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MatemáticaSerie 2 para docentes de SecundariaDidáctica de la MatemáticaFascículo 4: ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIA © Ministerio de EducaciónVan de Velde 160, San Borja

Primera edición, 2007Tiraje: 14 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en laBiblioteca Nacional del PerúNro. 2007-00264

Coordinación y supervisión general MED

Antonieta Cubas MejíaSupervisión pedagógica MED

Juan Carlos Peña SandovalVerificación de estilo MED

Miguel Luis Bances Gandarillas

Autoría

Ediciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubén Hildebrando Gálvez ParedesElaboración pedagógica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacón NietoDaniel José Arroyo GuzmánColaboración especial

María del Pilar Ramos GarayRevisión pedagógica

Hno. Marino La Torre MariñoRevisión académica

Armando Zenteno RuizDiseño y diagramación

Ediciones El Nocedal S.A.C.

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Román GonzálezFotografía

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramírez

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Z_Creditos S2 F1_F6 D.indd 4Z_Creditos S2 F1_F6 D.indd 4 6/14/07 1:09:52 PM6/14/07 1:09:52 PM

PRESENTACIÓN“El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras fi guras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto”.

Galileo Galilei

La Geometría es una parte importante de la cultura del hombre, no es fácil encontrar contextos en que la Geometría no aparezca de forma directa o indirecta. Actividades tan variadas como el deporte, la jardinería o la arquitectura, por citar algunas, se sirven de la utilización, consciente o no, de procedimientos geométricos.Se admite de forma universal la importancia de la Geometría como formadora del razonamiento lógico. Pocos son quienes discuten su trascendencia, tanto en estudios posteriores de cualquier ciencia, como en el desarrollo de habilidades cotidianas. No es casual que la Geometría fuese ya en la Antigua Grecia una rama importante del saber, aunque su origen es anterior.La Geometría ha sido durante siglos, uno de los pilares de la formación académica desde edades tempranas. Sin embargo, durante el siglo pasado, paulatinamente perdió presencia en los planes de estudio. Afortunadamente, los actuales currículos de Matemática de todos los niveles educativos confi eren a la Geometría la importancia que nunca debió perder. El objetivo más importante de la enseñanza de la Geometría es que nuestros estudiantes integren el hecho que las propiedades, teoremas, y fórmulas han sido creadas para anticipar un resultado, ya sea porque no tenemos un medio experimental directo de encontrarlo, o bien, porque queremos confi rmarlo dentro del modelo adecuado. Lo mismo ocurre con la Lógica. Los estudiantes deben integrar relaciones usuales de la Lógica, las cuales han sido creadas para anticipar, validar, descubrir propiedades, dentro de un universo determinado de conocimiento. Deben progresivamente ir construyendo la transitividad, la implicación, la negación, la reciprocación, la conjunción, la disyunción, la contraposición, y también el carácter necesario y sufi ciente de las propiedades. El fascículo debe estar referido a los principios, estrategias y algoritmos que rigen los procesos del desarrollo de capacidades para comprender las diversas teorías sobre las representaciones geométricas del mundo y de los objetos matemáticos, y para operar con sus aplicaciones. Incluirá también, problemas, juegos y sugerencias de construcción y utilización del material educativo respectivo.En función a esta sumilla, desarrollamos los aspectos metodológicos en el aprendizaje de Geometría, resaltando la importancia del desarrollo de la Lógica para la formación del pensamiento lógico, la necesidad de profundizar y dominar propiedades, operaciones y relaciones lógicas que permitan a los estudiantes descubrir y validar afi rmaciones, así como el impacto de los juegos matemáticos en el aula. Con ello, buscamos que los docentes conozcan estas herramientas para lograr en el educando el afi anzamiento de conceptos, relaciones y procesos matemáticos.Complementamos el fascículo con la propuesta de logros de aprendizaje, recuperación de saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, investigaciones, bibliografía y enlaces web.

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ÍNDICEPresentación .......................................................................................................................... 1Índice ..................................................................................................................................... 2Organizador visual de contenidos ......................................................................................... 3Motivación ............................................................................................................................ 4Logros de aprendizaje ........................................................................................................... 4Recuperación de saberes previos .......................................................................................... 4

1. MODELO DE VAN HIELE ................................................................................................. 5 1.1 Niveles de razonamiento ......................................................................................... 6 1.2 Fases de aprendizaje de la Geometría ..................................................................... 7 1.3 Propiedades del modelo .......................................................................................... 7 1.4 Aplicación del modelo ............................................................................................. 8 Actividad 1 ...................................................................................................................... 9

2. HERRAMIENTAS PARA EL APRENDIZAJE CON EL MODELO VAN HIELE ................................ 10 2.1 Papirofl exia o Geometría del papel ......................................................................... 10

2.2 Mapas conceptuales y mentales .............................................................................. 132.3 Software Cabri-géomètre 2 ...................................................................................... 14

Actividad 2 ...................................................................................................................... 17

3. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ..................................................................................... 18 3.1 Construcciones geométricas con regla y compás .................................................... 18 3.2 Geometría con papel periódico ............................................................................... 25

Actividad 3 ...................................................................................................................... 28

4. EVALUACIÓN ................................................................................................................... 295. METACOGNICIÓN ............................................................................................................. 30

Bibliografía comentada ........................................................................................................ 31Enlaces web .......................................................................................................................... 32


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Fascículo 4 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL

APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIA

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Antes de empezar con el desarrollo del presente fascículo, es indispensable que recuerdes algunos conceptos. Lee atentamente las preguntas y responde en una hoja aparte.

¿Qué es el pensamiento geométrico?

¿Cuál es su importancia dentro de la Matemática?

¿Qué es la papirofl exia?

¿Qué destrezas podemos desarrollar con la elaboración de mapas conceptuales?

Explica brevemente el funcionamiento de algún software que pueda ser útil en la didáctica de la Geometría.

LOGROS DE APRENDIZAJE

Investiga sobre el modelo de Van Hiele, identifi cando sus indicadores y sus niveles en situaciones planteadas, manifestando actitud creativa.

Aplica el modelo de Van Hiele con diversas herramientas de aprendizaje, en la resolución de actividades propuestas, demostrando capacidad de análisis.

Analiza las construcciones geométricas como herramientas didácticas, valorando su utilidad.

Motivación¿Sabías que los dos libros más editados en la historia de la civilización son la Biblia y los Elementos de Euclides? ¿Sabías que muchas personas aprendieron a leer y escribir con la Biblia mientras que con los Elementos se enseñaba a razonar?

Los Elementos de Euclides ha sido la primera obra con mayor infl uencia en toda la historia de la Matemática y sus ideas han permanecido inalterables hasta el día de hoy, más de 2300 años después. Han sido la fuente de inspiración de grandes matemáticos como Arquímedes, Newton, Euler, Gauss, etc.

Por otro lado, encontramos a los esposos Pierre M. Van Hiele y Dina van Hiele-Gel-dof, quienes trabajaban como profesores de Geometría de enseñanza secundaria en Holanda. Ellos, a partir de su experiencia docente, elaboraron un modelo que trata de explicar, por un lado, cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y, por otro, cómo puede un docente ayudar a sus estudiantes para que mejoren la calidad de su razonamiento. En este fascículo explicaremos brevemente en qué consiste este modelo para que así se comprenda la importancia que tiene en la enseñanza de la Geometría.

