Fundamentos teóricos

1

1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1.1 Introducción

En este apartado del trabajo se muestran los fundamentos teóricos en los que se ha basado el

código de MATLAB que se presenta, para la determinación de los exponentes característicos del

problema de las esquinas multimateriales bajo la hipótesis de materiales anisótropos linealmente

elásticos sometidos a un estado generalizado de deformaciones planas en donde los desplazamientos

en tres dimensiones dependen de sólo dos coordenadas cartesianas ( ),(),( 21 ruxxuu iii con i=1,2,3

or 3,,ri ).

Los exponentes k sólo dependen del problema local en el entorno del vértice de la esquina

multimaterial. Se considerará una esquina de N materiales que pueden encontrarse perfectamente

pegados, o que pueden sufrir deslizamiento o fricción, y un sistema de referencia polar (r,) centrado

en el vértice.

Para definir el problema local habrá que introducir la geometría local definida por los ángulos i

(i=0,...,N), las propiedades mecánicas de los materiales y las condiciones de contorno en las caras

extremas 0 y N.

Se denominarán respectivamente “esquinas abiertas” y “esquinas cerradas” a las configuraciones

que presenten, o no, caras externas.

x1

x2

0

i-1i

N

1

i

N

x1

x2

0

i-1i

N= 1

i N

a) b)

1-1 Esquinas abiertas y cerradas

Fundamentos teóricos

2

1.2 Formalismo de Stroh- Lekhnitskii

El formalismo de Lekhnitskii-Stroh en variable compleja es una herramienta muy poderosa y

eficiente en la resolución de problemas de elasticidad anisótropa bajo estados de deformación plana

generalizada.

Este capítulo resume los fundamentos del formalismo empleados en el análisis de los estados

singulares de tensiones en esquinas multimateriales sometidos a estados de deformación plana. Una

completa descripción del formalismo de Stroh se puede encontrar en Ting (1996)

1.2.1 Ecuaciones básicas

Sea xi (i=1,2,3) un sistema de coordenadas cartesiano, siendo ij y ui respectivamente las

tensiones y desplazamientos en un material anisótropo, las ecuaciones de equilibrio para un material

homogéneo anisótropo y linealmente elástico cuyas constantes elásticas son Cijks pueden formularse en

término de desplazamientos ui (i=1,2,3) como:

skijksij uC ,

0, sjkijksuC

(2.1)

En estados de Deformación Plana Generalizada, los desplazamientos ui (i=1,2,3) dependen

exclusivamente de x1 y x2 (entonces, 33=0), y por tanto la solución general de la ecuación depende de

una variable compleja z, que es combinación lineal de x1 y x2

zfau ii

(2.2)

21 pxxz

(2.3)

Donde:

ai es un vector complejo a determinar

f(z) función arbitraria dependiente de la variable compleja z

p es una constante compleja a determinar

Fundamentos teóricos

3

Derivando los desplazamientos dos veces con respecto a xs y xj sustituyendo en (2.1) se obtiene

dada la arbitrariedad de f(z) la siguiente expresión:

022

2

122111 kkikikiki aCpCCpC

(2.4)

Dado que las matrices Q, R y T se definen de la siguiente forma:

11kiik CQ

21kiik CR

22kiik CT

(2.5)

La ecuación (2.4) se puede escribir de forma matricial de la siguiente manera:

0aTRRQ 2pp T

(2.6)

Para una solución no trivial de a, tenemos que:

0TRRQ 2pp T

(2.7)

El sistema lineal homogéneo de la ecuación (2.7) tiene solución no trivial si y sólo si el

determinante es cero y conduce a una ecuación de grado seis en p, cuya solución son tres pares de

raíces complejas conjugadas llamadas autovalores p (=1,…6) que habitualmente se ordenan

atendiendo al signo de la parte imaginaria de p

0Im p pp 3 (=1,2,3).

