Ofimega acadèmies - Funcions: Estudi gràfic de funció – domini- composició de funcions 1

1. Estudio de funciones - Estudi de Funcions

1.- Dominio de una función (domini) : Todos los valores de x donde exista y

Casos: 1- Si es polinómica: todo R (números reales)

2- Si hay una fracción: todo R menos donde se anule el denominador

3- Si hay una raíz par: el radicando 0

4- Si es logarítmica: el interior > 0

5- Si es por partes o trozos: debe existir x en todo el intervalo

2.- Recorrido (recorregut): Todos los valores que puede tomar la y ó f(x)

3.- Continuidad (continuitat) : Donde exista dominio y además en las funciones por partes o trozos cuando

en los extremos de x en el intervalo, el límite sea igual por la izquierda que por la derecha.

4.- Derivabilidad/derivabilitat: Donde sea continua y además en las funciones por partes o trozos cuando

en los extremos de x en el intervalo su derivada sea igual por la izquierda que por la derecha.

5.- Puntos de corte: - Horizontal con eje OX: cuando y = 0 hallamos ¿x? ; PH (0 , x)

(Punts de tall) - Vertical con el eje OY: cuando x = 0 hallamos ¿y? ; PV (0 , y)

6.- Asíntotas: - Horizontal: cuando Límite x = nº

(asímptotes) - Vertical: Cuando Límite x nº = (se anula el denominador)

- Oblicua: y = mx + n cuando lim de f(x)/x = m ; lim f(x) – x = n

(si hay horizontal, no hay oblicua)

7.- Crecimiento/creixement: - Creciente: f’(x) >0 (∆y sube) Decreciente: f’(x) <0 (∆y -- baja)

8.- Concavidad/concavitat: - Cóncava: Cuando pase de decreciente a creciente o la f’’(x) <0

- Convexa: Cuando pase de creciente a decreciente o la f’’(x) >0

9.- Máximos y mínimos: - Absolutos: Los valores de y más altos o bajos de todo el dominio

- Relativos: Los valores de y más altos o bajos de la gráfica local, x cercanos.

- Máximo: f’(x) =0 y es convexa o f’’(x) >0

- Mínimo: f’(x) =0 y es cóncava o f’’(x) <0

10.- Punto de inflexión: - Si f'' = 0 y f''' ≠ 0

11.- Simétrica: - Respecto del eje de ordenadas: Si f (−x) = f (x)

- Respecto del origen: Si f (−x) = −f (x)

12.- Periódica/periodicitat: - Cuando f (x+T) = f (x) ; T es el periodo que se repite.

Tipos

- Función de 1er grado: Recta con ecuación: y = mx + n de pendiente 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦−𝑦0

𝑥−𝑥𝑜 y n ordenada del origen

- Función de 2º grado: parábola de ecuación: cbxaxy ++= 2, ceros: 𝑥 =

−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 vértice: 𝑥𝑣 =

−𝑏

2𝑎

- Función inversa: (x en el denominador): y = 1/x Siempre decreciente, Dom: R –{0} Asíntota vertical en 0

- Función racional: Fracción con posibles asíntotas verticales, horizontales y/o oblicuas

- Función irracional: Raíces. Sin dominio si es par y el discriminante <= 0. Curva puntiaguda

- Función logarítmica: sin dominio si el discriminante < 0. Curva chata

- Función exponencial: inversa a la logarítmica

- Función trigonométrica: suele ser periódica. sin(x) y cos(x) son senoidales.

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Ejercicios de funciones /exercicis de funcions.

1. Dominios: Determinar el dominio de las siguientes funciones /troba el domini de les següents funcions:

Ej. 1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1

𝑥2−9 Sol: El denominador no puede ser cero: x2 – 9 ≠0 → x≠ ±3 →Dom(f): R – {3, -3}

Ej. 2) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 5 Sol: La raíz debe ser ≥0 → x-5 ≥0 → x ≥ 5 → Dom(f): [5, +∞) ó 5 ≤ 𝑥 ≤ ∞

Ej. 3) 𝑓(𝑥) = √16−𝑥2

𝑥 Sol: a) Por la raíz par: 16 - x2 ≥ 0 → -x2 ≥ 16 → x ≤ ±4 → -4 ≤ x ≤ 4

b) Por el denominador: x≠0 → Uniendo ambas: Dom(f): [-4,4] – {0} ó [-4,0) U (0,4]

