1 Cuantica Teoría Atómica y...

1

Teoría Atómica y Molecular

Mecánica Cuántica

Ileana Nieves Martínez

Física Clásica

Bien establecida a finales de siglo XIX

Mecánica Newtoniana Mecánica Newtoniana Ecuaciones de Lagrange y Hamilton

Termodinámica y Termodinámica Estadística

Teoría Cinético Molecular Teoría Cinético Molecular

Leyes de Electromagnetismo Diferenciales de Maxwell.

2

Fallas de Física Clásica

Datos que no se pueden explicar por clásica Datos que no se pueden explicar por clásica

Interacción de radiación con la materia (no se siguen leyes de Maxwell)

Estructura atómica no sigue las leyes de Newton.

Teoría ondulatoria:

http://www.monos.leidenuniv.nl/smo/basics/images/wave.gif

3

a x t a x t. cos 0 2

Trayectoria de una Onda

http://www.astronomynotes.com/light/emanim.gif

(1) Frecuencia , ( Periodo, ((1) Número de máx. sucesivos/tiempo =

(2) Tiempo que toma el paso de dos crestas = τ.http://www.astronomynotes.com/light/freqwavl.gif

4

Resumen de Teoría ondulatoria:

Trayectoria de una Onda a x t a x t. cos 0 2

Frecuencia = núm. de máx. sucesivos/tiempo,

Periodo = tiempo que toma el paso de dos crestas, τ.

Velocidad de propagación

distanciav tiempo t

Teoría Electromagnética de Maxwell

õ (x,t) = õyE cos {2π (x/λ - νt)}

B (x,t) = BzE cos {2π (x/λ - νt)}

õ z B

Densidad de energía: U(x.t) = (1/4π) {õ (x,t)}2

5

Experimentos de Interferencia (doble rejilla)(Reflección y Refracción)Young y Fresnel

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Two_sources_interference.gif

http://www.indicareer.com/entrance-exams/mht-cet/physics/Interference-of-Light-1_files/image002.gif

Experimentos de Interferencia(Reflección y Refracción)Young y Fresnel

Huyges: ondulatoria

Newton: corpuscularp

6

Radiación de cuerpos negros

http://fisicamoderna9.blogspot.com/

Experimento

Horno

Paredes consisten de sólido“absorbedor” = osciladores

Osciladores en equilibriocon la radiación.

Eirrad = Eabsorbida

7

Ejemplos y resultados

Estufas Eléctricas

Temografías

Distribución continua de Largos de onda que salen

g

Resultados

dU

d

infrarojoultravioleta

Largo de onda, mhttp://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Light-Emitting-Diodes-dot-org/chap18/F18-02%20Planck%20black%20body.jpg

Observaciones

T bajas no hay emisión No exhibe color

Tendencia a medida que T aumenta: IR →Rojo→Azul

T 1 T maxmax

1

8

Radiación de cuerpos negros (continuación)

Resultados y ecuaciones matemáticas Wein (empírico) . 0 2884

T

Ley de Stefan-Boltzman

Area bajoWein

max T

U U d T E 4

dU a e db

T

5

Rayleigh y Jeans (1900)

T e T

3,

dU kT dN kT d

R kTc

8

2

4

22

cálido Teoría clásica

Catástrofe ultravioleta

templado

frío

Inte

nsid

ad (

arb.

)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Blackbody-lg.png/303px-Blackbody-lg.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Wiens_law.svg/300px-Wiens_law.svg.png

Largo de onda (nm)

9

Cuantización de la energía: Max Plank

dN = Nε e -ε/kT dε = # de osciladores con ε entre ε y ε + dε

Energíah

Equipartición

vib hkT

h

eestadistica

1

dUnum de os de vib

volumen

. mod .

Distribución

dUhc e

ed

Rc

e

h

c e

hckT

hckT

cT

hkT

8

1

1

2 1

1

5

13 3

21

Efecto fotoeléctrico (Hertz 1882)

http://t3 gstatic com/images?q=tbhttp://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSW6IlzTg3Xc4sQKzRHmcUR6fPZa9a9Xujv3N-ExSFVwvRwtg5b

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/imgmod2/pelec.gif

10

Efecto fotoeléctrico

Experimento

Intensidad, I, ½ mv2, ,

proporcional al número de electrones emitidos/volumen

No es igual a la energía cinética del electrón

La frecuencia es proporcional

e-

o metal

a la energía cinética del electrón.

