05 Integral Triple
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Matematicas II
Grado de Qumicas
Departamento de Matematica Aplicada
Dpto. de Matematica Aplicada.Facultad de Matematicas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Grado de Qumicas Matematicas II
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple.
[Ref.: Steiner, pp. 261-273]
Sea f (x , y , z) una funcion definida en D R3
Vamos a definir tambien la integral triple de f sobre D como un lmite de sumas,as como se hizo para la integral doble.
Se divide el solido D en m paraleleppedos Pk de volumen Vk = xk yk zk .
En cada paraleleppedo tomamos un punto (x?k , y?k , z
?k ) y evaluamos la funcion:
f (x?k , y?k , z
?k ).
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple.
Definicion
Se define la integral triple de f sobre el recinto D como el siguientelmite, si existe,
D
f dV = lmm
mk=1
f (x?k , y?k , z
?k ) Vk
Se denota por:
D
f dV ,
D
f (x , y , z) dV ,
D
f (x , y , z) dx dy dz,
D
f (x , y , z) dx dy dz
dV = dx dy dz es el elemento de volumen en coordenadas cartesianas.
Propiedad
Si f (x , y , z) es continua en el recinto D (cerrado y acotado), entonces la integral triplede f sobre D existe.
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. d) Calculo de volumenes
Propiedades
Si f (x , y , z) = 1 en el recinto D, entoncesD
1 dx dy dz = Volumen(D).
Si f (x , y , z) representa la densidad de masa del solido D, entonces la masa totales
Masa(D) =
D
f (x , y , z) dx dy dz.
Unidades de la integral.
Dada una funcion f (con unidades [f ]) dependiente de las variables x (conunidades [x]), y (con unidades [y ]), y z (con unidades [z] ), por definicion deintegral triple, se tiene que las unidades de la integral son
D
f (x , y , z) dx dy dz
= [f ] [x] [y ] [z]
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple.
Teorema de Fubini
Si f es una funcion continua en el paraleleppedoD = [a, b] [c , d ] [u, v ], entonces
D
f (x , y , z) dV =
vu
dc
ba
f (x , y , z) dx dy dz =
=
dc
ba
vu
f (x , y , z) dz dx dy = . . .
Hay 6 integrales iteradas cuyo resultado coincide.
El valor de la integral no depende del orden en el cual se haga la integracion si elintegrando es una funcion continua y la region de integracion es un ortoedro decaras paralelas a los planos coordenados.
La integracion ha de hacerse de dentro hacia afuera, ademas hay que tenercuidado de asociar a cada pareja de lmites de integracion la variable deintegracion correcta.
Los metodos de integracion para integrales en una variable se aplicandirectamente en el calculo de integrales iteradas.
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple.
Ejemplo
Calcular la integral de f (x , y , z) = 1 + xyz en el ortoedroD = [0, a] [0, b] [0, c]Notese que en este caso solo podemos esbozar un dibujo de la region de integracion yNO del integrando puesto que, al ser una funcion de tres variables, su grafica es unsubconjunto de R4.
I =
D
(1+xyz) dV =
a0
b0
c0
(1 + xyz) dz dy dx =
a0
b0
[z + xy
z2
2
]z=cz=0
dy dx =
a0
b0
(c + xyc2
2) dy dx =
a0
[cy + x
y2
2
c2
2
]y=by=0
dx =
a0
(cb + xb2
2
c2
2) dx =
=
[c b x +
x2
2
b2
2
c2
2
]x=ax=0
= cba +a2
2
b2
2
c2
2= abc +
a2b2c2
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (d) Aplicaciones
Ejemplo
El cubo D = [1, 2] [1, 2] [1, 2] tiene densidad de masa(x , y , z) = (1 + x)ez y, expresada en g/cm3. Hallar la masa de dichocubo mediante una integral triple, indicando sus unidades.
Masa =
D
(x , y , z) dV =
21
21
21
((1 + x)ez y) dx dy dz =
=
21
21
ez y
[x +
x2
2
]21
dy dx =5
2
21
21
ez y dy dz =5
2
21
ez[
y2
2
]21
dz =
=5
2
3
2
21
ez dz =15
4[ez ]21 =
15
4(e2 e) g
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (d) Aplicaciones
Ejemplo
El cubo definido por
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1,
tiene densidad de masa (x , y , z) = x2 + y 2 + z2, expresada en g/cm3.Hallar la masa del cubo mediante una integral triple, indicando susunidades.
