083_Ejercicios cinematica resueltos

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Adicional No me salen 18 - Una estudiante lanza un llavero hacia arriba, a su

hermana, que est en una ventana 5 m ms arriba. Las llaves son detenidas

por el brazo extendido de su hermana, pero no puede atraparlas, cayendo a

manos de la estudiante que las arroj, quien las recibe 1,6 s despus de que

las lanz. (Considere despreciable el tiempo necesario para detener las llaves). a) Con qu velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?

b) Cul era la velocidad de las llaves justo antes de ser detenidas por la

hermana de la estudiante? Como siempre, empecemos con un esquema.

Pequeas sutilezas del planteo que estoy seguro de que

las resolvs correctamente, pero que no viene mal

aclarar: es obvio que la llave no sale del piso, sino de la

mano de la estudiante... el sentido del ejercicio radica

en que la distancia entre la mano arrojadora y la

receptora mide 5 metros.

Tampoco es inmediato entender lo que ocurre all

arriba. La intervencin de la hermana slo consiste en

detener, frenar, el llavero. Tambin podra pensarse

que la llave pasa de largo y que la intervencin de la

hermana ocurre durante la bajada de las llaves... pero

es ms rebuscado. La cuestin es que cuando la

hermana toca el llavero, inmediatamente sale hacia

abajo desde el reposo. Fijate que en el esquema puse

dos velocidades para ese instante: vh es la velocidad

con la que el llavero llega a la mano de la hermana, y vh

, la velocidad con la que empieza a bajar... que vale

cero. Mir el esquema.

Por ltimo, y como hago siempre, uso un nico SR con

una nica escala de posicin y una nica escala de

tiempo. Despus voy a volver a hacer un comentario

sobre sto.

Tenemos dos movimientos, ambos libres verticales: uno de ascenso y otro diferente de

descenso. Tienen cosas en comn (como que uno empieza justo cuando termina el otro,

tambin que tienen la misma aceleracin...), pero como son dos movimientos diferentes

tienen que tener ecuaciones horarias diferentes; ambas del mismo tipo, y cuyos

modelos son stos:

y = yo + vo ( t to) + g ( t to)

v = vo ( t to) + g ( t to)

modelos (para cualquier MRUV vertical

libre)

De modo que el ejercicio debe describirse con cuatro ecuaciones: dos para el

movimiento de ascenso y dos para el de descenso. Las cuatro se construyen de la

misma manera: reemplazando las constantes de los modelos (to, yo, vo, y g) por las

constantes iniciales de cada movimiento. As quedan:

ascenso

y = vo . t 5 m/s . t

v = vo 10 m/s . t

descenso

y = 5 m 5 m/s . ( t th)

v = 10 m/s . ( t th)

ecuaciones (que describen

todo el movimiento

narrado en el enunciado)

Ahora les pedimos a las cuatro ecuaciones que hablen de los eventos interesantes de los

que pueden hablar cada una: las del ascenso pueden decir algo piola en el instante en

que la hermana las detiene; y las del descenso pueden decir algo interesante cuando

regresan a manos de la estudiante, o sea, en el instante 1,6 s.

ascenso en th

5 m = vo . th 5 m/s . th [1]

vh = vo 10 m/s . th [2]

descenso en F

0 m = 5 m 5 m/s . ( 1,6 s th) [3]

vF = 10 m/s . ( 1,6 s th) [4]

ecuaciones especializadas (slo hablan de los momentos

interesantes del movimiento)

Y a dnde te cres que llegaste: a un sistema de tantas ecuaciones como incgnitas en

donde las incgnitas son las que te pide el enunciado del ejercicio. No inventamos nada,

no hicimos para este planteo nada que no hayamos hecho para todos los ejercicios de

cinemtica... El resto es lgebra. Es muy importante que visualices este lmite entre la

fsica y el lgebra. Si lo hacs... ya pods ir sintindote fsico... porque te lo ganaste.