Cuatización de energía de radiación por Einstein : E E h E C Etot haz foton . . 0

Resumen y conclusiones:Efecto fotoeléctrico

Radiación exhibe difracción e interferencia (onda)( )

El efecto fotoeléctrico se explica solo si la radiación consiste de cuantoscuantos ó fotonesfotones.

Naturaleza dual de la radiación. Modelos son mútuamente exclusivos. partícula se localiza en espacio y onda no partícula se localiza en espacio y onda no. fotón cuantización de energía y onda no. Se interpreta Efotón en términos de frecuencia, solo

tiene sentido para ondas.

11

Efecto Compton:

Experimento:

Fotón = partícula con energía Fotón partícula con energía E, momentum, p y masa = 0 cuando está en reposo.

Teoría de la relatividad: E = mc2 = hc/λ

De Broglie: mc = h/λ -propiedad ondulatoria a hi

hf

propiedad ondulatoria a fenómeno corpusculares. Difracción del haz de electrones:

microscopio electrónico.

hi

mev

p

m

2

2metal

1

Principio dePrincipio de Incertidumbre de Werner Heisenberg

19271927

Dualidad onda-partícula Necesidad de la Mecánica cuántica

se basa asociación de la radiación (onda) con la materia.

La onda contiene información sobre la posición y otras

propiedades de la partícula.

Su amplitud es proporcional a la probabilidad de encontrar la partículaencontrar la partícula.

Dualidad impone cierta limitación sobre la información que se puede obtener en sistemas microscópicos

2

Incertidumbres en las medidas

Naturaleza de exclusividad mutua de ciertos tipos de información

Ejemplo: Microscopio de rayos de gamma.

x p h

Microscopio de rayos gamma

2 p

sinh h

p pb b

x b

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Heisenberg_gamma_ray_microscope.svg/200px-Heisenberg_gamma_ray_microscope.svg.png

3

Una onda sinosoidal de largo de onda implicaque el momenturm p se conoce precisamente: Pero la función de onda y la probabilidad de encontrar la partícula está distribuida portodo el espacio

hp

*

Al i d d dif t l d

Determinación precisa del momentum

Al sumar varias ondas de diferentes largos de onda se produce un patrón de interferencia quecomienza a localizar la onda,

pero este proceso distribuye los valores de momentum y la medida es menos precisa. Este es un porceso inherente e ineludible en la incertidumbre del momentgum, p, cuando la de la posición, x, disminuye.

2x p

Resumen Es imposible conocer simultáneamente y con

igual exactitud y posición y el momentum de una partícula. Esto no se debe a las imperfecciones físicas de los instrumentos de medición, si no a un límite fundamental de la naturaleza ya que al medir se perturba el sistema.

p x p x E t 2 2 2

2

p x p x E t

h

4

Mecánica Cuántica Posición de partícula definida por la amplitud de

la onda.

Función de onda sustituye el concepto de trayectoria.

La energía está cuantizada

Heisenberg, Born, Jordan, Schroedinger Padres de la Mecánica Cuántica.

Comparación de mecánica clásica y cuántica

5

Mecánica Clásica

Determinista Predice el futuro, presente y pasado. Predice el futuro, presente y pasado.

Tiene conflicto con el principio de incertidumbre.

2dv d vx x vt F m m ma 0 2x x vt F m m ma

dt dt

Mecánica Cuántica Interpretación probabilística

Se descarta el concepto de trayectoria Se descarta el concepto de trayectoria.

Incertidumbre – libre albedrío

Función de onda (Ψ(x,t))Describe el estado de un sistema

Es una entidad abstracta.Es una entidad abstracta.

Contiene toda la información de propiedades dinámicas del sistema.

6

Relación matemática

2 2 2

2 2 2, , ,

2

dV x y z t

i dt m x y z

Análogo de la segunda Ley de Newton

Propósito encontrar Ψ

2i dt m x y z

Propósito encontrar Ψ.

Definiciones matemáticas*

1 2 3

densidad de probabilidad o probabilidad por unidad de

volumen de encontrar la partícula en , , .... Nq q q q

*

2* 2 2

en tiempo t.

Ejemplo: U iV y U iV

U iV U iV U V

1) Cantidad positiva y real que representa probabilidad.

2) no tiene sentido físico.

