1. Introduccion

Efran Antonio DOMNGUEZ CALLE

Departamento de Ecologa y Territorio

Facultad de Estudios Ambientales y Rurales

Pontificia Universidad Javeriana

1

MODELACIN MATEMTICA Una introduccin al mtodo

Profesor: Efran Antonio DOMNGUEZ CALLE, Ph.D. Pgina Web: http://www.mathmodelling.org

e-mail: [email protected]

2. NOCIONES FUNDAMENTALES DE MODELACIN MATEMTICA

2.1. LA MODELACIN COMO MTODO COGNOSCITIVO

La teora del conocimiento, gnoseologa, es una rama de la filosofa en la que

se estudian la naturaleza de la cognicin, sus posibilidades y la relacin entre el

conocimiento y la realidad. Esta teora tiene como principal objetivo determinar las

condiciones y criterios necesarios para garantizar la autenticidad y veracidad de la

cognicin, esto quiere decir que es potestad de la gnoseologa el responder al segundo

interrogante filosfico sobre s es o no cognoscible el mundo, de este modo, la

gnoseologa investiga las condiciones, mecanismos, principios formas y mtodos de la

actividad cognitiva del hombre ( : 2000). En una primera

aproximacin la cognicin se puede definir como el conjunto de procesos que

proporcionan al hombre la posibilidad de recolectar, tratar y utilizar informacin sobre

el mundo y sobre si mismo. A los fenmenos y procesos a los que se enfoca la actividad

cognitiva del hombre se les denomina objeto cognitivo, mientras que a quien efecta la

accin cognitiva se le conoce como sujeto cognitivo, de esta forma la cognicin se

puede entender como la interaccin entre el sujeto y el objeto cognitivos, cuya finalidad

es obtener la verdad que permita la asimilacin del objeto cognitivo segn las

necesidades del sujeto. De aqu surge la necesidad de estudiar los mecanismos de

interaccin que permiten la transmisin del conocimiento desde el objeto al sujeto

cognitivo.

Uno de los mtodos que permite describir estos mecanismos es la modelacin, la

cual constituye un mtodo cognoscitivo en el que el objeto en estudio es reemplazado

con otro, llamado modelo, que cumple con relacin al primero unas condiciones de

analoga. Despus de reemplazar el original por su modelo, el modelo es estudiado y

analizado. Las conclusiones y elementos que surjan de este anlisis son transferidos al

objeto original con base en los criterios y condiciones de analoga y semejanza antes

mencionadas. En epistemologa (ciencia del conocimiento cientfico) los modelos son

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2

la forma de explicar la realidad, ejemplos de esto son: el modelo de mecnica

newtoniana, el cuntico de Maxwell y el relativista de Einstein.

La modelacin se aplica en aquellas situaciones donde el estudio o anlisis del

objeto cognitivo es inviable, resulta muy costoso o demasiado riesgoso. El trabajar con

el modelo del objeto cognitivo y no con su original ofrece la ventaja de que, en forma

segura, rpida y sin grandes gastos econmicos permite estudiar las propiedades del

objeto cognitivo en cualquier situacin imaginable.

Un paso fundamental de la modelacin consiste en la construccin o seleccin

del objeto (tangible o abstracto) que reemplaza al objeto real en estudio. La forma como

se reemplaza el objeto real de estudio define el tipo de modelacin, el cual puede ser

fsico, matemtico, anlogo, lgico, etc. Cada tipo de modelacin tiene sus ventajas,

desventajas y requerimientos. De los tipos de modelacin mencionados el matemtico

goza de una gran universalidad, la cual aunada al gran desarrollo de los ordenadores

ofrece una gran flexibilidad para la solucin de problemas complejos. Segn la

Enciclopedia Matemtica (: 1977) por modelo matemtico se entiende la

descripcin aproximada de una clase de fenmenos del mundo exterior, expresada con

ayuda de simbolismos matemticos. Esta nocin representa un poderoso mtodo

cognoscitivo ya que el anlisis de modelos matemticos de la realidad permite penetrar

la esencia de los fenmenos estudiados. En la actualidad es difcil imaginar la ciencia

sin la amplia aplicacin de modelos matemticos, an ms, disciplinas cientficas como

la mecnica, la fsica y sus mltiples divisiones pueden ser vistas como un conjunto

ordenado de modelos matemticos que se acompaan de un fundamento terico sobre el

nivel de veracidad con que estos modelos reflejan la realidad (ejemplo: modelos

corpuscular y ondulatorio de la luz). Esto permite enunciar que a travs de los modelos

matemticos las disciplinas cientficas interactan con la matemtica. En esencia es esto

lo que reflejan la opinin de Kant cuando enuncia que el estudio de la naturaleza

contendr ciencia en sentido propio slo en la medida en que pueda aplicar las

matemticas.

La aplicacin de la modelacin matemtica consiste en el reemplazo del objeto

cognitivo por su imagen matemtica (modelo matemtico) la cual, implementada en

algoritmos lgico numricos en un ordenador, permite estudiar las cualidades del





3

proceso original. Este mtodo de cognicin conjuga las ventajas de la teora y del

experimento. Al trabajar con el modelo matemtico y no con el objeto cognitivo

(proceso o fenmeno en estudio) en forma relativamente rpida y barata se pueden

estudiar sus propiedades de estado y pronosticar la evolucin del mismo (ventaja

terica). Al mismo tiempo los algoritmos numricos permiten, apoyndose en la

potencia de clculo de los ordenadores, verificar las cualidades del objeto cognitivo en

una forma no accesible para los enfoques tericos (ventaja del experimento).