Te cuento cmo vamos a resolverlo: la ecuacin la vamos a ignorar, ya que no aporta

informacin interesante ni el enunciado nos pide averiguar la velocidad con la que llega

el llavero de regreso (aunque podra). El resto es un sistema de 3x3. De la ltima

vamos a sacar el valor de th. Ojo, es una cuadrtica que para ordenarla tens que

desarrollar el cuadrado del binomio. Ac va:

0 m = 5 m 5 m/s . [ (1,6 s) 2 . 1,6 s . th + th ]

0 m = 5 m 5 m/s . [ 2,56 s 3,2 s . th + th ]

0 m = 5 m 12,8 m + 16 m/s . th 5 m/s . th

0 m = 7,8 m + 16 m/s . th 5 m/s . th

Ahora s se distinguen perfectamente los coeficientes cuadrtico (a), lineal (b) e

independiente (c) de la cuadrtica:

a = 5 m/s , b = 16 m/s y c = 7,8 m

th = 0,6 s

Descartamos el otro valor, t'h = 2,6 s porque, claramente, no es el que buscamos.

Ahora, sabiendo cunto vale th, vamos a la ecuacin [1] y despejamos vo...

5 m = vo . 0,6 s 5 m/s . 0,36 s

vo = 11,33 m/s

Por ltimo vamos a la ecuacin [2] y despejamos vh

vh = 11,33 m/s 10 m/s . 0,6 s

vh = 5,33 m/s

Si nos hubiesen pedido el valor de la velocidad al recuperar el llavero, habramos usado

la ecuacin [4] y habramos obtenido vF = 10 m/s.

Los grficos, como siempre en tndem,

nos revelan detalles y propiedades del

ejercicio que no es bueno pasar por alto.

Mir las reas sombreadas en el grfico

de velocidad: ambas deben valer 5

metros. La segunda es un tringulo, eso

es muy fcil... y la primera, un trapecio.

Chequealo. En ambos tramos, las curvas

de variacin son rectas; y ambas deben

ser paralelas (te las prolongu para que

pudieras apreciarlo) pues la aceleracin

es la misma en ambos casos, tal como se

muestra en la grfica de abajo.

El salto de velocidad que se da en la

atajada de la hermana nos enfrenta a un

compromiso: si respetamos las

condiciones de nuestro universo

deberamos llenar el salto con un trazo

(eso es lo que hice), pero el lenguaje de

los grficos lo prohbe (sabrn

disculparnos).

Capts el detalle en el grfico de

aceleracin? Hay conflicto con ste?

Discusin: apostara que tanto el 95% de los estudiantes que resolvieron este ejercicio

correctamente, como el 80% de los profesores de fsica que lo resuelven frente a un

curso como parte de la prctica, lo hacen de este modo: con la frmula de cada

libre h = gt averiguan el valor del intervalo de la cada (y les da 1 s). Eso se lo restan al tiempo total del viaje (que les da 0,6 s). Conociendo ese tiempo van a la

frmula de distancia de un MRUV, d=votgt, de donde despejan vo; finalmente,

usan la expresin de aceleracin, con la que obtienen el valor de la velocidad en la

atajada a medias de la hermana.

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14) Un cuerpo cae libremente, partiendo del reposo, y emplea 4

segundos en recorrer la primera mitad de su desplazamiento.

a) Cul es el desplazamiento total?

b) Con qu velocidad pasa por la mitad de su recorrido?

c) En qu instante y con qu velocidad termina el recorrido?

Este ejercicio era un poco tontito, as que yo le agregu la ltima pregunta que lo hace

ms interesante.

Voy a empezar con un esquema que me va a permitir

organizar toda la informacin y, de paso, ponerle nombre

adecuado a todos los datos.

Eleg un SR que apunta hacia abajo, pero bien podra haber

elegido el contrario. Slo lo hice para que no llores.

Ahora vamos a armar las ecuaciones horarias que describen

el movimiento. Vas a ver qu facil. Tens que tener los

modelos a mano

y = yo + vo ( t to ) + g ( t to )2

v = vo + g ( t to )

y reemplazar las constantes del modelo (las que te escrib

en verde) por las constantes del movimiento (en general se

eligen las iniciales) y que estn todas en el globito de arriba

(qu casualidad). As quedan:

y = 5 m/s t Estas son las ecuaciones que describen todo el

movimiento, son las que todos se saltean: las ignoran. Y son lo ms importante de la fsica del

ejercicio. v = 10 m/s t

Ahora que tengo armadas las ecuaciones que describen el movimiento, vamos a usarlas,

es decir, les voy a pedir que hablen de los puntos en los que tengo un inters especial: el

1 y el 2.

y1 = 5 m/s 16 s [1]

v1 = 10 m/s 4 s [2]

y2 = 2 y1 = 5 m/s t2 [3]

v2 = 10 m/s t2 [4]

Inevitablemente llego a un sistema de tantas ecuaciones como incgnitas (en este caso 5

y 5, ya que la expresin [3] tiene dos ecuaciones metidas) y slo resta resolverlo. Fijate

que las incgnitas te las pint de azul. No son las variables, son las incgnitas, tan

constantes como cualquier constante. Entends?

