eONTENIDOS

1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1.1. Masas puntuales y

sólidos rígidos. 1.2. Postulados.

2. TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO. ECUACiÓN DE MOVIMIENTO Y FUNCiÓN HORARIA 2.1. Trayectoria. 2.2. Desplazamiento. 2.3. Ecuaciones.

3. VECTOR VELOCIDAD 3.1. Velocidad instantánea. 3.2. Velocidad angular. 3.3. Ecuación espacio-

tiempo.

4. VECTOR ACELERACiÓN 4.1. Sistema de referencia

intrínseco. 4.2. Componentes

intrínsecas de la aceleración.

4.3. Aceleración angular.

5. MOVIMIENTOS RECTILíNEOS Y CIRCULARES 5.1. Ecuación del espacio. 5.2. Movimientos rectilíneos. 5.3. Movimientos circulares. 5.4. Movimiento vibratorio

armónico simple.

AMPLIACiÓN. ESTUDIO VECTORIAL DEL MOVIMIENTO CIRCULAR. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

96

,

CINEMATICA DEL PUNTO

Si el objetivo fundamental de la Mecánica es el estudio de fuerzas y movimien­tos , fuerzas en algunos casos produciendo equilibrio y en otros generando mo­vimientos, resulta necesario que, al abordar el tratamiento de esta segúnda fa­se, hagamos un amplio repaso y «puesta a punto» de conceptos, principios y leyes cinemáticas estudiadas en cursos anteriores. ¿Cuál es la idea de movimiento y por qué el movimiento es un fenómeno relati­vo? ¿Por qué la velocidad y la aceleración tienen carácter vectorial? ¿Qué in­fluencia tienen estas ideas en un estudio práctico y técnico de los movimientos? En la realidad, se mueven los cuerpos. Interpretar correctamente el movimiento de un cuerpo -que podemos considerar como un sistema de puntos materia­les- supone. dominar a la perfección la Cinemática del Punto. Ése es el objetivo de esta Unidad. .

1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

La Cinemática es la ciencia que estudia los movimientos sin considerar las causas que los originan; atiende, por tanto, a las características que pre­sentan (trayectoria, velocidad, aceleración ... ) y a las modificaciones que puedan experimentar.

La idea de movimiento, en principio muy intuitiva, suele asociarse equi­vocadamente a un cambio en la distancia (decimos, por ejemplo, que un co­che se mueve si se acerca o aleja de nosotros); sin embargo, vemos cómo hay casos de movimiento donde el móvil no modifica su distancia respecto al punto referencia (un punto de la periferia de una rueda, al girar ésta, no varía su distancia al centro de giro).

El movimiento, según se estudió en cursos anteriores, se define en estos términos:

Cambio del vector posición de un punto respecto a un sistema de refe­rencia que se considera arbitrariamente fijo.

Obsérvese que esta definición obliga a entender el movimiento como un fe­nómeno relativo que exige la concreción arbitraria de un sistema de referencia.

1.1. Masas puntuales y sólidos rígidos

La Física es una ciencia que usa modelos para la interpretación yel estu­dio de los fenómenos. Un modelo es una idealización de una realidad me­diante el cual la explicación de «lo real» es perfectamente posible y lógica.

En Cinemática, dada la multiplicidad de formas, tamaños, masas .. . de los posibles objetos móviles, se simplifica su presencia en dos modelos ar­quetipo: puntos materiales y sólidos rígidos.

Por punto material o masa puntual se entiende aquel ente adimensio­nal (sin dimensiones de largo, ancho, alto ... ) cuya existencia se concreta en un número real positivo (que indica el valor de una masa) y en un vector posición que lo sitúa en el espacio respecto a un sistema de referencia.

Según lo expuesto ¿es posible idealizar movimientos de cüerpos reales como si se tratase de masas puntuales?

La respuesta hemos de basarla en la masa que se asigne al sistema de referencia. Así, por ejemplo, la Tierra es una masa puntual si se estudia su movimiento respecto al Sol; la masa de un atleta es puntual respecto a la de la Tierra, y la masa de una bola que lanza un deportista se considera puntual respecto a la masa de éste.

Se entiende por sistema material a un conjunto de masas puntuales; si éstas mantienen permanentemente constantes las distancias mutuas que las separan, el sistema se denomina sólido rígido y su definición inicial ya fue explicada en la Unidad 3. En muchos casos de movimientos el sólido rí­gido se comporta como un punto material, de masa igual a la del sólido, localizado en el centro de gravedad.

1.2. Postulados

Partiendo de una idea de «aplicabilidad tecnológica», hemos de consi­derar que en la mayoría de los casos los movimientos de mecanismos y sistemas en las máquinas y dispositivos similares son movimientos de só­lidos rígidos y que, además, sus velocidades son relativamente muy pe-

Unidad 5

97

CINEMÁTICA DEL PUNTO

O'

O

Breve biografía de Newton

El físico y matemático inglés Isaac Newton nació en Woolsthorpe, Lincolnshire, el 25 de diciembre de 1642 (precisamente el mismo año de la muerte de Galileo) y murió en Londres el 20 de marzo de 1727. Estudió en el Trinity Co­lIege de Cambridge, donde más tarde fue profesor de Matemáti­cas. Su obra más famosa es Phi­losophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemá­ticos de la filosofía natural) (1687), en la que aparecen los tres principios de la Dinámica . Enunció la ley de la gravitación universal y también llevó a cabo investigaciones sobre Óptica, que le permitieron establecer la com­posición de la luz blanca y el aná­lisis de los llamados anillos de Newton. En el campo de las Ma­temáticas desarrolló el cálculo di­ferencial. En 1672 fue elegido miembro de la Royal Society. Su nombre va asociado a la Mecáni­ca Clásica, de la que puede consi­derarse su fundador.

98

queñas comparadas con la velocidad de la luz en el vacío. Esto nos permi­te, como regla general, utilizar como base los postulados de la Mecánica clásica y prescindir de los expuestos en la Teoría de la Relatividad de Einstein.

Según esto: •

• La masa es una propiedad constante de los cuerpos e independiente de la velocidad que posean (la Física relativista no lo entiende as~.

• El intervalo de tiempo entre dos sucesos es independiente (y constan­te) del sistema de referencia elegido.

• La distancia que separa a dos sucesos simultáneos es, asimismo, in­dependiente (y constante) del sistema de referencia elegido. En la fi­gura vemos como el vector X, diferencia entre dos vectores posición, es independiente del sistema de referencia O u O' que se elija.

2. TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO. ECUACiÓN DE MOVIMIENTO Y FÜNCIÓN HORARIA

La idea de movimiento se asocia a la necesidad de un sistema derefe­rencia que, como norma general, se concreta en una terna de ejes coorde­nados cartesianos cuyo origen no está sometido a aceleración alguna (es un punto fijo y posee movimiento rectilíneo y uniforme). Este tipo de sistemas de referencia se denominan galileanos o inerciales.

Evidentemente, si se trata de movimientos en un plano, basta concretar dos ejes coordenados; si se estudia el movimiento a lo largo de una recta, será suficiente la concreción de un solo eje.

2.1. Trayectoria

Cuando un punto se mueve respecto a un sistema de referencia describe, al cabo de cierto tiempo, una linea (tra­yectoria) que se corresponde con la que originan los extremos de los distin­tos vectores posición del punto móvil en cada instante.

La longitud del «camino» recorrido por el móvil, o medida de la trayecto­ria, es una magnitud escalar normal­mente expresada en metros (unidad SI) o en kilómetros.

2.2. Desplazamiento

Se designa con este nombre a la di­ferencia entre dos vectores posición (fi­nal e inicial). Se trata, por tanto, de un vector dirigido desde un punto inicial (posición inicial) hasta otro final.

Si (1 viene dado por

(1 = x1 . 7+ Y1 ·7+ Z1 . k

z

x

z

y

x

el vector desplazamiento corresponde a:

&=r2-r1=(x2-x1) ' /+(Y2-Y1) ·7+(Z2- Z1) · j{

Comparando lo expuesto para la trayectoria y el desplazamiento se llega a las siguientes conclusiones:

• El desplazamiento jamás se iden­tifica con la trayectoria: aquél es una magnitud vectorial y ésta una escalar.

• El módulo o valor del desplaza­miento coincide con la longitud de la trayectoria en movimientos rectilíneos sin retroceso y en mo­vimientos de recorrido muy pe­queño (infinitesimal).

• En movimientos cuya trayectoria no sea rectilínea el módulo del desplazamiento siempre será menor que la longitud de la tra­yectoria.

x

2.3. Ecuación de movimiento y función horaria

o y

as=M

Un movimiento queda definido cuando se conoce su ecuación; es decir, una expresión matemática que permite determinar en cada instante la po­sición del móvil. La expresión r = r (t) es característica de cada movimiento y recibe el nombre de ecuación del movimiento.

El vector posición r puede expresarse según sus componentes rectan­gulares

r = rx / + ry 7 + rz j{ = x / + y 7 + Z j{

lo que, a su vez, da lugar a las tres ecuaciones escalares: x = f(t ); y = f ( t) ; z = f ( t), llamadas ecuaciones paramétricas del movimiento.

Eliminando entre ellas la variable t (tiempo) se obtiene la ecuación de la t rayectoria.

Unidad 5

x as = ar

~ __________________________________________________________ ~emplos I 1. El vector posición de un móvil, en función del tiempo, viene expresado

por r = (t 2 - 2t + 2) / + (3t - 3 ) 7. Deducir la ecuación de la trayectoria y

Solución:

El movimiento tiene lugar en el plano XY (falta la componente z) sien­do sus ecuaciones paramétricas.

x= t 2 -2t+2

y=3t-3

Para eliminar la variable tiempo conviene, en este caso, despejar t en la segunda ecuación: t = (y + 3) /3 Y sustituir su valor en la primera.

El resultado final es y2 - 9x + 9 = O que corresponde a la ecuación de una parábola (la representada en la figura).

99

CINEMÁTICA DEL PUNTO

Cuando se conoce previamente la forma de la trayectoria (recta, circular, parabólica ... ) el problema suele reducirse al cálculo de la posición del móvil en función del tiempo. En este caso se trata de una ecuación s = f(t) deno­minada función horaria, cuya solución conduce al conocimiento de la dis­tancia que separa al móvil, en un instante dado, del sistema de referencia, medida esta distancia a lo largo de la trayectoria.

La presencia en ella de un término independiente indica la distancia o es­pacio inicial (frecuentemente representado por so) respecto al sistema de referencia, a la que ya se encontraba el móvil antes de contar el tiempo.

I Ejemplos

1. La función horaria de un movimiento viene dada por s = 3 f + 2 t + 8 Y la de otro por s = 3 f + 2 t - 8, expresadas ambas en el SI ¿Qué distan­cia, respecto al origen, separaba al móvil, para t = O en cada caso?