(2.8)

Los autovectores (a) asociados se obtienen de (2.6)

aa 3 (=1,2,3)

(2.9)

Las tensiones ij derivando la expresión de los desplazamientos dada en (2.2) e insertándola en la

ecuación (2.1) obteniendo:

Fundamentos teóricos

4

)(1 zfapRQ kikiki

(2.10)

)(2 zfapTR kikkii

(2.11)

Estas expresiones de las tensiones se pueden expresar como:

)(1 zfpbii

)(2 zfbii

(2.12)

En donde en notación matricial:

aRQaTRb pp

pT 1

(2.13)

Introduciendo el vector función de tensiones:

)(zfbii o )(zfbφ en notación matricial

(2.14)

Las expresiones de las tensiones (2.12) pueden escribirse de la siguiente forma:

2,1 ii

1,2 ii

(2.14)

La solución general de la función de tensiones φ se obtiene superponiendo las seis soluciones de

(2.14) asociadas a los seis autovalores p , de manera que se obtienen las ecuaciones que constituyen

el formalismo de Stroh:

3

1

)()(

zfzf aau

3

1

)()(

zfzf bbφ

(2.15)

En donde b está relacionado con a mediante la ecuación (2.13):

Fundamentos teóricos

5

bb 3 (=1,2,3)

(2.16)

1.2.2 Relaciones de ortogonalidad y cierre

Tomando las dos igualdades en (2.13), y definiendo I como la matriz identidad (33), se puede

rescribir (2.13) en la forma:

b

a

0T

IR

b

a

IR

0Qp

T

(2.17)

Multiplicando (2.16) por la inversa de la matriz de 6x6 del lado derecho a ambos lados de la

igualdad por la derecha, queda la siguiente expresión:

b

a

b

a

RTQRRT

TRTp

T

T

11

11

ξNξ p

(2.18)

N (66) es la “Matriz de Elasticidad Fundamental”, ),( TTT baξ es el autovector por la

derecha de N (N no es simétrica) y p el autovalor asociado.

La ecuación (2.17) es válida siempre y cuando N tenga tres autovectores ξ (=1,2,3)

linealmente independientes. En el caso de que además los autovalores p sean todos distintos N se

dice que es simple, y si se repite alguno será semisimple.

Si ocurre que algunos de los autovectores es linealmente independiente entonces algunas de las

expresiones del formalismo deben ser modificadas (Ver Ref.1).

Atendiendo al número de autovalores iguales y al número de autovectores linealmente

independientes, se puede establecer, ver Ting (1999), una clasificación de la matriz N como la que se

muestra en la siguiente tabla:

Fundamentos teóricos

6

3 autovalores

diferentes 2 autovalores iguales 3 autovalores iguales

3 autovectores

linealmente

independientes

Simple (SP) Semisimple (SS) Extraordinariamente

semisimple (ES)

2 autovectores

linealmente

independientes

No-semisimple o

degenerado de 1ª

especie (D1)

No-semisimple o

degenerado de 2ª especie

(D2)

1 autovector

linealmente

independiente

Extraordinariamente

degenerado (ED)

2-1 Clasificación de la matriz N

Los autovectores ),( TTT baξ definen las matrices de orden 3x3 321 ,, aaaA y

321 ,, bbbB que se emplean en la representación de las funciones de tensiones y desplazamientos

Dado que N no es simétrica, el autovector por la izquierda cumple la relación:

ηηN pT

(2.19)

Donde:

TTabη ,

Sabiendo que los autovectores por la izquierda y por la derecha asociados a distintos autovalores

son ortogonales entre sí, tenemos:

0· ξη , para pp

(2.20)

Las relaciones de ortogonalidad y cierre se deducen despues de normalizar los autovectores de

acuerdo con ξη · :

IXXXX 11

(2.21)

Siendo I la matriz identidad de orden 6x6 y donde:

BB

AAX ,

TT

TT

AΓBΓ

ΓAΓBX

1

(2.22)

Fundamentos teóricos

7

100

010

001NDΓ ,

100

001

010DΓ ,

001

010

100EDΓ

(2.23)

Los superíndices de las matrices Γ se refieren a materiales no degenerados, degenerados y

extraordinariamente degenerados respectivamente.