ASPECTOS METODOLÓGICOSen el APRENDIZAJE

SECUNDARIAGEOMETRÍAde la

en

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

http://www.encuestaspagadas.com/postalespce/postalesgrandes/biblia1.jpg

http://www.divulgamat.net/Irudiak/matematikoak/EuclidesPortada.gif


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1. MODELO

El modelo de Van Hiele es un modelo de enseñanza que marca la pauta que se debe seguir en el aprendizaje de la Geometría. Tuvo su origen en Holanda, donde los Van Hiele, profesores de Matemática, se encontraron con problemas para poder enseñar a sus estudiantes las definiciones, los procesos y las situaciones relacionadas casi exclusivamente con la enseñanza de la Geometría, ya que su aplicación en otras ramas de la Matemática no ha sido tan eficiente. Pierre M. Van Hiele y Dina Van Hiele exponen por primera vez, en sus tesis doctorales leídas en 1957, un modelo que explica al mismo tiempo cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y cómo es posible ayudarlos a mejorar la calidad de su razonamiento.

El modelo consta principalmente de dos partes. La primera es descriptiva y se refiere a lo que Van Hiele define como “niveles de razonamiento”; la segunda, da las directrices para el desarrollo docente en lo que llama “fases de aprendizaje”. Este modelo estratifica el conocimiento en cinco niveles, y dentro de cada nivel, en una serie de fases que permiten analizar el aprendizaje de la Geometría. Estos niveles de razonamiento se repasan sucesivamente en cada ocasión en que el estudiante se encuentra con un nuevo tema matemático.

Los niveles de razonamiento son definidos como los estadíos del desarrollo de las capacidades intelectuales del estudiante, los cuales no están directamente ligados con el crecimiento o la edad. Aunque este hecho hace que Van Hiele y Piaget difieran, la mayor parte de lo que se refiere a la adquisición del conocimiento y el desarrollo intelectual del estudiante concuerda entre ambos teóricos. A los niveles de razonamiento se les denomina de la siguiente manera: Nivel 0: Básico, reconocimiento o visualización. Nivel 1: Análisis.Nivel 2: Deducción informal, orden o clasificación. Nivel 3: Deducción formal. Nivel 4: Rigor.

Para guiar al docente en el diseño de las experiencias de aprendizaje, propusieron cinco fases de enseñanza adecuadas para el progreso del estudiante en su aprendizaje de la Geometría: Fase 1: Interrogación o discernimiento. Fase 2: Orientación dirigida.Fase 3: Explicitación.Fase 4: Orientación libre. Fase 5: Integración.

de VAN HIELE

matemáticascuriosidades

El papel de la École

Polytechnique, a fin de cuentas una escuela de

ingeniería, ¿fue el de una ayuda o el de un obstáculo para el renacimiento de la

Geometría pura durante el siglo XIX? Reflexione al

respecto.

(Historia de la Matemática, Carl B. Boyer, p. 682)


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UnUn mate... mate...

1.1 Niveles de razonamiento

Nivel 0: Visualización• Los estudiantes son conscientes del espacio como algo alrededor de ellos.• Los conceptos geométricos son vistos como entidades totales más que

los componentes y atributos de los mismos.• Los estudiantes aprenden vocabulario geométrico, identifi can formas;

dada una fi gura la pueden reproducir.

Nivel 1: Análisis• Se inicia un análisis de los conceptos geométricos.• Con observación y experimentación, los estudiantes empiezan a discer-

nir sobre las características de las fi guras.• Las propiedades emergentes son usadas para concebir clases de formas.• Se reconoce que las fi guras tienen partes y son reconocidas por sus partes.• No se pueden explicar las relaciones entre las propiedades.• Aún no se ven las interrelaciones entre fi guras.• No se entienden todavía las defi niciones.

Nivel 2: Deducción informal• Se pueden establecer las interrelaciones entre las propiedades de cada

fi gura y entre las fi guras.• Se pueden deducir propiedades de una fi gura y reconocer las clases de

fi guras.• Se entienden las clases de inclusión.• Las defi niciones tienen signifi cado.• Se pueden dar y seguir argumentos informales.• No se comprende el signifi cado de la deducción como un todo o el rol de

los axiomas.• Los resultados obtenidos empíricamente se usan junto con técnicas de-

ductivas.• Las demostraciones formales pueden entenderse, sin embargo, no se sabe

cómo puede alterarse el orden lógico.• No ven cómo construir una demostración partiendo de premisas diferen-

tes o no familiares.

Nivel 3: Deducción formal• Se entiende el signifi cado de la deducción como una manera de establecer la

teoría geométrica dentro de un sistema axiomático.• Se comprenden las interrelaciones y roles de los términos indefi nidos, axio-

mas, postulados, defi niciones, teoremas y demostraciones.• Una persona puede construir demostraciones usando más de una manera.• Se entiende la interrelación entre las condiciones necesarias y sufi cientes.• Se distingue entre una proposición y su recíproca.

Nivel 4: Rigor• El alumno puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos y com-

pararlos.

Ley del paralelismo: dos rectas paralelas se cortan en un punto siempre y cuando el punto sea lo suficientemente gordo.


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APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIA1.2 Fases de aprendizaje de la Geometría

Fase 1: InterrogaciónEl docente y los estudiantes conversan sobre los objetos de estudio del nivel.Se hacen observaciones, se formulan preguntas y se introduce un vocabulario específi co al nivel.El docente se informa del conocimiento previo que tienen los estudiantes sobre el tópico.

Fase 2: Orientación dirigidaLos estudiantes exploran el tópico de estudio con materiales que el docente ha secuenciado cuidadosamente.Las actividades deben revelar gradualmente al estudiante las estructuras carac-terísticas del nivel.

Fase 3: ExplicitaciónLos estudiantes expresan e intercambian sus visiones emergentes sobre las estructu-ras que han sido observadas, construyendo sobre sus experiencias previas.El rol del docente es mínimo, reduciéndose a asistir a los estudiantes en el uso cuidadoso y apropiado del lenguaje.

Fase 4: Orientación libreLos estudiantes enfrentan retos más complejos. Desafíos con muchos pasos que pueden ser resueltos de varias formas.Los estudiantes encuentran sus propios caminos para resolver retos.Orientándose ellos mismos en el campo de la investigación, muchas relaciones entre los objetos de estudio se hacen explícitas a los estudiantes.

Fase 5: IntegraciónLos estudiantes revisan y resumen lo que han aprendido sobre los objetos y sus relaciones, con el objetivo de tener una vista panorámica.El docente puede apoyar esta síntesis exponiendo visiones globales.Es importante que los resúmenes no incluyan algo nuevo.

1.3 Propiedades del modeloSecuencialidadDe acuerdo con la mayor parte de teorías del desarrollo, cada estudiante debe pasar por todos los niveles en orden.Para funcionar exitosamente a un nivel particular, el estudiante debe haber adquirido las estrategias de los niveles precedentes.

AvanceEl progreso de un nivel a otro depende más de los contenidos y métodos de instrucción que de la edad.No hay método pedagógico que permita que un estudiante ignore un nivel.

Intrínseco y extrínsecoLos objetos geométricos trabajados en un nivel siguen siendo objetos de estudio en el siguiente.

LingüísticaCada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones que conectan los símbolos.Una relación que es “correcta” a un nivel puede ser modifi cada a otro nivel.

Al iniciar un tema es vital recuperar los

conocimientos previos de los estudiantes.


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matemáticascuriosidades

ConcordanciaSi el estudiante está en un nivel y la instrucción está en otro nivel, puede no ocurrir el aprendizaje y progreso deseado.

