Problemas de Programacion Entera

1. Se esta estudiando la manufactura de tres nuevos productos textiles, que denominare-mos P1, P2 y P3. Cada producto requiere para su produccion el alquiler de unamaquina, con un costo semanal de 200 E. para P1, 150 E. para P2 y 100 E. paraP3. La manufactura de cada unidad requiere cierta cantidad de tela (en md

2 y manode obra (en horas) que vienen dados en la siguiente tabla, ası como el precio de ventay el coste del material, en Euros.

Producto Horas Tela Pr. venta CostoP1 3 4 12 6P2 2 3 8 4P3 6 4 15 8

Formular el problema de maximizar los beneficios semanales, si se dispone de 150 horasde trabajo y 160 dm

2 de tela.

2. Lavor SA fabrica diferentes modelos de lavadoras, y dispone de dos plantas de montaje(F1 y F2). Lavor esta estudiando la fabricacion de 4 nuevos modelos (P1, P2, P3 y P4)para aprovechar el exceso de capacidad de 2500 horas y 3.200 horas respectivamentey,y ha recolectado los siguientes datos de interes (tiempos en horas y costes en cientosde Euros):

P1 P2 P3 P4tiempo/u en F1 3 3.5 5 2.5tiempo/u en F2 2.8 4 4.5 2coste/u en F1 3 2.5 5.2 2.2coste/u en F2 2.8 2.3 4.8 2.1coste lanzamiento 600 500 700 400precio venta 6.5 7 9.2 5.2

a) Formular un modelo de optimizacion que se pueda utilizar para maximizar elbeneficio de Lavor, y escribir el modelo en AMPL.

b) Obtener la solucion optima e indicar si va a quedar exceso de capacidad en algunade las plantas.

3. Motorsa, un fabricante de automoviles, tiene cinco plantas obsoletas, que indicaremoscomo P1 hasta P5. La administracion esta considerando la modernizacion de estasplantas para la produccion de los bloques motor y transmisiones de un nuevo modelo.El costo de modernizar cada una de las plantas (en millones de Euros) y la capacidadde produccion despues de la modernizacion (en miles de unidades) son:

Planta Costo Capacidad bloques motor Capacidad transmisionesP1 25 500 300P2 35 800 400P3 35 400 800P4 40 900 600P5 20 200 300

Se tiene prevista la produccion de 1.200.000 unidades del nuevo modelo.

a) Formular un modelo para determinar que plantas va a modernizar Motorsa, y encuales se fabricara cada componente.

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b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles para este problema.

c) Anadir las siguientes restricciones impuestas por razones de polıtica comercial:

1) Las plantas P2 y P3 no pueden ser modernizadas simultaneamente,

2) Si una planta va a producir alguno de los componentes (bloques motor otransmisiones), debe producir al menos 100.000 unidades y

3) Como maximo se pueden modernizar 3 plantas.

d) Escribir un modelo generico para un problema del tipo anterior, con n productosy m plantas.

4. Una companıa considera la apertura de almacenes en cuatro ciudades: Nueva York,Los Angeles, Chicago y Atlanta. Cada almacen puede enviar 100 unidades a la semana.El coste semanal fijo para mantener abierto cada almacen es de 400 dolares en NuevaYork, de 500 dolares en Los Angeles, de 300 dolares en Chicago y de 150 dolaresen Atlanta. La region 1 del paıs requiere semanalmente 80 unidades; la region 2, 70unidades; y la region 3, 40 unidades. En la siguiente Tabla se muestran los costes(incluyendo los costes de produccion y de envıo ) para enviar 1 unidad desde cadaalmacen hasta cada region. Se desea satisfacer las demandas semanales a un costemınimo, sujetas a la informacion anterior y a las restricciones siguientes:

a) Si se abre el almacen en Nueva York, entonces hay que abrir el almacen en LosAngeles.

b) Se pueden abrir a lo mas dos almacenes.

c) Hay que abrir el almacen en Atlanta o en Los Angeles.

d) Formular un problema de PE que se utilice para minimizar los costes semanalesde satisfacer la demanda.