7

Probabilidad –Naturaleza estadística

Ejemplo: Número grandes de sistemas en una dimensión.

2*

para 1.000 hasta 1.000 0.001

Para intervalo entre

xdnprobabilidad dx dx

Nx

a y b

2 *b b

a a

dx dx 2

: axEjemplo N x e

Propiedades de Ψ para ser aceptable

La función y su deriviada debe ser continua.

Monovalente o univaluada

Finita (especialmente en las fronteras)

Cuadráticamente integrable

Normalizable

8

Normalización* 1

Normalizarse al multiplicar por una constante de normalización.

d

1 1

2 2

*

** 2 *

2

*

1

1 11

d K sea N

d N N d N d

N K NK d

Todo elespacio

Todo elespacio

2 2

12

*

*:

K d

entoncesd

Postulados

Mecánica CuánticaMecánica Cuántica

9

Postulado I: Partícula sin espín Sub-postulado 1

El estado de un sistema dinámico de N partículas se puede describir completamente por medio de una función de estado que contiene toda la información que se puede determinar sobre el sistema. La función de estado Ψ(q1, q2, q3,....q3N) es función de las coordenadas generalizadas y el tiempo. (q1 = x1, y1, z1 para la partícula 1).

Postulado I Sub-postulado 2

La cantidad Ψ*Ψ dτ es proporcional a la probabilidad de encontrar el sistema entre q1

y q1+ dq1, q2 y q2 + dq2 ......q3N y q3N + dq3N en un tiempo t. ( o sea en un elemento de volumen dτ).)

10

Propiedades y consecuencias del Postulado I

Ψ la función de onda Es una construcción matemática para definir elEs una construcción matemática para definir el

sistema.

Es una función compleja:

No tiene significado físico (parte imaginaria).

E i d di t d i t

, , , 1q t U q t iV q t donde i

Es independiente de t para sistemas consecutivos.

,, if q tq t q e

Postulado II Con cada cantidad física o variable física

observable a del sistema se puede asociarobservable a del sistema se puede asociar o se le asigna un operador matemático que tiene las propiedades de ser un operador lineal y hermítico, . Las propiedades físicas de la observable se pueden deducir de las propiedades

pueden deducir de las propiedades matemáticas del operador asociado a esa propiedad o variable observable.

11

Ejemplos de observables Posición

Velocidad

Energía

Momentum

Para que sean reales nos limitamos a operadores lineales y hermíticos

Algebra de operadores Definición:

Es un símbolo o una regla para transformar ˆˆ , Auna función dada en otra función.

Las funciones (f) sobre las cuales actúan se llaman operandos.

Debe existir el operador con la función para que

p p qéste tenga significado.

3d f

f f x dxdx

12

Suma de operadores ˆ ˆˆ ˆ

:

f f f

Ejemplo

2 2 2

2

:

3 3 3 3 3

2 3 3 9

x x x

x x

Ejemplo

d dx e x e x e

dx dx

x e x e

Conmutan con respecto a la suma:

ˆ ˆˆ ˆf f

Producto de operadores

ˆ ˆˆ ˆ, f x f x

Definicón de conmutador :

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆf x f x f x

,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆCuando 0 los operadores conmutan.

f x f x f x

f x f x f x

13

Ejemplo de conmutador

ˆˆd

sea y xdx

ˆˆ , '

ˆ ˆ, '

' '

d x f xf x xf x f x

dx

d f xf x x xf x

dxf f f f

' '

ˆˆ ˆ, 1

ˆ ˆˆ ˆ, ,

xf x f x xf x f x

f x f x

Operador lineal vs no-lineal

:

ˆ ˆ ˆ1)

Son lineales si cumplen con

f x g x f x g x

22

ˆ ˆ2) donde es una constante.

ˆ: .

.

ˆ ˆ

c f x c f x c

dEjemplo Permite sobreponer funciones de onda

dxNo lineal no cumple con los requisitos anteriores

Ej l f f

?

:

ˆ ˆ

Ejemplo f x f x

f x g x f

?2 2 2

ˆx g x

f x g x f x g x no son iguales

14

Operador hermítico

* ** *ˆ ˆ ˆf x g x d g x f x d g x f x d

.se asocia a observables reales

Ecuación de autovalor ˆ ( )( ) ( )f x a f x operador función const función

a autovalor

f x autofunción

Ecuación de autovalor El problema consiste en determinar la

funciones propias y autovalores, a, quefunciones propias y autovalores, a, quesatisfagan las condiciones de contorno delproblema físico en particular. Buscarfunciones ff, que cumplan con lascondiciones que debe satisfacer la funciónde ondade onda.

