04.01 Los Numeros Reales

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Racionales Los números r aci onal es Un número fraccionario queda determinado y simbolizado por una fracción o cualquiera de sus fracciones equivalentes. Los números enteros y los fraccionarios forman el conjunto de los números racionales, que se designa por Q. 1 3 1 3 1 3 2 3 Enteros Fraccionarios 8 2 4 - =- 27 9 3 = 121 11 11 - =- 4 9 47 4 6 5 1. Los números racionales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández

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Racionales

Los númer os r aci onal es

• Un número fraccionario queda determinado y simbolizado por una fracción o cualquiera de sus fracciones equivalentes.

• Los números enteros y los fraccionarios forman el conjunto de los números racionales, que se designa por Q.

13

13

13

23

Enteros

Fraccionarios

82

4− = −

27 9

3=

12111

11− = −

4947

46

5

1. Los números racionales

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Númer os que no se pueden expr esar en f or ma f r acci onar i a

2b2 = a2

2b2 = 4k2

2 divide a a

a = 2k

2 divide a b

ab

fracción irreducible

ImposibleImposible

ab

fracción reducibleb2 =2k2

2. Números que no se pueden expresarn en forma racional

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2=ab

2=a2

b2

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La expresión decimal es periódica mixta:

• Todo número fraccionario puede expresarse en forma decimal sin más que efectuar la división entre el numerador y el denominador.

• Pueden entonces ocurrir los siguientes casos:

La expresión decimal es exacta:94=2,25

La expresión decimal es periódica pura: 53=1, 666. . .

176=2,83333 .. .

Cuidado: algunas calculadoras redondean

3. Expresión decimal de los números fraccionarios

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• El error absoluto de una expresión decimal es la diferencia entre ésta y el número representado, considerada positivamente.

• El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número.• La cota de error es la diferencia entre las aproximaciones por exceso y

por defecto con el mismo número de decimales.

2 1,4142135...=

• Al elegir 1,4 como valor aproximado de se tiene una aproximación por defecto. 2

• Al elegir 1,5 como valor aproximado de se tiene una aproximación por exceso. 2

• La cota de error que se puede producir aproximando hasta las décimas es 0,1. 2

• El error absoluto de la primera aproximación es 1,4142… – 1,4 = 0,0142 …

• El error relativo de la primera aproximación será 0,01.0,0142...

1,41411...=

4. Aproximación, error y redondeo

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q = 2‚4 78 78 78 78 …….Un número decimal periódico:

Pasos:

• Primero 1000q = 2478,787878….

• Segundo 10q = 24,78787878.…

• Tercero 990q = 2478 - 24

• Cuarto

5. Forma fraccionaria de un número decimal periódico

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q= 2478−24900

= 2454990

= 409165

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• Las expresiones decimales no periódicas se llaman números irracionales; estos números no se pueden expresar en forma de fracción.

• Los números racionales e irracionales forman el conjunto de los números reales, que se designa por R.

6. Los números reales. Ampliaciones de los conjuntos de los números

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Ejemplos

• El número π con 1000 cifras decimales

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642 ...

• Un número decimal cuya ley de formación es no periódica

2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002…...

7. Algunos números irracionales

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8 Representación de números irracionales

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1 u

1 u

1 u

2

3

3

2

Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta.

2

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La determinación de números reales se hace por aproximaciones sucesivas.

9. Determinación de números reales: Aproximaciones

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Aproximación Potencias Intervalo

Entera 13=1 / 23=8 1372

Decimal 1,93=6,859 / 2,03=8 1,9 372,0

Centesimal 1,913=6,96... / 1,923=7,07... 1,91371,92

Milesimal 1,9123=6,9897... / 1,9093=7,0007... 1,912371,913

... ... ...

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1 2

1,9 2,0

1,91 1,92

1,912 1,913

3 7

10. Intervalos encajados

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• Es imposible sumar exactamente dos números irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales.

• Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.

2=1,4142135623 . ..π=3,141592653 ...

11. Suma aproximada de números reales

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Obtención de + π

Valor aproximado Orden del error

Con 0 cifras 1 + 3 = 4 Error < 2 unidades

Con 1 cifra 1,4 + 3,1 = 4,5 Error < 3 décimas

Con 2 cifras 1,41 + 3,14 = 4,55 Error < 3 centésimas

Con 3 cifras 1,414 + 3,141 = 4,555 Error < 3 milésimas

… … …

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• Es imposible multiplicar exactamente dos números irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales.

• Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.

2=1,4142135623 . ..

10 3,1622776601....=

12 Producto aproximado de números reales

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2 10 2 · 10

Por exceso 1,4143 3,1623 4,472440

Por defecto 1,4142 3,1622 4,471983

Error <diferencia 0,0001 0,0001 0,000457

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• La ordenación de números reales, <, menor que, se define asía < b ⇔ b – a es positivo

• Para comparar números reales se pasan previamente a forma decimal. Luego se comparan los números decimales.

10

π

¿Cuál es menor?10=3,16 . . .

π=3,14. . .Se deduce que 10π o que π10

Una interpretación

13. Orden en ℝ

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Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En las figuras se indica por:• circulito negro si el extremos se considera del intervalo.• circulito blanco si el extremo no se considera del intervalo

14. Intervalos finitos

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Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

15. Semirrectas

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Se define el valor absoluto de un número real x de la siguiente forma:

Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números

Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b|

O

A

a

B

b

16. Valor absoluto

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∣x∣= { x si x≥0−x si x0 ∣

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• Un intervalo de la forma (a – r, a + r) se llama entorno abierto de centro a y radio r.

• Un intervalo de la forma [a – r, a + r] se llama entorno cerrado de centro a y radio r.

x

Para que x esté en el intervalo se ha de cumplir: |x – 4| < 2

Para que x esté en el intervalo se ha de cumplir: |x – 4| ≤ 2

x

17. Entorno de un punto

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