EDER BEHAR DU ZIENTZIA MODERNOKO

EKUAZIO BIKAINAK

GRAHAM FARMELO

FERNANDO MORILLO

itzultzailea

ZIENTZIAIRAKURLEORORENTZAT

Galarazita dago liburu honen kopia egitea, osoa nahiz zatikakoa, eta, halaber, informazioa

berreskuratzeko baliabide mekaniko, fotokimiko, magnetiko, elektrooptiko edo fotokopiak erabiliz

erregistratzea eta zabaltzea, jabeek aldez aurretik eta idatziz emandako baimenik gabe.

Babesleak

HEZKUNTZA, UNIBERTSITATEETA IKERKETA SAILA

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN,UNIVERSIDADES E INVESTIGACIÓN

Diseinua eta azala: Antton OlariagaBegirale teknikoak: Andone Estonba, Joserra Etxebarria, Txema Ezpeleta,

Julio García, Txelo Ruiz, Yosu YurramendiHizkuntza-begiralea: Juan Garzia

© Jatorriz ingelesez argitaratua, Granta Publications-en, It Must Be Beautiful:

Great Equations of Modern Science izenburupean. Saiakera-bildumaren eta aitzin-solasaren copyrighta: Graham Farmelo 2002.

Saiakera bakoitzaren copyrighta: egileek nork berea. Graham Farmelok sendetsi egiten du Lan honen egiletzat identifikatua izateko

eskubide morala.© 2009, itzulpena: Fernando Morillo

© ehupress, 2009, Eder behar du. Zientzia modernoko ekuazio bikainak

ehupress. Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzuaren marka bat da

ISBN: 978-84-9860-235-7Lege gordailua: BI-1593-09

Fotokonposizioa: Ipar, S. Coop.Zurbaran, 2-4, 48007 BilbaoInprimatzea: Itxaropena, S.A.

Araba Kalea 45, 20800 Zarautz (Gipuzkoa)

Ohar bat ordenari buruz

Eder behar du osatzen duten saiakerak elkarrengandik bereiz irakur daitezke; libre zara, beraz, gogoak ematen dizun orde-nan heltzeko aleoi. Badirudi jende gehienak hasieratik ekin eta bururik buru irakurtzen dituela honelako bildumak; hori dela eta, halako irakurleei gaien askotarikotasunaz gozatzeko aukera emango dien ordenan aurkeztu ditut saiakerak. Hala jokaturik, ez diot jaramon egin ordena kronologikoaren erakargarrita-sunari, ez baineritzon hor hain kontuan hartzekoa.

Aukera baliatu nahi dut eskerrak emateko Granta Books-eko lantalde guztiari bilduma hau aurrera ateratzeko egin duten lan guztiarengatik. Bereziki eskertu nahi ditut Sajidah Ahmad, Neil Belton, Louise Campbell, Angela Rose eta Sarah Wasley, guztiek ere eman baitiote lan honi berez zegokien arduratik as-koz haragoko laguntza.

Aurkibidea

Aitzin-solasa

Graham Farmelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Iraultzailerik gabeko iraultza

Kuantu baten energiarentzako Planck-Einstein ekuazioaGraham Farmelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Bizirik egoteko garairik aukerakoena

Mapa LogistikoaRobert May . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Ispilu bat zeruan

Drake ekuazioaOliver Morton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Ekuazio Sestantea

E = mc 2

Peter Galison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Ingurumeneko maitagarri-ipuin bat

Molina-Rowland ekuazio kimikoak eta CFCen arazoaAisling Irwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

EDER BEHAR DU8

Erotika, estetika eta Schrödinger-en uhin-ekuazioa

Arthur I. Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Magia pixka bat

Dirac ekuazioaFrank Wilczek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Bizitzaren ekuazioak

Eboluzioaren matematikaJohn Maynard Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Grabitazioa berraurkitzen

Erlatibitate orokorraren Einstein ekuazioaRoger Penrose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Informazioa ulertzen, bitez bit

Shannon-en ekuazioakIgor Aleksander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Simetria ezkutua

Yang-Mills ekuazioaChristine Sutton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

Hitz-atzea

Nola irauten duten ekuazio bikainekSteven Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Oharrak eta irakurgai gehiago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

Aurkibide analitikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Ai tzin-solasa

Zien tzia, ikasten dutenen tzat da; poesia, dakite nen tzat.