HACIADE Region 1 Region 2 Region 3Nueva York 20 40 50

Los Angeles 48 15 26Chicago 26 35 18Atlanta 24 50 35

5. Speker’s Clearinshouse debe desembolsar cheques a los ganadores de la loterıa en cuatroregiones diferentes de paıs: Sureste (SE), Noreste (NE), Lejano Oeste (LO), y MedioOeste (MO). El promedio anual de la cantidad de los cheques extendidos a ganadoresen cada region del paıs se da a continuacion: SE, 40.000 Euros; NE, 60.000 Euros; LO,30.000 Euros y MO, 50.000 Euros. Speaker deberıa extender el cheque el mismo dıaque un cliente ha ganado el premio, pero puede retrasar el cobro rapido por parte delos ganadores, al extender al ganador un cheque girado en un banco remoto (esto hacemas lenta la liquidacion del cheque). Se estan considerando cuatro lugares de bancos,situados en ciudades abreviadas como F, R, P y B. El costo anual para mantener unacuenta abierta en cada uno de los bancos es: F, 50.000 Euros; R, 40.000 Euros; P,30.000 Euros y B, 20.000 Euros respectivamente. Cada banco tiene como restriccionque el promedio de cheques girados no puede ser superior a 90.000$. En la siguientetabla se da el promedio del numero de dıas que tarda la liquidacion de un cheque.

F R P BSE 7 2 6 5NE 8 4 5 3LO 4 8 2 11MO 5 4 7 5

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a) ¿Donde tendrıa que tener Speaker’s sus cuentas bancarias y de que banco tendrıaque recibir un cliente dado su cheque, suponiendo que Speaker’s puede ganar un15% al an con el dinero invertido? Plantear el problema en los siguientes casos:

Caso 1: cada region puede mandar cheques a varias ciudades.

Caso 2: cada region tiene que mandar todos los cheques a la misma ciudad.

b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su costo (pueden abrirse ciertosbancos y resolver el problema de transporte asociado)

c) Anadir las siguientes restricciones logicas:

R1: al menos una de las cuentas en las ciudades F o P debe estar abierta.

R2: si se abre cuenta en el banco de la ciudad B, no puede abrirse en R.

R3: si la cuenta de la ciudad F tiene asignada 50.000 Euros o mas, entonces lacuenta de la ciudad F debe tener asignada al menos la misma cantidad.

6. En la Figura adjunta aparecen los 5 puntos de interes para un sistema de distribucionde gas de cierta companıa.

F1 S1

F2 S2

T

80

60 100

140

20

F1 y F2 corresponden a las plantas de extraccion, S1 y S2 a dos puntos de almace-namiento y T a un terminal de distribucion. Se trata de llevar el gas desde las plantasde extraccion hasta el terminal. El numero sobre cada arco indica los kilometros deltramo correspondiente que hay que construir, y el coste de construccion es de 100000Euros por kilometro. Las conducciones desde los puntos de almacenamiento al terminalestan ya disponibles. Se ha estimado que se van a transportar 800 millones de metroscubicos anuales desde la planta 1 hasta el terminal, y 600 millones desde la planta 2 alterminal. El coste de transporte es de 2000 Euros por millon de metros cubicos paracualquier tramo de la red. Ademas hay una capacidad anual de 1 billon de metroscubicos para cualquier tramo. La companıa busca minimizar los costes anuales de ladistribucion del gas (costes de construccion mas costes de transporte).

a. Formular un modelo de Programacion Entera para este problema de distribucion.

b. Encontrar una solucion factible razonablemente buena.

7. La companıa Nickles recibe pagos con tarjetas de credito de cuatro regiones, indicadaspor R1, R2, R3 y R4. El valor promediado anualmente de los pagos diarios enviadospor correo por los clientes de cada region es el siguiente: R1 70.000 Euros, R2 50.000Euros, R3 60.000 Euros y R4 40.000 Euros. Nickles debe decidir hacia donde deben

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enviar los clientes los pagos. Como Nickles puede obtener un 12% de interes anual alinvertir estos ingresos, le gustarıa recibir los pagos lo antes posible. Las operacionespara procesar los pagos (conocidas frecuentemente como lockboxes) pueden hacerse encuatro ciudades que denominaremos C1, C2, C3 y C4. El numero promedio de dıasdesde el envıo del pago hasta que el dinero esta disponible depende del lugar de orıgendel pago y de la ciudad destino, y viene dado en la siguiente tabla:

HaciaDesde C1 C2 C3 C4R1 2 6 8 8R2 6 2 5 5R3 8 5 2 5R4 8 5 5 2

El costo de mantener una lockbox en cualquier ciudad es de 50.000 Euros, y hay unlımite de 150.000 Euros que puede gestionar cualquier lockbox.

a) Formular un modelo de optimizacion que pueda usar Nikles para minimizar lasuma de costos provocados por intereses perdidos y por la gestion de lockboxes,en los siguientes casos:

Caso 1: cada region puede mandar cheques a varias ciudades.

Caso 2: cada region tiene que mandar todos los cheques a la misma ciudad.

b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su costo (pueden abrirse ciertaslockboxes y resolver el problema de transporte asociado).

c) Encontrar una solucion optima con AMPL.