Solución:

En la primera ecuación el término independiente + 8 (SI) indica que el móvil estaba 8 m a la derecha (o hacia arriba o hacia adelante) res­pecto al origen de referencia; en el segundo caso estaba 8 m a la iz­quierda (hacia abajo o hacia detrás) respecto al origen.

La distancia respecto al origen puede o no coincidir con el espacio reco­rrido por el móvil durante su movimiento. Así, por ejemplo, en un movimien­to con retroceso, cuando el móvil retorna a su posición inicial (que podemos suponer como sistema de referencia) la «distancia al origen» es nula, y sin embargo, existe un camino recorrido.

I Ejemplos

100

1. En un lanzamiento vertical hacia arriba el móvil está sometido a la siguiente ecuación (función horaria):

s=30t-5t 2 (SI) Calcula:

a) en qué instantes pasa por la posición inicial y por un punto situado a 20 m del origen.

b) qué espacio recorrió cuando retornó a la posición inicial.

Solución:

a) Para s = O se tiene: 0= 30 t - 5 t 2 cuya solución conduce a t1 = O ; t2 = 6 s

Para s = 20 m: 20 = 30 t - 5 f; de donde t1 = 0,76 s Y t2 = 5,28 s. Por el punto 20 m el móvil pasa dos veces: una al subir y otra al bajar.

b) La ecuación de la celeridad, según se explicó en cursos anteriores (v= ds/dt) , es en este caso: v= 30 -10t. Vemos en ella que el móvil se detiene (v = O) cuando t = 3 segundos. Antes de detenerse el móvil recorrió

S1 = 30 . 3 - 5 . 32 = 45 m

y en el retroceso, que dura 6 - 3 = 3 segundos, y lo efectúa partiendo del reposo:

1 2 2 S2 = - a t = 0,5· 10· 3 = 45 m

2

El espacio total recorrido por el móvil es s = S1 + S2 = 90 m

Unidad 5 ...................................................................•...........................

e Actividades :::> 1. La ecuación de un determinado movimiento (función horaria) es s = 10 + 5 t+ t 3

• Calcúlese el espacio inicial y la distancia al origen en el instante 5 segundos. ..

Resultado: a) 10m; b) 160 m

2. La posición de una partícula material que se desplaza sobre el eje OX viene dada, en función del tiempo, por x= t2

- 6 t+ 5 (SI). Hallar el espacio recorrido por ella en los cinco primeros segundos de su movimiento.

Resultado: s = 13m

3. Las trayectorias de dos móviles tienen por ecuaciones: S1 = 4 t2 + 3 t- 5 Y S2 = 2 t2 + 2 t+ 3 (SI). ¿Qué relación existe entre los espacios recorridos por ambos al cabo de 5 segundos?

3. VECTOR VELOCIDAD

Cuando un móvil modifica su posi­ción respecto a un sistema de referen­cia, invierte para ello un cierto tiempo, pudiendo formularse una relación entre el vector desplazamiento (diferencia en­tre dos posiciones) y el tiempo. Dicha relación se denomina velocidad media y, lógicamente, tiene carácter vectorial:

Se trata de un vector dirigido en la dirección de & y cuyo módulo no tiene porqué coincidir con el cociente escalar

[3Js v -m- M

o y

x As = Ar

conocido como celeridad media o velocidad media sobre la trayectoria·· (recuérdese que el módulo del desplazamiento coincide con la longitud de la trayectoria en movimientos rectilíneos sin retroceso y en desplazamientos infinitesimales).

3.1. Velocidad instantánea

Los valores medios de una magnitud cualquiera son, normalmente, valo­res ficticios (cuando se dice que un coche hizo una «media» de 90 km/h no se quiere afirmar que fue siempre a esa velocidad); de ahí que tengan mayor sentido de realidad aquellos que corresponden a cada instante, dt, del su­ceso; en este caso, del movimiento.

La velocidad instantánea, por tanto, vendrá definida por el vector

I v=: I

o también

I v=v .ij

Resultado: s/ S2 = 1,91 7

Significado "geométrico" de la velocidad

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente trazada en ese punto a la curva representativa de la función. Por otra parte, la veloci­dad instantánea viene definida por la derivada respecto al tiem­po del vector posición. Por lo tan­to, la dirección del vector veloci­dad instantánea será siempre tangente a la trayectoria, siendo su sentido el del movimiento.

Si designamos por i un vector unitario tangente a la trayectoria, la velocidad instantánea se puede

expresar de la forma: v = v·r

El vector velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

101

CINEMÁTICA Del PUNTO

Hodógrafas

Si un móvil recorre una trayecto-ria determinada, y los vectores re-presentativos de su velocidad se sitúan ordenadamente con rela-ción al tiempo con un mismo ori-gen O en el espacio, los extremos de dichos vectores determinan una curva que recibe el nombre de hodógrafa de velocidades. Se puede apreciar que mientras el móvil describe la trayectoria, el punto representativo de la veloci-dad recorre la hodógrafa.

De un modo semejante se puede definir la hodógrafa de acelera-ciones.

v2

_

v1 v3

TffiY_~ v1

O - Hodógrafa V2

v3

Hodógrafa de velocidades.

102

siendo ü el vector unitario en la dirección y sentido de v. A v se le denomina celeridad y representa el valor de la velocidad en cada instante. Teniendo en cuenta que el módulo de df coincide con ds (el arco tiende a confundirse con la cuerda) se cumplirá que:

y por tanto:

dr ds v=-=-

dt dt

- ds ­v=_·u dt

En el caso de que r venga expresado en función de las componentes rectangulares r=x 7+ y 7 +z k, el vector velocidad vendrá dado por

- dr dx -: dy -: dz -v=-=- ·/ +- ' J +- ·k

dt dt dt dt

y en consecuencia:

dx dz v =­

x dt dy

v =-y dt

v =­Z dt

siendo el valor de v:

I Ejemplos

1. Las ecuaciones paramétricas de un movimiento son:

x = i t + ~} (SI)

y=2t+4

Deducir:

a) la ecuación del movimiento

b) la ecuación de la trayectoria

c) la celeridad en el instante 2 segundos

Solución:

b) Despejando t en la segunda ecuación y sustituyendo en la pri­mera se tiene

y=6x+3

que corresponde a la ecuación de una recta

dy v =-=2 mis

y dt

Unidad 5

3.2. Velocidad angular

Si el móvil describe una trayectoria circular, el arco recorrido en un ins­tante dado viene definido por la expresión ya conocida ~s = Mp . r, siendo Mp el ángulo descrito por el vector posición (ángulo que debe expresarse en ra­dianes) y r el radio de la curva a la que pertenece la trayectoria.

, Según lo explicado:

ds dq; ·r dq; v=-=--=- ·r=O)·r

dt dt dt

La expresión

se denomina velocidad angular. En el Sistema Internacional se mide en radls (rad . s - 1). Es frecuente que en la práctica se exprese en revoluciones por minuto (rpm).

Ejemplos r-------------------------------------1. La velocidad tangencial adecuada para trabajar el hierro fundido

es 0,6 mis aproximadamente. ¿A cuántas revoluciones por minuto debe girar en un torno una pieza de 5 cm de diámetro? Solución:

El radio de la pieza es 2,5 cm = 2,5 . 10- 2 m

_ v _ 0,6 mis _ 24 d l _ 24 rad 1 rev 60 s ~ 230 0)--- - ra IS- - .---.-- ~ rpm

r 2,5 .10-2 m s 2nrad 1min

3.3. Ecuación espacio-tiempo

I

Carácter vectorial de la velo­cidad angular

Convencionalmente la velocidad angular se representa mediante un vector axial, cuyo módulo co­rresponde al valor de dicha velo­cidad, cuya dirección es perpen­dicular al plano de giro y cuyo sentido viene dado por la regla de Maxwell en el supuesto de que el sacacorchos gire como lo hace el móvil.

La expresión v= ro· r en forma vectorial se escribiría así:

Ejemplos La expresión de la celeridad ins­tantánea (v = dsldt) permite, por in­tegración, deducir la ecuación que liga al espacio recorrido por el móvil con el tiempo empleado en ello. Evi­dentemente, por tratarse de una in­tegral indefinida, su solución correc­ta exige el conocimiento previo del espacio inicial, si es que existe.

r-------------------------------------

En general:

s= f v·dt

En el caso de que se conozcan los datos que definen el intervalo de tiempo (instante inicial y final) la in­tegral estaría expresada entre tales limites:

s = fl v · di lo

1. La ecuación de la celeridad en un determinado movimiento es

v= 6 + 8t (SI)

Suponiendo que el origen de espacios coincide con el de tiem­pos, ¿qué longitud habrá recorrido el móvil a los 5 segundos de iniciado el movimiento? ¿Yen el quinto segundo?

Solución:

a) En este caso el espacio inicial es nulo y, por tanto, para t = 5 s

s = f v . dt = f (6 + 8 t) dt = 6 t + 4 t2 = 130 m

o también:

f5 f 5 5

S = o v· dt = o (6 + 8 t) dt = [6 t + 4 t2 lo = 130 m

f5 f5 5

b) s= 4v.dt= 4(6+8t)dt=[6t+4t2 L=42m

I

103

CINEMÁTICA DEL PUNTO .....•...................................................................................

e Actividades ::::>

104

1. ¿Qué diferencia existe entre velocidad y celeridad?

2. Expresa en m/s las siguientes velocidades 108 km/h; 7,2 hm/min; 15 nudos (1 nudo = 1 milla/hora) .

Resultado: 108 km/h = 30 m/s; 7,2 hm/min = 12 m/s; 15 nudos = 7,72 m/ s

3. El vector posición de un móvil viene dado por r= t 2 7 + 2 t 7 + 4 k (S 1). Hallar su velocidad media entre los instan­tes t= 1 s y t= 3 s.

Resultado: ¡¡m = 4 7+ 27 (S 1)

4. la distancia de un móvil a un punto fijo de su trayectoria, medida a lo largo de la misma, viene dada en función del tiempo por la expresión:

S=2t 2+4t+8

en la que s y t se miden en metros y segundos, respectivamente.

Hallar la celeridad media del móvil en el intervalo comprendido entre los instantes t= 1 s Y t= 3 s.

5. la función horaria del movimiento de un punto material es:

s = 2 t 2 - 12 t+ 30

en la que t se expresa en segundos y s en metros. Hallar:

a} la celeridad instantánea al cabo de 2 segund~s .

b} El instante de tiempo en que la celeridad se anula.

c} la celeridad media del móvil entre los instantes t= 1 s Y t= 4 s.