La modelacin matemtica ha sido aplicada desde los tiempos en que

aparecieron las ciencias exactas. No por casualidad algunos mtodos de clculo llevan

el nombre de grandes cientficos como Newton y Euler e incluso la palabra algoritmo

se desprende del nombre del cientfico rabe del medio evo AlGuarismi. El segundo

nacimiento de la modelacin matemtica tuvo lugar con la aparicin del ordenador en

los aos 40 50 del siglo XX y fue impulsado por los requerimientos, sin precedente,

de los gobiernos de Estados Unidos y de la Unin Sovitica ( ,

1997) para la creacin de escudos de defensa antiarea contra msiles nucleares. En este

caso la modelacin matemtica cumpli con todas las expectativas, explosiones

nucleares, trayectorias de misiles y lanzamiento de satlites fueron realizados con

anterioridad en las entraas de ordenadores con la ayuda de modelos matemticos. Este

xito contribuy al desarrollo de la modelacin matemtica hasta sus niveles actuales

posicionndola en el ncleo estructural de la sociedad de la informacin. El

sorprendente progreso de los medios de tratamiento y transmisin de informacin

requiere de un ncleo de anlisis que permita convertir la materia prima de la

informacin en conocimiento. El desarrollo histrico de la modelacin matemtica

muestra que ella debe ser el ncleo intelectual de las tecnologas de la informacin ya

que esto permitir resolver no solo problemas directos sino tambin problemas inversos

para la gestin de sistemas complejos.

2.2. ESQUEMA GENERAL DE LA MODELACIN

El proceso de modelacin matemtica de cualquier objeto cognitivo (proceso,

fenmeno) consiste en un plan de trabajo preciso que se enmarca en tres etapas que

conforman la triloga modelo algoritmo programa (vase figura 1).





4

Figura 1. Triloga Modelo Algoritmo Programa

(Tomado de: Samarsky y Mikhailov, 1997)

En la primera etapa se escoge o construye el equivalente al objeto cognitivo, el

cual refleja en forma matemtica sus propiedades ms relevantes, los mecanismos a los

que obedece su comportamiento y las conexiones entre sus partes y con su entorno. El

modelo matemtico es propuesto e investigado con mtodos tericos, lo que permite

obtener informacin previa sobre el objeto cognitivo. Esta etapa requiere de un

conocimiento amplio sobre el proceso en estudio y culmina con la formulacin de las

expresiones matemticas que formalizan las concepciones cualitativas que se tiene del

proceso.

En la segunda etapa se escoge o desarrolla el algoritmo de clculo que permite

implementar el modelo en un ordenador. El modelo es llevado a una forma que permita

la aplicacin de mtodos numricos, se define la secuencia de las operaciones lgicas y

aritmticas necesarias para encontrar, con la precisin requerida, las incgnitas que

expresan las variables de estado del modelo. El algoritmo de calculo no debe

distorsionar las cualidades bsicas del modelo y en consecuencia del objeto cognitivo,

tambin debe ser econmico y adaptable a las particularidades de los problemas que se

resuelven y al nivel tecnolgico de los ordenadores disponibles.

En la tercera etapa se crean los programas de ordenador que traducen el modelo

y el algoritmo a un lenguaje entendible por el ordenador. A estos programas tambin se

les exige ser econmicos y adaptables, y son la versin digital equivalente al objeto

cognitivo lista para la realizacin de experimentos numricos en el ordenador.

Objeto

Cognitivo

Programa Algoritmo

Modelo





5

Despus de cumplir la triloga modelo algoritmo programa el investigador

obtiene una herramienta universal, flexible y de bajo costo. Esta herramienta se depura

y sintoniza con experimentos numricos que permiten demostrar su adecuada

correspondencia con el objeto cognitivo para posteriormente realizar los experimentos

que arrojarn todas las caractersticas, cualitativas y cuantitativas, que se requiere

conocer del proceso en estudio. Finalmente es necesario enunciar que el proceso de

modelacin se acompaa del perfeccionamiento paulatino de los tres eslabones de la

triada.

Para hacer aplicable el esquema general de la modelacin son necesarios dos

elementos adicionales: a) el esquema general del modelo y b) el protocolo de

modelacin. Cada vez que se construye el equivalente del objeto cognitivo en estudio se

utiliza el postulado de la valides de las relaciones causa efecto caracterstico del

determinismo cientfico. Este principio terico general puede ser descrito con el

siguiente conjunto de tesis:

1) Los sistemas y procesos materiales son universalmente condicionados;

2) Cada suceso tiene su causa y es generado por otro suceso. La generacin de

un suceso se acompaa de la transferencia de sustancia, energa, movimiento e

informacin.

3) Existe una gran variedad de formas de determinacin y el principio del

determinismo es la fuente de todas ellas.

4) La determinacin de los procesos est condicionada por un carcter ordenado

y regular. Cada proceso o fenmeno se rige por las relaciones establecidas con su

entorno.