Joseph Roux, Erretore baten gogoetak,

1. zatia, 71. zenbakia (1886)

Philip Larkin-ek, 1974ko maia tzean, High Windows bere poesia-bilduma susta tzeko irrati-el karriz keta batean, aipatu zuen poe-ma on bat tipula baten modukoa dela. Kanpotik begiratuta, biak dira erakargarriro leun eta ki tzikagarri, eta gero eta leunago eta ki tzikagarriago bihur tzen dira ondoz ondoko esanahi-geruzak eran tzi ahala. Larkin-en xedea tipula perfektua idaztea zen.

Zien tziaren poesia, nolabait, haren ekuazio bikainetan gor-derik dago, eta, liburu honetako saiakerek froga tzen dutenez, ekuazio horiek ere zuritu egin daitez ke. Ekuazioen geruzek, or-dea, haien ezaugarri eta ondorioak adierazten dituzte, ez haien esanahiak.

Poeten eta literatura-kritikarien ahalegin saiatuenak gora-behera, inor txok ere ez du lortu poema baten definizio ezbairik gaberik. Ez dute halako buruhausterik matematikariek «ekua-zio» terminoa defini tzeko orduan. Ekuazio bat, fun tsean, oreka perfek tu baten adierazpena da. Matematikari puruen tzat —zien-tziaz ezaxolatuak, eskuarki—, adierazpen abstraktua da ekuazio

EDER BEHAR DU10

bat; ez du inolako zerikusirik mundu errealeko ekin tza konkre-tuekin. Horrenbestez, matematikariek y = x + 1 moduko ekua-zio bat ikusten dutenean, ikur guztiz abstraktuak dira x eta y haien tzat, eta ez benetan existi tzen diren gauza ba tzuen adieraz-pena.

Guztiz posible da imajina tzea uniber tso bat non ekuazio matematikoek eta izadiko fenomenoek ez duten inolako zeriku-sirik. Hala ere, gauza miragarria, badute zerikusia. Zien tzialariek sistematikoki taxu tzen dituzte beren legeak ekuazioen bitartez, eta esperimenta tzaileek neur dezaketen magnitude bat adierazten du ekuaziootako sinbolo bakoi tzak. Adierazpen sinboliko ho-rrexek bihurtu ditu ekuazio matematikoak zien tzia-armategiko iskilurik botere tsuenetariko bat.

Zien tzia-ekuazio guztietatik ezagunena E = mc 2 da, Eins-teinek 1905ean plazaratua estreina. Ekuazio bikain guztien moduan, berdin tza harrigarri bat adierazten du azaletik aski desberdin diruditen hiru osagairen artean1: energia, masa eta argiak hu tsean duen abiadura. Ekuazio hori oinarri, zera iraga-rri zuen Einsteinek: m masa bat izanik, hura bi aldiz biderkatuz gero argiak hu tsean duen abiaduraz (c hiz kiaz adierazia), horren emai tza, zehaz ki, masa horri dagokion energia (E ) dela. Alegia, E = m × c × c = mc 2.

Beste edozein ekuazioren moduan, bi magnitude oreka-tzen ditu E = mc 2 berdin tzak, balan tza baten bi besoak balira bezala, «=» ikurra dela balan tzaren gon tza. Balan tza batek, or-dea, pisuak oreka tzen ditu; ekuazio gehienek, berriz, bestelako magnitude ba tzuk. E = mc 2 ekuazioak, esate baterako, ener-giak oreka tzen ditu. Einsteinen espekulazio uste tsu gisa sortu

AITZIN-SOLASA 11

zen ekuazio ospe tsu hori, baina hamarkadak joan ziren ekuazio hori zien tzia-ezagueraren corpuseko zati tzat onartu zen arte, esperimenta tzaileek izadiarekin zinez bat zetorrela eraku tsi on-doren. Hogeigarren mendeko ikono bihurtua, E = mc 2 da gaur egun telebistako edozein lehiaketariri zien tziaren inguruan jaki-tea eska tzen zaion gauza bakanetarikoa.2

Zien tzia-ekuazio bikain guztiak bezala, eta ikuspegi bat baino gehiagotatik, poema baten an tzekoa da E = mc 2. Soneto perfektu bat, hi tz edo puntuazio-zeinu bakar bat aldatuz gero, hondatu egiten da; arrazoi beragatik, ezin da E = mc 2 horren moduko ekuazio bikain baten xehetasun bakar bat ere ukitu, hura baliogabetu gabe. E = 3mc 2 adierazpenak, esate baterako, ez du inolako zerikusirik izadiarekin.