1.4 Aplicación del modelo

A continuación, les ofrecemos un ejemplo sencillo de cómo se aplica el modelo de Van Hiele. En forma resumida: al inicio de cada clase, el docente informa el contenido que se va a estudiar, los problemas por resolver e indaga los conocimientos previos para tomarlos como guía en el inicio de la clase. Luego, los estudiantes realizan actividades dirigidas al descubrimiento y aprendizaje de los conceptos y propiedades fundamentales de dicho contenido. Al fi nalizar, cada estudiante refl exiona en voz alta sobre los procedimientos, las difi cultades y las soluciones encontradas, logrando enriquecer el conocimiento de cada individuo al detectar los métodos y resultados incorrectos, como una manera de afi anzar los correctos.El docente asigna tareas destinadas a profundizar los conocimientos estudiados, establece relaciones y presenta algunas propiedades de mayor complejidad. Para fi nalizar, se redacta un resumen del contenido con el propósito de que los estudiantes lo integren en la red de conocimientos que poseían sobre el mismo.Ahora, analicemos este modelo de enseñanza aplicado al contenido específi co de congruencia de triángulos:

Nivel 0: Visualización

Objetivo: Reconocer fi guras congruentes.Desarrollo de la actividad: Con la ayuda de láminas, se presentan parejas de fi guras planas (algunas congruentes y otras no) y se pide a los estudiantes que identifi quen las parejas que son congruentes, explicando sus conclusiones. Pueden utilizar instrumentos de medición, hojas de papel, además, pueden doblar las tarjetas para superponer las fi guras. Finalmente, el docente refuerza el contenido respectivo.

Nivel 1: Análisis

Objetivo: Establecer las condiciones necesarias para la congruencia de triángulos.Desarrollo de la actividad: La clase se organiza en grupos, a cada uno se le entrega un determinado número de triángulos numerados. Cada grupo debe agrupar los triángulos congruentes, indicando las propiedades de congruencia que cumplen. Pueden utilizar diferentes técnicas y métodos tales como: superponer, doblar, medir, etc. Al fi nalizar la experiencia, cada grupo comparte con el resto de la clase la metodología de trabajo seguida y las conclusiones obtenidas. El docente cierra la actividad con un resumen de las condiciones necesarias para la congruencia de triángulos.

Nivel 2: Deducción Informal

Objetivo: Establecer las condiciones sufi cientes para la congruencia de triángulos.

No hay ninguna rama de la Matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. (Lobachewsky). ¿Qué piensas al respecto?


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APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIADesarrollo de la actividad: El docente escribe en el pizarrón las

características de tres triángulos dados (las medidas de lados y de ángulos) y pide a los estudiantes que los dibujen. Luego, pregunta si es posible dibujar un triángulo diferente al dado en cada caso pero con la condición de que mantuviese las características indicadas. En esta actividad el docente tiene que orientar constantemente a los estudiantes. Cabe resaltar que si el grupo de estudiantes no logra establecer las condiciones sufi cientes para la congruencia de triángulos, se le debe explicar detalladamente cada una de las mismas y luego asignar determinados ejercicios destinados a afi anzar dicho conocimiento.

Nivel 3: Deducción formal

Objetivo: Demostrar formalmente la congruencia de triángulos.Desarrollo de la actividad: Se plantea el siguiente ejercicio: “Dados los triángulos MNO y OPQ, con lados MO = OQ y NO = OP, respectivamente, tal como se muestra en la fi gura, explicar por qué dichos triángulos son congruentes.Se establece un tiempo determinado para resolverlo.En esta actividad los estudiantes necesitan constantemente la orientación del docente. Finalmente, el docente realiza la demostración formal. Se asignan ejercicios similares, los cuales se revisarán en la siguiente clase.Observe la constancia del estudiante para el aprendizaje de la Matemática en general y el de la Geometría en particular, para mejorar signifi cativamente su rendimiento académico.

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M P

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Actividad 1

en grupo...investiga con tus colegas

Investiga sobre el modelo de Van Hiele e identifi ca sus indicadores y sus niveles en situaciones plan-teadas, manifestando actitud creativa. 1. Investiga sobre el modelo de Van Hiele en las

siguientes páginas y responde: http://www.geocities.com/teselados/ http://www.usergioarboleda.edu.co/matemati-

cas/memorias/memorias13/Conceptualizaci%C3%B3n%20del%20KUID.pdf

¿Qué indicadores encuentras para el razona-miento del tipo visualización o reconocimiento?

¿Qué indicadores encuentras para el razona-miento del tipo análisis o descripción?

¿Qué indicadores encuentras para el razona-miento del tipo abstracto-relacional?

¿Qué indicadores encuentras para el razona-miento del tipo deducción formal?

2. Indica en qué niveles del modelo de Van Hiele pueden ser desarrollados los siguientes temas:

• Ángulos

• Área de un cuadrado • Propiedades de los triángulos y cuadriláteros • Líneas notables de un triángulo • Volumen de un cilindro Presenta tus conclusiones a todos tus colegas.

Investiga sobre las implicaciones curriculares del modelo de Van Hiele.Visita la siguiente página web:http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/orden/mate5f.htmComparte con tus colegas tus conclusiones teniendo siempre presente que:Debemos respetar los diferentes puntos de vista demostrando capacidad para escuchar, llegar a acuerdos y construir consensos.Hay que reconocer lo valioso de cada uno de los miembros del equipo.


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2. HERRAMIENTAS

APRENDIZAJEMODELO

para el

VAN HIELE2.1 Papiroflexia o Geometría del papelLa Papirofl exia se puede defi nir como la creación de fi guras fácilmente reconocibles a partir de una hoja de papel, sin cortar ni pegar, solamente haciendo dobleces. Una simple hoja de papel y algo de paciencia son los requisitos fundamentales para desarrollar esta disciplina.La Papirofl exia juega un papel importante en el campo de la educación a cualquier nivel: primaria, secundaria e incluso como apoyo de ciertas disciplinas a nivel universitario, pues reúne cualidades indispensables desde el punto de vista pedagógico. La Papirofl exia desarrolla en el estudiante habilidades tan evidentes como el desarrollo de la habilidad manual, de la concepción volumétrica, de la coordinación de movimientos y de la psicomotricidad fi na. Además, fomenta el espíritu creativo, enseña al estudiante a seguir instrucciones y ayuda a desarrollar la sociabilidad y el trabajo en equipo. También desarrolla diferentes tipos de habilidades mentales. Dentro del campo de la Matemática, ayuda al uso y comprensión de conceptos geométricos tales como diagonal, mediana, vértice, bisectriz, etc., y a la visualización de cuerpos geométricos. El proceso de creación y ejecución de una fi gura de Papirofl exia fomenta la agilidad mental y desarrolla estrategias para enfrentarse y para resolver problemas de Lógica o Matemática.En el origami puede hallarse un componente geométrico si se considera el modo exacto y riguroso en el que se deben doblar las formas. Ya el educador alemán Friedrich Froebel (1782-1852), fundador del sistema kindergarten, se dio cuenta en Europa del arma de la Papirofl exia para familiarizarse y comprender las formas geométricas. Ha pasado a la historia la construcción del cuadrado de Froebel. Es importante despertar la curiosidad de nuestros niños y jóvenes, así como desarrollar su creatividad; y es efectivamente con el cultivo de la Papirofl exia como se puede ir logrando paulatinamente estos propósitos, pues es recomendable darles las orientaciones básicas al respecto y dejar que ellos libremente presenten sus creaciones.

con el

Una simple hoja de papel puede convertirse en un excelente material didáctico si la usamos con creatividad.

de


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Nombre de la Actividad 1

Construyendo un trapecio

Nivel Fase Consigna Plan de Trabajo Observaciones0 2 1. Tomen un rectángulo de

papel (puede ser bond A-4) y elijan un lado al que llamaremos “base”.

