14/05/2014

1

4. BARRAS SOMETIDAS A TORSIÓN

RESISTENCIA DE MATERIALESRESISTENCIA DE MATERIALES

4.1. Deformación por torsión de barras de sección circular4.2. Tensiones por torsión de barras de sección circular4.3. Problemas de torsión no uniforme4.4. Resolución de problemas hiperestáticos4.5. Formulación diferencial4.6. Energía de deformación4.7. Teorema de los trabajos virtuales4.8. Torsión de tubos de pared delgada

4.1. DEFORMACIÓN POR TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR

Hipótesis:Cada sección gira como un sólido rígido permanece plana, circular y sus radios siguen rectas.

Distorsión angular:

• En superficie exterior:

• En superficie interna:

tan Rddx

dRdx

rdrdx

También válido para tubos circulares

Desplazamiento (m)

pequeñosdeformaciones

Mohamed H. Doweidar

4.1. DEFORMACIÓN POR TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR

Deformación característica de la rebanada “punto”: ángulo girado por unidad de longitud

• A partir de él, la distorsión angular en cada circunferencia es:

ddx

r r

Relación cinemática

Torsión uniforme:

Torsión no uniforme:

ddx

cte B L

x x

x d x dx0 0

( ) ( )

rdrdx

Mohamed H. Doweidar4.2. TENSIONES POR TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR

rG G r Lay de Hooke

Distribución de tensiones en la rebanada:

Módulo elasticidad cortante

Mohamed H. Doweidar

14/05/2014

2

4.2. TENSIONES POR TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR

xA

T r dA

PT GI

A

G r dA2 A

r G r dA

4 4

(para un círculo : momento polar de inercia )2 32

PP xr dII I

Rigidez a torsión

Relación de comportamiento

R

G r rd dr2

2

0 0

RG

4

2

T

G R 42

Momento torsor:

En coordenadas cartesianas: x

A

T r dA( ) xz xyA

y z dA( )

Relación entre esfuerzo y tensión:

G r P

T rI

Tubos circulares ext int

PR RI

4 4( )2

Equilibrio interno en la rebanada “punto”: Torsión no uniforme

Momento distribuido por unidad de longitud

x xdTM T dx T m dxdx

0 xdT mdx

G r

G r

Mohamed H. Doweidar4.3. PROBLEMAS DE TORSIÓN NO UNIFORME

Sección y torsor discontinuos:

P

M LGI

1

11 B A1

P

T LGI

1

11

P

M M LGI

2

1 22 C B2

P

T LGI

2

22

3

3 1 23

P

M M M LGI

D C3 3

33

P

T LGI

3 3

1 1 i

it i i

i i P

T LGI

Mohamed H. Doweidar

4.3. PROBLEMAS DE TORSIÓN NO UNIFORME

Sección variable:

( )P

Td dxG I x

L

P

M dxG I x0 ( )

P

T xd x dxGI( )( )

L

P

T x dxGI 0

1 ( )

B AP

mLGI

2

2

L

P

m L x dxGI 0

1 ( )

Momento variable:

P

TLGI

Mohamed H. Doweidar4.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS

Las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con condiciones de compatibilidad de giros y relaciones de comportamiento

Equilibrio: T T M1 2

Comportamiento: P

T LG I

1

11

1

P

T LG I

2

22

2

Compatibilidad: 1 2

P P

T M TG I G I

1 2

1 1

1 2

P

P P

G IT M

G I G I1

1 2

11

1 2

P

P P

G IT M

G I G I2

1 2

22

1 2

Mohamed H. Doweidar

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3

4.5. FORMULACIÓN DIFERENCIAL

Ec. Equilibrio:

Ec. Comportamiento:

Ec. Cinemática:

0xdT mdx

PT GI

0P xd GI mdx

x

0 0,P xd dGI m x Ldx dx

Ecuación de Navier

0,

0,P

x L

GI T x Lx

Condiciones de contorno

torsión uniforme (MT = cte ) mx = 0

momento distribuido B'B

dx

d

Material homogéneo y sección constante:

2

2x

P

mddx GI

2

1 2( )2

x

P

m xx C x CGI

Mohamed H. Doweidar4.6. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

M dU PGI dL

2

2PGIL 2

T

2

2 P

T LGI

2

2i

i i

i i P

T LG I

U 2( )( )

2 ( )P

T xd x dxGI x

U

2

0 0

( )( ) ( )2 ( )

L L

P

T xx d x dxGI x

U U

PM T GIL

Mohamed H. Doweidar

4.6. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

Densidad de energía de deformación : .Vol

dAdxU U

2

0

( )2 ( )

L

P

T x dxGI x

U

0 2

L T dx0

12

Lr

A

r dAdxr

0 2

Lr

A

dAdx

2

2

rG

U

2

rU

2

2G

A

T r dA r rP

TGI

rG

Mohamed H. Doweidar4.7. TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Problema real Problema virtual

Formulación diferencial del problema virtual:

0 0vP x

d dGI m x Ldx dx

0 0vP x

d dGI m x Ldx dx

0 0

0L L

vP x

d dGI dx m dxdx dx

00 0

LL Lv

P P xd d dGI dx GI m dxdx dx dx

00

L v Lv

P

TT dx TGI

0

Lvxm dx

0

Integramos por partes

b bb

aa au dv uv vdu

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4

4.8. TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGADA

Flujo de tensión tangencial:

2 2 1 1 0xF t dx t dx 1 1 2 2t t ( ) ( )s t s ctef

Flujo de tensión tangencial

Tensiones de torsión en tubos de pared delgada:

LM

T r dFLM

dF

xsdF tds fds LM

T f ds 2 LMf A

2 LM

TfA

( )2 ( )xs

LM

TsA t s

Mohamed H. Doweidar4.8. TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGADA

Energía de deformación y rigidez torsional:

.Vol

dU U

2

02

L

LM

f ds dxG t

2

2 LM

f L dsG t

2

28 LM LM

T L dsGA t

2

2T LGJ

U

24 LM

LM

AJ dst

Inercia torsional (m4)

t cte 24 LM

LM

A tJL

2TU

2

2T LGJ

TLGJ

TGJ

PGIRigidez torsional

2 LM

TfAf t

2

2

G

U

P

TGI

0 0

L t

LM

dtdsdx U 2

0 0 2

L t

LM

dtdsdxG

2

0 2

L

LM

t dsdxG

2

0 2

L

LM

f ds dxG t

Mohamed H. Doweidar

4.8. TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGADA

Alabeo:Desplazamiento de los puntos de la sección de una barra fuera del plano de la sección

Nota: Las secciones circulares no alabean

Mohamed H. Doweidar

Dada la siguiente estructura de barras cuya longitud L es de 4 m, sobre la que actúa una cargahorizontal Q de valor 125 kN y una carga vertical P de valor 500 kN, calcular:

1.Los diagramas de esfuerzos de la estructura.2.Distribución de tensiones tangenciales y normales, y el valor máximo de la tensión equivalente deVon Mises en la sección del empotramiento suponiendo que se utiliza un tubo cuadrado de 100 mmde lado y 5 mm de espesor como el dado en la figura.

EJEMPLOMohamed H. Doweidar

14/05/2014

5

Reacciones:

xR P

4x

LM Q

1. Los diagramas de esfuerzos de la estructura.

4L

L

A

B

C

z

y

x

Q

P

xM

yM

zM

xR

yR

yR Q

4y

LM P

zM QL

EJEMPLOMohamed H. Doweidar

P:N

Q

Q

Q

:yV

EJEMPLO

4L

L

A

B

C

z

y

x

Q

P

4xM QL4yM PL

zM QLxR P

yR Q

Mohamed H. Doweidar

:xV

:xM

P

4QL

4QL

EJEMPLO

4L

L

A

B

C

z

y

x

Q

P

4xM QL4yM PL

zM QLxR P

yR Q

Mohamed H. Doweidar

:yM

:zM

4PL

4PL

QL

EJEMPLO

4L

L

A

B

C

z

y

x

Q

P

4xM QL4yM PL

zM QLxR P

yR Q

Mohamed H. Doweidar

14/05/2014

6

2. Distribución de tensiones tangenciales y normales, y el valor máximo de la tensión equivalente deVon Mises en la sección del empotramiento suponiendo que se utiliza un tubo cuadrado de 100mm de lado y 5 mm de espesor como el dado en la figura.