Ekuazio bikainek eta poesia finenak orobat parteka tzen dute sekulako ahalmen bat: poesia hiz kun tzaren adierazpen xe-heena eta esangura tsuena da; modu berean, zien tzia-ekuazio bikainak dira erarik doiena azal tzen duten errealitate fisikoa no-lakoa den uler tzeko. Berebiziko indarra du, berez, E = mc 2 ekua-zioak: bere sinbolo bakanetan, energia-bihurketa orori aplika dakiokeen ezaguera bil tzen du, Lurreko izaki bizidun guztien zelula guztietan gerta tzen direnetatik hasi, eta eztanda kosmiko urruneneraino. Are gehiago: denbora sortu zenetik bertatik bide da zuzena ekuazioa.

Ekuazio bikain bat arretaz iker tzean, arian-arian, zien-tzialariek aukera dute hasieran ain tzat hartu ez zituzten gau-zak aurki tzeko; bada, modu berean, poema bikain bat behin eta berriro irakur tzeak emozio eta asoziazio berriak eragiten ditu aldiro. Ekuazio bikainak poesia bezain pizgarri dira irudimen

EDER BEHAR DU12

prestatu baten tzat. Shakespearek ez zi tzakeen aurreikus «Uda-egun bat ote dirudizu?» bere esaldian irakurleek a tzemango zi-tuzten askotariko esanahiak; ez gehiago, alegia, Einsteinek er-latibitateari buruz ko bere ekuazioen milaka ondorioak iragar zi tzakeen baino.

Ez dugu horrekin esan nahi, noski, poesia eta zien tzia-ekuazioak gauza bera direnik. Poema oro hiz kun tza jakin batean ida tzia dago, eta bere magia gal tzen du i tzul tzean; ekuazio bat, al-diz, matematikaren hiz kun tza uniber tsalean adierazten da: ingele-sez zein urduz, gauza bera da E = mc 2. Halaber, poetek hi tzen eta pen tsamenduen arteko hamaika esanahi eta lotura bila tzen dituz-te; zien tzialariak, berriz, beren ekuazioek esanahi logiko bakarra bil dezaten ahalegin tzen dira.3

Zien tzia-ekuazio bikain baten esanahiak, eskuarki, izadiaren legea esaten zaion zer bat horni tzen digu. Richard Feynman fisika-riak ospe tsu bihurturiko analogia bat lagungarri izango da ekua-zioen eta legeen arteko harreman hori argi tzeko orduan.4 Dema-gun beha tzaile ba tzuk ditugula, xake-taula baten gainean gerta tzen den joko bati begira. Xakearen arauak inoiz ikasi ez balituzte ere, laster ondoriozta li tzakete arauok, besterik gabe jokalariek piezak nola mugi tzen dituzten aztertuz. Orain, berriz, jo dezagun joka-lariak ez direla xake-taula arrunt batean ari, baizik eta askoz arau konplexuago ba tzuen arabera mugi tzen dituztela piezak, xake-taula eskerga batean. Arauak ondorioztatuko badituzte, berebiziko arretaz aztertu beharko dituzte beha tzaileek joko zatiak, handik usaina har tzeko ereduei eta a tzemateko moduko beste edozein az-tarnari. Hori da, fun tsean, zien tzialarien ataka. Xehetasun handiz beha tzen diote izadiari —taula gaineko piezen mugimenduei—, eta handik atera tzen oinarrian dauden legeak.