A partir de aqu se trata de una cuestin algebraica, no fsica... y bastante sencilla, por

cierto. Yo te ayudo:

Con la ecuacin [1] calculo y1

y1 = 80 m

Sabido y1, es trivial conocer y2

y2 = 160 m

Con la ecuacin [2] calculo v1

v1 = 40 m/s

De la ecuacin [3] y conociendo y2, despejo t2 y lo calculo

t2 = 5,65 s

Finalmente, con ese dato averiguado voy a la ltima ecuacin y obtengo v2

v2 = 56,5 m/s

Ahora, como siempre y en tndem, te voy a hacer los grficos.

El orden del tndem x, v, a, no es

caprichoso ni arbitrario... tiene su lgica,

y el hecho de que los tres se

confeccionen con la misma escala de

tiempo permite acceder a toda la

informacin cinemtica de un solo golpe

de vista.

Fijate que se podra haber hecho de

entrada y sin conocer los resultados. Lo

que importa es lo cualitativo, en este

caso: que la distancia entre y1 e y2 sea

igual a la de y1 y 0; que las curvas son

parbola, recta oblicua y recta horizontal;

que la parbola arranca con una

inclinacin nula, que la relacin entre los

instantes y las velocidades nos parezca

razonable... etctera.

Animate a decirme sin hacer ningn

clculo que no sea mentalmente cul de

las dos reas que colore es mayor. Y si

no te sale, calculalo... y avivate.

Desafo: resolv el mismo problema pero eligiendo un sistema de referencia con

sentido opuesto al que elegimos ac.

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3.5 - Un avin parte del reposo con aceleracin constante y carretea 1800

m por la pista, durante 30 segundos, hasta despegar. Con qu velocidad

abandona la pista? Trazar un grfico velocidad-tiempo.

Obvio, microbio: lo primero es el esquema.

Ahora escribimos las ecuaciones horarias que describen el movimiento del avin. Porsupu, como todo

MRUV. Para hallarlas reemplazamos las constantes de los modelos del MRUV (to, xo, vo y a) por las

"iniciales" de nuestro problema.

Estos son los modelos:

x = xo + vo ( t to ) + a ( t to )2

v = vo + a ( t to )

As quedan despus del reemplazo de constantes. Mir qu bonitas.

x = a t 2

v = a . t

Ahora les pedimos que "hablen" del punto D. Ellas dicen:

Estas son las ecuaciones que describen TODO el movimiento delineado en el

enunciado.

1800 m = a (30 s)

vD = a . (30 s)

Estas dos, en cambio, hablan exclusivamente

del punto D.

Fantstico, qued un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. Ac termin la fsica del problema.

El resto es lgebra y no es tan peliagudo. Igual te ayudo: de la primera ecuacin despejo a. Obtengo

a = 4 m/s

este valor lo meto en la segunda ecuacin y calculo la velocidad en el despegue.

vD = 120 m/s

Vamos a hacer los grficos. Fijate: siempre los hago encolumnados, con la misma escala de tiempo y en

el mismo orden.

Sin hacer ningn tipo de clculos, decir (sin

repetir y sin soplar) cunto valen las reas

sombreadas. (Si no se te ocurre, entonces,

bueno, calculalas... y avivate!)

http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/CINEMATICA/c3_05.html (2 de 2) [08/04/2011 12:18:38]

3.8- El grfico dado representa la

velocidad en funcin del tiempo,

para un automovilista que se

detiene frente a un semforo y

luego arranca.

a -Trazar los grficos correspondientes de

aceleracin y de posicin en funcin del tiempo.

b - Hallar a qu distancia del semforo se

encontraba en el momento en que comenz a

frenar, si pas frente a l en el instante t = 10

segundos.