El principio de la determinacin establece los elementos y subordinacin de la

relacin causa efecto, designando a la causa como la interaccin misma y al efecto

como el resultado de la interaccin. La causa precede al efecto pero no todo lo que

precede a un fenmeno es su causa (la noche precede al da pero no es la causa del

mismo). Causas iguales producen efectos iguales y la recurrencia del efecto ante una

causa es indicio de ley. La causa detona un flujo de materia, energa, movimiento o

informacin el cual transcurre en un dominio abstracto o tangible. Este dominio es el

equivalente de la nocin de sistema y el flujo mencionado refleja lo que usualmente se





6

denomina como proceso. En general, observando la secuencia y los elementos

impuestos por el principio del determinismo, las relaciones causa efecto pueden ser

clasificadas como relaciones causa efecto secuenciales (vase figura 2 a) reflejan

procesos en sistemas en los que no existe posibilidad de flujo de materia, energa o

informacin del efecto a la causa o al sistema mismo. Por el contrario, las relaciones

causa efecto con retroalimentacin se dan en aquellos sistemas que s lo permiten. El

esquema causa efecto tipo (a) es un caso particular (reducido) del esquema tipo (b).

En este esquema por sistema se entiende un complejo de elementos que interactan

(Bertalanffy: 1976), siendo una cualidad intrnseca del elemento su necesaria presencia

en el sistema para que este pueda existir. La definicin de sistema propuesta por

Bertalanffy debe ser ajustada explicitando que el conjunto de elementos es limitado y

ordenado por una estructura que le da coherencia. Esta estructura abarca las relaciones y

enlaces estables entre los elementos, lo que incluye su ubicacin espacial y los enlaces

entre las distintas etapas de desarrollo.

Sistema Causa Efecto

Sistema Causa Efecto

Influencia Inversa

(a)

(b)

(b)

Sistema Causa

Influencia Inversa

(c)

Efecto 1

Efecto 2

Efecto n

...





7

Figura (2). Esquema de las relaciones causa efecto: (a) secunciales (b) con

retroalimentacin.

Un tipo especial de relaciones causa-efecto son aquellas en las que la causa, al

actuar sobre el sistema, puede desencadenar distintos efectos (vase figura 2 c) y

todos estos efectos tienen lugar con uno u otro nivel de probabilidad. La imprecisin

sobre el nivel de aparicin de cada efecto no rompe el principio de determinacin, lo

que sucede es que estas relaciones constituyen una cadena de relaciones lineales sobre

las cuales no se tienen un conocimiento total.

La prctica demuestra que en la naturaleza los procesos transcurren bajo los

esquemas enunciados, por ello el modelo que se utilice como anlogo de un proceso

natural debe contener una estructura muy similar a la presente en estos esquemas. En

efecto, el esquema general de los modelos matemticos presenta una estructura muy

similar que se representa de la siguiente forma:

Figura 3. Esquema general de un modelo matemtico

En detalle: las entradas del modelo representan las variables que activan el flujo

de materia, energa o informacin en el sistema (por ejemplo la precipitacin al caer y

redistribuirse sobre la cuenca impulsa los flujos de agua en la misma), las entradas son

la analoga de la causa. Las salidas estn conformadas por el vector de variables que

caracterizan el estado del sistema (por ejemplo los caudales lquido y slido de una

cuenca). A su vez la estructura del modelo analoga del sistema en el que transcurre

el proceso es el mecanismo de transformacin de las entradas en salidas. En si la

Entrada Salida

Funcin de retroalimentacin

Analoga

de causa

Analoga

de efecto

Analoga del sistema

Parmetros Variables

de estado

OPERADOR

ESTRUCTURA DEL MODELO

Analoga de la influencia inversa





8

estructura del modelo es el corazn del mismo, por ello su grado de complejidad, como

elemento del modelo, es mayor. La estructura del modelo est conformada por:

El operador la estructura matemtica que establece las reglas de

correspondencia entre las entradas (causas) y su imagen en el dominio de las salidas

(efectos). Ms estrictamente el operador matemtico refleja un conjunto de funciones

(X) en otro conjunto funcional (Y).

Los parmetros magnitudes encargadas de describir las caractersticas fsicas

y funcionales del sistema.

Las variables de estado magnitudes que representan el estado del sistema y

cuya evolucin espacio temporal constituye las salidas del modelo.

La funcin de retroalimentacin mecanismo que refleja el grado en el que las

salidas del modelo influyen en el transcurrir de los procesos del sistema. Generalmente

es una cualidad intrnseca del operador del modelo. En parte representa el orden de no

linealidad del proceso en estudio.

2.3. EJEMPLOS DE OPERADORES MATEMTICOS

Entre las nociones descritas el operador matemtico es de gran importancia. La

seleccin del operador matemtico es una tarea difcil que se basa en la experiencia

existente sobre el proceso en estudio. Generalmente para establecer el operador

matemtico se hace uso de las leyes de conservacin de masa, momento, energa e

informacin en un volumen de control determinado. Como ejemplos de operador

matemtico se pueden enunciar las siguientes expresiones:

Operador de diferenciacin

')()( tfdt

tdftfL

dt

dL .





9

Operador de Laplace o laplaciano Operador diferencial definido en un

espacio n y definido por la expresin nxxx

L

2

2

2

1

2

... donde ),...,,( 21 nxxx

son coordenadas en n . Es un operador diferencial elptico de segundo orden que

juega un papel muy importante en la fisicomatemtica y la geometra.