2. En el lado opuesto a la “base” marquen un punto (P).

3. Hagan un doblez que pase por el punto (P) y por un extremo de la “base”. Hagan lo mismo para el otro extremo de la “base”.

4. Hagan un doblez que sea paralelo a la “base”.

5. En la parte inferior, pegada a la “base”, se forma una fi gura de cuatro lados a la que llamaremos trapecio.

El grupo se organiza en equipos de 2 ó 3 integrantes.Los dobleces y las construcciones se realizan de manera individual.Se comparan los resultados en los equipos.

Se pretende que el estudiante logre una visualización general de los trapecios.

Propiedades de los trapecios

Nivel Fase Consigna Plan de Trabajo Observaciones1 2 1. Tomen un trapecio y

dóblenlo por dos esquinas opuestas. El doblez que resulta es una diagonal.

2. La otra diagonal se obtiene de manera semejante, pero usando el otro par de esquinas.

3. El punto donde se cruzan las diagonales, ¿cómo lo llamarías?

4. El lado que llamamos inicialmente “base” se le llama “base mayor”.

5. Al lado opuesto a la “base mayor” se le llama “base menor”.

6. Las dos “bases”, ¿son paralelas entre sí?

Después de organizar por equipos al grupo, los dobleces y la observación se llevarán a cabo individualmente, para posteriormente intercambiar experiencias en los equipos.

El estudiante determinará qué partes del trapecio son invariables, sin considerar cuestiones de tipo cuantitativo.

A'P

B'

BA

D C“BASE”

P

BASE

P

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5


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Nombre de la Actividad 2

Construcción de un trapecio escaleno

Nivel Fase Consigna Plan de Trabajo Observaciones0 2 1. Tomen un rectángulo

de papel y hagan el mismo procedimiento que se hizo para hacer el trapecio (actividad 1), con la pequeña diferencia de que el punto escogido en el lado opuesto a la “base” NO sea el punto medio.

Se organizan a los estudiantes por equipos. La construcción se lleva individualmente y, al fi nal, se comparan resultados en los equipos.

El estudiante podrá visualizar la forma general de un trapecio escaleno y, sólo en caso de conocer los triángulos escalenos, podrá comparar su forma con éstos.

Propiedades del trapecio escalenoNivel Fase Consigna Plan de Trabajo Observaciones

2 4 1. Tomen un trapecio escaleno y comprueben que:

a. Las dos bases son paralelas.

b. Los lados que no son bases son diferentes.

c. Las diagonales son diferentes.

d. Los ángulos en los extremos de la base mayor son diferentes.

e. Los ángulos en los extremos de la base menor son diferentes.

2. Si saben acerca del triángulo escaleno, determinen la relación con éste a partir del nombre.

Se organizan a los estudiantes por equipos. La construcción se lleva individualmente y, al fi nal, se comparan resultados en los equipos.

Se pretende que el estudiante determine las características y propiedades generales de los trapecios escalenos, sin importar criterios cuantitativos.

A B

D C

A'P

B'

Trapecio escaleno.


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Nombre de la Actividad 3Construcción de un trapecio isósceles

Nivel Fase Consigna Plan de Trabajo Observaciones0 2 1. Tomen un rectángulo

y hagan el mismo proceso que se siguió para el trapecio (actividad 1), pero ahora el punto elegido debe ser el PUNTO MEDIO del lado opuesto a la base.

Organizar equipos y formar el trapecio individualmente. Comparar los dobleces en los equipos y plantear la cuestión del nombre.

Los estudiantes podrán visualizar la forma general de los trapecios isósceles y, sólo si conoce los triángulos isósceles, podrá comparar en forma y nombre, aquéllos con éstos.

2.2 Mapas conceptuales y mentales

El lenguaje tiene un papel crucial dentro del proceso de formación de conceptos y en el aprendizaje signifi cativo de los mismos; además, es el código que permite interpretar o relacionar lo captado. Sin éste, sólo se podrían establecer relaciones mentales con lo que en determinado momento se estuviese percibiendo; con él se pueden evocar representaciones mentales e imaginar otras. Por su capacidad simbólica, la palabra permite que el cerebro procese en forma integral la información que envía a cada uno de los sentidos, con ella se clasifi can, ordenan y relacionan las imágenes o sensaciones percibidas.

Propiedades de un trapecio isósceles

Nivel Fase Consigna Plan de Trabajo Observaciones2 4 1. Tomen un trapecio isósceles

y comprueben que:a. Las dos bases son paralelas.b. Los lados que no son bases

son iguales.c. Las diagonales son iguales.d. Los ángulos en los

extremos de la base mayor son iguales.

e. Los ángulos en los extremos de la base menor son iguales.

2. Si saben acerca del triángulo isósceles, determinen la relación con éste a partir del nombre.

Organizar el grupo en equipos de tres estudiantes.Realizar las comprobaciones y comentar los resultados en los equipos.Posteriormente, comentar los resultados y observaciones a nivel grupal.

Se pretende que el estudiante determine las características y propiedades generales de los trapecios isósceles, sin importar criterios cuantitativos.

D C

A'P

B'

BA

Trapecio isósceles.


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Según Ausubel (1989), la adquisición del lenguaje es lo que permite a los humanos el aprendizaje signifi cativo de una vasta cantidad de conceptos y principios que, por sí solos, no podrían nunca descubrir a lo largo de sus vidas. Es por eso que se torna relevante dejar explícito el papel que juega el lenguaje dentro de la construcción de los mapas conceptuales, ya que según Novak & Gowin (1999): “Es útil para traducir regularidades que reconocemos normalmente, en códigos que podemos utilizar para describir nuestros pensamientos, sentimientos y acciones”. En concordancia con el modelo educativo de referencia, el lenguaje que el estudiante emplee para expresarse es de suma importancia, ya que según Gutiérrez (1990), “las diferentes capacidades de razonamiento asociados a los niveles de Van Hiele no sólo se refl ejan en la forma de resolver los problemas propuestos, sino en la forma de expresarse y en el signifi cado que se le da a determinado vocabulario”. Debido a esto, el lenguaje, no sólo es esencial en la creación de las experiencias de aprendizaje, sino también, para que el docente se haga comprender por sus estudiantes, lo contrario provocará la incomprensión mutua, tal como lo describe Van Hiele (1957): “Dos personas que razonan en diferentes niveles no podrán comprenderse”.Por ello, para lograr una adecuada comprensión, se utilizan métodos de organización de ideas tales como los mapas conceptuales o mentales. Los mapas conceptuales nos permiten representar las ideas relacionadas con símbolos, de este modo, la mente capta con mayor facilidad los conceptos y las relaciones entre los mismos. Debemos al ingenio de Leonardo da Vinci la creación de los mapas mentales, los que posteriormente serían desarrollados por Tony Buzan. Este autor inglés indica que para el diseño de un mapa mental, se parte de una palabra central alrededor de la cual se dibujan de cinco a diez ideas principales que guardan relación con la palabra inicial. Ahora bien, a partir de cada una de las palabras derivadas se obtienen otras nuevas ideas.El análisis de estos mapas permite estudiar el lenguaje utilizado por los estudiantes, y a partir de ahí, diseñar las experiencias de aprendizaje para otros niveles del modelo.

