es y
11.2 Esta inecuación lleva implícitas dos condiciones:
Tomando , vemos que esta función es decreciente en el intervalo , y que toma valores desde hasta . Luego existirá un único valor
a tal que , y el intervalo buscado será .
Observamos que , luego .
El problema se reduce a resolver la ecuación 2113 aa , que elevando al cuadrado se
convierte en la ecuación de segundo grado , cuyas raíces son .
Puesto que sabemos que , la única solución válida es y la solución del
problema es .
Fuente de esta solución: International Mathematical Olympiads 1959-1977 Compiled and with solutions by Samuel L.Greitzer, pág. 46.
Nota: Si intentamos resolver este mismo problema por métodos digamos más convencionales, vemos que aparece en el resultado un intervalo no aceptable:
Para resolver esta última inecuación determinamos las raíces de la ecuación cuadrática:
Luego
Sin embargo, el intervalo no es solución de la inecuación original.
11.3
Dominio de definición: La inecuación no está definida en y .
En donde hemos tenido en cuenta que . Dividir entre b no cambia el signo, y por tanto:
Se cumplirá cuando el numerador y el denominador tengan el mismo signo. El numerador es negativo en , y el denominador es negativo en .
El conjunto solución es .
12.1Si ,
Y la igualdad solo puede darse si , y se comprueba que este caso es solución de la ecuación.Supongamos ahora que al menos una de las tres incógnitas es menor que 2. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que .La ecuación nos queda
De nuevo, si ,
. Luego
El caso no satisface la ecuación:
El caso , no satisface la ecuación:
El caso , tampoco por simetría.
Finalmente, el caso tampoco satisface la ecuación:
Así pues, el único caso aceptable es
12.2Primera parte: Demostración de la desigualdad.Supongamos que no es cierto, es decir, que existen enteros positivos tales que y
, pero
Luego
Por otro lado, por la desigualdad AM-GM:
Y por tanto:
llegando a contradicción.
Segunda parte. Resolución de la igualdad.De nuevo utilizamos identidad .
.
La ecuación implica que sea un cuadrado perfecto impar, es decir,
para cierto u entero no negativo, y .
Luego el conjunto solución son todos los números tales que para todo entero positivo.
En efecto, se cumple:
Fuente de esta solución: Soluciones oficiales OME.
Fuentes.
1.25 Basics of Olympiad Inequalities Samin Riasat (2008) 32.19 Basics of Olympiad Inequalities Samin Riasat (2008) 42.20 Basics of Olympiad Inequalities Samin Riasat (2008) 42.21 "2010 IMO Summer IMO Training: Inequalities Adrian Tang". 22.22 Mathematical Excalibur Volume 5, Number 4, September 2000 – November 2000 31.23 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 174.8 "2010 IMO Summer IMO Training: Inequalities Adrian Tang". 34.9 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 344.10 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 365.1 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 45.2 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 45.3 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 45.9 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 925.11 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 546.2 "2010 IMO Summer IMO Training: Inequalities Adrian Tang". 36.4 Mathematical Excalibur Volume 5, Number 4, September 2000 – November 2000 26.8 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 707.1 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Homogenization&oldid=784888.1 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 658.2 "Contest Problem Book V" 1588.10 101 Problems in Algebra from the training of the USA IMO team (Adreescu, Feng) 29.1 Problem-Solving Strategies (Arthur Engels, 1998) 1659.2 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 659.3 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 659.4 Problem-Solving Strategies (Arthur Engels, 1998) 1749.5 Compiled and Solved Problems in Geometry and Trigonom... (Florentin Smarandache) 419.4 "AIME Solution Set 2015 David Altizio January 12, 2018" 129.4 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 6510.5 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 6610.6 "Contest Problem Book V" 17010.7 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 64 y 6810.11 International Mathematical Olympiads 1959-1977 Samuel L.Greitzer 310.12 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 1510.13 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 5410.14 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 5611.2 International Mathematical Olympiads 1959-1977 Samuel L.Greitzer 46
Apéndice
El "problem-solving", tal y como yo lo entiendo.