)...,( s 21 nxxxfg

nx

g

x

g

x

gggL

2

2

2

1

2

...)( .

Operador de Hamilton, hamiltoniano u operador nabla - Operador diferencial

de primer orden representado por el signo y aplicable para la descripcin de

operaciones diferenciales en anlisis vectorial (Hamilton: 1853). En un sistema

cartesiano rectangular de coordenadas ),...,,( 21 nxxxx con los vectores unitarios

neee ,...,, 21 el operador nabla se expresa de la forma .1 j

n

j

jx

e

La aplicacin del operador hamiltoniano sobre una funcin escalar )(xf ,

entendida como la multiplicacin del operador nabla por el escalar )(xf , produce el

operador de gradiente de la funcin ,)(

)()(1 j

n

j

jx

xfxfxfgrad

e o sea el vector

con las coordenadas

nx

xf

x

xf

x

xf )(,...,

)(,

)(

21

. El producto escalar del operador por

un campo vectorial ),...,,( 11 naaaa produce el operador de divergencia del campo

vectorial a :

n

j

j

jx

adiv

1j

eaa)( . El producto vectorial del operador por los vectores

),...,,( 21 jnjj aaaja produce el operador rotacional (o rotor) del conjunto de vectores

n21 aaa ,...,, , o sea el vector





10

nnnn

n

n

nn

aaa

aaa

xxxrot

,22,21,2

11111

21

1

)(,...,,,

eee

aaaa 2-n21 .

El cuadrado escalar del operador hamiltoniano da como resultado el operador de

Laplace:

n

j jx12

2

.

.

La estructura del operador matemtico define las caractersticas del modelo

matemtico. Los operadores que contienen derivadas parciales representan sistemas

multivariados, que experimentan cambios en ms de una dimensin. Un ejemplo de ello

es la simulacin del movimiento del agua en un lago, donde adems de las variaciones

de la velocidad de agua en el tiempo es necesario estudiar el campo de velocidades en

las direcciones {x, y, z}. Los operadores compuesto por ecuaciones diferenciales

ordinarias describen cambios en una solo dimensin, usualmente en el tiempo, pero

podra ser en una de las dimensiones espaciales.

2.4. EL PROBLEMA DIRECTO Y EL PROBLEMA INVERSO

Durante la modelacin matemtica se resuelven dos tipos de problemas, estos son

conocidos como el problema directo y el problema inverso. Para explicarlos es

necesario apoyarse en el esquema general de un modelo matemtico. En el problema

directo de todos los elementos del esquema general el nico desconocido es la salida.

Esta es la situacin ideal de la modelacin matemtica, en ella, ya se han establecido las

entradas, las variables de estado, el operador y los parmetros (vase figura 4).





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Figura 4. Esquema general para el problema directo.

Existen tres clases de problema inverso. En el primer tipo de problema inverso

la informacin conocida es la relacionada con las entradas, variables de estado, operador

matemtico y las salidas. Se desconocen los parmetros del modelo (vase figura 5).

Resolver este tipo de problema significa encontrar el conjunto de parmetros idneos

que aplicados al operador matemtico y utilizando las entradas conocidas produce las

salidas observadas.

Figura 5. Primer tipo de problema inverso.

En el segundo tipo de problema inverso se conocen las salidas, las variables de

estado, los parmetros, el operador y se desconocen las entradas. A travs de este

problema se intentan reconstruir las causas que produjeron determinado efecto en el

sistema bajo estudio (vase figura

6).

Figura 6. Segundo tipo de problema inverso.

En el tercer tipo de problema inverso el elemento desconocido es el operador

matemtico. Constituye la situacin ms compleja y resolverlo significa encontrar las

?????????

OPERADOR

VARIABLES

ESTRUCTURA SALIDAS

PARMETROS

ENTRADA

S

OPERADOR

PARAMETROS VARIABLES

ESTRUCTURA ???????

ENTRADA

S

OPERADOR VARIABLES

ESTRUCTURA SALIDAS

???????





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ecuaciones que mejor trasponen las entradas en salidas. En este caso se trata de definir

las ecuaciones que mejor relacionan una seal de entrada con otra de salida. Un ejemplo

de este tipo de problema se tiene cuando se supone que existe algn tipo de

correspondencia entre dos variables observadas y mediante el anlisis regresivo se

intenta construir una ecuacin matemtica que las relacione con el fin de utilizar una de

ellas como predictor de la otra.

Figura 7. Tercer tipo de problema inverso.