2.3 Software Cabri-géomètre 2

El programa Cabri-géomètre es un programa desarrollado por Ives Baulac, Franck Bellemain y Jean-Marie Laborde del laboratorio de estructuras discretas y de didáctica del IMAG (Instituto de Informática y Matemáticas Aplicadas de Grenoble, Francia). Es un programa netamente didáctico geométrico; es decir, un programa que ayuda a aprender cómo se hace Geometría o mejor, a estudiar las propiedades geométricas de las fi guras y sus múltiples componentes, para luego entender mejor la rigurosidad matemática de las demostraciones. En ningún caso el programa tiende a desplazar la labor del docente en la clase o del texto guía, simplemente es otra ayuda al servicio del docente y del estudiante para afi anzar sus conocimientos. Es un programa didáctico construido por personas que no sólo son unos grandes técnicos en programación y elaboración de programas, sino grandes investigadores en educación matemática. El centro de investigaciones donde fue desarrollado tiene gran prestigio internacional y en este proyecto se vincularon docentes con reconocimiento mundial.

Imagen de la hoja de trabajo del

programa Cabri-géomètre.


15


APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIAFue desarrollado para permitir la exploración y manipulación directa y

dinámica de la Geometría, a través de la interacción didáctica. Es un medio de trabajo donde el estudiante tiene la posibilidad de experimentar con una materialización de los objetos matemáticos, de sus representaciones y de sus relaciones, de tal forma que los estudiantes pueden vivir un tipo de experimentación matemática que no es posible tener de otra forma. Por consiguiente, es natural esperar que los estudiantes que trabajen con Cabri-géomètre podrán avanzar en su comprensión y conocimiento de la Geometría de una manera distinta a la que ofrecen los medios tradicionales. Los estudiantes que trabajen con el programa serán capaces de enfrentar problemas diferentes y más amplios. “Con Cabri-géomètre, la Geometría se transforma en el estudio de las propiedades invariantes de (unos) dibujos cuando se arrastran sus componentes en la pantalla: la afi rmación de una propiedad geométrica se convierte en la descripción del fenómeno geométrico accesible a la observación en estos nuevos campos de experimentación”.(Balacheff y Kaput, 1996, p.475-6)Este programa diseñado con fi nes educativos tiene dos tipos de objetos geométricos para defi nir en sus fi guras o dibujos:1. Objetos básicos: aquellos que pueden defi nirse directamente sin depender

de otros objetos previos. Son los siguientes: punto, recta, segmento, triángulo, y círculo (con estas denominaciones aparecen en el programa). Alguno de ellos, como la recta, aparece de dos formas:

Recta: es una recta defi nida por un punto y una dirección. Esta recta, al desplazarse, sólo lo puede hacer de forma paralela, es decir, creamos un haz de rectas paralelas.

Recta defi nida por dos puntos: se deben indicar dos puntos por los que deba pasar la recta, no admitiéndose dos puntos iguales. Esta recta puede ser modifi cada tomando la dirección que nos interese.

El otro objeto que se puede defi nir de dos formas es el círculo: Círculo: que determina un círculo con el centro y un radio. Esta defi nición

de círculo defi ne una familia de círculos con la propiedad de tener todos el mismo radio, lo que podemos cambiar es el centro.

Círculo defi nido por dos puntos: uno de ellos es el centro del círculo y el otro es un punto de la circunferencia que lo delimita.

Todos estos objetos están disponibles en la opción CREACIÓN del menú principal de Cabri. Son lo que matemáticamente se denominan “arbitrarios”, por ejemplo, si necesitamos considerar un punto cualquiera, escogeremos Punto como comando de la opción CREACIÓN.

2. Objetos dependientes: que son los que se defi nen a partir de los objetos básicos anteriores o de otros dependientes. Se construyen con los comandos de la opción CONSTRUCCIÓN o bien a través de macro-construcciones. Los objetos dependientes de CONSTRUCCIÓN podemos clasifi carlos a su vez en dos categorías:

Determinados: unívocamente defi nidos, como, por ejemplo, el comando punto medio, para un segmento (o dos puntos arbitrarios) da su punto medio.

Ejemplo del software Cabri-géomètre

con el menú desplegado.


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Indeterminados: aquellos que por su naturaleza geométrica permiten distintas posibilidades; por ejemplo, el comando recta paralela depende del punto por el que queremos que sea paralela, es decir, una recta tiene infi nitas paralelas. Si atendemos a los distintos objetos, éstos se pueden defi nir de varias formas.En la fi gura 1, se pueden ver las distintas formas de defi nir una recta en Cabri.Figura 1. Mapa conceptual elaborado en la primera fase de aprendizaje del modelo educativo de Van Hiele.

En este mapa se evidencia cómo el estudiante defi ne los conceptos propuestos de geometría, como fi guras geométricas, las cuales se gene-ran a partir de trazos de líneas que pueden ser rectas paralelas o secantes, y así va for-mando los conceptos hasta llegar a otros más generales. A partir del análisis de los mapas, se construyeron las experiencias de aprendi-zaje para ayudarles a superar las falencias, reformular su vocabulario y el signifi cado del mismo, teniendo como herramienta principal el mecanismo del haz de secantes y como técnica de indagación y exploración los ma-pas conceptuales en cada una de las fases del modelo educativo de Van Hiele.Cabri permite defi nir procedimientos, deno-minados macro-construcciones por el progra-ma, muy útiles para la resolución de algunos problemas y que evitan repetir un conjunto de comandos. Una macro es una secuencia de comandos actuando sobre algunos objetos (objetos iniciales) para producir nuevos obje-tos (objetos fi nales). El esquema de una macro construcción aparece en la fi gura 2.El ejemplo propuesto es una macro-construcción que a partir de un segmento construye un triángulo equilátero que lo contiene como lado, este problema tiene dos soluciones, lo que queda de manifi esto a lo largo del proceso de defi nición de la macro. Una vez defi nida la macro-construcción, ésta se convierte en un comando más de los del menú CONSTRUCCIÓN. Un aspecto muy importante de los entornos informáticos como Cabri para el aprendizaje de la Geometría, es la posibilidad de utilizar-lo para la formulación, exploración de conje-

turas, como instrumento para pasar de lo particular a lo general (Schwartz, 1993). Los ejemplos que se obtienen con los programas de simulación pue-den ayudar a realizar generalizaciones de propiedades geométricas (Yerus-halmy, 1993) y a razonar de manera inductiva, por ejemplo, las tres media-nas de un triángulo se cortan en un punto interior al triángulo.

Defi nir una recta

¿Existen los objetos para defi nirla?

CONSTRUCCIÓN

Recta Punto y dirección

Recta

Recta defi nida

por 2 puntos Dos puntos

No

Sí

Mediatriz Recta paralela Recta perpendicular Bisectriz Recta defi nida por una

macro-construcción

Ángulo Objetos inicialesPunta y rectaSegmento

Recta

Figura 1. Diversas formas de defi nir una recta en Cabri.

PROCEDIMIENTO

Círculo def. por 2 puntosCírculo def. por 2 puntosIntersección de 2 objetosTriángulo

OBJETOSINICIALESSegmento

OBJETOSFINALES

Triánguloequilátero

Figura 2. Esquema de una macro-construcción de Cabri, construye un triángulo equilátero a partir de un segmento.

CREACIÓN


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APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIAEn Cabri podemos construir fi guras que nos lleven a verifi car propiedades

que ya conocemos. Tal es el caso del teorema de Pitágoras. Para lograr esta construcción:1. Trazamos dos puntos arbitrarios (A y B) y sobre ellos trazar una recta.2. Trazamos la perpendicular a esta recta.3. Colocar un punto C sobre esta perpendicular y trazar una recta que pase por A.4. Trazamos circunferencias (centro en A, B y C, respectivamente),

segmentos paralelos y perpendiculares a los catetos y la hipotenusa, respectivamente, de tal manera, que se puedan formar los cuadrados respectivos a cada segmento o lado del triángulo ABC.