15

Ejemplo de autofunción2

2

ˆ x

x

dSi f e

dx

df d

22

2

ˆ 2

2

:

ˆ

xx

x

df def k f e

dx dx

k y f e es autofunción

En general

dff k f k f

ln .

const kx kx

f k f k fdx

dfk dx f kx const

f

f e e c e

Construcción de operadores

16

Reglas Escribir la variable clásica en términos de

coordenadas cartesianas y momentum lineal.

Se sustituye el operador correspondiente a posición a tiempo en la expresión clásica.

Se establece el componente cartesiano del Se establece el componente cartesiano del momentum lineal:

ˆ2x

ihp i

x x i x

OperadoresVariable Clásica

Operador expresión para el operador operación

lti liˆ ˆx, y, z x, y, z multiplicar por x, y, z

t t multiplicar por t

px, py, pzderivar y multiplicar

d i lti li

ˆ ˆ ˆ, ,x y zp p p

t, ,i i i

x y z

ˆ ˆ ˆ, ,x y z

E derivar y multiplicar E i

t

17

Consecuencias de operadores Transformación:

ˆ ˆobsevable G q p t operador G q i t

Operadores asociados a variables conjugadas como por ejemplo px y x deben satisfacer:

, , , ,obsevable G q p t operador G q i tq

ˆˆ ˆ ˆxp p x i x xxp p x i

Ejemplos2 2

2 2 2 22 2

ˆ ˆ ˆx x xp p p i i ix x x x

22 22 2 21 1

2 2 2 2 2

2 2 212

2 2 2 2 22

2 2 2

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

yx zx y z

m x y z

pp pH T V m v v v V m V

m m m

H p p p V

H V V

2 2 2

22

1

2 2

ˆ ˆ2

Ni

i i

H V Vm x y z m

H V muchas partículasm

18

Postulado III Si es un operador asociado a una variable o

propiedad física observable y suponemos que h j t d i t idé ti tá

hay un conjunto de sistemas idénticos que están en un estado físico descrito por Ψi y que Ψ es una autofunción del operador , es decir:

Ψi = ai Ψi , entonces si hacemos una serie de experimentos para medir la variable observable que asociamos al operador siempre se

obtendrá como resultado de la medida el valor ai. Es únicamente cuando Ψi es una autofunciónde que se obtendrá siempre el mismo resultado

Postulado IV Dado un operador y un conjunto de sistemas

idénticos caracterizados por una función Ψi de

estado normalizado que no es autofunción del operador (i.e. Ψi = φi) al hacer una serie de medidas de la propiedad física en diferentes miembros del conjunto de sistemas no se obtendrá el mismo resultado, si no una distribución de resultados. El valor promedio o valor de

pexpectación será:

está asociado a la variable a

* ˆa a d

19

Notas para el postulado IVa5

a3

a2

a4

a2

a1Sistema descrito por Ψ

i i i i ii

i

i

a a n a na a a

n N N N

n

*

* *

Probabilidad

ˆ

ii

i i

nP

N

a Pa a dP dP d

a a d d

Postulado V

La ecuación en el tiempo de un estado de un psistema en mecánica cuántica no perturbado está dado por la ecuación de Schröedinger dependiente del tiempo:

H i

H ii t t

20

Independiente de t

22

Separar variables:

, ,x t x tV t t i

2

22

2

, ,2

,

:

V x t x t im x tx t x t

dos ecuaciones diferenciales ordinarias

xV x x E x

22

: ,iEt

m xt

i E tt

Solución x t x e

1

Paréntesis Matemático

Ecuaciones diferenciales Ecuación diferencial ordinaria - es una ecuación diferencial de una

variable independiente. La ecuación diferencial envuelve cierta relación funcional entre la variable independiente, x, la variable p , ,dependiente, y, y la primera, segunda y n-esima derivada de y(x) con respecto a x.