AITZIN-SOLASA 13

Zergatik adieraz daitez ke izadiaren oinarriz ko lege ge-hienak ekuazioak diren bezain adierazpen egokien bidez? Ho-rra pen tsalari asko eta asko garaitu dituen enigma bat. Zergatik adieraz daitez ke hainbeste lege agindu absolutu gisa? Alegia, no-latan dira berdin-petoak i txuraz loturarik ez duten bi magnitu-de (ekuazio baten ez kerraldea eta eskuinaldea)? Orobat ez dago garbi, existitu ere, zergatik existi tzen diren oinarriz ko legeak.5 Burlaizez ko azalpen oso zabaldu batek dioenez, Jainkoa matema-tikari delako gerta tzen da hori; ideia horrek, inolako argirik eman gabe, proposizio birritan egiaztaezin batez ordezten ditu galde-ra sakonak. Hala ere, Jainkoaren asmoa barra-barra erabili izan da luzaroan zien tzia-ekuazioen eraginkortasunaren azalpen tzat. Aski da errepara tzea Maria Mitchell-ek (1818-1889), AEBko lehen emakume astronomo profesionalak, Bronx-eko Ospearen Atarian duen oroitarriak dioenari: «Jainkoarenganako laudorio-ereserkia da izadiaren lege bat adierazten duen formula bakoi tza». 1866an ida tzi zituen hi tz horiek Mitchell-ek.

Zien tzia-ekuazioen jatorria baino are eztabaidatuagoa da ea ekuaziook asmatu egiten diren ala aurkitu.6 Subrahmanyan Chandrasekhar astrofisikari indoestatubatuarra teorialari gai-len gehienekin bat zetorren, ziur asko, nabarmendu zuelarik nola, gertaera edo ideia berriren bat aurki tzen zuen bakoi tzean, begitan tzen zi tzaion «betidanik egona zela hura han, eta topa-tzeko zortea izan nuela nik». Ikuspegi horren arabera, uniber-tsoaren mekanismoen oinarrian dauden ekuazioak, «hor txe mun-duan» daude nolabait, gizakien existen tziatik beregain; arkeologo kosmikoak dira, bada, zien tzialariak, denbora sortu zenetik ez-kutuan egon diren legeak lurpetik atera tzeko ahaleginean. Mis-terioan murgilduta dirau legeen jatorriak.

EDER BEHAR DU14

Munduan izan diren ehunka mila iker tzaileetatik, bakan ba tzuek baino ez dute beren izeneko zien tzia-ekuazio garran tzi-tsurik. Albert Einstein eta Paul Dirac —britainiar fisikari teoriko bat, ia Einstein bezain bikaina— trebeak izan ziren oinarriz ko ekuazioak aurki tzeko orduan, eta bereziki zoliak matematikak zien tzian joka tzen duen rolari buruz hausnar tzen. Ez bata ez bes-tea berez matematikari ez ziren arren, biak ere gailendu ziren ekuazio berriak mami tzen, poesiarik bikainenak bezain emanko-rrak. Biak zeuden guztiz sine tsita eder behar zutela zien tziaren oinarriz ko ekuazioek.7

Ideia bi txia dirudi. Edertasunaren kon tzeptu subjektiboa ez da ongi har tzen hezibide oneko giro intelektualetan, eta ez du noski lekurik goi-mailako arte-kritika akademikoetan.8 Haatik, hi tzetik hor tzera datorkigu berba hori ezpainetara —baita kritika-ri sasimaisuenen ezpainetara ere— zirraraz ikusten dugularik irri-barre egiten duen haur bat, mendi baten taxua, i txura zoragarriko orkidea bat. Zer adierazi nahi da ekuazio bat ederra dela esatean?9 Fun tsean, ekuazio horrek sen tsazio bereziak pi tz di tzakeela gugan, gutariko askok eder tzat jo tzen ditugun beste zenbait gauzaren au-rrean izaten ditugunen parekoak. Artelan bikain baten modu ber-tsuan, xarma hu tsa baino askoz ere gehiago bil tzen du bere baitan ekuazio eder batek: uniber tsaltasuna, sinpletasuna, ezinbestekota-suna eta halako indar nabarmen bat. Ekar di tzagun gogora artelan ba tzuk: Paul Cézanne-ren Sagarrak eta udareak, Buckminster Fu-ller-en kupula geodesikoa, Judi Dench-en eskutiko Lady Macbe-th-en an tzezpena edo Ella Fi tzgerald-ek abestutako Manhattanen

ber tsioa. Horietariko bakoi tzaren aurrean lehenbizikoz egokitu nin tzenean, berehala hauteman nuen ikuspegiz i tzela zen zerbait nuela aurrez aurre, mami-mamiraino purua, alferrikakorik gabea

AITZIN-SOLASA 15

eta hain bikain burutua ezen haren indarra gu txiagotu egingo bai tzen edozein tasun aldatuz gero.