Resultado: v m = 1 2 m/ s

Resultados: a} V2 = - 4 m/s; b} t= 3 s; c} vm = 10/3 m/s

6. Un motor de aeroplano, con su hélice, se coloca sobre un banco de pruebas. las palas de la hélice tienen, cada una, una longitud de 1,8 m.

a} ¿Qué velocidad tienen los extremos de las palas cuando el motor gira a 1 200 rpm?

b} ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto de la pala situado a igual distancia del eje y del extremo?

Resultados: a} v= 226 m/s; b} v= 113 m/s

4. VECTOR ACELERACiÓN

Todo cambio producido en el vector velocidad, ~ii, tarda un tiempo más o menos largo en realizarse, M, definiéndose el vector aceleración media, o simplemente la aceleración media, como la relación:

~~V a =­m M

Se trata de una magnitud vectorial cuyo módulo, en el sistema interna­cional, se mide en m/s2

•

Considerando variaciones infinitesimales del vector velocidad y del esca­lar tiempo, definiríamos matemáticamente el concepto de vector acelera­ción instantánea o aceleración:

~dV a=-

dt

Unidad 5 .........•...••••••.•......•.............•.............................................•.........

4.1. Sistema de referencia intrínseco

Un sistema de referencia cartesiano, como el que hemos utilizado hasta ahora, no depende de la posición del punto material, y se dice que es un sistema de referencia extrínseco.

Vamos a considerar, ahora, un sistema de referencia diptinto, llamado in­trínseco, en el que la posición de su origen coincide en todo momento con la del móvil y la orientación de sus ejes va variando en el transcurso del tiempo a medida que transcurre el movimiento.

El triedro intrínseco consta de tres planos:

• Plano osculador: Es el formado por la tangente y la cuerda MP, cuando P tiende a M (véase figura).

• Plano normal: Es el plano perpendicular a la tangente en el propio punto de tangencia.

• Plano rectificante: Es el plano perpendicular al plano osculador que contiene a la tangente.

- La intersección del plano osculador y del plano normal determina el eje normal.

- La intersección de los planos normal y rectificante es el eje binormal.

- El tercer eje del triedro (intersección de los planos osculador y recti-ficante) es el eje tangente.

Sobre estos ejes se definen sendos vectores unitarios i (en el sentido del movimiento), ñ (hacia la concavidad de la trayectoria) y E (de un sentido tal que se cumpla E = i Á ñ).

En el caso del movimiento plano, podemos prescindir del eje binormal, así como de los planos normal y rectificante, y considerar tan sólo los ejes tangente y normal. A las componentes de la velocidad y de la aceleración con respecto a estos ejes se las llama componentes intrínsecas. Evidente­mente, como la velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto: v = v . i (el vector velocidad sólo tiene componente tangencial).

4.2. Componentes instrínsecas de la aceleración

Si un móvil en un instante dado posee una velocidad v y al cabo de un tiempo brevísimo, dt, la modifica a v' = v + dv, el vector aceleración corresponde a la expresión:

- dv a=-

dt

El vector dv puede descompo­nerse en dos componentes rectangulares: uno, en la dirección de v' y otro, perpendicular a ella. Son los vectores dp y dé¡ (ver figura) que, a su vez, pueden expresarse como múltiplos de sus unitarios ñ y i según: dv=dp ·ñ+dq ·i. Y, por tanto:

- dp - dq _ a=-·n+-·r

dt dt

Cuando qJ tiende a cero la expresión dp/dt equivale a v2/r puesto que d p = v . sen qJ "" v . qJ rad = V . ds/r y, en consecuencia:

Tangente

ro E o c: ai

Normal

M

Trayectoria

La tangente y la cuerda MPdeterminan el plano osculador.

ñ

Trayectoria

Movimiento plano.

q.' ~

%, x

dp = dp · ñ ~,

1" -- dq = dq ·1"

105

CINEMÁTICA DEL PUNTO

Significado físico de las acelera­ciones tangencial y normal

La aceleración tangencial surge como consecuencia de la varia­ción del módulo del vector velo­cidad.

La aceleración normal se debe a la variación de la dirección del vector velocidad.

Se deduce, como consecuencia, que los movimientos uniformes carecen de aceleración tangencial y los movimientos rectilíneos no poseen aceleración normal.

Expresión general de la acelera­ción normal

En el caso totalmente general de un movimiento curvilíneo cual­quiera, la aceleración normal en un punto determinado de la tra­yectoria viene dada por:

v2

a =-n p

donde p en este caso es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado. Para enten­der el significado de radio de cur­vatura, supongamos un arco de trayectoria infinitesimalmente pe­queño al cual pertenezca el punto en cuestión. Dicho arco puede considerarse parte de una circun­ferencia ficticia cuya radio sería precisamente p. Lógicamente, al ir desplazándonos a lo largo de la trayectoria , la curvatura del arco variará y pasará a formar parte de otra circunferencia distinta. En consecuencia, al variar el valor del radio de curvatura, también variará la aceleración normal.

106

dp V ds V v2

-=- ·-=_ ·v=-dt r dt r r

Por otra parte, en esas condiciones de valores casi nulos de ep, dq "" (v+ dv ) - v= dv.

Sustituyendo en la expresión de a: _ v2 _ dv _ a=- ·n+- ·r

r dt

El primer término (vr2

. ñ) se denomina aceleración normal, radial o

centrípeta (an ) ; su módulo es V Ir; su dirección es la de la perpendicular a la velocidad (y por consiguiente a la trayectoria) y su sentido hacia el centro de la curva. El segundo corresponde a la llamada aceleración tangencial (a t ) , cuyo módulo es dv/dt y cuya dirección es la de la velocidad, siendo su sentido el. de ésta si dv es positivo y el contrario si dv es negativo.

De acuerdo con lo explicado para los componentes rectangulares de un vector:

Los vectores an y at reciben el nombre de componentes int rínsecas de la aceleración. Como los ejes tangente y normal determinan el plano oscula­dar, la aceleración del móvil se encuentra contenida en este plano, que es precisamente el de la trayectoria.

I Ejemplos

1. El vector posición de un punto, en función del tiempo, está dado por

( = t T + (t 2 + 2 ) 7 + t2 k (SI)

a) Calcula su posición, su velocidad y su aceleración en el instan­te t= 2 s.

b) Deduce el ángulo que forman, en ese instante, el vector veloci­dad y el vector aceleración.

Solución:

Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración son:

- di - - -V = - = i +2t j +2tk (SI)

dt

dv - -a = - = 2 j + 2 k (SI) dt

Sustituyendo t por el valor 2 s:

(2 = 2 T + 67+ 4 k (SI)

v2 = T + 47+ 4 k (SI}

a2 = 27+ 2 k (SI)

Unidad 5

b) El ángulo que forman v y 8 se deduce del producto escalar de ambos vectores

v ·a cos a = _2 __ 2 v2 ' 82

v2 . 82 = 1 . 0+4 . 2 + 4 ·2= 16

v2 = ~1+16+16=.f33

~= ~4+4= f8

16 cos a = r::::: ~ = O, 9847 ; a = 1 0°

,, 33 · ,, 8

2. Un punto se mueve sobre una circunferencia de acuerdo con la ley:

s = t3 + 2 t2 (SI)

siendo s la longitud del arco recorrido y t el tiempo. Si el valor de la aceleración del punto al cabo de 2 se­gundos es 16 -J2 m/s2

, ¿cuál es el radio de la' circunferencia?

Solución:

La ecuación de la celeridad es v = dsldt = 3 t2 + 4 t (SI), siendo su valor para t = 2 s: v = 20 mis.

El valor de la aceleración tangencial es at = dvldt = 6 t + 4 (SI) Y para t = 2 s su valor es: at = 16 m/s2.

El valor de la aceleración normal viene dado por:

an = ~ a2 - a¡ = ~ 162 ·2- 162 = 16 m/s2

y como an = 0/r

r = v2

= (20 mis )2 = 25 m an 16 m/s2

4.3. Aceleración angular

En todos los movimientos circulares variados existe un cambio en el va­lor de la velocidad angular del móvil (y, en consecuencia, en su velocidad li­neal) cumpliéndose para valores medios:

[ nm =~~ [

siendo M el intervalo de tiempo empleado en el cambio de la velocidad an­gular, y am la llamada aceleración angular media cuyo valor se expresa en rad/s2 orad · s - 2 (SI)

P I . , ~ro ara va ores Instantaneos: a = -dt

v y como: ro = - :

r

o también:

d(v/ r) 1 dv él¡ a= --= - '-=-

dt r dt r

él¡ =a· r

Carácter vect oria l de la acelera­ción angular

La aceleración angular se repre­senta mediante un vector axial, cuyo módulo corresponde al va­lor de dicha aceleración:

dw a=-

dt

cuya dirección coincide con la de la velocidad angular, y cuyo sen­tido es el mismo que el de m si ésta aumenta, o el contrario si disminuye.

La expresión a,= a· r en forma

vectorial se escribiría así:

107

CINEMÁTICA DEL PUNTO

I Ejemplos

1. Una rueda que gira a 900 rpm, mediante la acción de un freno se logra que gire a 300 rpm tardando en es­te proceso un cuarto de minuto. Si el diámetro de la rueda es 60 cm, ¿a qué aceleración tangencial estuvo sometida?

Solución:

Las velocidades de giro de 900 rpm y 300 rpm corresponden a los valores, respectivamente, de 30 ,. Y 10 ,. rad/s. Como 1/4 min equivale a 15 segundos, la aceleración angular media es

a = (10,. - 30,.) rad/s = _ 4 2 rad/s 2

m 15 S '

La aceleración tangencial de un punto de la periferia de la rueda cuyo radio es 30 cm = 0,3 m será:

at = a· r= ( - 4,2 rad/s2) · 0,3 m = -1 ,26 m/s2

e Actividades ::::>

108

l . ¿Puede modificarse la dirección del vector velocidad de un móvil cuando su aceleración es constante?

2. La posición de una partícula móvil viene dada por el vector:

(=3 sen tT+3 cos tl+4 tk (SI) Calcular:

a) El vector aceleración y su módulo.

b) El radio de curvatura de la trayectoria .

Resultados:a= -3 sen tT-3 cos tl (SI); 0=3 m/s2; b) p=8,33 m

3. Una rueda de 0,4 m de radio parte del reposo y al cabo de 4 segundos ha adquirido una velocidad angular constante de 360 rpm. Calcular:

a) La aceleración angular media de la rueda.

b) La velocidad lineal de un punto de su periferia una vez adquirida la velocidad constante.

c) La aceleración normal en este caso.

5. MOVIMIENTOS RECTILíNEOS Y CIRCULARES

Una clasificación elemental de movimientos en rectilíneos y en circulares, y dentro de éstos en uniformes, uniformemente variados y variados no uni­formemente, puede basarse en las características de aceleración tangencial o normal, o de ambas, que posea el punto móvil. El siguiente cuadro resume tal clasificación:'

Movimiento Ac. normal Ac. tangencial

Rectilíneo y uniforme O O

Rectilíneo uniformemente variado O Constante

Circular y uniforme Constante O

Circular uniformemente variado Variable Constante

5.1. Ecuación del espacio

En general, todo movimiento puede descomponerse en una serie de trayectorias elementales, ds, que sin grave error pueden ser conside­radas como rectilíneas y en ellas, dado el tiempo infinitesimal en que se recorren, el movimiento se supo­ne uniforme.