2.6. CLASIFICACIN DE LOS MODELOS MATEMTICOS

No existe una clasificacin nica y general de los modelos matemticos, sin

embargo es pertinente entender las formas que existen de clasificarlos para conocer que

tipo de modelo matemtico debe ser aplicado en cada caso particular. Existen por lo

menos 3 criterios de clasificacin de los modelos matemticos. El primer criterio de

clasificacin esta definido por la capacidad del modelo de tomar en cuenta o no la

incertidumbre en la realizacin del proceso que se estudia. Esto se refiere al esquema de

relacin causa efecto que se aplica. S el esquema seleccionado es cmo el de la figura

2c, entonces el modelo es determinista y supone que a un conjunto de valores de

entrada y parmetros le corresponde un conjunto determinado de valores de salida. En

este tipo de modelos se asume el conocimiento total del proceso en anlisis y una vez

llevada la modelacin al problema directo se conoce con precisin todo lo que ocurrir

en el sistema. La variable de estado de un modelo determinista no puede ser de carcter

aleatorio. S por el contrario el esquema seleccionado es el presentado en la figura 2c,

entonces el modelo es estocstico, en l a un conjunto de valores de entrada y

parmetros le corresponden varios posibles conjuntos de salida, cada una de ellas

caracterizada por una probabilidad de aparicin (de xito). Obligatoriamente en un

modelo estocstico la variable de estado es de carcter aleatorio. El segundo criterio de

clasificacin consiste en determinar la evolucin o no del proceso en el tiempo. S el

ENTRADAS

???????? VARIABLES

ESTRUCTURA SALIDAS

????????





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modelo matemtico puede hacer seguimiento de las variaciones temporales del proceso

en estudio entonces este es un modelo dinmico (no estacionario), en ellos el tiempo

participa como una variable independiente. En el caso contrario se tiene un modelo

esttico (estacionario1), es decir sin el tiempo como variable independiente. El tercer

criterio de clasificacin analiza el nmero de dimensiones en las que varan la variable

de estado y los parmetros del modelo. Si la estructura matemtica slo considera los

cambios de estas en una dimensin, por ejemplo en el tiempo, entonces se tiene un

modelo aglutinado. S por el contrario se toma en cuenta dos o ms dimensiones, por

ejemplo los cambios en el tiempo y en una coordenada espacial en dos coordenadas

espaciales, este ser un modelo distribuido. Formalmente, los modelos aglutinados se

representan con ecuaciones diferenciales ordinarias con uno o menos argumentos

independientes, mientras que los distribuidos son ecuaciones en derivadas parciales con

dos o ms.

Se pueden utilizar otros criterios de clasificacin de los modelos matemticos,

entre ellos la clasificacin por disciplinas (modelos hidrolgicos, biolgicos,

ecolgicos, etc.) y la clasificacin segn la validez del principio de superposicin para

el operador matemtico aplicado (modelo lineal o no lineal). Otro criterio consiste en

clasificar al modelo por la claridad fsica de su operador matemtico. Si este ltimo ha

sido deducido totalmente de leyes fsicas se habla de un modelo de caja blanca o

basado en la fsica del proceso y s por el contrario la deduccin del operador esta

relacionada con la solucin del problema inverso tipo 2 se habla de un modelo de caja

negra.

2.6.1. EJEMPLOS DE MODELOS Y SU CLASIFICACIN

A continuacin algunos modelos matemticos son descritos con la terminologa

presentada anteriormente y clasificados segn los tres criterios, arriba enunciados.

I) Ecuaciones diferenciales ordinarias

1 Esttico y estacionario son categoras similares pero no idnticas. Esttico hace referencia a la ausencia

total de evolucin temporal, mientras que estacionario seala la invariabilidad temporal del patrn de

comportamiento . Este ltimo puede ser estable pero invariante, como sucede con las oscilaciones

sinusoidales climatolgicas que se repiten ao a ao.





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Modelo de crecimiento poblacional

.akakdt

dadg (1)

Donde:

a - Concentracin de algas mg/m3

gk - Taza de crecimiento de primer orden d-1

dk - Respiracin/Excrecin d-1

La ecuacin (1) representa un modelo matemtico determinista, dinmico (no

estacionario) y aglutinado. Como variable independiente usa la coordenada temporal t

y en calidad de parmetros el coeficiente dg kkk (insertar referencia). Como

operador matemtico utiliza una ecuacin diferencial ordinaria, homognea y de primer

grado. Su variable de estado es la concentracin de algas. Dado que la ecuacin

diferencial es homognea simula un sistema que no tiene entradas (sistema autnomo).

Resolver este modelo matemtico significa encontrar la funcin )(ta que muestra el la

evolucin en el tiempo de la poblacin de algas.

Modelo predador presa para el sistema fitoplancton zooplancton

;)( zaCakkdt

dagzrag (2)

.)( zkzaCadt

dzdzgzca (3)

Donde:

gzC

- Taza de consumo por zooplancton d

-1

z - Concentracin de zooplancton g/m3

caa

- Relacin carbono/clorofila gC/gChla

- Factor de eficiencia de consumo d-1

dzk

- Taza de perdida de primer orden por respiracin excrecin d

-1





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La ecuacin (2) representa un modelo predador presa que simula en el tiempo la

interaccin de dos especies ubicadas en diferentes categoras en la cadena alimenticia,

siendo a la presa y z el predador. Este modelo se clasifica cmo determinista, dinmico

(no estacionario) y aglutinado. Cmo variable independiente tambin usa el tiempo y su

vector de estado est compuesto por las variables a y z . Su vector de parmetros se

compone de los coeficientes gzC

, caa

, y dzk

. Su operador matemtico est compuesto

por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, tambin

homogneo y cuya solucin son las funciones )(ta y )(tz que muestran los valores de

poblacin de algas y zooplancton para cualquier momento de tiempo it que pertenezca

al intervalo de tiempo ntt 0 .