2. Funciones cuadráticas / funcions quadràtiques:

Indicar dominio, recorrido, imagen, coordenadas del vértice, sus raíces y representa:

a) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 4𝑥 + 12 (-6,0)(2,0)(0,12) b) 462)( 2 −+−= xxxh (1,0)(2,0) c) 2)2()( 2 ++= xxf 3. Ecuación de la recta: a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P = (1, 1) y Q = (–4, 2). Graficar. y = -1/5 x + 1/5

b) Dada la recta g(x) =1

2𝑥 – 4 , obtener la ecuación de la recta perpendicular a g que corta al eje de las

abscisas en x = 1. Graficar. Pista: Pendiente perpend. 𝑚𝑝 = −𝑚

2= −2 → y =-2x+2

4. Ecuación de la recta tangente / equació de la recta tangent a) Dada la parábola f (x) = x2 – 5x + 6. Halla la ec. de la recta tangente y pasa por el origen Sol: n=0 → y = -5x b) Encuentra la ecuación de la recta que es tangente a la parábola x2 – 5x + 6 en x=1 Pista: m=-3 c) Encuentra la ecuación de la recta paralela a la tangente a esa curva en x=1, que pasa por el punto (2,3) d) Encuentra la ecuación de la recta normal a la anterior y que pasa por el punto (2,3) e) Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola anterior y paralela a la recta: 3x + y − 2 = 0. f) Ecuación de la recta tangente a la parábola anterior, paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Sol.: y=2x ; y=2x-1 ; y=-x/2 +4 ; y = −3x + 5 ; y= x - 3

g) Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX. Sol: y’ = 3x2 + 6x – 9 = 0 → x1 = 3 ; x2 = -1 → A(3, −22) B(−1, 10)

h) Determinar los valores del parámetro b, para que las tangentes a la curva de la función

f(x) = b2x3+ bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas. Sol: b = 0 b = −2/9

5. Funciones por partes / trozos: Dominio, continuidad y derivabilidad de las funciones definida a trozos:

y =

x2 si x<2

4 si x>2

x2 si x=<2

4 si x>2

x2 si x<1

4 si x>2

x2 si x=<2

4 si x>2

x2 si x<3

4 si x>3

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Ejercicios resueltos

1.- Crecimiento y decrecimiento. Halla los

intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

función 296)( 23 ++−= xxxxf

2.- Máximos y mínimos. Halla los máximos y mínimos de la función 33)( xxxf −=

033)( 2 =−= xxf 12 =x 1=x 2ª derivada: xxf 6)( −=

Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:

06)1(6)1( =−−=−f mínimo para x = - 1

061.6)1( −=−=f máximo para x = 1

3.- Concavidad y convexidad. Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la

función 46)( 24 +−= xxxf

Primera derivada: xxxf 124)( 3 −=

Segunda derivada: 1212)( 2 −= xxf 01212 2 =−x 012 =−x 1=x

Intervalos (- ∞, -1) (-1, 1) (1, +∞) Signo de la 2ª derivada + - +

Función

4.- Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) x

xf2

)( = en x = - 1; b) 12

45)(

+

−=

x

xxf en x = 1

Solución:

a) 122

)( −== xx

xf ; 2

2 22)(

xxxf

−=−= − 02

1

2

)1(

2)1(

2−=

−=

−

−=−f decrec. en x = -1

b) 12

45)(

+

−=

x

xxf

222 )12(

13

)12(

810510

)12(

)45(2)12(5)(

+=

+

+−+=

+

−−+=

xx

xx

x

xxxf

09

13

)11.2(

13)1(

2=

+=f La función es creciente en x = 1

5.- Estudia el crecimiento de la función xxey =

Solución: )1(..1 xexeey xxx +=+= 0)1( =+ xe x

=+

=

01

0

x

ó

e x

xe es siempre mayor que cero, luego la única solución posible se obtiene de la ecuación 01 =+ x x = -1 Obtenemos los intervalos )1,( −− y ),1( +− y estudiamos el signo de la derivada en un punto

cualquiera para cada intervalo:

Para x = -2, 01

)1.(1

)21()2(22

2 −=−=−=− −

eeey (negativa)

Para x = 0, 01)01()0( 0 =+= ey (positiva)

Se obtienen así los siguientes intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos (-∞, -1) (-1, +∞)

Signo de la derivada - +

Función

Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función

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Representación y estudio de funciones. Hoja de ejercicios. Soluciones al final

Hoja 1

1.- f(x) = x 3 – 3x - 2)

2.- f(x) = 𝒙 · √𝟒 − 𝒙𝟐

3.- f(x) = 4𝑥2

𝑥2−4

4.-

5.-

6.-

Hoja 2:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.- Halla la tasa de variación media en el intervalo [1, 4] de la función:

12.- Dibuja la gráfica aproximada de f(x) sabiendo que pasa por los puntos

(-2, -2), (0, 1) y (2, 0) y la de su derivada es: →

13.- Dibuja la gráfica aproximada de f’(x) sabiendo que la de f(x) es: →

14.- Halla los valores de a y b en la función baxxxf ++= 2)( sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y

tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3

15.- Halla a, b y c en la función dcxbxaxxf +++= 23)( sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el

punto Q(2,0) un mínimo

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Hoja de soluciones 1.