Según esto, de acuerdo con el concepto de celeridad instantánea, se cumplirá:

ds= v · dt

En consecuencia, la longitud de la trayectoria recorrida en un inter­valo de tiempo M = t2 - t1 vendrá dada por

ft2

s= v·dt, o bien: s = f v · dt t,

si el intervalo de tiempo está com­prendido entre O y t.

Integral que habrá que resolver en cada caso según sean las carac­terísticas de la velocidad en el mo­vimiento estudiado.

5.2. Movimientos rectilíneos

a) Uniforme: En este movimien­to no existen aceleración ra­dial ni tangencial, y por tanto, la celeridad es constante. En consecuencia.

s= f V.dt=V-f dt=v ·t+C

La constante C de integra­ción representa el valor de s en el tiempo «cero» o espacio inicial.

La ecuación del espacio re­corrido es:

S =so+ v · t

que nos demuestra que la longitud recorrida por el móvil es directamente proporcional a su celeridad y al tiempo que emplea en el movimiento.

Unidad 5 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• I

ds = v · dt

t~ I ds =f¡-: ; .. d dtt~

t, t 2

Diagramas de los movimientos rec­tilíneos uniformes

• Diag'rama velocidad tiempo. Si representamos en un sistema de ejes coordenados los valores de la velocidad (celeridad) en orde­nadas y los del tiempo en absci­sas se obtendrá una línea recta paralela al eje de los tiempos, puesto que la celeridad perma­nece constante.

El valor numérico del área de la figura determinada por la orde­nada v y la abscisa t equivale al espacio recorrido por el móvil que se mueve con veloc i dad constante durante el intervalo de tiempo t.

• Diagrama posic i ón tiempo. Representando en un sistema de ejes los valores de la posición en ordenadas y los del tiempo en abscisas se obtiene una línea recta cuya pendiente coincide numéricamente con el valor de la velocidad expresado por

v=s - so t

Si la posición inicial es nula, la gráfica pasa por el origen de co­ordenadas. En caso contrario, corta al eje de ordenadas en un punto cuya distancia al origen representa la posición inicia l (espacio inicial) .

Si la velocidad del móvil fuese negativa, al trazar el diagrama posición-tiempo se obtendría una línea recta descendente.

Movimientos de ecuación desconocida

En la práctica, no siempre es po­sible la obtención de la ecuación del movimiento, ni de la función horaria . Muchos movimientos -por desgracia, la mayoría- es­tán sometidos a tal cantidad de variables -"imprevistos"- que no son susceptibles de tratamien­to matemático. En tales casos hay que recurrir a métodos gráficos y a aproximaciones numéricas.

c: '0 '13 .¡¡; o a.

s=vt

0k----------.¡ Tiempo

El área sombreada corresponde al espacio recorrido.

s

s

--_) Tiempo

s

--_o Tiempo

Si v < O la representación gráfica posición­tiempo es una línea recta descendente.

109

CINEMÁTICA Del PUNTO ' .......................................................................................... .

Diagramas de los movimientos recti­líneos uniformemente variados

• Diagrama velocidad tiempo. Como se deduce de su expresión matemáti­ca, la velocidad en un movimiento uniformemente variado es función li­neal del tiempo y vendrá representa­da gráficamente por una recta cuya pendiente corresponde al valor de la aceleración:

r v . a

a= v-va t

v

--__ Tiempo

v

Diagrama velocidad-tiempo en un movimiento uniformemente acelerado (a> O) .

Si no hay velocidad inicial, el origen de la recta coincide con el origen de coordenadas. En caso contrario, cor­tará al eje de las velocidades en un punto cuyo valor representa la veloci­dad inicial.

b) Uniformemente variado: La existencia en este movimiento de una aceleración tangencial constante nos permite deducir inicialmente la ecuación de la celeridad que, lógicamente, ha de ser variable. A partir de la expresión ya conocida de la aceleración tangencial (módulo): at = dv/dt, se tiene:

;

v = fa. dt = a . t + e

donde e representa la velocidad del móvil en el instante «cero» o ve­locidad inicial vo' Por consiguiente:

v=vo+a·t

Sustituyendo esta ecuación de la celeridad en la general del espacio y resolviendo la integral se tiene:

La constante e de integración representa el espacio inicial So con lo que la ecuación queda finalmente así:

1 2 S = So + Vo . t + - a . t

2

Eliminando t en las ecuaciones de la celeridad y del espacio se dedu­ce fácilmente que:

222 v -vo = ·a·s

expresión de uso muy frecuente y en la que se supone que no hay es­pacio inicial.

Si la aceleración del móvil fuese negativa, al trazar el diagrama velocidad-tiempo se obtendría una línea recta des­cendente.

v

Diagrama velocidad-tiempo en un movimiento uniformemente retardado (a < O).

110

• Diag rama posición-tiempo. Representando en un sistema de ejes coordenados los valores de las magnitudes posición-tiempo correspondientes a un movimiento uniformemente variado se obtiene una línea curva (parábola). La pen­diente de la tangente a la parábola en cada punto corresponde al va­lor de la velocidad instantánea del móvil en ese punto. Si la posición inicial (espacio inicial) es nula, el origen de la curva coincide con el origen de coordenadas. En caso contrario, la curva corta al eje de ordenadas en un punto cuya dis­tancia al origen representa la posi­ción inicial (espacio inicial).

c:: 'o '(3 'iij o

D..

s = s + vt +"!"ae a a 2

Tiempo

Diagrama posición-tiempo en un movimiento uniformemente variado.

Unidad 5

...-_____________________________ Ejemplos I 1. Un coche parte del reposo y acelera uniformemente durante 250 m de recorrido para alcanzar una veloci­

dad de 20 mis. A partir de ese instante mantiene esa velocidad en una distancia de 1 500 m, para detenerse a continuación empleando una deceleración de 4 m/s2

. Calcular el tiempo invertido en todo el recorrido.

Solución:

En la primera fase el movimiento es uniformemente variado:

20=0 +a . t

Resolviendo el sistema se tiene t1 = 25 s.

1 250 = O + O + - a . t 2

2

En la segunda fase el movimiento es uniforme:

1 500 = O + 20 . t

de donde t2 = 75 s

El movimiento de la tercera fase es uniformemente variado con aceleración negativa y velocidad final cero:

0=20 -4· t

de donde t3 = 5 s

El tiempo total del recorrido es: t = 25 s + 75 s + 5 s = 105 s.

5.3. Movimientos circulares

Para interpretar matemáticamente estos movimientos basta recordar que toda magnitud lineal es el producto de su correspondiente angular por el ra­dio (s=<p·r; v=Q)·r; at=a·r).

a) Uniforme. Si se trata de conocer la longitud de arco recorrido puede aplicarse la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme:

s =so+ v· t

que, al expresar las magnitudes en función de las angulares

<p ' r= <Po' r+ Q) . r · t

Simplificando:

b) Uniformemente variado. Siguiendo un criterio similar al empleado anteriormente, tendríamos:

• Atendiendo al arco recorrido y a la celeridad en cada instante:

v=vo+a·t

1 2 S = So + Vo . t + - a . t

2 222 v -vo = ·a·s

• Atendiendo a la velocidad angular instantánea y al ángulo descrito:

Movimientos periódicos

Cuando un móvil pasa repetidas veces, en intervalos de tiempo iguales, por una misma posición, y siempre con las mismas carac­terísticas del movimiento (veloci­dad, aceleración, etc.), se dice que posee un movimiento perió­dico. Tales son, por ejemplo, el movimiento circular uniforme y el armónico simple.

El tiempo que invierte el móvil hasta que las características de su movimiento se repiten recibe el nombre de período (T), mien­tras que el número de períodos que se suceden en la unidad de tiempo se conoce como frecuen­cia (v). De la propia definición de estas magnitudes, se deduce que una es la inversa de la otra:

1 1 T=- . v=-

v' T

El período se mide en segundos y la frecuencia en S - lO hercios (Hz).

111

CINEMÁTICA DEL PUNTO

OJ = OJo + a· t

1 2 ({J = ({Jo + OJo . t + "2 a . t

2 2 2 OJ - OJo = . a . ({J

NOTA: Recuérdese que el ángulo se expresa en radianes. Si se da o pi­de expresado en vueltas hay que reducirlo a radianes según: 1 vuelta = 2 n radianes.

I Ejemplos

F

112

1. Un volante gira a razón de 60 rpm y al cabo de 5 segundos posee una velocidad angular de 37,7 rad/s. ¿Cuántas vueltas dio en ese tiempo?

Solución:

La velocidad angular inicial de 60 rpm equivale a 6,28 rad/s. La aceleración angular valdrá:

a = OJ - OJo = (37,7 - 6,28) rad/s = 6,28 rad/s2 M 5s

O también:

a=2nrad/s2

El ángulo descrito es:

1 rad 1 rad ({J = ({Jo t +-at2 = 37,7 -·5 s+ - 6,28 - . (5 S)2 = 109,9 rad "" 110 rad

2 s 2 s

que equivale a 110/6,28 = 17,5 vueltas.

- _'f ___________ .

5.4. Movimiento vibratorio armónico simple

Cuando un punto móvil oscila, siguiendo una trayectoria rectilínea, a un lado y a otro de su posición de equilibrio como consecuencia de la acción de una fuerza proporcional al valor de la elongación (distancia a la posición de equilibrio) y de signo contrario a ella, se dice que posee un movimientQ vibratorio armónico simple. Tal es el caso, por ejemplo, de una masa pun­tual suspendida de un resorte.

Al desplazarla hacia abajo el resorte se alarga y ejerce una fuerza elástica hacia arriba; al subir la masa por encima de la posición de equilibrio el resor­te se comprime y ejerce una fuerza hacia abajo.

El movimiento vibratorio armónico se define matemáticamente mediante las ecuaciones:

y = A sen (OJ . t + ({Jo)

x = A cos (OJ . t + ({J'o)

que representan las proyecciones sobre un diámetro (vertical y horizontal) de un punto que recorre una circunferencia con velocidad angular cons­tante (OJ).

• Elongación es la distancia x o y que, en un instante dado, separa al punto vibrante de la posición de equilibrio.

• Amplitud, A, es la máxima elongación.

• Período, T, es el tiempo que corresponde a una vibración completa.

• Frecuencia, v, es el número de vibraciones efectuadas en un segun-do. El período y la frecuencia son inversos: -

T=~ 1 v=-

v T

• Fase es el estado de vibración que corresponde a cada instante. Equivale al ángulo m " t + ({Jo descrito por el punto que recorre la cir­cunferencia con m constante.