Ecuación diferencial parcial - es una ecuación diferencial de una o más variables independientes. La ecuación diferencial envuelve cierta

l ió f i l t l i bl i d di t l

2

2, , , ,... 0

n

n

dy d y d yf x y

dx dx dx

relación funcional entre las variables independientes, x y y con la variable dependiente, z, y la primera, segunda y n-ésima derivada de z(x,y) con respecto a x,y.

2 2

2 2, , , , , ....... 0

z z zf x y z

x x y

2

Ecuaciones Diferenciales (continuación)

Orden de la ecuación diferencial - está dado por la derivada de

mayor orden que aparece en la ecuación diferencial.

Grado - exponente de la derivada de mayor orden, es el grado algebraico de la derivada de orden mayor luego de racionalizar la ecuación.

35 6

3sin

d y dyx y y x

dx dx

423

20

d y dyx y

d d

13

13

13

2

2

2

2

2

1

1

dx dx

d y dyxy x

dx dx

d y dyxy x

dx dx

En general: Ecuación diferencial lineal -variable dependiente y sus

derivadas aparecen elevadas a la primera potencia.L l ió d t t i t i d t i

Ecuaciones Diferenciales (continuación)

La solución es de n constante y n integraciones y se determinan por condiciones de contorno.

Ecuación homogénea - el término constante es igual a cero.

í ó é

1

0 1 11.... 0

n n

n nn n

d y d y dyA x A x A x A x y B x

dx dx dx

Caso específico de ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.

2

0 120

d y dyA A By

dx dx

3

Ecuación lineal homogénea de segundo orden y coeficientes constantes

2

20 mxd y dy

A By asumir y edx dx

22

2

2

2 2

2

0 0

0 ( : 0)

4:

2

mx mx

mx mx mx mx mx

mx

dy d yme m e

dx dx

m e Ame Be ya que e se divide por e y

m Am B ecuación auxiliar ecuación cuadrática ax bx c

b b acPara que e sea solución x

2

2

4

2

a

A A Bm

Soluciones posibles

1 221 2 1 24 0 a x a xRaices reales A B m a m a y e y e

combinación lineal Y c y c y

1 2

1 1 2 2

1 2

1 2

21 2 1 2

. 0

. 0 0

: 4 0

ax ax

ax ax

ib x ib x

combinación lineal Y c y c y

a Si B m a entonces y e y e

b Si A B m a entonces y e y e

Raices imaginarias A B m ib m ib y e y e

combinación li

neal Y c y c y combinación li 1 1 2 2

1 2

1 2

. 0 0

. 0 0

ibx ibx

ax ax

neal Y c y c y

a Si A B m ib entonces y e y e

b Si A B m a entonces y e y e

4

Ecuación de Schröedinger en una dimensión

2 2 2

2 2 2

2ˆ2

mEH E E

m x x

2

2 2 2

2 2

2 20

2 20 0 4 2

2 2

mE mEecuaciónlineal homogénea segundo orden B

x

mE mE

mE i mEi

2

2 2

1 2

2 2

i mE i mEx x

m i

Ae Be

Método de operadores2

20

d y dyA By

dx dx

22

2

2

ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

d dsea D y D

dx dx

D y AD y B y

2ˆ ˆ 0

ˆ ˆ___ ___ 0

D AD B y

D D y

5

Ejemplo

22

2

2

ˆ ˆ2 3 0 2 3 0

ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 0 3 1 0

d y dyBy D y D y y

dx dx

D D y D D y

2 3 0 3 1 0

ˆ ˆ3 0 1 0

ˆ ˆ3

3

D D y D D y

D y D y

Dy y Dy y

dy dyy y

dx dx

31 1 2 2

3

ln 3 lnx x

dy dydx dx

y y

y x c y x c

y c e y c e

2/20/2011

1

Partícula librePartícula libre


Sistema

Una partícula de masa m que se mueve en cualquier dirección en el eje de x y que no estásometida a una fuerza externasometida a una fuerza externa.