1.2.3 Condiciones de contorno y de interfaz

Se considera una esquina multimaterial elástica anisótropa compuesta por un número de

materiales cuyas caras planas se intersecan en el vértice de la esquina que coincide con el eje x3 del

sistema de coordenadads cartesiano definido en coordenadas cilíndricas (x1,x2,x3) o polares (r, ,x3)

(ver figura)

1-2 Esquina multimaterial

La esquina multimaterial está sujeta a un estado de deformaciones planas y se consideran las

condiciones de perfectamente pegado, deslizamiento y fricción entre las caras de los materiales. Se

distinguirá entre esquinas abiertas, en las que habrá dos caras externas a las que habrá que aplicar unas

determinadas condiciones de contorno, y las esquinas cerradas en las que sólo se imponen condiciones

de interface entre las caras de los materiales.

La esquina contiene un número M de materiales ( 1M ) y cada uno de los cuales (Mm) está

definido en esquina multimaterial por un ángulo comprendido entre los ángulos m-1<<m.

En el caso particular del código que se expone en este trabajo, no ocurre como en literaturas

precedentes en donde se distingue entre el número de materiales y el número de sectores W (entendido

como sector una parte de la esquina en el que los materiales están perfectamente pegados). De tal

Fundamentos teóricos

8

manera que en lo sucesivo el número de sectores y el número de materiales serán iguales (M=W), así

mismo ocurrirá con los subíndices m=w.

A la hora de definir las condiciones de interfaz, se asume un modelo de fricción isótropo en el

que el ángulo que define la velocidad de deslizamiento es igual al ángulo de fricción transversal

u y el coeficiente de fricción es independiente del ángulo de deslizamiento .

Para definir las condiciones de contorno e interfaz en una esquina multimaterial (3D) se usará los

siguientes vectores asociados a las caras de la esquina multimaterial:

))(,),(( 3 nssr

(2.24)

3s

)( Wr s

x3

)( Wn

1

W

3s

)( 0rs

)( 0n0

1

1W

W

)(rs

3s

),( k

)(m

wedge face plane at

),( k

arctan

normal plane to wedge face at

)(n

),,( n

arctan

),,( s

1-3 Sistema de coordenadas definido en una esquina multimaterial

Las componentes de los vectores definidos en el sistema de coordenadas cartesiano son:

,

0

cos

sin

)(,

1

0

0

,

0

sin

cos

)( 3

nssr

(2.25)

Cuando se definen condiciones de deslizamiento o fricción se usará el siguiente sistema de

vectores asociado a las caras de los materiales:

))(),,(),,(( nmk

))(),,(),,(( nmkuu

)),(),,,(),,,(( msn

(2.26)

En donde:

Fundamentos teóricos

9

,sin)(cos),( 3ssk r

,cos)(sin),( 3ssm r

,

1

),()(),,(

2

knn

,

1

)(),(),,(

2

nks

(2.27)

El ángulo u es el ángulo medido desde )(rs que marca la dirección de deslizamiento y

es el coeficiente de rozamiento definidos en la cara del material.

1.2.4 Matriz de condiciones de contorno

Con las definiciones anteriores las condiciones de contorno homogéneas más habituales, se

pueden expresar en forma compacta (Mantič et al. 1997) para las dos caras externas

0DuD ),()(),()( wwwwu rr

(2.28)

En donde )( wu D y )( wD son matrices 3x3 de coeficientes reales que cumplen las

condiciones de ortogonalidad siguientes:

0DDDD )()()()( w

T

uww

T

wu

(2.29)

Las matrices )( wu D y )( wD para distintas condiciones de contorno homogéneas se muestran

en la siguiente tabla:

Fundamentos teóricos

10

Boundary condition Boundary matrix definition

)(uD

)(D

Free 330 33I

Fixed 33I 330

Symmetry (only u restricted) T00n ,),( Tr 3),(, ss0

Antisymmetry(only u allowed) Tr 0ss ,),( 3

T)(,, n00

Only ur restricted Tr 00s ,),( T3),(, sn0

Only ur allowed T0sn ,),( 3

Tr )(,, s00

Only u3 restricted T00s ,,3

Tr )(),(, ns0

Only u3 allowed Tr 0ns ),(),( T

3,, s00

1-2 Matrices de condiciones de contorno homogéneas

La matriz de condiciones de contorno homogéneas BCD se define como una matriz de 6x6

ortogonal:

)()(

)()(

)(~)(

~)()(

)(wuw

wwu

wwu

wwu

wBC

DD

DD

DD

DDD

(2.30)

En el caso de que las condiciones de contorno sean no lineales y se imponga fricción, las

condiciones de contorno en la cara inicial y final se podrán expresar de la forma lineal:

0DuD ),())(,,(),())(,,( wwwwwww

u

wwwu rr

(2.31)

En donde ))(,,( w

u

wwwu D y

))(,,( wwww D son matrices reales de 4x3 que no son

cuadradas sino, rectangulares:

Tuu

u 0m0nD ),,(,),(),,(

T),(,),,,(,),,( m0s0D

Tuu

u ),(,),,(~ k0D

T0nD ),,,(),,(

~

1-3 Matrices de condiciones de contorno no lineales (fricción)

Se ha supuesto que en la cara en donde ocurre la fricción, se desliza con el mismo ángulo de

fricción, que el coeficiente de fricción es constante en toda la cara y se han adoptado las siguientes

simplificaciones para las caras iniciales y finales:

Fundamentos teóricos

11

w ,

w

)( w

u

w

u

)( ww

La matriz de condiciones de contorno no lineales BCD se define como una matriz de 6x6

ortogonal:

),,(~),,(

~),,(),,(

))(),(,,(www

u

wwwu

www

u

wwwu

w

u

wwwwwBC

DD

DDD

(2.32)

En donde ),,(

~ u

wwwu D y

),,(~

www D son matrices reales de 2x3.

1.2.5 Matriz de interfaz

Las condiciones de interfaz para los casos de deslizamiento y fricción pueden expresarse de

forma compacta respectivamente:

0wDwD ),()(),()( 121 wwwwww rr

(2.33)

0wDwD ),())(),(,,(),())(),(,,( 121 www

u

wwwwwwww

u

wwwww rr

(2.34)

En donde las matrices de interfaz para el caso de deslizamiento )( wi D son matrices reales de 6x6

definidas en la siguiente tabla teniendo en cuenta que w y 11 Ww :

T

r

33313

133313

1)(

)(

2

1)(

sIs0

000nD

T

r

33313

133313

2)(

)(

2

1)(

sIs0

000nD

T

r

1313131313

13313131

)(

2)(2)(

2

1)(

~

0000n0

0s0s0nD

Fundamentos teóricos

12

T

r

1313131313

31313132

)(

2)(2)(

2

1)(

~

0000n0

s0s00nD

Ta 2-4 matrices de transferencia para deslizamiento

En el caso de deslizamiento con fricción las matrices ),,,( uwwwwi D son matrices reales de

7x6 definidas en la siguiente tabla teniendo en cuenta que w , w , )( w

u

w

u , )( ww

y 11 Ww :

Tu

u

),(),,(

),()(

2

1),,,(

133313

1333131

m0Is0

0m00nD

T

uu

),(),,(

),()(

2

1),,,(

133313

1333132

m0Is0

0m00nD

Tuu

u

13131313

13131

),,(

),(),(2)(

2

1),,,(

~

000n0

m0k0nD

Tuu

u

13131313

13132

),,(

),(),(2)(

2

1),,,(

~

000n0

mk00nD

2-5 matrices de transferencia para deslizamiento con fricción

La matriz de condiciones de interfaz ID se define como una matriz de 12x12 ortogonal que

tendrá la siguiente expresión para deslizamiento y fricción respectivamente:

)(~

)(~

)()()(

21

21

ww

ww

wI

DD

DDD

(2.35)

),,,(~),,,(

~),,,(),,,(

))(),(,,(

21

21uwwww

uwwww

uwwww

uwwww

wuwwwwwI

DD

DDD

(2.36)

Donde )(~

wi D (i=1,2), son matrices reales de 6x6 y ))(),(,,(~

wuwwwwwi D (i=1,2), son

matrices reales de 5x6.