5.4.1. Ecuaciones de la elongación, velocidad y aceleración

Si, como es frecuente, la fase inicial es nula (coincide el origen de distan­cias con el del tiempo), la ecuación de la elongación, supuesto un eje verti­cal, es:

s=y=A sen mt

o también 2Jr S = A sen T t = A sen 2w . t

puesto que m = 2 7dT = 2w

Derivando, respecto a la variable escalar tiempo, "la ecuación de la elon­gación, se tiene la ecuación de la celeridad:

v=ds/dt=A mcos mt

Esta expresión pone de manifiesto que en un movimiento armónico sim­ple la celeridad varía en función del tiempo, lo que nos permite deducir que éste es un movimiento variado.

Si en la ecuación de la elongación despejamos sen mt, tenemos:

y de aquí resulta:

cos m t = ± ~ 1- sen2 m t = ± ~ 1-s: = ± J.- ~ A2 _ S 2

A A

Este valor, sustituido en la expresión de la velocidad, conduce a:

que es la ecuación de la velocidad en función de la elongación. Para un mismo valor de la elongación la velocidad del móvil puede ser positiva o negativa:

• Si el movimiento en el instante considerado tiene lugar en el sentido de las elongaciones crecientes (hacia la derecha o hacia arriba), la ve­locidad del móvil será positiva.

• Si el movimiento se verifica en el sentido de las elongaciones decre­cientes (hacia la izquierda o hacia abajo), la velocidad es negativa.

Unidad 5

A w=pulsación ~,-~

: .§ p -g ü-------+"' tU = Cl Q. e E .Q

<1: w ,

O:

B

Elongación, amplitud y fase en el movimiento armónico simple.

113

CINEMÁTICA DEL PUNTO

La expresión anterior pone de manifiesto que la velocidad es máxima (vmáx = ± mA) cuando s = O (en la posición de equilibrio), siendo nula cuando s = ±A, es decir, en los extremos de la trayectoria, lo cual resulta lógico, ya que en dichos puntos se invierte el sentido del movimiento y la velocidad pasa de positiva a negativa o viceversa.

El movimientó vibratorio armónico, al ser rectilíneo, no posee aceleración normal, pero sí tangencial; su valor, por tratarse de la aceleración total del móvil, se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo:

dv 2 8r =a=-=-A-m ·senmt dt

y como Asen mt=s, resulta finalmente:

I a=-af · s

Esta expresión nos dice que en todo movimiento vibratorio armónico simple la. aceleración es directamente proporcional a la elongación y de sig­no contrario a ella. Dicho de otra manera: la aceleración está siempre dirigi­da hacia la posición de equilibrio.

Como a = - m2 . s, la aceleración, en valor absoluto, será máxima

(amáx = ± m2 . A) cuando s = ±A (en los extremos de la trayectoria), y será

nula cuando el móvil pase por la posición de equilibrio (s = O). v k-+-r-'r-+--+-~~-r1-~

a~r-~-~+-~~~~*-1--4r Si en un sistema de ejes coordenados representamos las fases ({J= m· t + ({Jo en abscisas y las correspondientes elongaciones, velocidades

r--\--,l--- -f---'k-- -+---; wt y aceleraciones en ordenadas, se obtienen unas gráficas -curvas

114

Aceleración Elongación Velocidad

senoidales- que representan las variaciones de tales magnitudes en función del tiempo.

Obsérvese que los valores de la elongación y de la aceleración se anulan simultáneamente (en la posición de equilibrio), siendo sus sentidos opuestos en todo momento, como corresponde a la expresión a = - m2

. s; mientras que la velocidad es máxima, en uno u otro sentido, cuando la elongación es nula; en los puntos de máximo valor de la elongación (extremos de la tra­yectoria) es donde la velocidad se hace cero.

Fase,,,, Elongación, s Velocidad, v Aceleración, a

O O A . ro (máxima) O

7d2 A (máxima) O - A· ro2 (máxima)

n O - A . ro (máxima) O

37d2 - A (máxima) O A . ro2 (máxima)

2n O A . ro (máxima) O

En resumen, en todo movimiento armónico simple se cumple que:

• La elongación, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente con el tiempo; pero no están en fase.

• La aceleración del móvil es proporcional a la elongación, pero de sen­tido opuesto.

• La frecuencia y el período del movimiento son independientes de la amplitud.

Unidad 5

..... _____________________________ Ejemplos I 1. El movimiento del pistón del motor de un automóvil es, aproximadamente, armónico simple. Si la carrera

del motor (dos veces la amplitud) es de 10 cm y la pulsación (ro) es de 3600 rpm, calcular la aceleración del pistón en el extremo de su carrera y su velocidad al pasar por el punto medio de la misma.

Solución:

La pulsación de 3600 rpm equivale a 120 n rad/s y la amplitud A tiene un valor de 5 cm = 5 . 10-2 m.

En el extremo de la carrera la aceleración es máxima y su valor viene dado por:

amáx = - ro2 . smáx = - al . A = - (120 n rad/s)2 . 5 . 10-2 m = - 7106 m/s2

Al pasar por la posición de equilibrio la velocidad es máxima, cumpliéndose que:

vmáx = ± roA = ± 120 n rad/s . 5 . 10- 2 m = ± 18,85 mis

2. Un móvil describe un movimiento armónico simple entre los puntos P1 y P2 de la figura. La frecuencia del movimiento es 0,5 S - l e inicialmente se encuentra en el punto P2. Hallar:

a) La pulsación del movimiento.

b) La ecuación de la elongación en función del tiempo.

c) Posición del móvil 0,5 segundos después de comenzado el movimiento.

d) Velocidad del móvil en función del tiempo.

e) Velocidad del móvil en el punto de abscisa 0,5.

f) Velocidad máxima.

g) Aceleración del móvil.

h) Aceleración del móvil en el punto de abscisa 0,5.

i) Aceleración máxima.

Solución:

a) ro= 2n · v= 2n · 0,5 S - l = n rad/s.

y

P1 (1,0)

o x

b) La ecuación general del movimiento armónico simple escrita en función del seno es: s=A · sen (rot+ %). Considerando los valores de A = 1 Y ro = n rad/s, la ecuación anterior se convierte en: s = sen (nt + epo)' Como en el instante inicial (t = O) la elongación es máxima y negativa (s = - 1), sustituyendo estos datos la ecuación anterior se convierte en: -1 = sen %, de donde resulta: sen epo = -1 y, por tanto, % = - n/2. Con esto, la ecuación del movimiento armónico simple quedará finalmente de la forma:

s = sen (nt - n/2) (SI)

c) Sustituyendo en la ecuación anterior t = 0,5 s, resulta:

s =sen (n · 0,5 - n/2)= sen 0= O

El móvil se encuentra en la posición de equilibrio.

d) Derivando la ecuación de la elongación, obtenemos la velocidad:

ds / v=-=n·cos(nt-n 2) (SI) dt

e) En el punto de abscisa 0,5 (s = 0,5), la velocidad será:

V=±ro ~A2 _ S2 =±n ~(1m)2 -(0,5m)2 =±!E.J3 mis =±2,72 mis 2

La velocidad del móvil será positiva cuando pase por dicho punto moviéndose hacia la derecha, y ne­gativa cuando se mueva hacia la izquierda.

115

CINEMÁTICA Del PUNTO ........•......... .••.............•••••••••••. ~ .........•............... ...................

116

f) La velocidad máxima será:" vmáx = ± roA = ± n rad/s " 1 m = ± n mis. El móvil posee esta velocidad al pa­sar por la posición de equilibrio: positiva cuando se dirige hacia la derecha, y negativa cuando lo hace hacia la izquierda.

g) La aceleración del móvil vendrá dada por: a = - ro2 . s, y como ro= n rad/s, resulta finalmente:

' a=-n2 · s

h) La aceleración del móvil en el punto de abscisa 0,5 se obtiene sustituyendo s = 0,5 m en la expresión anterior:

a = - (n rad/sf . 0,5 m = - 4,93 m/s2

El signo negativo de la aceleración indica que está dirigida hacia la izquierda.

i) La aceleración máxima será: amáx = ± ro2 . A = ± (n rad/s)2 . 1 m = ± n2 m/s2. El móvil posee esta acelera­

ción en Iqs extremos de la trayectoria: positiva en el extremo de la izquierda, y negativa en el de la derecha.

Actividades

1. Un coche lleva una velocidad de 72 km/h y los frenos que posee son capaces de producirle una deceleración máxima de 6 m/s2. El conduc­tor tarda 0 ,8 segundos en reaccionar desde que ve un obstáculo hasta que aprieta el freno adecuadamente. Calcula a qué distancia mínima debe estar el obstáculo para que el conductor pueda evitar el choque en las circunstancias citadas.

Resultado: s=49,3 m

2. Un volante que gira a 3 000 rpm logra detenerse mediante la acción de un freno después de dar 50 vueltas.

a) ¿Qué tiempo empleó en el frenado?

b) ¿Cuánto vale su aceleración angular?

Resultados: a) t= 2 s; b) a= - 50 n rad/s2

3.- La elongación de un móvil que describe un movimiento armónico simple viene dada, en función del tiempo, por la expresión: s = 2 cos (nt+ n/4) (SI) . Determinar:

a) Amplitud, frecuencia y período del movimiento.

b) Fase del movimiento en t= 2 s.

c) Velocidad y aceleración del móvil en función del tiempo.

d) Posición, velocidad y aceleración del móvil en t= 1 s.

e) Velocidad y aceleración máximas del móvil.

f) Desplazamiento experimentado por el móvil entre t= O Y t= 1 s.

Resultados: a) A= 2 m; v= 0,5 s -]; T = 2 s; b) qJ= 9n/4 rad; c) v= - 2n . sen (nt+ n/4) (SI); 0= - 2n: . cos (nt+ n/4) (SI );

d) s] = - -12 m; v] = 4,44 mis; a] = 13,96 m/s2; e) Vmax = ±2nm/s; 0máx = ±2n: m/i;

f) ~s= - 2,83 m

.----_____ A mpl ia ción 1. ESTUDIO VECTORIAL DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Como se trata de un movimiento plano, elegiremos un sistema de referencia formado por dos ejes (OX y OY), y cuyo origen sea el cen­tro de la circunferencia descrita por el móvil. Además, considerare­mos que en el instante inicial el móvil se encuentra 'sobre el eje OX positivo (en el punto (R,O)), y tomaremos como positivo el sentido del movimiento contrario al de las agujas del reloj (antihorario).