En la sección del empotramiento:

500 N P kN

125 yV Q kN

0xV

400125 125004 4

x TLM M Q kN cm

400500 50.0004 4

yLM P kN cm

125 400 50.000 zM QL kN cm

Parámetros de la sección:

z

y

510

0m

m

100

3 3 4 41 1100 100 90 90 286.5833 286,612 12

z yI I mm cm

2 2100 100 90 90 1900 19 A mm cm

EJEMPLO

4L

L

A

B

C

z

y

x

Q

P

4xM QL4yM PL

zM QLxR P

yR Q

Mohamed H. Doweidar

500 N P kN

50.000 yM kN cm 50.000 zM kN cm

N NA

4286,6 z yI I cm 219A cm

yM y

y

Mz

I

zM z

z

M yI

2500 26,3219

kN cm

250.000 174,5286,6

z z kN cm

250.000 174,5286,6

y y kN cm

2( 5) 872,35yMmáx z kN cm

2( 5) 872,35zMmáx y kN cm

z

y

2872,35 kp cm

872,

35

26,3

2

26,32 872,35 872,35máx

21771,02kN cm

Tensiones normales en la sección del empotramiento :

EJEMPLO

z

y

510

0m

m

100

4L

L

A

B

C

z

y

x

Q

P

xM

yM

zM

xR

yR

Mohamed H. Doweidar

12500 T xM M kN cm

z

y

95m

m

z

y

TM

Tensiones tangenciales de torsión en la sección del empotramiento :

2 T

xsm

MA e

212500 138,52 9,5 9,5 0,5

kN cm

EJEMPLO

4L

L

A

B

C

z

y

x

Q

P

xM

yM

zM

xR

yR

Mohamed H. Doweidar

Tensiones tangenciales de cortante en la sección del empotramiento :

0 A EC Cq q

AB :

( ) yAC C z

z

Vq q S s

I

0

( ) s

zS s ey ds0

0,5 4,75 s

ds 2,375 s

1250 2,375286,6

s 1,036 s kN cm

( 4,75) 4,92 BCq s kN cm

B

B Cqe

29,84 kN cm

125 yV Q kN

z

y

510

0m

m

100

C

ABs

D

E yV

EJEMPLO

4L

L

A

B

C

z

y

x

Q

P

xM

yM

zM

xR

yR

Mohamed H. Doweidar

14/05/2014

7

BC :

( ) yBC C z

z

Vq q S s

I

0

( ) s

zS s ey ds 0

0,5 4,75 s

s ds 22,375 0,25 s s

21254,92 2,375 0,25286,6

s s

24,92 1,036 0,11 s s kN cm

( 4,75) 7,38 CCq s kN cm

C

C Cqe

214,76 kN cm

z

y

510

0m

m

100

C

AB

D

E yV

s

yT VM 2138,5 9,84 148,34 kN cm

2 23 x xy

2 2 21771,02 3 148,34 1789 kN cm

EJEMPLO

2 2 2 2 2 2

,

( ) ( ) ( ) 6( )2

x y x z y z xy xz yzeq VM

Mohamed H. Doweidar

4. BARRAS SOMETIDAS A TORSIÓN

RESISTENCIA DE MATERIALESRESISTENCIA DE MATERIALES

4.1. Deformación por torsión de barras de sección circular4.2. Tensiones por torsión de barras de sección circular4.3. Problemas de torsión no uniforme4.4. Resolución de problemas hiperestáticos4.5. Formulación diferencial4.6. Energía de deformación4.7. Teorema de los trabajos virtuales4.8. Torsión de tubos de pared delgada