5. Medimos las áreas de cada cuadrado, así como, los catetos y la hipotenusa (opción MEDIDAS).

6. Queda demostrado que el teorema de Pitágoras se cumple al sumar las áreas de los tres cuadrados formados.

Es importante familiarizar a nuestros estudiantes con el uso de determinados software para el tratamiento de ciertos contenidos matemáticos, los mismos que permiten reducir cálculos y dedicarse mejor a la interpretación de los resultados o simulaciones, con el fi n de emitir juicios de valor.

Actividad 2

Al trabajar debes tener en cuenta:• Que debes poner en práctica un estilo de vida demo-

crático distribuyéndose el trabajo equitativamente.• Que todos los integrantes del equipo deben responsa-

bilizarse y comprometerse con la actividad, el éxito de ésta depende del esfuerzo de todos.

• Propiciar un clima de confianza donde cada uno ex-prese con libertad y respeto sus resultados, si estos son contrarios, discutan para construir un consenso.

1. Investiga sobre el software Cabri-géomètre en las si-guientes páginas web:

http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/http://infomate.mendoza.edu.ar/cabri.htmhttp://www.mismates.net/matematicas/actividades.htmhttp://www.estalmatcyl.com/estalmat_castilla%20y%20le%C3%B3n/isometriascabri.htm Luego construye y comprueba los siguientes teore-

mas utilizando Cabri-géomètre. • Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.• Teorema de Tales sobre proporcionalidad de seg-

mentos.• Teorema de Varignon.• Teorema de Desargües.

2. Investiga qué otras herramientas y técnicas de cons-trucción de fi guras geométricas puedes aplicar en tu labor pedagógica. Elabora un breve resumen y com-parte con tus colegas.


Aplica el modelo de Van Hiele con diversas herra-mientas de aprendizaje, en la resolución de activida-des propuestas, demostrando capacidad de análisis.1. Utiliza la papiroflexión para desarrollar los siguien-

tes temas:• Rectas paralelas, rectas perpendiculares.• Líneas notables de un triángulo.• Cuadrado y rectángulo.• Propiedad de la suma de los ángulos internos de

un triángulo. • Área de un triángulo. 2. Elabora una guía para tus estudiantes con activida-

des, como por ejemplo:• Haciendo uso de la técnica de la Papiroflexia

cada grupo de estudiantes mostrará a los demás una creación propia que esté formada sólo por triángulos.

• Con un pliego de cartulina, plumones, lápices de colores, papel lustre y pegamento, cada grupo de estudiantes mostrará a sus compañeros una creación propia que esté formada sólo por cuadriláteros.

3. Investiga sobre los mapas conceptuales e indica la importancia de su aplicación en Geometría.

4. ¿Qué destreza podemos desarrollar con la elabora-cion de mapas conceptuales?

5. Elabora mapas conceptuales sobre los siguientes tópicos e indica los usos que les puedes dar en la didáctica de la geometría: cuadriláteros, círculos, poliedros regulares y esfera.

a = 2,20 cm

A1 = 4,82 cm2

A2 = 17,70 cm2

c = 4,75 cm

b = 4,21 cm

A3 = 22,52 cm2

A

n C

Teorema de Pitágoras:a2 + b2 = c2

4,82 cm2 + 17,70 cm2 = 322,52 cm2

ÁreasA1 = 4,82 cm2

A2 = 17,70 cm2

A3 = 22,52 cm2


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3. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

Podemos aprovechar el momento para informar a los estudiantes que la recta PQ se llama mediatriz del segmento AB. Luego, preguntemos: ¿qué es la mediatriz de un segmento?Ellos deben utilizar sus propias palabras para defi nir esta línea.Ahora bien, conforme avancemos en las actividades propuestas para reforzar este procedimiento, podemos encaminar su atención en el reconocimiento de la propiedad de la mediatriz, comprobándola con mediciones, a saber que: “Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, está a igual distancia de los extremos”. Si se hace reiterativa la verifi cación de esta propiedad, cuando los estudiantes se enfrenten a problemas que involucren el trazo de la mediatriz, tendrán la idea presente en su resolución, por ejemplo, al construir un triángulo isósceles.Veamos algunas actividades sugeridas:

3.1 Construcciones geométricas con regla y compás

Las siguientes actividades de construcciones geométricas han sido propuestas por Fernando Alva Gallegos. La experiencia nos ha enseñado que un aprendizaje signifi cativo de conceptos y propiedades de la Geometría debe ir de la mano con la realización de actividades de comprobación y verifi cación de éstas. Por ello, es aconsejable realizar actividades de construcción con regla y compás, simultáneamente al desarrollo de los contenidos teóricos del curso. Los procedimientos deben ser presentados de la forma práctica más sencilla posible, sin mayor profundización en las partes teóricas que los justifi quen, aún cuando no deben dejar de mencionarse.A continuación, presentamos algunas actividades que pueden ser realizadas por los estudiantes, familiarizándose así en el uso de estos instrumentos, tan importantes en el desarrollo del curso.

1 Ubicar el punto medio de un segmento

BA

P

Q

BA

BA

A

P

Q

M B

Ubicar el punto medio del segmento AB

1ro: Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB, se traza un arco.

2do: Con centro en B y el mismo radio, se traza otro

arco, logrando P y Q.

3ro: Con la regla, trazamos la recta PQ, intersectando a AB en su punto medio M.

Ubicando el punto medio de un

segmento

El estudiante debe ser el autor principal en el proceso de aprendizaje y enseñanza. Aprenderá Geometría sólo si construye él mismo con regla y compás.


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APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIAa. Ubica el punto medio de cada uno de los segmentos

A B

B

AB

A

B

A

b. Sobre la mediatriz del segmento trazado en cada caso anterior, marca algunos puntos, tales como C y D. ¿Cómo son las distancias CA y CB? ¿Y las distancias DA y DB?

c. Llama “O”, al punto de intersección de las mediatrices de dos lados cualesquiera del triángulo ABC, en cada caso siguiente. ¿Cómo son las distancias OA, OB y OC?

2 Copiar un segmento

Dado un segmento de longitud conocida (a, por ejemplo), copiarlo en otro lugar.

Como aplicación de este procedimiento, podemos plantear a los estudiantes las siguientes actividades:

B

A

B

CCA C

B

A

21 3

QP P QP

a

Conociendo las longitudes a y b de los segmentos mostrados, grafi ca en tu cuaderno otro, cuyas longitudes se indican.

a

b

1. a + b 2. 3a 3. b – a 4. 2a + b

Y si les hemos enseñado el procedimiento, con regla y compás, para ubicar el punto medio de un segmento, podemos plantearles las siguientes actividades:

El uso de materiales concretos

como la regla y el compás facilitan el trazado de

fi guras geométricas.a


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βα

Como podemos observar, estas expresiones van a familiarizar al estudiante con la representación simbólica de cantidades. De modo que, también podemos pedirles que enuncien cada caso: 1. La suma de dos números. 2. El triple de un número. 3. La diferencia de dos números. 4. La suma de el doble de un número más otro. 5. Un número, más la mitad de otro.

3 Copiar un ánguloEste procedimiento, también clásico, es muy útil en el manejo de la motivación por el curso de Geometría, de parte de los estudiantes.

