1. Deducción Natural
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Reglas lógicas
Las reglas lógicas son modelos de razonamientos válidos.
Se expresan mediante metavariables (variables de variables). Así, en el siguiente ejemplo:
A v B
A y B pueden reemplazarse por cualquier fórmula:
p v q ( p ─ q ) v r p v ─ ( q r )
A B A B A B
Modus Ponens (MP)
Modus Ponendo Ponens
A B
A
BEjemplos
p q p ( q r ) ─ ( p v q ) r
p p ─ ( p v q )
q q r r
Prueba de deducción natural
p q 1. p q q r 2. q r p se expresa 3. p r r
1. p q Ejemplo 2. q r 3. p r 4. q de 1 y 3 por MP 5. r de 2 y 4 por MP
Ejercitación de la regla anterior
Ahora resuelva:
1. p ( ─ q r )
2. ─ q
3. p r
4. ─ q r de 1 y 3, MP
5. r de 4 y 2, MP
Modus Tollens (MT)
Modus Tollendo Tollens
A B
─ B
─ AEjemplos
p q p ─ ( q v r ) ─ ( p v q ) r
─ q ─ ─ ( q v r ) ─ r
─ p ─ p ( p v q ) Estamos presuponiendo: ─ ─ A A
Ejercitación de reglas anteriores
Ejemplo
1. p ( ─ q r )
2. p
3. ─ r q
4. ─ q r de 1 y 2 por MP
5. q de 4 y 3 por MT
Resuelva:
1. ─ ( p q ) r
2. p
3. ─ r q
4. p q de 1 y 3, MT
5. q de 4 y 2, MP
Simplificación (S)
Simplificación
A BA
O también
A BB
¿En cuáles de las siguientes expresiones se puede aplicar esta regla?
1. ─ ( p q )
2. p ( q r )3. ( p v ─ q ) r
Respuesta: sólo en 3.
( p v ─ q ) r r
Ejercitación de reglas anteriores
Ejemplo
1. p ( q ─ r ) 2. p q 3. q ─ r de 1 y 2, MP 4. q de 3, S
Resuelva:
1. p (─ q r ) 2. p ─ r q 3. p de 2, S 4. ─ q r de 1 y 3, MP 5. ─ r de 2, S 6. q de 4 y 5, MT
Silogismo hipotético (SH)
Silogismo hipotético
A B
B C
A C
Ejemplo
p ─ r
t p
t ─ r
Resuelva
1. p ─ q
2. r s
3. ─ q r p s
4. p r de 1 y 3, SH
5. p s de 4 y 2, SH
Silogismo disyuntivo (SD)
Silogismo disyuntivo
A v B A v B
─ A ─ B
B A
Ejemplo
( p ─ q ) v r
─ ( p ─ q )
r
Resuelva
1. p ( q v ─ r )
2. p r q
3. p de 2, S
4. q v ─ r de 1 y 3, MP
5. r de 2, S
6. q de 4 y 5, SD
Conjunción (C)
Conjunción
A
B
A B
Ejemplo
p
p q
p ( p q )
Resuelva
1. ( p q ) ─ r
2. p ─ t
3. ─ q t ─ r
4. p de 2, S
5. ─ t de 2, S
6. q de 3 y 5, MT
7. p q de 4 y 6, C
8. ─ r de 1 y 7, MP
Adición (A)
Adición A A v B
Ejemplo p p v ─ ( q r )
Resuelva:
1. ( p v q ) ─ r 2. p ─ r 3. p v q de 2, A 4. ─ r de 1 y 3, MP 1. ( p q ) v r 2. ─ q ─ r 3. ─ q ─ p v ─ t 4. ─ r de 2 y 3, MP 5. p q de 1 y 4, SD 6. ─ p de 5 y 3, MT 7. ─ p v ─ t de 6, A
Leyes lógicas
Las leyes lógicas expresan equivalencias entre pares de fórmulas.
Se usan como reglas de inferencia y permiten, en cualquier paso de la demostración, reemplazar una expresión por otra equivalente. Así:
2 + 3 = 2 + (3 x 1)
Análogamente:
p ─ ( q v r ) p (─ q ─ r )
Teoremas de De Morgan (DM)
Teoremas de De Morgan
─ ( A v B ) ( ─ A ─ B )
─ ( A B) ( ─ A v ─ B )
Se pueden aplicar dentro de un paréntesis
Ejemplos
1. p ─ ( q v r )
2. p ─ q
3. p ( ─ q ─ r ) de 1, DM
4. ─ q ─ r de 2 y 3, MP
5. ─ q de 4, S
O también
3. ─ ( q v r ) de 1 y 2, MP
4. ─ q ─ r de 3, DM
5. ─ q de 4, S
Ejercitación de reglas anteriores
1. ─ ( p v ─ q )
2. ( r q ) p ─ r
3. ─ p q de 1, DM
4. ─ p de 3, S
5. ─ ( r q ) de 2 y 4, MT
6. ─ r v ─ q de 5, DM
7. q de 3, S
8. ─ r de 6 y 7, SD
1. ─ [p v ( q v r )]
2. s ( q v r ) ─ ( p v s )
3. ─ p ─ ( q v r ) de 1, DM
4. ─ ( q v r ) de 3, S
5. ─ s de 2 y 4, MT
6. ─ p de 3, S
7. ─ p ─ s de 6 y 5, C
8. ─ ( p v s ) de 7, DM
Definición del condicional (DC)
Definición de condicional
( A B ) ( ─ A v B )
Ejemplo
( p v q ) ( ─ p q )
Resuelva
1. ─ ( p q ) p
2. ─ ( ─ p v q ) de 1, DC
3. p ─ q de 2, DM
4. p de 3, S
Transposición (T)
Transposición
( A B ) ( ─ B ─ A )
Ejemplo
( p ─ q ) ( q ─ p)
Resuelva
1. p v q
2. r ─ q r p
3. ─ p q de 1, DC
4. ─ q p de 3, T
5. r p de 2 y 4, SH
Más leyes lógicas
Ley de doble negación A ─ ─ A
Conmutación ( A B ) ( B A ) ( A v B ) ( B v A )
Asociación [( A B) C ] [ A (B C )] [( A v B) v C ] [A v (B v C )]
Exportación[( A B ) C] [A ( B C)]
Definición del bicondicional( A B ) [(A B) ( B A)]
Distribución[A v ( B C )] [(A v B) (A v C)][A (B v C)] [(A B ) v (A C)]
Idempotencia A ( A v A ) A (A A)