Masa =
D
(x , y , z) dV =
10
10
10
(x2 + y2 + z2) dx dy dz =
=
10
10
[x3
3+ y2 x + z2 x
]10
dy dx =
10
10
(1
3+ y2 + z2) dy dz =
10
[(
1
3y +
y3
3+ z2 y)
]10
dz =
10
(1
3+
1
3+ z2) dz =
[2
3z +
z3
3
]10
= 1 g
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.Repaso de las coordenadas esfericas
[Ref.: Steiner, pag. 258]
1 r es la coordenada radial. Susvalores posibles van desde 0 a +.
2 es la colatitud. Sus valoresposibles van desde 0 a pi.
3 es la longitud. Sus valoresposibles van desde 0 a 2pi.
Las coordenadas esfericas y lascartesianas se relacionan mediante lasecuaciones:
1 x = r sen cos
2 y = r sen sen
3 z = r cos
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones
Cambio de variable a coordenadas esfericas en integrales triples.
Teorema Supongamos que a cada punto (x , y , z) de una region D R3le corresponde un unico punto (r , , ) de una region D en el sistema decoordenadas esfericas; la transformacion T : D D que lleva unconjunto en otro es regular y si f : D R es continua, entonces
D
f (x , y , z) dV =
D
f (r sen cos, r sen sen, r cos ) r 2 sen dr d d.
dr
r sen d
r dEn efecto, el elemento diferencial devolumen en coordenadas esfericas es
dV = r sen d r d dr
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Ejemplo
Calcular el volumen de la esfera D de centro (0, 0, 0) y radio a.
En este ejercicio la region de integracion tiene una expresion mas simple encoordenadas esfericas: en efecto, la esfera de centro (0, 0, 0) y radio a, en coordenadasesfericas, se parametriza por
0 r a, 0 pi, 0 2pi
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Volumen =
D
1 dV =
2pi0
a0
pi0
r2 sen d dr d =
2pi0
a0
r2 [-cos ]pi0 dr d =
= 2
2pi0
a0
r2 dr d = 2
2pi0
[r3
3
]a0
d =2a3
3
2pi0
d =4
3pia3.
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Ejemplo
Evaluar la integral de la funcion f (r , , ) = 1 + r 2 cos2 sen2 en laesfera D de centro el origen y radio a.
Procedemos a calcular la integral en el dominio de integracion (expresado en esfericas)
0 r a, 0 pi, 0 2pi.
D
(1 + r2 cos2 sen2) dV =
2pi0
a0
pi0
(1 + r2 cos2 sen2) r2 sen d dr d =
=
2pi0
a0
r2[cos r2 sen2 cos
3
3
]pi0
dr d =
2pi0
a0
r2(2 +2
3r2 sen2) dr d =
=
2pi0
[2
r3
3+
2
3sen2
r5
5
]a0
d =
2pi0
(2a3
3+
2
3
a5
5sen2 ) d =
4
3pia3 +
2 a5
15pi.
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Aplicacion
Cuando la region de integracion es todo el espacio tridimensional, laintegral triple es, en esfericas,
R3
f dV =
2pi0
pi0
0
f (r , , ) r 2 sen dr d d
Notese que da lugar a una integral impropia. Dichas integrales son utilizadas, porejemplo, en qumica cuantica:
Ejemplo
Calcular la integral en R3 de la densidad de probabilidad del orbital 1s del atomo dehidrogeno. La funcion de onda de este orbital es
1s =1pia30
er/a0 (a0 es el radio de Bohr).
Solucion: Tenemos que calcularR3
21s dV =
2pi0
pi0
0
1
pia30e2r/a0 r2 sen dr d d
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
R3
21s dV =
2pi0
pi0
0
1
pia30e2r/a0 r2 sen dr d d =
2pi0
pi0
1
pia30
2
(2/a0)3sen d d =
2pi0
1
pia30
a304
2 d =4pi
pia30
a304
= 1
La probabilidad de hallar el electron en alguna parte del espacio es igual a la unidad.En los calculos, se uso la igualdad
0ear rn dr =
n!
an+1.