Modelos lluvia-escorrenta

Los modelos lluvia-escorrenta son un buen ejemplo de cmo un mismo proceso puede

ser simulado con distintas estructuras matemticas. A continuacin se presenta para el

mismo proceso una versin aglutinada y otra distribuida (Kovalenko, 1998). En

captulos posteriores se analiza como de un modelo distribuido se puede obtener uno

aglutinado.

Variante aglutinada

)()(1)(

tXtQkdt

tdQ . (4)

En el cual:

Tiempo de relajamiento T; Q afluencia L

3/T;

t coordenada temporal T;

K coeficiente de escorrenta

X precipitaciones L3/T.

Esta ecuacin representa un modelo determinista, dinmico (no estacionario) y

aglutinado en el que la cuenca hidrolgica se estudia como un punto material sin

geometra, cuyo funcionamiento se simula con una ecuacin diferencial ordinaria de

primer orden, no homognea, caracterizada con los parmetros k y . Las entradas de





16

este modelo estn constituidas por las precipitaciones )(tX que son transformadas por

el operador matemtico en la variable de estado )(tQ que representa los caudales de

agua registrados en la salida de la cuenca. Solucionar el modelo cuatro significa

encontrar la funcin )(tQ .

Variante distribuido

Xy

q

x

q

t

h yx

; (5)

22

23

yx

xx

ii

iChq

; (6)

22

23

yx

y

y

ii

iChq

. (7)

Donde h lmina de agua;

xq caudal elemental en la direccin ;

yq caudal elemental en la direccin y;

X Intensidad de las precipitaciones; coeficiente de Chezy;

xi pendiente del terreno en la direccin x;

yi pendiente del terreno en la direccin y.

La variante distribuida del modelo lluvia-escorrenta es un sistema dinmico (no

estacionario) con ecuaciones en derivadas parciales, cuyo operador matemtico es el de

gradiente y que utiliza como parmetros caractersticas que definen las condiciones

hidrulicas que condicionan el movimiento del agua por la superficie de una cuenca

hidrolgica. En calidad de entrada funciona la precipitacin neta y como variables de

estado la altura de la lmina de agua h y los caudales elementales xq y yq .

Modelo para la migracin de contaminantes

),,,,(),,,,,,,,,( 11 tzyxCtzyxVVVCCC

z

CE

zy

CE

yx

CE

xz

CV

y

CV

x

CV

t

C

izyxiii

iz

iy

ix

iz

iy

ix

i

(8)





17

Donde:

iC - Concentracin del i-esimo componente;

zyx VVV ,, - Velocidades del fluido en las direcciones x, y,

z;

zyx EEE ,, - Coeficientes de difusin en las direcciones x, y,

z;

t - Tiempo;

zyx ,, - Coordenadas en el plano cartesiano;

),,,,,,,,,( 11 tzyxVVVCCC zyxiii - Cinticas de reaccin no conservativas;

),,,,( tzyxCi - Fuentes o sumideros de sustancias

conservativas.

La ecuacin (8) representa el modelo matemtico que simula la migracin de

contaminantes en un sistema con mltiples componentes ( ni ...1 ), cinticas de

reaccin no conservativas y fuentes sumideros de sustancias conservativas. Es

dinmico y distribuido. Su operador matemtico est compuesto por los operadores de

divergencia y gradiente. Su vector de parmetros contiene las velocidades del fluido que

transporta los contaminantes, los coeficientes de difusin en cada direccin y los

coeficientes para las cinticas de reaccin. Como entradas al modelo operan las fuentes

y sumideros de sustancias. El componente de gradiente del operador explica el

fenmeno de adveccin del contaminante, mientras que el de divergencia explica los

fenmenos de difusin molecular y turbulenta.

2.7. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA

La solucin de todo modelo matemtico exige, adems de la definicin de su

esquema general, estipular las condiciones iniciales y de frontera. Estas ltimas

garantizan la existencia y unicidad de la solucin del modelo matemtico. Si el modelo

matemtico est constituido por un operador distribuido (derivadas parciales) son

necesarias ambos tipos de condicin. Si el operador es aglutinado (ecuaciones

diferenciales ordinarias) slo se necesitan condiciones iniciales.





18

Resolver una ecuacin diferencial es encontrar su funcin primitiva. Esto se

logra mediante la operacin de integracin. Al integrar la funcin diferencial la

primitiva se encuentra con precisin de una constante, llegando as a una familia de

curvas de la que se debe escoger aquella que convierte en identidad a la ecuacin

diferencial. La curva apropiada se escoge utilizando la informacin sobre las

condiciones iniciales y de frontera.

2.8. MTODOS DE SOLUCIN

Las ecuaciones diferenciales se resuelven por mtodos analticos y numricos.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias sencillas se resuelven analticamente por el

mtodo de separacin de variables, sin embargo para ecuaciones complejas puede no

existir una combinacin de funciones elementales que conviertan en igualdad a la

ecuacin diferencial. En esos casos se aplican mtodos aproximados. Entre estos

mtodos se encuentran el de las isoclinas, el de aproximaciones sucesivas y los

numricos como el de Euler y el de Runge-Kutta (Insertar Referencia). Estos ltimos

mtodos son los ms utilizados gracias a la flexibilidad que presentan para resolver

ecuaciones diferenciales de diferente nivel de complejidad.