En el caso particular de condición de pegado las matrices tienen la forma:

21

21~~DD

DDDI

(2.37)

Fundamentos teóricos

13

Donde

6612

1 ID

6622

1 ID

6612

1~ ID

6622

1)(

~ ID

2-6 matrices de transferencia para pegado

1.3 Matriz de transferencia

Los deplazamientos y vectores función de tensiones en una cara de contacto entre dos materiales

dentro de una esquina multimaterial ),( 1mrw y

),( mrw se relacionan mediante lo que se denomina

matriz de transferencia mE.

1.3.1 Materiales no degenerados

En el caso de un material no degenerado los desplazamientos y vector función de tensiones se

pueden escribir de la siguiente manera

vXZw )(),( rr ,

),(

),(),(

r

rr

φ

uw

,

q

qv ~

(2.38)

Donde X está definida por (2.22) y )(Z es una matriz diagonal de la forma:

)(0

0)()(

*

*

Z

(2.39)

)(),(),(diag)( 321*

)(),(),(diag)( 321*

Fundamentos teóricos

14

sincos)( p

sincos)( p

La matriz de transferencia se obtiene particularizando en un material (material m) la

representación de desplazamientos y función de tensiones (2.38) en las dos caras extremas del mismo y

eliminando v

),(),,(),()(),(

)(),(11

11

mmmmmmm

mmm

mmm rrrr

rr

wEwvXZw

vXZw

(2.40)

Donde

11

11 )()(),,(

XZXZE mmmmm

(2.41)

),,( 1mmm E es la matriz de transferencia del material m, es compleja de 6x6 y depende de las

características del material, de los autovalores p, geometría (dada por 1m y m ) y del exponente

característico

),(

),(),()()(

1*

1*

1

1

1

mm

mm

mmmm

0

0ZZZ

(2.42)

)},(),,(),,(diag{),( 1312111* mmmmmmmm

(2.43)

)(sin)()(cos)(

)(),( 111

1

1

mmmmm

m

mmm p

(2.44)

)(cos)(sin

)(sin)(cos)(

11

111

mm

mmm

p

pp

(2.45)

1.3.2 Materiales degenerados

Fundamentos teóricos

15

En el caso de un material no degenerado los desplazamientos y vector función de tensiones se

pueden escribir de la siguiente manera

vXZw ),(),( rr ,

),(

),(),(

r

rr

φ

uw

,

q

qv ~

(2.46)

Donde X está definida por (2.22) y ),( Z se define como:

),,(

),,(),(

*

*

p

p

Ψ0

0ΨZ

(2.47)

)(00

0)(0

0)(),,()(

),,(

3

1

111

*

pK

pΨ

(2.48)

)(

)sin(),,(

1

1

pK

(2.49)

Aplicando el mismo procedimiento que en la sección anterior se tiene:

),(),,(),( 11 mmmmmm rr wEw

(2.50)

Donde :

11

11 ),(),(),,(

XZXZE mmmmm es la matriz de transferencia para un

material degenerado.

(2.51)

),,,(

),,,(),(),(

1*

1*1

1

mm

mm

mmp

p

Ψ0

0ΨZZ

(2.52)

),(00

0),(0

0),(),,,(),(

),,,(

13

11

111111

1*

mm

mm

mmmmmm

mm

pK

p

Ψ

Fundamentos teóricos

16

(2.53)

)()(

)sin(),,,(

111

111

mm

mmmmpK

(2.54)

La expresión de ),( 1mm viene dada en (2.44).