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Aplicacion
En mecanica cuantica, si la densidad de probabilidad es el cuadrado del modulo de unafuncion de onda, el valor promedio de una funcion f viene dado por
f =
R3
f ||2 dV ,
se le suele llamar valor esperado de f en el estado .
Ejemplo
Hallar la distancia promedio del electron al nucleo para el orbital 1s del atomo dehidrogeno.
Solucion: En este caso, la distancia del un punto P al origen es f (r , , ) = ry su valor esperado es r1s =
R3
r |1s |2 dV .
r1s =
2pi0
pi0
0
1
pia30e2r/a0 r3 sen dr d d =
=1
pia30
2pi0
pi0
6
(2/a0)4sen d d =
1
pia30
3 a408
2
2pi0
d =4pi
pia30
3 a408
=3
2a0
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Ejemplo
Hallar la integral de f (r , , ) = r3 er en todo el espacio.
Solucion:
I =
R3
r3 er dV = 2pi
0
pi0
0
r3 er r2 sen dr d d =
=
2pi0
pi0
5! sen d d = 5! 2
2pi0
d = 240 2pi = 480pi
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Ejemplo
El orbital 2pz del atomo de hidrogeno es
2pz = C r er/2a0 cos ,
donde C es una constante. Hallar el valor de C que normaliza dicho orbital.
Solucion: 22pz es la densidad de probabilidad electronica del orbital 2pz , por tanto, suintegral en todo el espacio es igual a 1:
1 =
R322pz dV =
R3
C 2 r2 er/a0 cos2 dV =
=
2pi0
pi0
0
C 2 r2 er/a0 cos2 r2 sen dr d d =C 2 4!
(1/a0)5
2pi0
pi0
cos2 sen d d =
= C 2 4! a50
2pi0
[ cos
3
3
]pi0
d = C 2 4! a502
3
2pi0
d = C 2 4! a502
32pi = C 2 32pi a50
Por tanto, despejando C obtenemos
C =1
4
2pi a50
.
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.Repaso coordenadas cilndricas
[Ref.: Steiner, pag. 270]
1 : Sus valores posibles van desde 0a +.
2 : Sus valores posibles van desde 0a 2pi.
3 z : Sus valores posibles van desde a +.
Las coordenadas cilndricas y lascartesianas se relacionan mediante lasecuaciones:
1 x = cos
2 y = sen
3 z = z
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones
Cambio de variable a coordenadas cilndricas en integrales triples.
Teorema Supongamos que a cada punto (x , y , z) de una region D R3le corresponde un unico punto (, , z) de una region D en el sistemade coordenadas cilndricas; la transformacion T : D D que lleva unconjunto en otro es regular y si f : D R es continua, entonces
D
f (x , y , z) dV =
D
f ( cos, sen, z) d d dz .
Ejemplo
Calcular el volumen de la region cilndrica C de radio a entre z = 0 yz = b.
Solucion: En este ejercicio la region de integracion tiene una expresion mas simple encoordenadas cilndricas: en efecto, la region cilndrica C de radio a entre z = 0 yz = b, en coordenadas cilndricas, se define por
0 a, 0 2pi, 0 z b
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Volumen =
C
1 dV =
2pi0
b0
a0 d dz d =
2pi0
b0
[2
2
]a0
dz d =
=a2
2
2pi0
b0
dz d =a2
2
2pi0
[z]b0 d =a2 b
2
2pi0
d = a2 bpi.
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Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Ejemplo
Integrar la funcion f (x , y , z) = y 2 z3 en la region cilndrica C de radio aentre z = 0 y z = 1.
Solucion: La region cilndrica C de radio a entre z = 0 y z = 1, en coordenadascilndricas, se define por
0 a, 0 2pi, 0 z 1
C
y2 z3 dV =
2pi0
10
a02sen2 z3 d dz d =
2pi0
10
[sen2 z3
4
4
]a0
dz d =
=a4
4
2pi0
10
sen2 z3 dz d =a4
4
2pi0
[sen2
z4
4
]10
d =a4
16
2pi0
sen2 d =a4 pi
16
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