Asumir V(x) = 0

0 0 .VF F V x constx

Sistema conservativo

Energía total y cinética son constantes

2/20/2011

2

2 212 2x xE mv E mv

Solución clásica

2 2 2

22 x xmx m

m v pE mv x

m m

22 2x xmE p p mE

Solución cuántica

2

2 2

2: 0

m Edonde A y B

Ecuación lineal y homogénea de segundo orden

2 2

2

2 2

2 2 2 2

ˆ2

2 20

H E Em x

m E m E

x x

4

2

2

:

22

2 2

2

So lu ción ecuación auxilia r

m E

m E i m Em i

2/20/2011

3

2 2

1 2

i mE i mEx x

Ae Be

Solución ecuación lineal homogénea

2 2

1 2

2 2

:i mE i mE

x x

Total

iE t i iE E t E E t

Combinación lineal

Ae Be cuántica

2 2

2 2x x

mE x E t mE x E t

i t i tclásica

x e Ae Be con dependencia en t

Ae Be clásica

2 2iE t i i

mE x E t mE x E tx e Ae Be cuantica

Relación con solución clásica

2 2

2 2 2 1 2 2

22 2

x xi t i tclásica Ae Be clásica

mE mE mE mEh h h

2 2

22

h h EpmE

2/20/2011

4

Momentum partícula libre y relación con solución clásica

2 21

1

2ˆ

i mE i mEx x

x

i mEp i i Ae i A e

x x

2

1 1 1

2 22

2

ˆ 2 2

2ˆ

i mEx

x x

i mE i mEx x

x

p mE Ae mE p

i mEp i i Be i B e

x x

22 2 2ˆ 2x x

x x

p i mE px

Probabilidad

1 1

2 22* 0 2

i mE i mEx x

Probabilidad Ae Ae A e A

2 22* 0 2

2 2

i mE i mEx x

Probabilidad Be Be B e B

Ψ* Ψ

x

1

Partícula en la cajaPartícula en la caja


Utilidad del modelo

Explica movimiento de traslación de gas ideal.

Niveles de Energía de electrones en moléculas lineales conjugadas (ej: tintes conjugados).

Electrones en metales.

2

Descripción del sistema

Partícula libre de masa m

Dentro de una caja con dimensiones a, b y c.

Puede moverse en dirección x, y, z.

Energía potencial dentro de la caja es cero. (V = 0).

Fuera de la caja es infinita (V = ∞)

Caja tri-dimensional

a

z

a

cV = 0

V = ∞V = ∞

b y

x V = 0 en: • 0 < x < a• 0 < y < b• 0 < z < c

V = ∞ en: • 0 > x > a• 0 > y > b• 0 > z > c

3

Ecuación de Schröedinger

2 2 2 2

2 2 2ˆ ˆ, , , , , ,

2H E x y z V x y z E x y z

m x y z

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2ˆ , ,

y

multiplicando por inverso de a ambos ladosm

m mEV x y z

x y z

5

2 2 2

2 2 2 2

2 ˆ , , 0m

E V x y zx y z

Ecuación de Schröedinger

: , ,

.

Asumimos x y z X x Y y Z x

y sustituimos en ecuación anterior

2 2 2

2 2 2

2

2 ˆ 0

X x Y y Z x X x Y y Z x X x Y y Z x

x y z

mE V X x Y y Z x

Operando

2 2 2

2 2 2

, , ,

2

2 ˆ

y z x z x y

X x Y y Z xY y Z x X x Z x X x Y y

x y z

mE V X x

0Y y Z x

4

Solución ecuación de Schröedinger

2 2 2

2 2 2 2

, , ,

2 ˆ 0y z x z x y

X x Y y Z x mY y Z x X x Z x X x Y y E V X x Y y Z x

x y z

2 2 2

2 2 2 2

, , ,

, ,

1 1 1 2 ˆ 0y z x z x y

Dividiendo por x y z X x Y y Z x

X x Y y Z x mE V

X x x Y y y Z z z

pero E

ˆ ˆ ˆ ˆV E V E V E V entonces pero E

2 2 2

2 2 2 2

, , ,

,

1 1 1 2 ˆ ˆ ˆ 0

x x y y z z

x x y y z z

y z x z x y

V E V E V E V entonces

X x Y y Z x mE V E V E V

X x x Y y y Z z z

Solución para tres dimensiones

2 2 2

2 2 2

, , ,

1 1 1

2 ˆ ˆ ˆ

y z x z x y

X x Y y Z x

X x x Y y y Z z z

mE V E V E V

2

2

2 2

,

:

1 2 ˆ

x x y y z z

x x

y z

E V E V E V

Tres ecuac iones independ ien tes

X x mE V

X x x

2

2 2

,

2

2

1 2 ˆ

1

y y

x z

Y y mE V

Y y y

Z z

Z z z

2

,

2 ˆz z

x z

mE V

5

Solución unidimensional

2

2 2

,

1 2ˆ1.