La solucin analtica de las ecuaciones en derivadas parciales se puede encontrar

aplicando los mtodos de la matemtico-fsica. Estas soluciones se hallan con mayor

dificultad y por ello usualmente se aplican mtodos numricos cmo las diferencias

finitas o el de elementos finitos (insertar referencia). Estos han probado gran eficiencia

para la solucin de ecuaciones en derivas parciales de alto orden de complejidad.

En el captulo siguiente se presentan algunas nociones de clculo diferencial,

mtodos numricos y programacin orientada a objetos, las cuales sern pertinentes en

el desarrollo del presente curso.

3. EL PROTOCOLO DE MODELACIN MATEMTICA

La modelacin matemtica de procesos hidrolgicos debe enmarcarse en un

nmero finito de pasos ordenados (Figuras 8, 9 y 10) que conviertan el proceso de

modelacin en una secuencia lgica, discreta, de acciones orientadas a la obtencin de





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un resultado con la calidad esperada. Exige adems formular un cronograma de trabajo

con tiempos muy aproximados a los de ejecucin. Por ello es necesario plantear un

Protocolo de Modelacin que permita aplicar en forma sistemtica la modelacin

matemtica de procesos hidrolgicos. El flujograma planteado a continuacin, asegura

un desarrollo ordenado en cualquier proyecto de modelacin, despreciarlo convierte la

modelacin matemtica en una tarea de derroche de tiempo, aumentando

considerablemente los costos de aplicacin, y disminuyendo la calidad de los resultados

obtenidos. Adicionalmente el protocolo facilita la definicin de puntos de enlace con

otras actividades y permite integrar la participacin de expertos de distintas temticas

en la optimizacin del modelo en aplicacin y en la interpretacin de sus resultados.

Durante la modelacin matemtica de procesos hidrolgicos es oportuno seguir el

siguiente orden de trabajo:

3.1. DEFINIR EL OBJETIVO DE LA MODELACIN

Toda modelacin matemtica debe partir de la pregunta para que modelar un

proceso? Este anlisis permite establecer, que tipo de modelo es ms apropiado

(aglutinado o distribuido, determinstico o estocstico), con cual precisin se requiere

trabajar y cual es el marco de tiempo de ejecucin del proyecto de modelacin.

3.2. FORMULACIN DEL MODELO CONCEPTUAL

Con base en el objetivo de la modelacin, la disponibilidad de informacin existente

y la factibilidad de realizar o no trabajo de campo, se establece el modelo conceptual,

que determina la complejidad de los procesos a tomar en cuenta (cuales se modelan,

cuales no se consideran en su totalidad o pueden simplificarse en gran medida) y

comprende la percepcin del usuario sobre el proceso objeto de modelacin.

3.3. SELECCIN DEL TIPO DE MODELO A UTILIZAR

De acuerdo con el modelo conceptual, se escoge que tipo de modelo es ms

apropiado.





20

Figura 8. Primera etapa del protocolo de modelacin

3.4. SELECCIN DEL CDIGO A APLICAR

Es posible que el tipo de modelo escogido, ya est programado y sea parte de un

sistema de modelacin comercial, que este disponible a travs de la Internet, o que sea

producto de investigaciones anteriores. Si existen varias alternativas, estas deben ser

analizadas y de ellas se debe escoger la ms adecuadas al modelo conceptual y a la

disponibilidad de informacin y recursos econmicos.

Si no existen cdigos desarrollados, o los existentes no se ajustan al modelo

conceptual ser necesario desarrollarlos, lo cual implica cubrir las siguientes etapas: a)

formulacin numrica, b) codificacin para el ordenador y c) verificacin del cdigo.





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Figura 9. Segunda etapa del protocolo de modelacin

3.5. PARAMETRIZACIN DEL MODELO

Con la informacin disponible, y en algunos casos apoyados en hiptesis de trabajo,

se establecen las magnitudes de los parmetros que componen la estructura matemtica.

Si el valor de los parmetros se obtiene a travs de mediciones de campo existentes o

adicionalmente programadas, se dice que el modelo se parametriz. Si el valor de los

parmetros se establece a travs de la solucin del problema inverso, se dice que los

parmetros se identificaron.

3.6. VALIDACIN DEL MODELO

Con el fin de probar cual es el rango de bondad del modelo, este se parametriza con

una parte de la informacin existente, luego sin cambiar los parmetros encontrados, se

prueba el modelo en un rango de datos no utilizados durante la parametrizacin,

calculando el error promedio del modelo. Si este error est dentro de los lmites

permisibles, se considera que el modelo est validado, de lo contrario se repite el

proceso de parametrizacin hasta encontrar un juego de parmetros que permita





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pronosticar con una bondad de ajuste adecuada. Existen criterios de validacin para

determinar cuando el ajuste de lo pronosticado con lo real es adecuado, entre ellos se

pueden mencionar el criterio del Centro Hidrometeorolgico Ruso (S/ ) , el Criterio

Bayesiano de Informacin (BIS por sus siglas en ingles) empleado por la Nacional

Oceanic and Atmosferic Administration (NOAA), el criterio de eficiencia de Nash-

Sucktliffe y el porcentaje de pronsticos acertados (con mayor detalle vase pargrafo

4.).