1.- Representa y estudia la función: f(x) = x 3 – 3x - 2

Dom R - Cortes (-1,0) y (2,0)

2.- Representa y estudia la función: f(x) = x 4-x2

Dom intersección de R con [-2,2] Dom (fx)= [-2,2]

Cortes: (0,0) ; (-2,0) y (2,0)

3.- Representa y estudia la función: f(x) = 4x2 / ( x2 – 4 )

Dom= R – {-2,2} ; Corte: (0,0) ;

Asíntotas: AVert: en x=2 y x=-2 AHoriz: y=4

4.- Representa y estudia la función:

P corte: (0,2) y (-4,0) ;

Asíntotas AV: x=1 ; AH: y =- ½

No tiene extremos

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5.- Representa y estudia la función:

Dom: R – {-1,1} ; P corte: (0,0) ;

6.- Representa y estudia la función:

Dom R-{5}

Asíndota oblícua: y = x

P corte: PH: (1,0) y (4,0) PV (0, -4/5)

Extremos:

f’(x) = 0 x1=3 y en x2= 7

Concavidad, máximos y mínimos:

Crecimiento:

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Hoja de Soluciones 2.

1.-

f’(x)=3x2-6;

si f’(x)=0 x=0 y x=2

Crecimiento: (-, 0)U(2, )

Decrecimiento: (0, 2)

Máximo en (0,2)

Mínimo en (2,-2)

Asíntotas: No

2.-

f’(x)=4x3-6x2

Asíntotas: No

(no es racional)

Min. en: (3/2,-27/16)

f’’(x)=12x2-12x

Punt. Inf: (0,0)

3.-

4.-

Dominio: R

Recorrido: [0,)

(Siempres es

positiva)

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

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11.- Halla la tasa de variación media en el intervalo [1, 4] de la

función:

12.- Dibuja la gráfica aproximada de f(x) sabiendo que pasa por los puntos (22, 22), (0, 1) y (2, 0) y la de su

derivada es:

13.- Dibuja la gráfica aproximada de f’(x) sabiendo que la de f(x) es:

14.- Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros cuando han

transcurrido t años, sigue la función:

a) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas.

b) ¿Es creciente la ganancia? ¿En qué año la ganancia supera los 100000 €?

c) ¿Existe límite para la ganancia? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?

Res:

a) Dejará de tener pérdidas cuando f(t)=0:

Deja de tener pérdidas a partir del segundo año. (Después de dos años.)

b) La ganancia siempre es creciente.

Para una ganancia sup a 100.000:

A partir del sexto año.

a) La ganancia tiene un límite, que es de 200000 €.

15.- Halla los valores de a y b en la función baxxxf ++= 2)( sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y

tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3

Si pasa por el punto (-2, 1), para x = -2 la función vale 1, es decir, 1)2()2( 2 =−−+− ba 3−=−− ba

Como tiene un extremo para x = -3 su derivada se anula en dicho punto, es decir, axxf += 2)(

0)3(2 =+− a a = 6 Y sustituyendo en la ecuación –a –b = -3 se obtiene el valor de b: 36 −=−− b b = -3

16.- Halla a, b y c en la función dcxbxaxxf +++= 23)( sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el

punto Q(2,0) un mínimo.

La función pasa por (0,4), por tanto, 40.0.0. 23 =+++ dcba d = 4

La función pasa por (2,0), por tanto, 02.2.2. 23 =+++ dcba Luego 0248 =+++ dcba

P(0, 4) es un máximo: cbxaxxf ++= 23)( 2; 00.20.3)0( 2 =++= cbaf c = 0

Como el punto Q(2,0) es un mínimo, su derivada se anula para x = 2: 0412 =++ cba

=++

=

=+++

=

0412

0

0248

4

cba

c

dcba

d

=+

−=+

0412

448

ba

ba

=+

−=+

03

12

ba

ba

=+

=−−

03

12

ba

ba a = 1; b = 3

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2. Composición de funciones y función inversa

Composición de funciones:

Es una nueva función que asocia a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo: (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1 (g o f) (1) = 6· 1 + 1 = 7

El elemento neutro es la función compuesta es la función identidad, i(x) = x.

Ejemplo: Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥+3

2𝑥+1

Función inversa o recíproca:

Hay que distinguir entre la función inversa, f-1(x) , y la inversa de una función: 1/f(x) .

La inversa de la función f(x)=x+4 es 1/(x+4) .

La función inversa o recíproca de (x)=x+4 es f-1(x)=x-4 porque la composición de las dos funciones es la función

identidad: 𝑆𝑖: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4 y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 − 4 → 𝑓 ∘ 𝑔 = (𝑥 − 4) + 4 = 𝑥

En valor: 𝑔 ∘ 𝑓(5) = (5 + 4) − 4 = 5

Para construir la función inversa seguir los siguientes pasos:

1º Se escribe la función con x e y . 2º - Se despeja la variable x. 3º - Se intercambian las variables.

Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 2𝑥+3

𝑥−1

Cambiamos f(x) por y, y despejamos x: 𝑦 = 2𝑥+3

𝑥−1 → 𝑥 =

𝑦+3

𝑦−2 Intercambiamos: 𝑓−1(𝑥) = 𝑦 =

𝑥+3

𝑦−2