Vamos a transgredir un poquito y lo resolvemos en el orden no me salen, o sea: dejamos

los grficos para el final y empezamos por un esquema.

paso 1

Como vemos en el grfico de velocidad, hay dos movimientos variados. Al evento

ocurrido 10 segundos antes de pasar al lado del semforo lo llam 0, y lo voy a tomar

como inicio del primer movimiento, que termina en D (por detencin). Se queda en el

mismo lugar detenido. A es el nombre que le puse al nuevo arranque; S, cuando se cruza

con el semforo y C, cuando alcanza la velocidad crucero y decide pasear a esa velocidad.

De 0 a D, hay un MRUV y de A a C, otro MRUV. Tens los modelos de MRUV?

x = xo + vo ( t to ) + a ( t to )

v = vo + a ( t to )

x, 0Dx = 15 m/s . t + ao . t

v, 0D v = 15 m/s + ao . t

x, AC x = xD + aA . ( t 8 s )

v, AC v = aA . ( t 8 s )

Ahora les pedimos a estas ecuaciones que hablen de aquellos eventos de los que

puedan decir algo interesante:

x, 0D, en D xD = 15 m/s . 5 s + ao . 25 s [1]

v, 0D, en D 0 m/s = 15 m/s + ao . 5 s [2]

x, AC, en S xS = xD + aA . ( 10 s 8 s ) [3]

v, AC, en C 10 m/s = aA . ( 13 s 8 s ) [4]

paso 2

paso 3

No lo vas a poder creer: yo cont, y encontr 4 ecuaciones y 4 incgnitas. Ac se acab

la fsica y empieza el lgebra. Pero no desesperes, No me salen est de oferta y te

resuelve el lgebra de ese sistema. De [2] despejo ao y la calculo.

ao = 15 m/s / 5 s = 3 m/s

con este valor voy a [1] y calculo xD.

xD = 15 m/s . 5 s 1,5 m/s . 25 s = 37,5 m

Con la [4] averiguo el valor de aA.

aA = 10 m/s / 5 s = 2 m/s

con estos dos ltimos valores voy a la [3] y sale la posicin del semforo, o sea la

distancia que nos pide el enunciado:

xS = 37,5 m + 1 m/s. 4 s

paso 4

paso 5

xS = 41,5 m

Ahora s, hacemos los grficos como siempre, encolumnados, en orden y escala.

Ac tens un montn de

detalles para prestar atencin...

y aprender a confeccionar

grficos.

Mir la correspondencia a-v-x

para cada tramo de

movimiento. Por ejemplo: en el

primero la aceleracin era

constante y negativa... por lo

tanto la velocidad es

linealmente decreciente y la

grfica de posicin un arco de

parbola de concavidad

negativa. Y as los otros

tramos.

Fijate cmo los ceros de

velocidad se corresponden con

pendientes (inclinaciones) nulas

de posicin.

Mir la forma general de las

curvas: la de posicin debe ser

continua y suave (sin puntos

angulosos). La de velocidad

debe ser continua pero puede

tener esquinas. La de

aceleracin -en cambio- puede

paso 6

3.3- Un automvil parte del reposo con una aceleracin constante

de 2 m/s y se mueve durante 5 segundos. Cunto se desplaza

durante el primer segundo?; cunto durante el ltimo?

El mismo coche, que viene movindose a 20 m/s, frena con

aceleracin constante hasta detenerse en 8 segundos. Hallar su

desplazamiento durante el primero y durante el ltimo segundo de

su frenado. Avanz?

La primera dificultad que tiene este ejercicio es gramtica. Qu!? Gramtica. El 34,71

% de los estudiantes que encaran este problema no pueden resolverlo o lo hacen mal

porque no pueden interpretar correctamente este sencillo enunciado. No me salen te lo

explica: el primer segundo es el que empieza en el instante que llamaremos 0 segundo y

finaliza en el instante 1 segundo. El ltimo segundo es el intervalo que comienza en el

instante 4 s y termina en el 5 s. No es difcil, no es cierto?

Las cuestiones que nosotros llamamos de interpretacin del enunciado tienen mucha

importancia. Tal vez los estudiantes protesten y argumenten que no se trata de una

cuestin de Fsica sino de Lengua. Es probable que algo de razn tengan y habitualmente

en los exmenes se admiten consultas sobre interpretacin de enunciados. Sin embargo,

a mi juicio, la interpretacin de enunciados es tan importante como el resto del planteo y

solucin. Esta sutil diferencia que el 34,71 no llega a pescar, por ejemplo, revela una

cuestin fsica de primersima importancia: la diferencia entre instante y duracin. Quien

no sea capaz de discernir entre ambos conceptos nunca puede acceder cabalmente a la

idea de ecuacin horaria.

chchara. Empecemos , como siempre, por un esquema.