0

x x

y z

X x mFuera de la caja V E

X x x

X x la partícula no existiría

2

2 2 2

,

2

2 2

,

2

21 2ˆ2. 0 0

2

20

xx x

y z

x

y z

x

X x mEmDentro de la caja V E

X x x

X x mEX x

x

X x mEX ió li

l h é d d d 2 2

,

0x

y z

X x ecuación linx

2 2

1 2

i mE i mEx x

eal homogénea de segundo orden

X x Ae X x Be

Condiciones de contorno

1. 0 0

2. :

X x cuando x y x a para que exista la partícula

Combinación lineal

2 2

1 2

0 00 0

i mE i mEx x

X x X x X x Ae Be

X Ae Be A B A B

2 2i mE i mE

x xX x A e e

6

Identidad trigonométrica y solución

2 2 2i mE i mE

x x y y i mEX x A e e A e e donde y x

:

cos sin

cos sin

2 sin

iy

iy

iy iy

Identidad trigonométrica

e y i y

e y i y

e e i y

2 2

: 2 sin sin , ,mE mE

Por lo tanto X x i x C x dondeC imaginario

Segunda condición de contorno

2sin

mEX x C x

2 20 sin 0 ; sin 0

2 2

mE mEX a C a C a

mE mE na n

sin

a na

n xX x C

a

7

Normalización

2 2

0 0

* 1 sin 1a a

xn xX x X x dx C dx

a

:

: :

:

x x

Conversión de variables x

n x n apor lo tanto d dx y entonces dx d

a a n

sustituyendo en integral y modificando los límites

2

:

0, 0

sustituyendo en integral y modificando los límites

x y cuando x a n

aC

n

2

0

sin 1n

d

Solución de normalización

2 2 2 2

0 0

2

1 sin sin

1, sin 1 cos 2 ,2

x xn n

x x

a aC d C d

n n

pero entonces

2 2

0 0 0

2

1 11 1 cos 2 cos 2

2 2

:

11

2

x x xn n n

x x

x

a aC d C d d

n n

Evaluando los integrales

aC

n

2

0

1 1sin 2 sin 2 sin 0

4 2 4 4

xn

xx

x

naC n

n

2 2 2

2

1 0 02 2 2

:

2 2

x x

x x

n na a aC C C

n n

por lo tanto

C Ca a

8

Solución función de onda Ψ=X(x)Y(y)Z(z)

2sin

x

xn

n xX x

a a

l t di i

,

2 2sin sin

:

8

y z

y zn n

las otras dimensiones

n y n zY y Z z

b b c c

En tres dimensiones

n yn x n z

8sin sin sin

x y z

yx zn n n

n yn x n zX x Y y Z z

abc a b c

Cuantización de la energía2 2

2 2

2 2x x x xmE n mE n

a a

2 2 2 2 2 2 2 2

22 22

2 2 2 2

1, 2,3...2 82 2

:

x x xx x

y z

n n h h nE donde n

ma mama

h n h nDe igual forma E y E

2 2

22 22

2 2 2

:8 8

:8

y z

yx zTotal x y z

De igual forma E y Emb mc

nn nhentonces E E E E

m a b c

9

Estados degenerados: a = b = c

32

22 2 2

2sin sin sin

x y z

yx zn n n

n yn x n zX x Y y Z z

a a a a

hE E E E n n n

28Total x y z x y zE E E E n n nma

Números cuánticos Energía Estado2

2 ,1,12

2

1,2 ,12

2

62 1 1

8

61 2 1

8

x y z Total

x y z Total

hn n n E

ma

hn n n E

ma

2

1,1,22

61 1 2

8x y z Total

hn n n E

ma

Probabilidad en una dimensión

0 a2a 11 sin x

x an sin xn xx a

pared pared

0 sin 0 0

sin 0

x

x a

0

222 sin x

x an *

NODO

2

0;sin 0 0

;sin 0

;sin 2 0

a

x

x

x a

©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; 1998;W.H. Freeman & Company; 6ta edición

10

Gráficas de las funciones de ondaUna dimensión

Para nx grandes, cuántica tiende a continuo: cuántica tiende a clásica


Nodos


11

Efecto túnel: Penetración en regiones clásicamente prohibidas

V = 0 V = 0

0

0 a


1 Cuantica Teoría Atómica y...

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