• Vector posición

En un determinado instante, cuando el móvil se encuentre en el punto (x,y), su vector posición habrá girado un cierto ángulo () y sus componentes serán:

x=R · cos ()

y=R· sen ()

Podremos, por tanto, expresar el vector posición de la forma:

I r = R · cas e ¡ + R . sen e J = R( cas e ¡ + sen e J)

• Vector velocidad

La velocidad del móvil la calcularemos derivando el vector posi­ción con respecto al tiempo. Para ello hemos de tener en cuenta que R es constante (radio de la circunferencia) y que:

de -=úJ dt

Por tanto:

d de -(cas e) = -sen e· - = -úJ sen e dt dt

d de -(sen e) = cas e· - = úJ cas e dt dt

En consecuencia, el vector velocidad vendrá dado por:

- dr - -v = - = R . (-úJ sen e i + úJ cas e j)

dt

y simplificando:

v = R . úJ ( -sen e ¡ + cas e J)

El vector velocidad es tangente a la circunferencia en el punto considerado. El valor de su módulo (celeridad) es:

Ivl = v = RúJ ~(-sen e)2 + (cas e)2 = RúJ ~ sen2 e + cas2 e = RúJ

Se obtiene que la celeridad del móvil es igual al producto de la ve­locidad angular por el radio de la circunferencia.

y

t _ : y r : x---- ---- -¡ (x,y)

.jo e : (R,O) --------~o~~~~x~~.~~~x

Vector posición de un móvil que describe un movimiento circular de radio R.

Derivada de una función de función

Si y= f(u) y u= f(x), decimos que y es función de función de x. .

En este caso, la derivada de y con respecto a x es:

y' = dy . du = f '(u). u' du dx

\ Ejemplos:

1. Si y= (3X2)4 = u4

,

como u=3x2; u' =6x, resulta:

y'= 4u3 . u' = 4(3x2

) 3 . 6x= = 24x(3x2

) 3 = 648x7

2. Si y= sen (4x2) = sen u,

como u = 4x2, u' = 8x, resulta:

y' =x · cos u=8x · COS (4x 2)

117

r------__ A m pi ia ció n y

p

~ --------~o~----------~x

En el movimiento circular uniforme el vector aceleración está siempre dirigido hacia el centro de la circunferencia (aceleración normal).

--------~o:+-----------~ x

En el movimiento circular uniformemente variado existen las dos componentes de la aceleración: la tangencial y la normal.

118

• Vector aceleración

En el movimiento circular uniforme:

Como en este caso R y (O son constantes, resulta: - dv - -a = dt = Rro (-ro ces e í - ro sen e j)

y simplificando I a = -Rro2 (ces e i + sen e}) I

Teniendo en cuenta la expresión correspondiente al vector posi­ción, el vector aceleración se puede escribir de la forma:

I a = _ro2 r I

que pone de manifiesto que su dirección es la misma que la del vec­tor po?ición, Y su sentido, el opuesto; es decir, hacia el centro de la circunferencia. Se trata, por tanto, de la aceleración normal, la única que existe en este movimiento. Su módulo es:

lanl = Rro2

En el movimiento circular uniformemente variado:

En este caso (O no es constante: precisamente dro = a dt

Recordando la regla de derivación de un producto, se obtiene:

a = ~~ = R [ ~~ . (-sen e i + ces e 7) + ro . (- ro ces e i - ro sen e 7)] =

=Ra(-senei +cese7)+[-Rro2(cesei +sene7)]

Vemos que el vector aceleración consta de dos sumandos:

El primero, R . ex ( - sen e 7 + ces e 7), tiene la misma dirección y sen­tido que la velocidad y es, por lo tanto, tangente a la trayectoria. Re­cibe el nombre de aceleración tangencial:

"8.¡ = -Ra (-sen e i + ces e 7)

y su módulo es:

siempre constante, porque tanto R como a lo son.

El segundo sumando - R . al (ces e 7 + sen e 7) , es el que antes he­mos considerado en el estudio del movimiento circular uniforme: es la aceleración normal:

I an = -R · ro2 (ces e i + sen e 7) I

de módulo I anl = Rro2 variable, por serlo (o.

Por consiguiente, en el movimiento circular uniformente variado, la aceleración total es la suma vectorial de la aceleración tangencial Y de la aceleración normal, ambas perpendiculares entre sí:

I 8. =8.t +8.n I

.----_____ A mpl ia ción Ejemplos

1-

1. Un móvil, que se encuentra inicialmente en el punto (4,0), describe en sentido antihorario una circunferencia con centro en el origen de coordenadas. La ve­locidad angular constante del movimiento es de 1d2 rad/s. Hallar los vectores velocidad y aceleración del móvil al cabo de 2 segundos.

Solución: n Por tratarse de un movimiento circular uniforme: () = OJt = - t

2 El vector posición del móvil es:

[ n - n-] ¡: = 4 cos 2" t i + sen 2" t j

Derivando, se obtienen los vectores velocidad y aceleración:

v = 2n -sen - t i + cos - t j - [ n- n-] 2 2 -

I

y

~~---.~O~----------~X

Al cabo de 2 segundos:

v 2 = 2n [-sen n ¡ + cos n 7] = - 2n ¡

.32 = - n2 r cos n ¡ + sen n 7] = n 2 ¡

2. Un móvil que parte del reposo en el punto (2,0) describe en sentido antiho­rario una circunferencia con centro en el origen de coordenadas, con una aceleración angular constante de 1d4 rad/s2

. Hallar la aceleración del móvil al cabo de 2 segundos.

Solución:

Es un movimiento circular uniformente variado. Al cabo de 2 segundos:

n rad n rad OJ=OJ +at=0+-- ·2s=--

o 4 S2 2 s

1 2 1 n rad )2 n ()=() +OJ t+ -a t =-.- --(2s =-rad o o 2 2 4 S2 2

Las dos componentes de la aceleración en el instante pedido son:

- -: -: n rad [ n -: n -:] n -: éI¡=Ra(-sen()¡ +cos()j)=2m --- -sen - ¡ +COS-j =--¡ 4 S2 2 2 2

( )2[ ] 2 - 2 -: -: n rad n -: n -; n -; a =-ROJ (cos()¡ +sen()j)=-2m - -- COS-¡ +sen-j =--j

n 2 s 2 2 2

y la aceleración total del móvil:

119

.-----_______ A m p I i a ció n p

~:-O:-IO---L----=E:::-je-p-O::-Iar

y

---- - ----------- p

y

e x X

120

2. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Para facilitar el estudio del movimiento de una partícula en el pIa­no se suele utilizar el llamado sistema de coordenadas polares.

El origen de este sistema es un punto fijo O, que se conoce como polo; y la posición de un punto cualquiera P viene dada por su dis­tancia p al polo, y por el ángulo, e, que forma la recta OP con una se­mirrecta fija denominada eje polar.

Los números p y e se llaman coordenadas polares. El valor de p varía de O a + 00, y el de e de O a 2n.

La relación entre las coordenadas polares y las cartesianas, que permite el paso de unas a otras, se deduce fácilmente de la figura:

x = p·cos e y = p. sen e

e =arctgl. x

En el sistema de coordenadas polares se definen los vectores uni­tarios radial, üp' y transversal, ÜIJ, perpendiculares entre sí y con los sentidos que se indican en la figura. Lógicamente, se cumple:

[1 ]

p

e OL--_--'-___ _

Los vectores Ü p y Ü IJ' expresados en coordenadas cartesianas, son:

Ü p = cos e 7 + sen e 7 [2]

Ü IJ = - sen e 7 + cos e 7 [3]

(Se puede comprobar fácilmente que üp y ÜIJ son perpendiculares). Se cumple:

dü p de -; de -; de­-=--·sene¡ +-·COSe¡ =-·u dt dt dt dt e

dÜe de -; de -; de­-=--·COSe¡ --·sene ¡ =-- ·u dt dt dt dt p

[4]

[5]

Derivando la expresión [1] respecto al tiempo, se obtiene la veloci­dad de la partícula:

.----_____ A m pi i a 'e ión y sustituyendo en esta expresión el valor de dup dado por [4], resulta:

dt

- dp - de -v=-·u +p,-,ue dt P dt [6]

Volviendo a derivar la expresión [6], tenemos:

[7]

y sustituyendo en esta expresión los valores de dup y dUe dados dt dt por las ecuaciones [4] y [5], resulta:

Simplificando:

[8]

En las figuras aparecen representadas la velocidad y la acelera­ción en forma vectorial y en coordenadas polares.

e

~TI dt P

OL---_-----'---___ _

,,' ¡¡ ",

( dp de d2e)_ 2 dt . dt + p' dt2 u e

e O'L---_-----'---___ _

Como aplicación importante, consideremos el caso del movimiento

. I I de CIrCU ar, en e que r = R = cte; - = ro y dt

La velocidad valdrá: - di -v = - = R· ro . ue dt

siendo - R . o/ . Ü p = an la aceleración normal y R . a . Ü e = at la acele­ración tangencial.

__ --:121

CINEMÁTICA DEL PUNTO .......••.............................•...........•................•......................

Actividades de Síntesis

1. Un movimiento viene definido po r la función horaria: s= 10 t 2 + 5 t+ 4 (SI) . Calcula r:

a) Posición del móvil al cabo de 2 segundos.

b) Espacio recorrido por el móvil durante los dos primeros segundos.

c) Espacio recorrido durante el cuarto segundo.

Resultados: a) S 2 = 54 m ; b) ~S2 = 50 m;

c) ~s=75 m

2. Un ciclista va por una región donde existen su­bidas y bajadas, ambas de igual longitud. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 10 km/h y en las cuestas abajo, de 40 km/h. Cal­cula su celeridad media, expresando el resulta­do en km/h y en mIs.

Resultado: v= 16 km/h = 4,44 mIs

3. Las funciones horarias de dos movimientos son:

s, = 4t2 + 6 t - 5; S 2 = 2t2 + 5 t - 3

¿ Qué relación existe entre los espacios ~ecorri­dos por ambos al cabo de 5 segundos?, ¿Y entre sus celeridades al cabo de ese tiempo?

Resultado: ~S,/~S2 = 1,733; v,lv2 = 1,84

4. La función horaria de un movimiento viene da­da por la expresión: s= 4 t 2

- 2 t+ 8 (SI).

a) ¿Cuál es su celeridad al cabo de 2 segundos?

b) ¿Cuál es su aceleración al cabo de 2 segun­dos?

c) ¿Qué espacio recorrió en los 8 primeros se­gundos?

Resultados: a) v2 = 14 mIs; b) a2 = 8 m/s2;

c) ~s= 240,5 m

5. Una partícula se mueve a lo largo del eje OX de modo que su posición en cualquier instante vie­ne dada por: x= t 2 + 5 t+ 3 (SI). Calcula la celeri­dad media en los siguientes intervalos de tiem­po: a) 5 s y 6 s; b) 5 s y 5,1 s; c) 5 s Y 5,001 s. Calcula la celeridad instantánea para t= 5 s.