Zien tzia-ekuazio bikain batek badu beste ezaugarri bat ere: haren edertasunaren baliagarritasuna. Esperimentu adierazgarri guztien emai tzekin bat etorri behar du, eta, are gehiago, oraindik inork egin ez dituen iragarpen ba tzuk egin. Ekuazio baten era-ginkortasunaren alderdi hori zehaztasun bereziko makina baten edertasunaren an tzekoa da, Stanley Kubrick-en Full Metal Jacket

filmean aurkezten zaiguna gogorarazten duena, ikusten dugula-rik Gomer Pyle errekluta bere fusilarekin hi tz egiten («Ederra», xuxurla tzen dio fusilari): fusilaren fabrikazio zeha tz-zorro tza go-resten du Pyle lelotuak, hil kin tzarako hain aproposa bihur tzen duten ezaugarrien xarmaz laketurik. Ez li tzateke hain ederra fu-sila, inondik inora, fun tzionatuko ez balu.

Edertasunaren kon tzeptua bereziki garran tzi tsua zen Eins-teinen tzat, hura baitugu hogeigarren mendeko zien tzia-esteten eredu garbi-garbia. Hans haren seme nagusiaren arabera, «Hur-bilago zegoen haren izaera artista batenetik, irudikatu ohi dugun moduko zien tzialari batenetik baino. Teoria edo lan on baten tzat zuen laudoriorik handiena ez zen esatea hura zuzena edo zeha tza zela, ederra baizik». Hona noraino iri tsi zen behin bere adieraz-penetan: «teoria ederrak dira onar tzeko prest gauden teoria fisiko bakarrak»; jakin tzat jo tzen bai tzuen teoria on batek esperimentue-kin bat etorri behar duela. Einstein baino are urrunago zihoan Dirac, guztiz sine tsita bai tzegoen edertasun matematikoak iriz-pide behar zuela oinarriz ko teoriak balioestean,10 are esateraino «erlijio moduko bat» zela hura beraren tzat. Bere az ken urteetan, denbora asko eman zuen Dirac-ek lurbira osoan bidaiatu eta hi-tzaldi jende tsuak ematen, beraren izena duen ekuazio bikainaren

EDER BEHAR DU16

jatorria min tzagai. Hamaika bider ohartarazi zuenez, edertasuna bila tzea izan zuen beti iparrizar eta inspirazio. 1955ean, Moskuko Uniber tsitateko seminario batean, fisikari buruz ko bere filosofia hi tz gu txitan adierazteko eskatu ziotelarik, hara zer ida tzi zuen ar-belean, letra larriz: «Matematikoki ederrak izan behar dute fisika-ren legeek». Arbel hori erakusgai dago oraindik ere.

Jende arruntagoaren tzat, kredo gogor eta el korra da este-tizismo hori. Prosaikoki, zien tzialari gehienen tzat, edertasuna-ren kon tzeptua ez da, ez axola handiko kontua, ez eta oso gida lagungarria ere beren eguneroko lanean. Egia da zien tzialariek darabil tzaten ekuazioek badutela berez ko edertasun bat eta ekua-zio horien ebazpen zuzenek askoz probabilitate handiagoa dutela ederrak izateko i tsusiak baino. Edertasuna, ordea, iruzurtia izan liteke. Zien tzia josirik dago noizbait eder irudituagatik az ken ba-tean oker gertatu ziren teorien hondakinez: beste iri tzi batekoa zen izadia. 1921ean, lege onez iri tzi zion Einsteinek «eder bai-na zientifikoki taxugabe» Arthur Eddington astrofisikariak pro-posatutako grabitazio-teoria berriari. Handik berrogeita bost bat urtera, partikula subatomiko kontaezinetan barrendu nahian zebil tzan fisikariak trebeak ziren partikulok mul tzo matematiko berritan ordena tzen, baina mul tzo horietariko gehienek —azale-tik duten xarma estetikoa gorabehera— zerikusi gu txi ere gu txi dute izadiarekin.