QA

P

OA

H H

SOSO

2do: Con centro en A, trazamos un arco PQ.

1ro: Trazamos una línea y fi jamos el punto O.

Ángulo dado

3ro: Con centro en O, trazamos otro arco de igual radio que el anterior, logrando el punto S.

4to: Con centro en S, y radio PQ, trazamos un arco,

obteniendo H.

5to: El ángulo HOS mide igual que el ángulo A

O S

Ahora, como aplicación podemos plantear a los estudiantes, las siguientes actividades:Dados los ángulos de medidas , obtener otros, cuyas medidas se indican:

4 Trazar la bisectriz de un ángulo

Este procedimiento, permite apoyar actividades en varios contenidos del curso.

3ro: El rayo AM es la bisectriz del ángulo A.

2do: Con centros en P y Q, y radios iguales entre sí, trazamos dos arcos que se intersecan en el

punto M.

1ro: Con centro en A, trazamos un arco PQ.

Trazar la bisectriz del A.

A A

P

QQ

P

A Q

P

A

M M

Las construcciones geométricas facilitan la conceptualización y formalización de ideas geométricas en los estudiantes.


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UnUn mate... mate...

Podemos plantear a los estudiantes que tracen las bisectrices de los siguientes ángulos:

5 Construir triángulos

Según los postulados ALA, LAL y LLL, de la congruencia de triángulos, tenemos:• Construir un triángulo, conociendo los tres lados.Sean a, b y c, las longitudes de los tres lados del triángulo.

CbACbA A Cb

1ro. Trazamos una línea, fi jamos el punto A y copiamos el lado b, marcando ademas el vértice C.

2do. Con centro en A y radio c, trazamos un arco.

3ro. Con centro en C y radio a, trazamos otro arco, obteniendo el punto B

a b c

B

Finalmente, trazamos los segmentos AB y BC, formando el triángulo ABC pedido.

B

A C

ca

b

Leyes del triángulo rectángulo

- Al dibujar un triángulo rectángulo en la pizarra,

la probabilidad de dibujar bien el ángulo recto es muy

pequeña.

- Si, además, el triángulo se dibuja poniendo a la hipotenusa en la base, la probabilidad de que el ángulo encima de la

hipotenusa salga recto es muchísimo más pequeña.

- Una vez terminado el triángulo, la probabilidad

de convencer a los alumnos de que es

realmente rectángulo es prácticamente nula.

Consecuencia: Cuando quieras dibujar un

triángulo rectángulo en la pizarra, dibuja un

triángulo cualquiera y después continúa diciendo: “Supongamos que esto sea un triángulo rectángulo...”.


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Procedimiento:

Construir un triángulo, conociendo dos ángulos y el lado adyacente.Sean α, φ y c, las medidas de dos ángulos y la longitud del lado adyacente a ellos, respectivamente.

Procedimiento:

1ro. Sobre una línea recta, ubicamos el punto C y luego copiamos CA = b

2do. Con vértice C y el lado CA, copiamos el ángulo α.

3ro. Copiamos el ángulo φ, con vértice en A.

4to. Prolongamos los lados y formamos el triángulo ABC: m∠C = α, AC = b y m∠A = φ

C Ab C b Aα

AC bα φ α

bC A

B

φ

αb

φ

1ro. Sobre una línea recta, ubicamos el pun-to C y luego copiamos CA = b

2do. Con vértice C y un lado CA, copiamos el ángulo α.

3ro. Copiamos el lado a, sobre el segundo lado de α : CB = a

4to. ABC es el triángulo: CB = a, AC = b y m∠C =

Ab C b Aα

AC

B

b

a

αC

B

b

a

α

a

b α

• Construir un triángulo, conociendo dos lados y el ángulo comprendido.

Sean a, b y , las longitudes de los dos lados y la medida del ángulo comprendido respectivamente.


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A BL

PP

A BL

P

Q

A BL

P

Q

Por un punto P, exterior a una perpendicular a ella.

1ro. Con centro P, traza-mos un arco que inteseca a la recta L en los puntos A y B.

2do. Con centros en A y B, y radios iguales al anterior, trazamos dos arcos que se intersecan en el punto Q.

3ro. Trazamos la recta PQ, dando solución al problema:

Por un punto P, de una recta L, trazar la perpendicular a ella.

1ro. Con centro P, trazamos un arco que interseca a la recta L en los puntos A y B.

2do. Con centro en A y B, y radios iguales entre sí, trazamos dos arcos que se intersecan en el punto Q

3ro. Trazamos la recta PQ, dando solución al problema:

L P AL P B AL P B AL P B

Q Q

7 Problemas recreativos usando los procedimientos de construcción con regla y compás

Plantear a los estudiantes, situaciones de desafío en las que deben utilizar uno o más de los procedimientos de construcción aprendidos, dando a la vez, libertad para que apliquen su creatividad en la resolución de dichos problemas. A continuación, veamos algunos.

Problema 1. En el “cruce” de las avenidas Arequipa y Ricardo Palma hay un monumento. Se sabe que, equidistante de ambas avenidas y a 80 metros del monumento, hay un “tesoro” escondido. Realiza el procedimiento para ubicar dicho “tesoro”.

Escala en metros

0 100

Av. R. PalmaMonumento

Av. Arequipa

Perpendicular a una recta, desde un punto de ella.

6 Trazo de perpendiculares

Perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella.


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Problema 2. Una pileta de agua se debe colocar cerca de tres casas A, B y C, de modo que esté a igual distancia de las tres. Realiza el procedimiento para ubicar la pileta.

8 Ideas generales para hacer el curso agradable

Ningún área de la Matemática es más propicia para aprovechar situaciones de la vida real, juegos, desafíos y tantas otras posibilidades, incluso virtuales, acorde con los tiempos actuales, para lograr aprendizajes signifi cativos agradables, que difícilmente los estudiantes van a olvidar. Aquí presentamos algunas formas de presentar algunos temas específi cos de la Geometría.

ENSEÑEMOS A RECONOCER PATRONESAl mostrar algunas propiedades de los polígonos, podemos aprovechar algunos patrones que se dan en ellos, de modo que el estudiante pueda deducir generalidades. Veamos:

• Triangulación por medio de diagonales.Observemos cómo están relacionados el número de lados (n) de un polígono, el número de diagonales que se pueden trazar desde un mismo vértice y el número de regiones triangulares que se obtienen.

• Triangulación, uniendo un punto de un lado, con los vértices.Observemos ahora cómo están relacionados el número de lados (n) de un polígono y el número de regiones triangulares que se obtienen al unir un punto cualquiera de un lado, con los vértices.

A C

B

Número de lados n

Número de triángulos

43 4

5 65

n

...

Número de lados n

Número de diagonales

Número de triángulos

41

2

5

2

3

6

3

4

n

...


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APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIAINDUZCAMOS A LOS ESTUDIANTES A REALIZAR ALGUNOS

TRAZOS AUXILIARESAunque parezca ésta una actitud conductista, debemos inducir a los estudiantes a realizar algunos trazos auxiliares en la resolución de ciertos problemas. Ello les dará un panorama cada vez más amplio de las potencialidades de las propiedades en la resolución de problemas.

La característica común al resolver estos ejercicios, es que deben trazar una altura, según muestra la línea de color azul.

PLANTEAR PROBLEMAS QUE MUESTREN ALGÚN ASPECTO REALPodemos emplear situaciones de la vida cotidiana al plantear problemas.