1.3.3 Materiales extraordinariamente degenerados

En el caso de un material extraordinariamente degenerado los desplazamientos y vector función

de tensiones se pueden escribir de la siguiente manera

vXZw )(),( rr ,

),(

),(),(

r

rr

φ

uw

,

q

qv ~

(2.55)

Donde:

),,(

),,(),(

p

p

Ψ0

0ΨZ

(2.56)

100

),,(10

),,(1),,(1

)(),,(

21

21

pK

pKpK

pΨ

(2.57)

)(

)sin(),,(

pK

(2.58)

Repitiendo los procesos anteriores se llega a las expresiones:

),,,(

),,,(),(),(

1

11

1

mm

mm

mmp

p

Ψ0

0ΨZZ

(2.59)

Fundamentos teóricos

17

100

),,,(10

),,,(),,,(),,,(1

),(),,,( 1

111

11

mm

mmmmmm

mmmm pK

pZpKpK

pΨ

(2.60)

Donde

)(

sin

)(

sin),,,(

2

1),,,(

1

111

m

m

m

mmmmm pKpZ

(2.61)

La expresión de ),( 1mm viene dada en (2.44) y

),,,( 1 mmpK en (2.54)

1.4 Planteamiento del problema en una esquina multimaterial

En este capítulo las matrices de transferencia de cada uno de los materiales que componen la

esquina se usarán para montar el correspondiente sistema característico de la esquina multimaterial con

sus correspondientes condiciones de contorno e interfaz. La solución de este sistema proporciona los

exponentes característicos del problema de la esquina.

Se considera que la esquina está formada por un número finito de materiales que entre ellos

pueden estar pegados o en contacto con deslizamiento o fricción, y en el caso de las esquinas abiertas,

que tienen unas condiciones de contorno en sus extremos determinadas.

El siguiente sistema recoge todas las relaciones de transferencia entre materiales de la esquina

16.corner_ext.corner_ext)( W0wK

(2.62)

En donde la matriz compleja de transferencia puede expresarse de la siguiente manera:

6666666666

666626666

666666661

.corner_ext

)(

)(

)(

)(

IK0000

0IK00

000IK

K

W

(2.63)

Dicha matriz tiene unas dimensiones de 6Wx12W siendo (recordemos) W=M.

Y el vector de variables elásticas del material tiene unas dimensiones 12Wx1:

Fundamentos teóricos

18

),(

),(

),(

),(

),(

),.(

1

22

12

11

01

.corner_ext

WW

WW

r

r

r

r

r

r

w

w

w

w

w

w

w

(2.64)

Siendo :

),,,( 110 WW el vector de los ángulos polares de las caras de los materiales de

la esquina multimaterial

1.4.1 Esquina multimaterial abierta

La siguiente expresión de la matriz de condiciones de contorno e interface de una esquina

multimaterial abierta es compatible con la definición de variables elásticas dada en (2.57).

)(

)(

)(

)](,),(),([diag_blocked),,,(

BC12612666

61212121I612

661261260BC

BC1I0BC.corner_ext

W

W

u

D000

00D0

000D

DDDωμωD

(2.65)

Reordenando el vector de variables elásticas en subvectores, por un lado los que se desconocen y

por otro los impuestos por condiciones de contorno e interfaz se obtiene el vector corner_PUw de

dimensiones 12Wx1 que se reduce a el vector corner_Uw de dimensiones 6(W-F)x1 eliminando los

valores impuestos y que son iguales a 0 (siendo F el número de condiciones de contorno o interfaz no

homogéneas).

),(

),(

),(

,

),(

),(

),(

),(

),(

),(

1

0

corner_U1

1

0

0

corner_PU

WU

U

U

WU

WP

U

P

U

P

r

r

r

r

r

r

r

r

r

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

(2.66)

Fundamentos teóricos

19

De tal forma, el sistema característico para el análisis de una esquina multimaterial abierta se

puede expresar de la forma:

16corner_Ucorner),( W0wωK

(2.67)

En donde los valores de y ω se toman como argumentos de la matriz característica de una

esquina multimaterial

)(~

)(~

)(~

)(~)(

~)(

~

),(

12666

66211226

6661101

corner

210

10

12

W

T

BCW

T

Wnnn

nn

TT

n

nnn

TT

BC

WW

WW

DDK000

00DDK0

000DDK

ωK

(2.68)

En donde nw=3 para w=0=W y nw= 6 para w=1,...,W+1 siempre y cuando no se impongan

condiciones de fricción, en cuyo caso nw = 2 y nw = 5 respectivamente.