Como ves, el ejercicio (esta primera parte) habla de cuatro eventos distintos que son

cuando empieza y cuando termina cada uno de los intervalos de los que te habla: el

primero y el ltimo segundo. Fijate que al elegir el nombre que le puse a cada evento

nunca elijo un nombre que tenga que ver con el instante, la posicin o la velocidad.

Siempre elijo nombres arbitrarios; eso me evita muchas confusiones. Voy a armar las

ecuaciones horarias que describen TODO el movimiento del auto; para eso me pongo

delante de los modelos correspondientes:

x = xo + vo ( t to ) + a ( t to )2

v = vo + a ( t to )

y reemplazo las constantes (voy a tomar las de la situacin P),

x = 1 m/s t 2

v = 2 m/s2 t

y les pido que hablen de los eventos en los que tenemos algn inters: Q, R y S. En este

caso le voy a dar descanso a la segunda ecuacin, ya que el enunciado nada nos dice ni

nos pregunta sobre las velocidades del auto.

en Q xQ = 1 m/s 1 s

en R xR = 1 m/s 16 s

en S xS = 1 m/s 25 s

De ah calculs el valor de xQ, xR y xS ; y luego, recordando que xP = 0 m armamos los

intervalos.

xQ xP = 1 m

xS xR = 9 m

La segunda parte del ejercicio es un MRUV diferente del primero que en nada se mezcla

con ste, de modo que ac s se justifica adoptar un nuevo SR. Eso s, por supuesto,

tenemos que hacer un nuevo esquema.

Armo las ecuaciones usando las constantes del evento T.

x = 20 m/s t + a2 t2

v = 20 m/s + a2 t

y les pido que hablen de los otros tres puntos. Fijate que ahora s hay un dato sobre

velocidad... la segunda ecuacin va a tener que laburar.

en U xU = 20 m/s . 1 s + a2 1 s

en V xV = 20 m/s . 7 s + a2 49 s2

en W xW = 20 m/s . 8 s + a2 64 s

2da. en W 0 m/s = 20 m/s + a2 8 s

de la ltima sacamos a2 = 2,5 m/s. Eso lo metemos en las otras tres, calculamos las

posiciones, y por ltimo los desplazamientos. Alguna duda?

xU xT = 18,75 m

xW xV = 1,25 m

http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/CINEMATICA/c3_03.html (3 de 3) [08/04/2011 12:13:22]

3) Si 25 segundos despus de haber visto un relmpago se percibe el

ruido del trueno a qu distancia de nosotros se produjo el fenmeno

si la velocidad del sonido en el aire es de 344m/seg y se desprecia el

tiempo de propagacin de la luz?

Se trata de un sencillsimo ejercicio de MRU, ya que aunque el enunciado no te lo diga,

tens que suponer que el sonido viaja a velocidad constante.

Si no te incomoda, voy a hacer un esquema de la situacin.

Tom varias decisiones: llam T (por trueno) al evento en que se produce el trueno. Tom

ese instante como cero de los tiempos, entonces tT = 0 s. Tambin puse el cero de las

posiciones en el lugar donde ocurre el trueno, entonces xT = 0 m. Y llam E (por escucha)

al evento en que el sonido del trueno llega a nuestro odo. Entonces tE = 25 s. Y la

posicin en que nos encontramos se llamar xE y todava no sabemos dnde se halla en

relacin al cero de las posiciones.

Fijate que todas stas fueron decisiones arbitrarias... y bien podra haber tomado otras

diferentes. Pero SIEMPRE hay que tomar decisiones antes de resolver un ejercicio de

cinemtica. Aunque no parezca, lo que estamos decidiendo el un Sistema de

Referencia, que, adems, siempre debe quedar explcito (sobre todo en un examen).

Hay muchas maneras de resolver el ejercicio. Pero la ms importante es la que utiliza la

ecuacin horaria, porque es la que no est enfocada en la cinemtica (algo que

seguramente no te interesa) y es -sin duda- constituye una fsica de exportacin.

