04.02 Potencias Y Logaritmos

La potencia an (a > 1), es el producto de n factores iguales a la base:an = a . a . a . ... . a (n veces)

Propiedades

1. Potencia de exponente natural

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández

Producto de potencias de la misma base am . an = am+n

Cociente de potencias de la misma base am / an = am–n

Potencia de potencia (am)n = am.n

Producto de potencias del mismo exponente am . bm = (a . b)m

Cociente de potencias del mismo exponente am / bm = (a / b)m

¿Qué sentido se le puede dar a la expresión a–m? ¿Y a las expresiones a1 ó a0?

2. Potencia de exponente entero


Definición de pot y simp Propiedades de pot Concluimos

a5

a5=a ·a · a · a · aa ·a · a · a · a

=1a5

a5=a5−5=a0a0=1

a6

a5=

a · a · a· a ·a · aa · a ·a · a · a

=aa6

a5=a6−5=a1a1=a

a3

a5=a · a · a

a ·a · a · a · a=

1

a2

a3

a5=a3−5=a−2 a−2= 1

a2

•Definimos la potencia de exponente entero de la siguiente manera:

a n=a · a · ... · a ; n veces, con n∈ℕ , y n0

a1=a ; a0=1

a−m= 1

a m; m∈ℕ ; y con m0

Las calculadoras muestran números en notacióncientífica. Así el número que muestra lacalculadora es:

9,46⋅10−3= 9, 461000

=0, 00946

3 Potencias de 10. Notación científica


Un número en notación científica N = a,bcd... . 10n consta de: Una parte entera formada por una sola cifra: a Una parte decimal: bcd ... Una potencia de base 10 con exponente entero: 10n

En esta notación el exponente n indica el orden de la magnitud.

Se define de la siguiente manera:b = ⇔ bn = a

radical radicando

Índice

par

impar

a > 0: dos raíces

a < 0: sin raícesn

cualquiera que sea a, hay exactamenteuna raíz

a = 0: una raíz

4. Raíces de un número. Número de raíces


na

• Dos radicales son iguales o equivalentes si tienen las mismas raíces.• Si se multiplica el índice del radical y el exponente del radicando por el mismonúmero el radical no varía.

na m=n⋅ka m⋅k

Esta propiedad permite simplificar radicales, reducirlos a índice comúny compararlos

18a12=18 : 6a12 : 6=

3a2

124096= 12212=2c) Reducir a índice común y ordenar: 2 ,

423 ,625

m.c.m (2, 4, 6) = 12

a)

b)

1226 ,12 29 ,

12210

12261229

12210

5. Raíces equivalentes


•Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radical donde:

• el denominador de la fracción es el índice del radial, y • el numerador de la fracción es el exponente del radicando

amn =

nam

6. Potencias de exponente fraccionario


Def de raíz Prop potencias Concluimos

a ·a=a a12⋅a

12=a

12

12=a1=a a

12=a

3a · 3a · 3a=a a13⋅a

13⋅a

13=a

13

13

13=a1=a a

13=3a

¿Qué sentido podemos dar a las expresiones: a1/2 ; a1/3

7 Propiedades de los radicales


I. Raíz de un producto na⋅b=na⋅n b

El producto de dos radicales delmismo índice es otro radical quetiene por índice el común y por

radicando el producto de losradicandos.

II. Raíz de un cociente n ab=

nanb

El cociente de dos radicales delmismo índice es otro radical quetiene por índice el común y por

radicando el cociente de losradicandos.

III. Raíz de unapotencia

nam= na mLa potencia de una raíz es otra

raíz que tiene por índice elmismo y por radicando lapotencia del radicando.

IV. Raíz de una raíz m na=m⋅na

La raíz de un raíz es otra raíz quetiene por índice el producto de laíndices y por radicando el mismo.

8. Cálculo con potencias y raíces


Como raíces Como potenciasna⋅b=na⋅nb a⋅b

1n=a

1n⋅b

1n

n ab=

nanb a

b 1n= a

1n

b1n

m na=m⋅na a1n

1m=a

1n⋅

1m=a

1n⋅m

• Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades que las potencias de exponente entero.

• Las operaciones con radicales se pueden realizar recurriendo a las potencias de exponente fraccionario.