Teoria berri bat araka tzen duten zien tzialari gehienek ha-ren balioz kotasunaren irizpide nagusi tzat darabilte ea teoria hori esperimentuekin bat datorren. Einsteinek 1920an Mundua neure

ikuspegitik liburuan ohartarazi zuen bezala, «Esperien tziak jarrai-tzen du izaten, jakina, eraikun tza matematiko batek baliagarrita-sun fisikorik duenetz ebazteko irizpide bakarra».

AITZIN-SOLASA 17

Zien tziaren aurrerapena matematikan oinarritutako teo-rien eta esperimentuen arteko konbinaketari esker gerta tzen de-lako ideia moderno samarra da. Floren tzian sortua da, 350 urte baino ez dela: a tzo bertan, gizakion historiari begira tzen badio-gu. Ideiaren sor tzailea Galileo da, lehen zien tzialari modernoa; haren arabera, zien tzia hoberen ari tzen da fenomeno-zerrenda estu bati heldurik eta kontuan harturik gai matematiko zeha-tzez deskriba tzeko moduko legeak izango direla emai tzak.11 Horixe izan zen ideien historia osoko aurkikun tza bikainen eta emankorrenetarikoa.

Galileoren garaitik hona, gero eta matematikoago bilakatuz joan da zien tzia. Gaur egun, lehen mailako zien tzia-tresna dira ekuazioak, eta, teoriko gehienen tzat —eta, dudarik gabe, fisikari gehienen tzat—, ia fede-artikulua da badela beti oinarriz ko ekua-zio bat aztergai duten fenomenoa deskriba tzen duena, edo, beste-la, norbaitek aurkituko duela, egunen batean, ekuazio egoki hori. Nolanahi ere, eta Feynman-i espekula tzea gusta tzen zi tzaion mo-duan, litekeena da, az kenean, izadiaren oinarriz ko legeak ez iza-tea nahitaez matematikoki adierazi beharrekoak, bestelako mo-duz baizik: xake-partida bat arau tzen duten legeen modura, esate baterako.

Oraingoz, ekuazioek eskain tzen bide dute oinarriz ko lege zientifiko gehienak adi tzera emateko modurik eraginkorrena. Ekuazioak, ordea, ez dira zien tzialari guztien ardura, haietariko hainbatek aski baitute matematikaren oinarriz ko tresnak ezagu-turik. Kontu hori hizpide duen iz kirimiri batean, matematikari bat, fisikari bat, ingeniari bat eta biologista bat bildu, eta π-ren zenbakiz ko balioa galde tzen zaie. Matematikariak bipil ki eran-tzuten du: «zirkuluaren zirkunferen tzia zati haren diametroa». Fi-

EDER BEHAR DU18

sikariak, berriz: «3,141593 gehi/ken 0,000001». Ingeniariak dio: «3 inguru». Biologistak galde tzen du: «Zer da π? ».

Hori, jakina, karikatura da. Fisikari ba tzuk ez daude oso jan tziak matematikan; ingeniari ba tzuek trebetasun bikaina dute matematika beren lanean aplika tzeko garaian, eta biolo-gista teoriko ba tzuk zinez dira matematikari apartak. Karika-tura guztien moduan, ordea, badu egiatik zertxobait. Ingenia-riek matematikaren halako ikuspegi praktiko bat izateko joera dute, eta oso ain tzat har tzen dute hurbilpen onak egitea. Zien-tzia guztien artean, fisika da matematikoena, eta biologia ma-tematika gu txienekoa. Galileoren garaitik hona, fisikariek gau-zak sinplifikatuz egin dute batik bat aurrera; mundu arrunteko konplexutasunak beren osagai sinpleenetan zatituz. Biologistek ez dute beti aukera izaten halako erredukzionismoa aplika tzeko, bizidunen mundu izugarri korapila tsua baitute beren ardura-espa-rrua: harremanetan dauden organismoz osaturiko erkidegoak izaten dira tartean, eta organismo bakoi tzaren molekula-egitura konplexu askoak. Ez dezagun ahatz biologiaren teoria batera-tzailea, azalean behin tzat, matematikagabea dela: Darwinek, Espezieen jatorria liburuan hautespen naturalaren bidez ko ebo-luzioari buruz ko bere teoria azal tzean, ez darabil ekuazio bat bera ere. Beste hainbeste gerta tzen da geologoen kasuan, kon-tinenteen jitoaren teoriarekin: gai horren inguruko lehen lanak (I. Mundu Gerra amaitu berritan argitaratuak), ia ekuaziorik batere gabeko idaz kiak dira.