122

Resultados: a) vm = 16 mIs; b) vm = 15,1 mIs;

c) vm = 15,001 mIs; v= 15 mIs

6. ¿En qué instante tendrán la misma velocidad dos móviles cuyas funciones horarias respecti­vas son: s, = 3 t2 + 2 t - 8; S 2 = 14 t+ 6?

Resultado: t= 2 s

7. La función horaria de un cierto movimiento es: s = 3 t3 - 5 t2 +6 (SI). Calcular:

a) El valor de la celeridad del móvil en el ins­tante t= 2 s.

b) El valor de la aceleración tangencial en el instante t= 3 s.

Resultados: a) v2 = 16 mIs; b) a

t2= 44 m/s2

8. Cada uno de los siguientes cambios de veloci­dad tiene lugar en un intervalo de 10 segundos. ¿Cuál es la aceleración media, en forma vecto­rial, en los siguientes casos?

a) Al comienzo, el cuerpo se mueve hacia la de­recha sobre el eje OX a la velocidad de 150 cm/s y al final se mueve hacia la derecha a 600 cm/s.

b Al comienzo se mueve hacia la izquierda a 150 cm/s y al f inal se mueve también hacia la izquierda a 600 cm/s.

c) Al comienzo se mueve hacia la derecha a 600 cm/s y al final se mueve hacia la izquierda a 600 cm/s.

Resultados: a) a = 0,45 7 (SI); b) a = - 0,45 7 (SI);

e) a = - 1,2 7 (SI)

9. Un tren parte del reposo por una vía circular de 400 m de radio y se mueve con movimiento uniformemente acelerado hasta que a los 25 se­gundos de iniciada su marcha alcanza la veloci­dad de 36 km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Calcular:

a) La aceleración tangencial en la primera etapa de su movimiento.

b) La aceleración normal en el instante t= 25 s.

c) La aceleración total en dicho instante.

Resultados: a) at = 0,4 m/s2;

m 2 b) an = 0,25 mis ;

c) a = 0,47 m/s2

Unidad 5 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• «.

Actividades de Síntesis

10. Sea un proyectil disparado verticalmente hacia arriba cuya posición o distancia al punto de par- I

tida viene dada por: s= 80 t- 5 t 2 (SI). Calcular:

a) La expresión correspondiente a su celeridad.

b) Su aceleración.

c) El tiempo para el cual su velocidad se anula.

Resultados: a) v= 80 -10 t (SI); b) a= at = -10 m/s2;

c) t= 8 s

11. La función horaria de un determinado movimien­to viene dada por la expresión: s= 5 + 2 t+ t3 (SI). Calcula la distancia al origen sobre la trayecto­ria, la velocidad y la aceleración al cabo de 5 se­gundos de iniciado el movimiento.

Resultado: S5 = 140 m; v5 = 77 mis; a5 = 30 m/s2

12. El vector posición de un móvil viene dado por: r=3t7+4 J- t 2 j{ (SI). Calcula:

a) Los vectores velocidad y aceleración y sus módulos respectivos.

b) Los valores numéricos de la velocidad y de la aceleración en el instante t= 2 s.

Resultados: a) v = 3 7-2 t j{ (SI); Ivl = -J9+4r (mis);

a = - 2 j{ (SI); la I = 2 m/s2; b) v2 = 5 mis; a2 = 2 m/s2

13. ¿Puede el vector aceleración tener sentido opuesto al vector velocidad, siendo su dirección la misma? Razona la respuesta.

14. Calcula los valores de la velocidad y de la acelera­ción centrípeta con que se mueve el Sol a través de la Vía Láctea, sabiendo que el radio de la órbi­ta solar es 2,4 . 1020 m y el período 6,3 . 1015 s.

-lo? Resultado: v= 2,4 . 105 mis; an = 2,4 .10 - 10 in/s2

15. ¿Es posible que un móvil posea aceleración y su celeridad sea constante? ¿Podrá ser constan­te su velocidad? Razona la respuesta.

16. Un automóvil toma una curva de 50 m de radio con una aceleración tangencial constante de 3 m/s2

• ¿A qué aceleración total estará sometido el automóvil en el instante en que su velocidad sea de 90 km/h?

Resultado: a = 12,85 m/s2

17. Dos móviles que inicialmente distan entre sí 240 m se dirigen uno al encuentro del otro con velocidades respectivas de 4 mis y 8 mis. Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse y la posi­ción en que tendrá lugar el encuentro.

Resultado: t= 20 s; a 80 metros del punto de partida del primero

18. Demuestra que en el movimiento uniforme­mente acelerado la aceleración es numérica­mente igual al doble del espacio recorrido en la primera unidad de tiempo.

19. Unos delincuentes circulan por una ca rretera recta a 90 km/h y pasan sin detenerse por un control de policía. Los agentes salen en su per­secución 5 segundos más tarde a una velocidad de 108 km/h.

a) ¿Cuánto tiempo tardarán en darles alcance?

b) ¿A qué distancia del puesto de control se ve­rificará el encuentro?

Resultados: a) t= 30 s; b) s = 750 m

20. Deducir las velocidades, supuestas constantes, de dos móviles, A y B, separados por una dis­tancia de 30 km, sabiendo que si se mueven en la misma dirección y sentido, se encuentran a 10 km de B, pero que si se mueven en sentidos opuestos, tardan 40 minutos en encontrarse.

Resultado: vA = 10 mis; vB =2,5 mis

21. ¿Puede el vector aceleración tener dirección dis­tinta a la del vector velocidad? Razona la res­puesta.

22. Un coche va a la velocidad de 45 km/h y apre­tando el acelerador se logra que al cabo de me­dio minuto se ponga a 90 km/h . ¿Cuánto vale la aceleración del vehículo? ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

Resultado: a = 0,417 m/s2; s = 562,5 m

23. Dos móviles, A y B, sepa rados por una distancia de 2 km, salen simu ltáneamente en la misma dirección y sentido, ambos con movimiento uniformemente variado, siendo la aceleración del más lento, el B, de 0,32 cm/s2

• El encuentro se realiza a 3,025 km de distancia del punto de partida de B. Calcula:

123

,

CINEMÁTICA DEL PUNTO ". . .... ""." .... ""." .. " ......... "" ... " .... " ... " .... ""."""""""""""""

Actividades de Síntesis

1. Un movimiento viene definido por la función horaria: s= 10 t2 +5 t+4 (SI). Calcular:

a) Posición del móvil al cabo de 2 segundos.

b) Espacio recorrido por el móvil durante los dos primeros segundos.

c) Espacio recorrido durante el cuarto segundo.

Resultados: a) S2 = 54 m; b) i1s2 = 50 m;

c) i1s=75 m

2. Un ciclista va por una región donde existen su­bidas y bajadas, ambas de igual longitud. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 10 km/h yen las cuestas abajo, de 40 km/h . Cal­cula su celeridad media, expresando el resulta­do en km/h y en mIs.

Resultado: v= 16 km/h = 4,44 mIs

3. Las funciones horarias de dos movimientos son:

. ¿Qué relación existe entre los espacios recorri-dos por ambos al cabo de 5 segundos?, ¿Y entre sus celeridades al cabo de ese tiempo?

Resultado: i1s,li1s2 = 1,733; v,lv2 = 1,84

4. La función horaria de un movimiento v iene da­da por la expresión: s= 4 t 2

- 2 t+ 8 (SI).

a) ¿Cuál es su celeridad al cabo de 2 segundos?

b) ¿Cuál es su aceleración al cabo de 2 segun­dos?

c) ¿Qué espacio recorrió en los 8 primeros se­gundos?

Resultados: a) v2 = 14 mIs; b) a2 = 8 m/s2;

c) i1s= 240,5 m

5. Una partícula se mueve a lo largo del eje OX de modo que su posición en cualquier instante vie­ne dada por: x= t2 + 5 t+ 3 (SI). Calcula la celeri­dad media en los siguientes intervalos de tiem­po: a) 5 s y 6 s; b) 5 s y 5,1 s; c) 5 s y 5,001 s. Calcula la celeridad instantánea para t= 5 s.

122

Resultados: a) vm = 16 mIs; b) vm =15,1 mIs;

c) vm = 15,001 mIs; v= 15 mIs

6. ¿En qué instante tend rán la misma velocidad dos móviles cuyas funciones horarias respecti­vas son: s, = 3 t 2 + 2 t - 8; S2 = 14 t+ 6?

Resultado: t= 2 s

7. La función horaria de un cierto movimiento es: s=3 t3 -5 t2 +6 (SI). Calcular:

a) El valor de la celeridad del móvil en el ins­tante t= 2 s.

b) El valor de la aceleración tangencial en el instante t= 3 s.

Resultados: a) v2 = 16 mIs; b) a

t2= 44 m/s2

8. Cada uno de los siguientes cambios de veloci­dad tiene lugar en un intervalo de 10 segundos. ¿Cuál es la aceleración media, en forma vecto­rial, en los siguientes casos?

a) Al comienzo, el cuerpo se mueve hacia la de­recha sobre el eje OX a la velocidad de 150 cm/s y al final se mueve hacia la derecha a 600 cm/s.

b Al comienzo se mueve hacia la izquierda a 150 cm/s y al final se mueve también hacia la izquierda a 600 cm/s.

c) Al comienzo se mueve hacia la derecha a 600 cm/s y al final se mueve hacia la izquierda a 600 cm/s.

Resultados: a) a = 0,45 7 (SI); b) a = - 0,45 7 (SI);

e) a = - 1,2 7 (SI)

9. Un tren parte del reposo por una vía circular de 400 m de radio y se mueve con movimiento uniformemente acelerado hasta que a los 25 se­gundos de iniciada su marcha alcanza la veloci­dad de 36 km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Calcular:

a) La aceleración tangencial en la primera etapa de su movimiento.

b) La aceleración normal en el instante t= 25 s.

c) La aceleración total en dicho instante.

Resultados: a) at = 0,4 m/s2; m 2

b) an =0,25 mIs ; c) a = 0,47 m/s2

J

Unidad 5 .....................................................................•......................... . ~

lictividr;f(;tes de Síntesis

10. Sea un proyectil disparado verticalmente hacia arriba cuya posición o distancia al punto de par­tida viene dada por: s= 80 t- 5 t 2 (SI) . Calcular:

a) La expresión correspondiente a su celeridad.

b) Su aceleración.

c) El tiempo para el cual su velocidad se anula.

Resultados: a) v= 80 -10 t (SI); b) a= at = -10 m/s2;

c) t= 8 s

11. La función horaria de un determinado movimien­to viene dada por la expresión: s= 5 + 2 t+ t3 (SI). Calcula la distancia al origen sobre la trayecto­ria, la velocidad y la aceleración al cabo de 5 se­gundos de iniciado el movimiento.