La resolución de poblemas, el llamado "problem-solving" es la experiencia más apasionante de las matemáticas. Los "ejercicios", tan repetitivos propios de los libros de texto, pasan ahora a ser "problemas", y cada problema es una aventura única, es un enemigo desconocido al que el estudiante es llamado a enfrentarse con valentía. La resolución de problemas no es muy importante ni poco importante, es lo único importante en matemáticas. Pero el problem-solving no es para pusilánimes. Dejemos algunas cosas claras. Para resolver problemas de matemáticas necesitas:
1. Tempo.Cada problema exige tiempo para pensarlo, tiempo para resolverlo, y en la mayoría de las veces, tiempo, mucho tiempo para estudiar detenidamente la solución propuesta cuando hemos fracasado en su resolución. Solo así se aprende, día tras día, semana tras semana, año tras año. Solo después de muchos fracasos llegan los primeros éxitos.Todos los problemas de los libros de "Toomates Coolección" se ofrecen siempre con las soluciones totalmente desarrolladas, pero no mires nunca la solución, no te rindas, hasta haber dedicado al problema todo el tiempo necesario... y un poco más.
2. Valentía.La frustración es inevitable, pero la impotencia que uno siente al fracasar intentando resolver problemas demasiado difíciles puede llegar a quemar al estudiante de matemáticas, por ello es fundamental seleccionar problemas de dificultad adecuada.
Todos los problemas de los libros de "Toomates Coolección" se presentan siempre indicando su dificultad: MF: Muy fácil, F: Fácil, M: Dificultad media, D: Difícil, MD: Muy difícil.
Aunque hay que dejar claro que el grado de dificultad de un problema es algo muy subjetivo: Aquello que alguien puede considerar difícil puede ser muy fácil para otro.
3. Bases teoricas claras y completas.Todo juego exige unas reglas, reglas que deben estar claras. Es muy frustrante (aunque muy enriquecedor) enfrentarse durante horas a un problema para finalmente descubrir que se están utilizando técnicas o conceptos que uno desconoce. La sensación de haber perdido el tiempo miserablemente puede ser muy desoladora. Las técnicas y conceptos teóricos que se utilizan en la resolución de los problemas deben estar claros.
Los libros de problemas de "Toomates Coolección" se acompañan con los "libros de teoría" en donde se recopilan de una forma ordenada todos los contenidos teóricos utilizados en las resolución de los problemas.
4. Iniciativa y autonomía.La resolución de problemas supone en el estudiante un nivel importante de iniciativa y autonomía. Los libros de "Toomates Coolección" son un recurso más que el estudiante tiene a su disposición en su biblioteca personal, biblioteca que deberá enriquecer con la adquisición de infinidad de otros recursos encontrados en Internet, y muchos libros, gratuitos y comprados, digitales y en papel.
5. Un ambiente silencioso.El problem-solving requiere la máxima concentración. Cuando nos enfrentamos a un problema, ¡el cerebro encendido y el móvil apagado!
Las competiciones AMC, un excelente sendero hacia las IMO.
AMC (American Mathematics Competitions)Es el programa de competiciones matemáticas organizado por la MAA (Mathematical Association of America) para la selección del equipo que representará a USA en la IMO. Organiza el sistema de pruebas selectivas AMC10/12, AIME y USAMO.
El sistema escolar USA consta de 12 cursos ("grades") divididos en 3 niveles, que corresponden a las siguientes edades: Elementary school (Preschool: 4-5, Kindergarten: 5-6, 1st Grade: 6-7, 2nd Grade: 7-8, 3rd Grade: 8-9, 4th Grade: 9-10, 5th Grade: 10-11), Middle school (6th Grade: 11-12, 7th Grade: 12-13, 8th Grade: 13-14), High school (9th Grade "Freshman":14-15, 10th Grade "Sophomore": 15-16, 11th Grade "Junior": 16-17, 12th Grade "Senior": 17-18)
AHSME (American High School Mathematics Examination) (1949-2000)Es la antigua competición matemática para los grados 9 a 12. A partir del año 2000 desaparece al bifurcarse en AMC10 (Grado 10) y AMC12 (Grado 12).Consta de 30 preguntas "tipo test" con 5 posibles respuestas, para resolver en 90 minutos.Los estudiantes que alcanzan los 100 puntos o más de los 150 posibles obtienen el "AHSME Honor Roll", y son invitados a participar en la AIME (American Invitational Mathematics Examination). Se suelen clasificar unos 4000 estudiantes anualmente.Para alcanzar estos 100 puntos, los estudiantes deben contestar correctamente aproximadamente la mitad de las 30 preguntas y dejar en blanco el resto, pues las respuestas equivocadas conllevan severas penalizaciones.Las calculadoras se permiten a partir de 1994, aunque no son necesarias.