Bilduma honetako saioetan islaturik ageri da zenbaterai-noko garran tzia izan duen matematikak, 1900etik aurrera, zien-tziaren zenbait arlotan; fisikak, beraz, leku handia har tzen du bil-duman. Eder behar du izenburua bera Einsteinek eta Dirac-ek

AITZIN-SOLASA 19

adierazitakoen parafrasia da, eta, izenburu horren bitartez, haiek fisikako oinarriz ko ekuazioez zuten ikuspegia iradoki nahi dut; ez dut esan nahi adierazi dugun zen tzu berean direnik ederrak liburu honetako ekuazio bikain guztiak. Hala ere, nire ustez, ekuazio gehien-gehienek dute edertasun-maila bat.

Einsteinek egindako ekarpen bikainetatik hiru azter-tuko ditugu (E = mc 2 eta erlatibitate orokorraren ekuazioa bar-ne), eta, horrez gainera, mundu subatomikoaz gaur egun dugun ikuspegia taxutu duten beste zenbait ekuazio garran tzi tsu. Di-rac ekuazioak ohorez ko lekua du: elektroiaren portaera egoki azaldu ez ezik, hori bai tzuen jatorrian helburua, orobat iraga-rri zuen, ezustean, bazela zerbait, gerora antimateria deituko zi-tzaiona, garai batean ia uniber tsoaren erdia osa tzen zuena. Ez da harri tzekoa Dirac-ek zera esatea: «Ni baino az karragoa da nire ekuazioa».

Fisika subatomikoko ekuazioek osa tzen dute Eredu Es-tandarra deri tzonaren fun tsa: izen prosaiko askoa gaur egun in-darrean dagoen eta oinarriz ko partikulak eta haien arteko era-gin-trukeak aztergai dituen teoriaren tzat (albo batera u tzirik, ironikoki, indar guztietatik ezagunena, grabitazioa, eredu horren irismenetik kanpo gera tzen baita). Liburu honen hi tz-a tzean aipa-tuko da zer harik osatua den Eredua, hogeigarren mendeko lor-pen intelektual handienetariko bat.

Saioetariko bik biologia modernoaren ekuazioetariko ba-tzuk jorra tzen dituzte. Lehenak azal tzen du nola adieraz daitez-keen matematikoki eboluzioaren ideiak bizidunen munduko ikuspegi abera ts eta aniz koi tza lor tzeko, orein gorriaren ez-tei-portaeratik hasi eta liztor-habietako ar eta emeen propor-

EDER BEHAR DU20

tzioraino. Bigarren saioaren hizpidea mapa logistiko delakoa da: ekologia teorikoko ekuazio aski sinplea i txuraz, hainbat gauza azal tzeko erabil daitekeena, hala nola lorategi bateko urmaeleko arrain-populazioaren aldakun tzak, ehiza-barruti bateko eper ko-puruaren gorabeherak, eta an tzeko beste makina bat kontu. Ze-resan erabakigarria izan zuen ekuazio horrek kaosaren teoriaren historian, ezustean egiaztatu bai tzen harrigarriro bil tzen duela bere baitan jokaera kaotikoa, ho ts, hasierako baldin tzekiko guztiz ere sentikor dena. Neurri handi batean, ekuazio sinple horri zor zaio (hain ere sinplea ekuazioa, non haurrek eskolan ikas baite-zakete) zien tzialariak ondorio jakingarri batera iristea 1970eko hamarkadan: ekuazio ba tzuek iraganaren arabera etorkizuna iragar tzen dutela iruditurik ere, ekuaziook ez dira horretarako gai, zien tzialari gehienek uste izan dutenaren aurka.