32 =

• Sacar factores:

16 2⋅ = 216 ⋅ = 24⋅

• Introducir factores:

3 72 =⋅ 3 32 7⋅ = 3 56

9. Operaciones con radicales: sacar e introducir factores


• Radicales equivalentes o iguales.

• Radicales reducibles o equivalentes.

10. Operaciones con radicales: suma y diferencia


6525−45=62−45=45

312−275227=322· 3−252 · 3233 · 3=3·23−2·532·33 == 63−10363=6−1063=23

33 324− 33000= 33 38·3= 332 33−10 33=−7 33

Para multiplicar o dividir radicales se puede utilizar las propiedades de los radicales o de sus equivalentes con fracciones.

32 15⋅ =

6 63 22 15⋅ = 6 3 22 15⋅ = 6 1800

3 26 62 15⋅ =

1 13 26 6(2 ) (15 )⋅ =

16(8 225)⋅ =

161800

46 : 3 =

4 436 : 3 = 4 36:3 = 4 12

1 12 46 :3 =

1 14 436 :3 =

14(36:3) =

1412

11. Producto y cociente de radicales


253 5−3 53

=2

5−3=

253 5−3

= 53

232

= 2⋅322

32⋅322

= 2⋅322

323= 2⋅

322

2=

322

12. Racionalización


• En los cálculos a mano, a veces, conviene evitar denominadores con raíces.

• El proceso de obtener como denominador un número racional se llama racionalización.

• Este proceso puede ser necesario para simplificar.

El logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay queelevar la base para obtener dicho número. Se designa por logaN.

logaN = x ⇔ ax = N

•Consecuencias de la definición:

• El logaritmo de 1 es 0 (en cualquier base)

• El logaritmo de la base es 1

• Sólo tienen logaritmo los números positivos

loga1 = x ⇔ ax = 1 ⇔ x = 0

logaa = x ⇔ ax = a ⇔ x = 1

Los logaritmos en base 10 se llaman decimales. En este caso no sueleescribirse la base: log10 x = log x

13. Logaritmo


El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmosde los factores.

Números M N MN

En base 10 10x 10y 10x+y

Logaritmo x y x + y

log M + log N = log(MN)

14. Logaritmo de un producto


El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmosdel dividendo y del divisor.

15. Logaritmo de un cociente


Números M N M/N

En base 10 10x 10y 10x–y

Logaritmo x y x – y

log M – log N = log (M/N)

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponentepor el logaritmo de la base.

16. Logaritmo de una potencia


Números M Mn

En base 10 10x (10x)n = 10nx

Logaritmo x nx

log Mn = n log M

La expresiones numéricas en las que intervienen logaritmos se pueden reducirempleando las tres propiedades de los logaritmos y las siguientes propiedadesde las operaciones aritméticas.

•Reducción usando las propiedades de los logaritmos:

• log 2 + log 3 = log (2. 3) = log 6• log 6 – log 2 = log (6 : 2) = log 3• 1 + log 2 = log 10 + log 2 = log (10 . 2) = log 20• 3 – log 2 = log 1000 – log 2 = log (1000:2) = log 500

•Reducción usando también propiedades de los números:• 3 log 2 + 5 log 2 = (3 + 5) log 2 = 8 log 2• log x3 + 2 log x = 3 log x + 2 log x = 5 log x

17. Operaciones con logaritmos


AsociativaConmutativa

(a + b) + c = a + (b + c)a + b = b + a

AsociativaConmutativa

(a b) c = a (b c)a b = b a

Distributiva a(b + c) = a b + ac

Conocidos los logaritmos en una base podemos utilizarlos para cálculosen otra base cualquiera.

•logaN = x ⇔ ax = N

Aplicando logaritmos:

•log ax = log N

Aplicando propiedades: •x log a = log N

En consecuencia:

Es decir: loglog

loga

NN

a=

log

log

Nx

a=

18. Cambio de base


xyzt

A =

Tomando logaritmos:

xyzt

log A log=

Logaritmo del cociente:

log A log (xyz) log t= −

Logaritmo del producto:

log A log x log y log z log t= + + −

19. Paso de expresión algebraica a logarítmica


Por la igualdad de logaritmos

xyz

log A log=Logaritmo del cociente:

log A log (xy) log z= −Logaritmo del producto:

log A log x log y log z= + −

xyz

A =

20. Paso de expresión logarítmica a algebraica


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