Resultado: S5 = 140 m; v5 = 77 mis; a5 = 30 m/s2

12. El vector posición de un móvil viene dado por: r= 3 t T + 47- t 2 k (SI). Calcula:

a) Los vectores velocidad y aceleración y sus módulos respectivos.

b) Los valores numéricos de la velocidad y de la aceleración en el instante t= 2 s.

Resultados: a) ¡¡ = 3 T - 2 t k (SI); I ¡¡ I = "1'9+4? (mis);

ji = - 2 k (SI); I ji I = 2 m/s2; b) v2 = 5 mis; a2 = 2 m/s2

13. ¿Puede el vector aceleración tener sentido opuesto al vector velocidad, siendo su dirección la misma? Razona la respuesta.

14. Calcula los valores de la velocidad y de la acelera­ción centrípeta con que se mueve el Sol a través de la Vía Láctea, sabiendo que el radio de la órbi­ta solar es 2,4 . 1020 m y el período 6,3 . 1015 s.

-207 Resultado: v=2,4 .105 mis; an =2,4 · 10- 10 in/s2

15. ¿Es posible que un móvil posea aceleración y su celeridad sea constante? ¿Podrá ser constan­te su velocidad? Razona la respuesta.

16. Un automóvil toma una curva de 50 m de radio con una aceleración tangencial constante de 3 m/s2

• ¿A qué aceleración total estará sometido el automóvil en el instante en que su velocidad sea de 90 km/h?

Resultado: a = 12,85 m/s2

17. Dos móviles que inicialmente distan entre sí 240 m se dirigen uno al encuentro del otro con velocidades respectivas de 4 mis y 8 mis. Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse y la posi­ción en que tendrá lugar el encuentro.

Resultado: t= 20 s; a 80 metros del punto de partida del primero

18. Demuestra que en el movimiento uniforme­mente acelerado la aceleración es numérica­mente igual al doble del espacio recorrido en la primera unidad de tiempo.

19. Unos delincuentes circulan por una carretera recta a 90 km/h y pasan sin detenerse por un control de policía. Los agentes salen en su per­secución 5 segundos más tarde a una velocidad de 108 km/h.

a) ¿Cuánto tiempo tardarán en darles alcance?

b) ¿A qué distancia del puesto de control se ve­rificará el encuentro?

Resultados: a) t= 30 s; b) s=750 m

20. Deducir las velocidades, supuestas constantes, de dos móviles, A y B, separados por una dis­tancia de 30 km, sabiendo que si se mueven en la misma dirección y sentido, se encuentran a 10 km de B, pero que si se mueven en sentidos opuestos, tardan 40 minutos en encontrarse.

Resultado: VA = 10 mis; va = 2,5 mis

21. ¿Puede el vector aceleración tener dirección dis­tinta a la del vector velocidad? Razona la res­puesta.

22. Un coche va a la velocidad de 45 km/h y apre­tando el acelerador se logra que al cabo de me­dio minuto se ponga a 90 km/h. ¿Cuánto vale la aceleración del vehículo? ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

Resultado: a = 0,417 m/s2; s = 562,5 m

23. Dos móviles, A y B, separados por una distancia de 2 km, salen simultáneamente en la misma dirección y sentido, ambos con movimiento uniformemente variado, siendo la aceleración del más lento, el B, de 0,32 cm/s2

• El encuentro se realiza a 3,025 km de distancia del punto de partida de B. Calcula:

123

,

CINEMÁTICA DEL PUNTO ...............................................•...•.......................................

Actividades de Síntesis

a) El tiempo invertido por ambos móviles.

. b) La aceleración de A.

c) Las velocidades de ambos en el instante del encuentro.

Resultados: a) t= 1375 s; b) aA = 0,53 cm/s2

;

c) vA =7,3 mis; v8 =4,4 mis

24. Desde lo alto de una torre de 100 m de altura se lanza hacia abajo un cuerpo con una velocidad inicial de 20 mis. a) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 2 segun­

dos?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?

c) ¿Qué velocidad tendrá en ese momento?

Resultados: a) v2 = - 40 mis (J,); b) t= 2,9 s;

c) v= -49 mis (J,)

25. Se lanza desde el suelo verticalmente hacia arri­ba una pelota con una velocidad inicial de 45 mis.

a) ¿Qué altura alcanzará al cabo de 2 segun­dos?

b) ¿Qué altura máxima alcanzará?

c) ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por un pun­to situado a 5 metros sobre el suelo? Interpre­ta físicamente los dos resultados obtenidos.

Resultados: a) h = 70 m; b) hmáx = 101,25 m;

c) t, = 0,113 s (al subir); t2 = 8,89 s (al bajar)

26. Una persona situada a 60 metros sobre el suelo ve subir, pasando delante de ella, un cuerpo lanzado hacia arriba. Ocho segundos después lo ve bajar. ¿Con qué velocidad fue lanzado el cuerpo?

Resultado: va = 52,1 mis

27. Se deja caer una piedra en un pozo de 50 metros de profundidad. ¿Al cabo de cuánto tiempo se oirá el sonido del choque contra el fondo? (La velocidad del sonido en el aire es de 340 mis).

Resultado: t= 3,34 s

28. Una persona situada en la terraza de un edificio, a cierta altura sobre el suelo, arroja una pelota verticalmente hacia arriba con velocidad va' y

124 ---

otra pelota verticalmente hacia abajo con la misma velocidad. ¿Cuál de las dos pelotas llega con mayor velocidad al suelo? Despréciese el rozamiento con el aire.

Resultado: Las dos llegan con la misma velocidad

29. La velocidad angular de una rueda disminuye uniformemente desde 1 000 hasta 500 rpm en 10 s. Hallar:

a) Su aceleración angular.

b) Número de vueltas efectuadas en esos 10 se­gundos.

c) Tiempo necesario para detenerse.

Resultados: a) a= - 5,24 rad/s2;

b) qJ= 125 vueltas; c) t= 20 s

30. Un volante necesita 3 segundos para conseguir un giro de 234 radianes. Si su velocidad angular al cabo de ese tiempo es de 108 rad/s, ¿cuál fue su aceleración angular, supuesta constante? ¿V su velocidad angular inicial?

Resultado: a= 20 rad/s 2; ma = 48 rad/s

31. Un conejo corre hacia su madriguera a la velo­cidad de 72 km/h. Cuando se encuentra a 200 m de ella, un perro, situado 40 metros más atrás, sale en su persecución, recorriendo 90 metros con la aceleración de 5 m/s2 y continuando lue­go con velocidad constante.

a) Deduce cinemáticamente si salvará su piel el conejo.

b) Razona matemáticamente qué sucedería si la madriguera estuviese 100 metros más lejos.

Resultados: a) Sí; b) El conejo sería

capturado por el perro

32. Un coche de policía pretende alcanzar a otro co­che que marcha con una velocidad de 72 km/h. El coche de policía arranca desde t1I reposo con a = 2 m/s2 hasta alcanzar la velocidad de 108 km/h, para proseguir con velocidad constante. ¿Cuándo y dónde alcanzará al otro coche, si se pone en marcha 2 segundos después de que pase junto a él?

Resultado: t= 28,5 s; s= 570 m

Unidad S .............................................................................................. T

,L[ctividades de Síntesis

33. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo, el prime- I

ro con una velocidad inicial de 50 mis y el se­gundo con velocidad inicial de 80 mis.

a) ¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren a la misma altura?

b) ¿A qué altura sucederá?

c) ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese mo­mento?

Resultados: a) t= 1,6 s después del lanzamiento del segundo proyectil;

b) h= 115,2 m; c) v1 = 14 mis; v2 = 64 mis

34. Determinar la profundidad de un pozo, sabiendo que el sonido producido por una piedra que se suelta en su brocal, al chocar contra el fondo, se oye 3 segundos después de haberla soltado. (La velocidad del sonido en el aire es de 340 mis).

Resultado: h = 41,4 m

35. Una pelota cae desde la cornisa de un edificio e invierte 0,3 segundos en pasar por delante de una ventana de 2,5 m de alto (longitud de la ventana) . ¿A qué distancia de la cornisa se en­cuentra el marco superior de la ventana?

Resultado: h = 2,3 m

36. Una partícula se mueve en sentido antihorario describiendo una circunferencia con centro en el origen de coordenadas. En el instante inicial se encuentra en reposo en el punto (2,0) y la aceleración angular que posee es nl2 rad/s 2

,

constante durante su movimiento. Calcula:

a) El tiempo que emplea en llegar al punto ( - 2, O).

b) Las velocidades angular y lineal que posee en ese instante.

c) Las aceleraciones tangencial y normal.

d) El vector aceleración en el punto ( - 2, O).

Resultados: a) t= 2 s; b) w= n rad/s; v= 2n mis;

c) at = n m/s2; 8t = - nI (SI); a = 2n2 m/s2. 8 = 2n2 ¡(SI)' n ' n ___ ...... '

d) 8 = 2n2 i-n j (SI)

37. Un móvil describe un movimiento armónico simple de amplitud A. ¿Qué distancia total reco­rre en un intervalo de tiempo igual a un perío­do? Razona la respuesta.

Resultado: 4 A

38. Un móvil animado de movimiento armónico simple tiene una aceleración de 5 m/s2 cuan­do su elongación es 5 cm. ¿Cuánto vale su pe­ríodo?

Resultado: T = 0,63 s

39. Un móvil describe un movimiento armónico simple de 5 cm de amplitud y 1,25 s de período. Escribir la eCuación de su elongación, sabiendo que en el instante inicial la elongación es máxi­ma y positiva.

Resultado: s= 0,05· cos 1,6 nt (SI) = =0,05· sen (1,6 nt+nl2) (SI)

40. Un móvil describe un movimiento armónico simple, siendo los puntos extremos de su tra­yectoria el P1 (-1, 2) y el P2 (3, 2), coordenadas expresadas en metros. Sabiendo que inicial­mente se encuentra en P2 y que su aceleración viene dada en todo momento por la expresión: a= - n2

• s (SI), determinar:

a) Ecuación de la elongación en función del tiempo.

b) Posición del móvil al cabo de 1 segundo.

c) Ecuación de la velocidad en función del tiem­po.

d) Velocidad del móvil al cabo de 1,5 segundos.

e) Aceleración del móvil al cabo de 1 segundo.

Resultados: a) s= 2 cos nt (SI); b) En P1 ( - 1, 2);

c) v= - 2n· sen nt (SI); d) V 1,5 = 2n mis; e) a1 = 2 n 2 m/s2

41. Un móvil P recorre la semicircunferencia de la fi­gura, de 10 m de radio, partiendo inicialmente de la posición señalada. La proyección de su veloci­dad sobre el diámetro horizontal es 6 t (t == tiem­po). Hallar la velocidad del móvil en el instante en que su abscisa y su ordenada son iguales.

y

x o

Resultado: v= 13,74 T -13,747

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