Hay que tener a mano el modelo de ecuacin horaria del MRU:

x = xo + v ( t to )

Debemos reemplazar las tres constantes: xo, v y to por las tres constante del movimiento

del sonido del trueno. O sea, xT, v y tT. Queda as:

x = 0 m + 344 m/s ( t 0 s )

Resumidamente:

x = 344 m/s . t

Cuando obtens la ecuacin horaria de un movimiento, el movimiento deja de tener

secretos para vos. Pods preguntarle lo que quieras. Por ejemplo dnde estuvo el mvil

(el sonido del trueno) en el instante 25 s?

xE = 344 m/s . tE

xE = 344 m/s . 25 s

xE = 8.600 m

Nada te impide resolver este ejercicio de otra manera: con proporcionalidades, haciendo

uso de la definicin de velocidad media, o como se te cante la real gana. Pero cuanto

antes aprendas a usar las ecuaciones horarias, antes vas a aprender que la Fsica puede

ocuparse de cualquier fenmeno natural que a vos te interese. La cinemtica debe ser una

excusa para aprender eso, nada ms.

2.1- Los siguientes diagramas corresponden a distintos mviles,

que realizan movimientos rectilneos. Hallar las ecuaciones

horarias para cada uno de ellos, y en qu instantes pasarn (o

pasaron) por la posicin tomada como origen de coordenadas.

Empecemos con el 1. La consigna es armar la ecuacin horaria. Busquemos el modelo de

ecuacin que tenemos que armar... Se trata de un MRU, no cabe duda... Ac est:

x = xo + v ( t to )

Para armarla tenemos que buscar las tres constantes: to, xo y v. Nos da el grfico esa

informacin? A ver si nos ponemos de acuerdo en qu informacin nos da el grfico

exactamente. Volqumosla a una tabla de valores.

Para hallar v usaremos el concepto de velocidad media, ya que para

el MRU velocidad y velocidad media coinciden perfectamente: v =

vm = X / t. Esto implica que tenemos que tener un

desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente. Justo lo

que tenemos.

X = 24 m 6 m = 18 m

t = 6 s 0 s = 6 s

vm = X / t = 18 m / 6 s =

v = vm = 3 m/s

Quines sern to y xo?, parecen ser 0 s y 6 m. Pero tambin podran ser 6 s y 24 m. Qu

dilema... ninguno de los dos pares es el "inicial" del movimiento; tal como figura en el

grfico, parece haber comenzado en el instante -1 s, ms o menos. No discutamos ms,

hagamos de las dos maneras.

Entonces por un lado tenemos la terna de constantes to= 0 s, xo= 6 m y v= 3 m/s; la

ecuacin quedara as:

x = 6 m + 3 m/s . t versin 1

La segunda terna posible es to= 6 s, xo= 24 m y v= 3 m/s que nos da esta otra ecuacin

horaria

x = 24 m + 3 m/s . ( t 6 s ) versin 2

Qu problema! Ser posible que haya dos ecuaciones diferentes para un mismo

movimiento? Habr algn error? Tengo una idea: formulmosle a ambas ecuaciones las

mismas preguntas... dnde estaba el mvil en el instante... A ver si contestan lo mismo.

No cabe duda, responden de la misma manera. Se ve que ambas describen

el mismo movimiento. La verdad... te lo voy a confesar... se trata de la

misma ecuacin, no hay diferencia. Fijate que son exactamente la misma,

parecen diferentes... pero no.

Una de las preguntas que hice para armar esa tabla de valores (penltimo

rengln), es -de casualidad- la que pregunta el enunciado: en qu instante

el mvil pasa por la posicin 0 m. Yo le haba preguntado a la ecuacin

horaria dnde estaba el mvil en el instante -2 s, la respuesta fue x(-2s) =

0 m, de modo que

t(0m) = -2 s el paso por el origen

(Si te perturban los instantes de tiempo negativo te recomiendo leer esto). Ahora, si el

"paso por el origen" hubiera querido encontrarlo ex profeso y no de casualidad, cmo

habra hecho? Fcil: en cualquiera de las dos versiones de ecuacin, reemplazo la variable

x por 0 m; luego, operando algebraicamente, despejo t -que ahora ser t(0m)- que ser el

que se corresponde con 0 m.

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