8. En la siguiente figura aparecen 6 puntos de demanda de cierto producto, y el grafocon las conexiones entre ellos. Se trata de determinar en que puntos van a ubicarsealmacenes de distribucion para servir a todos los puntos, y que almacen va a quedarasignado a cada uno de ellos. En cada arco del grafo esta la distancia en Km. entrelos dos puntos correspondientes, y al lado de cada nodo en un cuadrado aparece en laparte superior la demanda del producto en ese nodo, y en la parte inferior el coste fijosi se abre un almacen de distribucion en ese nodo. El coste de transporte es de 1 Europor unidad de demanda y Kilometro.

A B

C

D

F

E

10

10

6

7

7

9

6

12

9

9

8 40E

10 100E

6 50E

10 100E

9 70E

5 115E

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a) Formular un modelo de Programacion Lineal Entera para minimizar el coste total(costes fijos de apertura mas costes variables de transporte) dependiendo de sicada punto puede ser servido por varios almacenes, o tiene que ser servido porun unico almacen.

b) Anadir la condicion de que como mucho pueden abrirse 3 almacenes.

c) Encontrar dos soluciones factibles para el problema y calcular su costo.

9. Cierta Universidad va a efectuar una compra de 1.100 ordenadores y dispone de ofertasde tres vendedores. El vendedor 1 cobra 900 Euros por cada ordenador, mas un costode transporte de 3.000 Euros y puede proporcionar como mucho 500 ordenadores. Elvendedor 2 cobra 850 Euros por cada ordenador mas un costo de transporte de 2.000Euros, y puede proporcionar como mucho 500 ordenadores. El vendedor 3 cobra 650Euros por cada ordenador mas un costo de transporte de 3.200 Euros, y no puedeproporcionar mas de 400 ordenadores.

a) Formular un modelo de optimizacion para minimizar el costo de la adquisicionde los ordenadores.

b) Encontrar dos soluciones factibles y su correspondiente costo

10. El responsable de mantenimiento de una fabrica debe decidir que generadores se vana conectar a lo largo del dıa para proveer los requerimientos de energıa. Dispone paraello de cuatro generadores cuyas caracterısticas se dan en la siguiente tabla:

Generador Coste fijo porconexion

Coste por Kilowa-tio y perıodo

Capacidad maxi-ma por perıodo

A 3200 u.m. 5 u.m. 2100 kwB 2000 u.m. 7 u.m. 1800 kwC 1500 u.m. 8 u.m. 3100 kwD 3500 u.m. 6 u.m. 2500 kw

Se considera el dıa dividido en tres perıodos, en los que se requieren 5500, 3900 y 6500kilowatios respectivamente. Se sabe que si un generador esta conectado durante unperıodo, puede ser utilizado en el perıodo siguiente sin causar nuevo gasto de conexion.Ademas, todos los generadores son apagados al final del dıa para efectuar una laborde mantenimiento, y es conocido que los generadores B y C no pueden ser conectadossimultaneamente.

a) Formular un modelo de optimizacion que permita determinar que generadoresdeben ser conectados en cada perıodo y que potencia deben suministrar de formaque se minimize el costo diario.

b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su correspondiente costo

11. Fagosa se dedica a la fabricacion de componentes para automoviles y dispone de treslıneas de montaje con exceso de capacidad para los meses proximos. Recientementeha firmado un contrato para la fabricacion de 5 productos, y despues de un estudioinicial se han recopilado los siguientes datos de fabricacion:

Producto Coste/u fabricacion Tiempo/u fabricacion DemandaL1 L2 L3 L1 L2 L3

P1 12 – 15 2.2 – 3 6.250P2 20 30 25 0.8 1.7 1.4 5.200P3 25 – – 1.5 – – 6.500P4 – 12 15 – 3 3.5 8.000P5 10 15 20 1 2.2 3 4.200

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En esta tabla, los tiempos de montaje de cada producto en cada lınea estan dados enminutos, y el sımbolo – indica que no es posible el montaje en esa lınea, y los costesestan en cıertas unidades monetarias. Ademas, cada vez que se arranca una lınea seincurre en unos elevados costes fijos de preparacion, que estan dados en la siguientetabla, junto a las capacidades de cada lınea (en horas).

Lınea Coste Fijo Capacidad (horas)L1 12.300 1.350L2 15.500 2.250L3 6.200 2.450

a) Describir en unas lıneas que tipo de modelo es el mas adecuado para resolver elproblema de Fagosa, y que representa cada tipo de variable.

b) Escribir el modelo y los datos en AMPL, y resolver el problema.

c) Efectuar un pequeno analisis de la solucion.

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