1.4.2 Esquina multimaterial cerrada

La siguiente expresión de la matriz de condiciones de contorno e interface de una esquina

multimaterial cerrada es compatible con la definición de variables elásticas dada en (2.57).

6121I12121212612

612121212121I612

112612612602

112612612602

.corner_ext

)(

)(

)(~

)(~

)()(

),,,(

0D000

000D0

D000D

D000D

ωμωD

W

W

W

u

(2.69)

Ordenando el vector de variables elásticas en subvectores, por un lado los que se desconocen y

por otro los impuestos por condiciones de contorno e interfaz se obtiene el vector corner_PUw de

dimensiones 12Wx1 que se reduce a el vector corner_Uw de dimensiones 6(W-F)x1 eliminando los

valores impuestos y que son iguales a 0 (siendo F el número de interfaz no homogéneas).

Fundamentos teóricos

20

),(

),(

),(

,

),(

),(

),(

),(

),(

),(

1

1

0

corner_U

1

1

1

1

0

0

corner_PU

WU

U

U

WU

WP

U

P

U

P

r

r

r

r

r

r

r

r

r

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

(2.70)

Este vector tiene algunas diferencias con su homólogo en esquinas abiertas (2.59). En particular

los vectores )( 0Pw y )( 0Uw que para el caso de esquinas abiertas representaban las condiciones de

contorno y tenían unas dimensiones de 3x1, ahora representan las condiciones de interface y tienen

unas dimensiones de 6x1 (para el caso de deslizamiento 7x1 y 5x1 respectivamente).

Una vez ordenado el vector, el sistema característico para el análisis de una esquina

multimaterial cerrada se puede expresar de la forma:

16corner_Ucorner),( W0wωK

(2.71)

En donde los valores de y ω se toman como argumentos de la matriz característica de una

esquina multimaterial

)(~

)(~

)(~

)(~

)(~

)(~)(

~)(

~

),(

1266601

11221666

66211226

66611021

corner

221

210

120

122

W

T

Wnnn

T

W

T

W

T

Wnnn

nn

TT

n

nnn

TT

W

WW

WW

DK000D

DDK000

00DDK0

000DDK

ωK

(2.72)

1.4.3 Solución del sistema

Sistemas con condiciones de contorno e interfaz homogéneas

Lo que se está buscado en una solución no trivial del sistema lineal homogéneo (2.59 y 2.63) que

define las soluciones singulares de la esquina cumpliendo las condiciones de contorno e interfaz

impuestas. Cualquier solución no trivial de 0w corner_U ej 2.59 o 2.63 es un vector nulo de la matriz

),(corner ωK y por tanto hay que determinar los valores singulares de y ω .

16corner_Ucorner)( W0wK

Fundamentos teóricos

21

(2.73)

Para ello la forma más común de proceder es resolver el problema no lineal de autovalores

buscando las raíces del determinante:

0)(detcornerK

(2.74)

Los ceros de la ecuación característica representan para cualquier esquina multimaterial los

exponentes característicos, y por tanto, los órdenes de singularidad del estado tensional asintótico de la

esquina.

Sistemas con alguna condicion de contorno o interfaz no lineal

En el caso de que se defina alguna condición de fricción 1F en sistema lineal (2.71) la matriz

es rectangular de 6Wx6(W-F) lo que representa un sistema homogéneo sobre determinado.

Una forma eficiente de determinar si existen soluciones no triviales para unos determinados

valores de y ω es obtener los SVD (Singular Value Decomposition) de la matriz ),(corner ωK y

evaluar los 0i )6,,1( FWi . En el caso de que el valor mínimo de

0i sea cero o muy

próximo, existirá solución para la combinación de y ω dados.

Por tanto la solución del sistema viene determinada por la siguiente ecuación:

0),(cornermin ωK

(2.75)

Los ceros de la ecuación característica representan para cualquier esquina multimaterial los

exponentes característicos, y por tanto, los órdenes de singularidad del estado tensional asintótico de la

esquina