AMC8 (American Mathematics Competition Grade 8)Prueba de 25 preguntas "tipo test" en 40 minutos, para estudiantes de Grado 8 (13-14 años, el 2º ESO en España).Cubre (aunque no está limitado a ellos) los temas propios del currículum de la "Middle School": Combinatoria, probabilidad, estimación, razonamiento de proporcionalidad, geometría elemental incluyendo teorema de Pitágoras, visión espacial, aplicaciones en la vida cotidiana, lectura e interpretación de gráficos y tablas.Además, en las últimas preguntas pueden aparecer funciones y ecuaciones lineales y cuadráticas, geometria cartesiana y algunos elementos de álgebra básica.
AMC10/12 (American Mathematics Competition Grades 10 & 12)Prueba de 25 preguntas "tipo test" en 75 minutos.La AMC10 está pensada para estudiantes hasta el grado 10 (el 4º de ESO en España), y 17.5 años de edad como máximo, y cubre el currículum hasta dicho grado.La AMC12 está pensada para estudiantes hasta el grado 12 (el 2º de Bachillerato en España), y cubre todo el currículum de la "high school", incluyendo trigonometría, álgebra avanzada, geometría avanzada, pero excluyendo el calculus.Existen dos versiones de dichas pruebas: A y B, con la misma estructura y el mismo nivel de dificultad. Las preguntas son diferentes porque se presentan en fechas diferentes. Los estudiantes se pueden presentar a ambas pruebas.
AIME (American Invitational Mathematics Examination)Prueba de 15 preguntas en 3 horas. Las respuestas son siempre números positivos de tres dígitos. Son convocados los mejores estudiantes en AMC10 y/o AMC12. Su primera edición fue en el año 1983.
USAMO y USAJMO (USA Mathematical Olympiad y USA Junior Mathematical Olympiad)Prueba de 6 preguntas en dos días, 9 horas de duración. A la USAMO son convocados los mejores estudiantes en AMC12 y AIME (alrededor del 5% superior). A la USAJMO son convocados los mejores estudiantes en AMC10 y AIME (alrededor del 2.5% superior). Solo pueden presentarse estudiantes americanos y estudiantes en escuelas americanas o en Canadá.Los 6 estudiantes con mejores puntuaciones en el combinado AMC10/12, AIME y USAMO forman el equipo que representa a USA en la Annual International Mathematical Olympiad (IMO)
MOSP (Mathematical Olympiad Summer Program)Programa de entrenamiento intensivo de cuatro semanas para los 24-30 mejores estudianes de las competiciones anteriores. Entre sus participantes serán escogidos los seis representantes americanos para las IMO.
IMO (International Mathematical Olympiad)Es una competición anual para estudiantes preuniversitarios y es la más antigua de las Olimpiadas Internacionales de Ciencias.1 La primera IMO se celebró en Rumania en 1959. Desde entonces se ha celebrado cada año. Cerca de cien países de todo el mundo envían equipos de un máximo de seis estudiantes junto con un líder de equipo, un tutor - o colíder - y observadores. La competición consta de dos cuestionarios con tres problemas cada uno. Cada pregunta da una puntuación máxima de 7 puntos, con una puntuación máxima total de 42 puntos. La prueba se desarrolla en dos días, en cada uno de los cuales el concursante dispone de cuatro horas y media para resolver tres problemas. Estos se escogen entre varias áreas de la matemática vista en secundaria, los cuales pueden clasificarse grosso modo en geometría, teoría de números, álgebra y combinatoria. No se requieren conocimientos de matemáticas superiores y de las soluciones se espera que sean cortas y elegantes. Encontrarlas requiere, sin embargo, ingenio excepcional y habilidad matemática.