3.7. SIMULACIN

Con el modelo validado, se puede dar inicio a la simulacin bajo las condiciones

planteadas, este procedimiento es tcnico y solamente hay que verificar que los

parmetros e hiptesis planteados estn reflejados en el cdigo implementado para el

modelo matemtico. Expresado de otro modo, este es el paso en el que modelo

matemtico es explotado operativamente.

3.8. ANLISIS Y PRESENTACIN DE RESULTADOS

En esta etapa se trata de obtener el mayor nmero de respuestas con los datos

obtenidos por el modelo y se verifica la coherencia de los resultados. Una vez analizado

esto, se procede a consolidar el documento soporte para el proceso de toma de

decisiones.





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Figura 6. Tercera etapa del protocolo de modelacin

3.9. POST AUDITORIA

La modelacin no se detiene en el paso anterior, si en el modelo realizado se

incluye informacin nueva, obtenida por otros medios, o que no estaba disponible en el

momento inicial de la modelacin este puede mejorar y hacer cambiar nuestra

percepcin sobre el proceso real, provocando la induccin de mejoras en el modelo

conceptual planteado. Por otro lado la realizacin del modelo puede ser tan acertada

que el mismo, al aplicarlo nos revele puntos importantes a mejorar en el modelo

conceptual, formulando as un proceso de retroalimentacin continua entre el desarrollo

del modelo mismo y sus subsecuentes aplicaciones.

4. CRITERIOS DE EVALUACIN DE LA BONDAD DE AJUSTE DE LOS

MODELOS MATEMTICOS.

Un modelo sin validar (vase pargrafo 3.7.) es una herramienta intil, que no

permite hacer conclusiones validas para apoyar los procesos de toma de decisiones. La

validacin consiste en la comparacin de los resultados obtenidos en la simulacin con





24

el modelo matemtico y los observados en la realidad. Existen, adems del control

visual de los resultados, criterios objetivos para evaluar la bondad de ajuste de los datos

simulados contra los valores observados. La objetividad de estos criterios consiste en

que adems de ser mesurables cuantitativamente cada uno de ellos tiene valores crticos

que definen en que caso la bondad de ajuste es suficiente y en cuales no.

4.1. CRITERIO DEL CENTRO HIDROMETEOROLGICO DE RUSIA (S/)

Si se simboliza a los valores reales como riQ y a los modelados con m

iQ , entonces es

posible simbolizar los incrementos de los valores reales como:

r

i

r

ii QQ 1 . (1)

El incremento medio ser entonces:

n

ii

n 1

1

. (2)

Aqu n representa el nmero de pronsticos evaluados. A su vez: la desviacin

estndar de los incrementos de los valores reales se determina con la ecuacin:

1

)(1

2

n

n

ii

(3)

La desviacin estndar de los errores de los pronsticos se establece de la

siguiente forma:

1

)(1

2

n

QQ

S

n

i

m

i

r

i

(4)

Observando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se deduce que el criterio S

relaciona la desviacin estndar de los incrementos de la magnitud pronosticada con la





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desviacin de los errores de pronstico, exigiendo que la variabilidad de los errores

cometidos en los pronsticos no supere la variabilidad de los incrementos de las

afluencias. En conclusin, la relacin S mide la habilidad que tiene la metodologa

de pronstico para superar al pronstico por inercia, de ningn modo describe el nivel

de error que se pueda cometer en los pronstico. Por esto, adicionalmente se evala el

porcentaje de pronsticos acertados, el cual en caso de ser igual o mayor al 80%

demostrara una bondad de ajuste muy buena, mientras que si el porcentaje de aciertos

se encuentra entre el 60 y 79% esta se cataloga como satisfactoria y para los casos en

que es menor del 60% inaceptable. Para determinar el porcentaje de pronosticos

acertados se debe determinar el error mximo max permitido para cada pronstico,

este se puede definir como: 674,0max . Este max fue propuesto por el Centro

Hidrometeorolgico de Rusia (CHR), pero el max tambin puede ser dictado por las

necesidades del sector usuario que requiere de los pronsticos hidrolgicos. Por ejemplo

el Subcomit Hidrolgico y de Plantas Elctricas (SHPE) de Colombia establece que el

error mximo permitido para los pronsticos de afluencias mensuales no debe superar el

30% (ISA, 2001). Finalmente, para determinar si un modelo matemtico esta validado

se exige que: 8,0S . Para el pronstico perfecto 0S , una buena validacin

cumple con 50.0/

S y una satisfactoria con 80.0/51.0

S . S 8,0S la

parametrizacin del modelo se debe repetir.

4.2. CRITERIO DE INFORMACIN BAYESIANO (BIS)

Este criterio toma en cuenta el error promedio absoluto de la modelacin y su

desviacin estandar (NOAA, 1999)

1

1

n

QQn

i

r

i

m

i

m (5)

1

1

n

QQn

i r

r

i

m

i

m

(6)





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El BIS tambin toma en cuenta la relacin entre el predictor y la variable pronosticada a

travs del coeficiente de regresin a y no deja de lado la variabilidad de la magnitud

pronosticada dado que utiliza su desviacin estndar de modo que:

aSC m

(7)

1

1

2

Q

SCBIS

(8)

S el modelo matemtico produce pronsticos perfectos entonces 0BIS , para una

validacin satisfactoria es necesario que se cumpla la siguiente desigualdad:

80,0BIS (9)

1. Introduccion

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