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SISTEMAS DE NIVEL DE LQUIDO

Un sistema de nivel de lquido (sistema hidrulico), se describe mediante ecuaciones diferenciales lineales o no lineales, en dependencia de si el flujo manipulado es laminar o turbulento, respectivamente. Esto se puede establecer de acuerdo con la magnitud del nmero de Reynolds. Si el nmero de Reynolds est entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento. El flujo es laminar si el nmero de Reynolds es menor que unos 2000. Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para los sistemas del nivel de lquido, es posible describir en forma simple las caractersticas dinmicas de tales sistemas.

Figura 1 Sistema de nivel de lquido

Resistencia: Considere el flujo a travs de un tubo corto que conecta dos

tanques. La resistencia R para el flujo de lquido en tal tubo se define como el cambio en la diferencia de nivel (la diferencia entre el nivel de lquido en los dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en la velocidad del flujo; es decir,

R

3

cambio en la diferencia de nivel m

cambio en la velocidad del flujo m /s

Para entender mejor este concepto, considere el sistema del nivel de lquido de la figura 1. En este sistema el lquido sale a chorros a travs de la vlvula de carga a un lado del tanque. Si el flujo a travs de esta restriccin es laminar, la relacin entre la velocidad del flujo en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de la restriccin se obtiene mediante

Q KH (1)

Donde,

Q : Velocidad del flujo del lquido en estado estable, 3m /s

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K : Coeficiente, 2m /s

H : Altura en estado estable, m

Entonces, la resistencia lR se obtiene mediante:

l

dH HR

dQ Q (2)

Se aprecia que la resistencia del flujo laminar es constante y anloga a la resistencia elctrica. Si el flujo es turbulento a travs de la restriccin, la velocidad del flujo en estado estable se obtiene mediante:

Q K H (3)

La resistencia tR para el flujo turbulento, se obtiene a partir de:

t

dHR

dQ

Derivando la ecuacin (3) se obtiene

2

KdQ dH

H (4)

Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en la ecuacin (2), se tiene

2t

HR

Q (5)

Se observa que la resistencia de flujo turbulento depende del flujo y de la altura.

Sin embargo, el valor de tR se considera constante si los cambios en la altura y en

el flujo son pequeos. Capacitancia: La capacitancia C de un tanque se define como el cambio

necesario en la cantidad de lquido almacenado, para producir un cambio en la altura.

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C

3cambio en el lquido almacenado m

cambio en la altura m

Debe sealarse que la capacidad ( 3m ) y la capacitancia ( 2m ) son diferentes. La capacitancia del tanque es igual a su rea transversal. Si sta es constante, la capacitancia es constante para cualquier altura. Ejemplo 1 Encuentre un modelo matemtico que relacione el flujo de entrada

( )iq t con el flujo de salida ( )oq t , para el sistema de nivel de lquido de la figura:

Figura 2 Sistema de nivel de lquido

Solucin: El parmetro de entrada en este caso es el flujo ( )iq t , y el parmetro de salida es

el flujo ( )oq t , se puede analizar el sistema teniendo en cuenta que:

flujo de entrada - flujo de salida = flujo acumulado

Es decir,

( )( ) ( )i o

dh tq t q t C

dt

Teniendo en cuenta que,

( ) ( )oh t Rq t

Vlvula de control

Vlvula de carga

Capacitancia C

Resistencia

R

iq

oq

h

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Se obtiene: ( )

( ) ( ) oi odq t

q t q t RCdt

Reescribiendo esta ltima ecuacin se tiene una ecuacin diferencial de primer orden:

( ) 1 1( ) ( )o o i

dq tq t q t

dt RC RC

Ejemplo 2 Encuentre un modelo matemtico que relacione el flujo de entrada

( )iq t con la altura del lquido acumulado ( )h t , para el sistema de nivel de lquido

de la figura 2. Solucin: El parmetro de entrada en este caso es el flujo ( )iq t , y el parmetro de salida es

la altura del lquido acumulado ( )h t , se puede analizar el sistema teniendo en

cuenta que: flujo de entrada - flujo de salida = flujo acumulado

Es decir,

( )( ) ( )i o

dh tq t q t C

dt

Teniendo en cuenta que,

1( ) ( )oq t h t

R

Se obtiene:

1 ( )( ) ( )i

dh tq t h t C

R dt

Reescribiendo esta ltima ecuacin se tiene una ecuacin diferencial de primer orden:

( ) 1 1( ) ( )i

dh th t q t

dt RC C

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS A continuacin se presenta el listado de las referencias bibliogrficas requeridas: Golnaraghi, F. & Kuo, B. (2010). Theoretical foundation and background

material: Modeling of dynamic systems. En: Automatic control systems (9a.ed.). (pp. 147-252). Estados Unidos: John Wiley & Sons.

Ogata, K. (2004). Hydraulic systems. En: System Dynamics (4a. ed.). (pp. 164-234). Estados Unidos: Pearson Education.

Ogata, K. (2010). Modelado matemtico de sistemas de fluidos y sistemas trmicos. En: Ingeniera de control moderna (5a. ed.). (pp. 100-158). Madrid, Espaa: Pearson Education.

A continuacin se presenta el listado de las referencias bibliogrficas complementarias: Curso virtual de anlisis de sistemas dinmicos. Recuperado en

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html Design and analyze control systems. Recuperado en

http://www.mathworks.com/help/control/index.html Modelado de Sistemas Hidrulicos. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=oQRzGwQud1I Problemas resueltos de sistemas automticos. Recuperado en

http://www.inevid.com/p/sistemas-automaticos.html Teora de control bsica. Recuperado en http://controltheory.org/index_spa.html