Informazio-zien tziak eta adimen estralurtarraren bilaketa izango dira liburu honetako beste bi ekuazioren min tzagaia. Infor-mazio-zien tziei buruz ko saioan, informazio-teorialarien dekanoa dugunaren ekuazioetara hurbilduko gara: Claude Shannon ai tzin-dari izan zen gaur egun komunikazioen iraul tza deri tzo gunaren oinarriko tresneria matematikoa sor tzen. Zernahi informazio-transferen tzia motari aplika dakiz kioke Shannon-en ekuazioak, Internet, irratia eta telebista barne.

Adimen estralurtarraren bilaketa (SETI: Search for Extra-

Terrestrial Intelligence) ez da, beharbada, ekuazio bat tartean izango dela pen tsatuko genukeen ikergaia. Nolatan izango da ekuazio bat existi tzen ez bide den zerbaitetarako? Eran tzuna, hauxe da: SETIren oinarriz ko ekuazioak —Frank Drake astronomo esta-tubatuarrak ida tzia estreina— ez du ezer iragar tzen, baizik eta kate mo tzean lo tzen gurekin komunika daitez keen zibilizazioak

AITZIN-SOLASA 21

existi tzeko probabilitateari buruz ko gure pen tsaera. Ez da ekua-zio ederra Dirac-ek edo Einsteinek uler tzen zuten moduan, bai-na Drake-ren formulak koheren tzia apur bat eran tsi dio nahasbi-de lausoz josia gerta daitekeen arlo bati.

Ekuazio matematikoak ez dira zien tzialariek erabil tzen du-ten ekuazio mota bakarra. Kimikariek darabil tzaten ekuazioak, esate baterako, ez dira sinbolo matematiko hu tsez osatuak; hiz-kiak ere erabil tzen dituzte, atomoak, molekulak eta haien senide submikroskopikoak adierazteko. Ezin konta ahal jarduera indus-trial oinarri tzen dira halako ekuazio kimikoetan: ondoriozta-tzeko moduko eragin-trukeak deskriba tzen dituzte ekuazio-ok, begi hu tsez ia inoiz ikusi ahal izango ez zirenak. Erreakzio kimikoen mul tzo berezi bat jaso dugu liburu honetan, pen-tsamendu kimikoaren ahalaren adierazgarri. Ekuazio horiek, zo-ragarriro sinpleak, fun tsez ko izan ziren zientifikoki uler tzeko, batetik, ozono-geruza murrizten ari zela, eta, bestetik, zergatik gerta tzen zen hori: alegia, CFC (klorofluorokarburo) izeneko konposatu kimiko ba tzuk zebil tzalako Lurraren atmosferan ba-rreiaturik. 1980ko hamarkadaren hasieran, ekuazio sinple horiek ingurumenaren apokalipsiaren atarian egon gintez keelako senti-pena pizten lagundu zioten gizadiari.

Zien tzialari, historialari eta idazle gailenak dira liburu ho-nen egileak. Ki tzikagarrien iri tzi dioten zeinahi alderdiri hel-du diote —Larkin-en tipularen geruzak—, gehienbat saihestuz xehetasun matematiko mal ko-eragileak. Horren emai tza: zien-tzia modernoaren hazi eta oinarri diren ekuazio ba tzuei buruz-ko hausnarketa sorta paregabe bat. Ekuaziook, beren laburtasun, indar eta fun tsez ko sinpletasunari esker, hogeigarren mendeko poesia ederrenetariko tzat jo di tzakegu.

EDER BEHAR DU22

Nire poesia-bildumaren artean, nire mahaiaren gaineko apalean, bada High Windowsen ale bat, batere hau tsik gabea. Ar-tean fisika subatomikoko ikasle hasiberria nin tzela irakurri nuen estreina; borrokan nenbilen arlo hartako oinarriz ko ekuazioak uler tzeko eta haien edertasuna goza tzeko. Poesia-bilduma ingeles literaturako ikaslea eta Larkin-en zalea zen lagun batek oparitu zidan, argitaratu eta handik egun ba tzuetara. Hark niri esana dut nik gaur zuri esateko: «On degizutela tipulek».

Graham Farmelo2001eko abuztua