PROPONER DESAFÍOSLos desafíos con fi guras geométricas llaman la atención de todo estudiante y podemos aprovechar su potencial para rescatar aprendizajes alternos. Por ejemplo:

(2)

300

12 X

450

X

24300

530

(3)

300 530

X16

(1)

Calcular el valor de “x” en los siguientes casos

A

B

D

P

400C

Divida la región sombreada en dos áreas de igual forma y tamaño.

Divida la región mostrada, que es un semihexágono regular, en cuatro fi guras de igual forma y tamaño.

Un terreno está formado por tres regiones cuadradas, como muestra la fi gura. Divida dicho terreno en cuatro partes de igual forma y tamaño.

Una bola de billar es impulsada desde el punto P, impacta en la banda BC (como se muestra en la fi gura) y rebota, impactando en la banda AB y rebota, para fi nalmente impactar en la banda AD y rebota tal como se muestra en la fi gura.

13

7

X

La fi gura muestra dos posiciones de una escalera de 25m, que está apoyada en el piso y la pared. Calcular el valor de “X”.

3.2 Geometría con papel periódico

Los medios y materiales con que se cuenta en las instituciones educativas no son muy abundantes y no es frecuente que en ellas se dedique un


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presupuesto a la compra de materiales de Matemática, ya que se suele pensar equivocadamente que para el aprendizaje de esta área lo único necesario para el alumno es el lápiz y el papel, así como la tiza y la pizarra para los docentes. Por eso, y teniendo en cuenta que el papel periódico es un material que está al alcance de todos, vamos a presentar algunas actividades geométricas que se pueden realizar utilizando como soporte el papel periódico (no como utilización de la prensa, sino más bien con el uso del soporte en que viene escrita: el papel periódico).Construcción de polígonos planosEn papel de prensa podemos obtener polígonos tan grandes como queramos sin tener que limitarnos a las dimensiones del cuaderno. Para ello se pueden recortar, utilizando sólo unas tijeras y una regla para marcar los lados, todo tipo de polígono, y de cualquier tamaño. Por ejemplo, se puede proponer:a. Recortar tipos distintos de triángulos (o de otros polígonos) por grupos de

alumnos y luego hacer clasifi caciones con los que se obtengan, utilizando los criterios que ya conozcan o aplicando otros nuevos.

b. Asimismo, se pueden utilizar para comprobar que la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es la misma, y que además es de dos rectos, cortando los ángulos de varios de los triángulos recortados en papel y colocándolos ordenadamente y observando que esa suma es siempre la misma.

c. Se pueden construir tantos triángulos de la misma área como queramos. Para ello basta con tomar siempre la misma base (por ejemplo, la longitud de una hoja) y la misma altura (que puede ser la de la hoja también); es indiferente la longitud e inclinación de los otros lados.

Distribución de espacios en el periódicoPermitirá en nuestros estudiantes conocer posibilidades diferentes de reparto de una superfi cie, y las diferentes fi nalidades que se le atribuye. Esto se podrá lograr observando la manera como se distribuye la superfi cie en diferentes periódicos (por ejemplo, en la primera página: cabecera, sumario, número de fotos, número de las noticias y tamaño de los titulares respectivos, colocados según la importancia que se les asigne, noticias de las que sólo se dan pequeños titulares y que remiten a las páginas interiores).El estudio se puede completar con otras situaciones que conllevan a la misma problemática, por ejemplo, la distribución de las habitaciones en una casa, sobre una superfi cie dada (en que hay que añadir, en general, la difi cultad de que se hace a escala) o la decoración (con unos elementos decorativos prefi jados o no) de una determinada habitación.Así también se puede estudiar en cada periódico la superfi cie dedicada a las distintas secciones (política, internacional, local, espectáculos o deportes) y comparar títulos distintos. Además, se observará la relación entre las páginas de publicidad y el total de las del diario, e incluso dentro de las de publicidad, y según el tipo de publicación, los artículos que se anuncian (autos o bebidas en los destinados a hombres; perfumes o electrodomésticos en los de mujeres, por ejemplo).

Uso de papel periódico para ayudar al aprendizaje de contenidos de la Geometría.


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a2

b2

b

a

El periódico como unidad de superfi cieLa medida de una determinada magnitud implica la adopción de una unidad de medida. Y lo más importante es que sea adecuada al fi n que nos proponemos. Una posibilidad de medida de superfi cies como las que nos rodean en el medio escolar (aulas, pasillos, mesas) es adoptar como unidad la hoja del periódico que tengamos a mano, por su bajo costo y disponibilidad. Así podemos empapelar toda la superfi cie que haya que medir.Luego se pueden hacer ejercicios de conversión de unidades, transformando los resultados obtenidos midiendo con dos periódicos diferentes o directamente a unidades decimales por medio de las medidas de la hoja.Estudio de las dimensiones de periódicos distintosPara realizar esta actividad seguimos la secuencia:Elegimos un periódico y medimos su longitud y su anchura. Vamos a estudiar la relación (el cociente) entre estas dos dimensiones (poniendo siempre en el numerador el número mayor de forma que el cociente sea siempre mayor que uno). Ahora plegamos el periódico por la mitad. La relación entre las dimensiones, ¿sigue siendo la misma? Si continuamos haciendo sucesivos dobleces por la mitad y calculamos el cociente entre las dos dimensiones, ¿entre qué valores varía? ¿Hay alguno que se repita? Hacemos el mismo estudio con varios periódicos. ¿Tienen algo que ver los números que encontramos?Si dos cuerpos de la misma forma tienen la misma área lateral, ¿su volumen es el mismo? Para realizar esta actividad tomamos dos hojas del mismo periódico y hacemos dos cilindros enrollándolos de las dos formas posibles (es decir, de manera que la altura de cada uno de los dos cilindros sea las dos dimensiones de la hoja). Los dos cilindros resultantes, ¿tienen el mismo volumen?Si hacemos la prueba con nuestros estudiantes y lo sometemos a votación, saldrá por una mayoría aplastante la respuesta «sí». Y, sin embargo, la realidad es que los volúmenes son diferentes. En efecto, si las dimensiones de las hojas son a y b, los volúmenes de los dos cilindros son

V y W=ÊËÁ

ˆ¯˜ ◊ =

ÊËÁ

ˆ¯˜ ◊p

pp

pa b b a2 2

2 2

. La única posibilidad de igualdad sería

que a = b. Pero, ¿hay algún periódico en el que esto se cumpla?Esta es una actividad que muestra que hay muchos conceptos matemáticos que no son en absoluto evidentes; antes, al contrario, la realidad es lo opuesto de lo que parece resultar clarísimo.Esta actividad no tendría que ser la primera de este tipo, sino quizás ver antes otras sobre áreas de rectángulos del mismo perímetro, que se puede realizar con una cuerda anudada por los extremos y formando rectángulos con los dedos de las dos manos, o con las dos manos de dos personas distintas, según la longitud. Lo que lleva directamente a toda la problemática de la forma de los objetos, y más todavía a los máximos y mínimos, que se pueden tratar sin apelar al cálculo infi nitesimal, al menos en sus inicios.


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Cálculo del grosor de una hoja de periódicoSi se nos pide cuánto mide de grosor una hoja de periódico (o si formulamos esta pregunta a los alumnos), lo primero que pensaríamos es en lo complica-do que nos resultaría esta actividad, teniendo en cuenta que los instrumentos de medida que solemos tener no alcanzan ese grado de precisión.Aquí te proponemos una forma de realizarse con facilidad (y es un procedimiento utilizable para calcular espesores pequeños) haciendo un paquete de periódicos, con un peso encima para comprimirlo, medir su altura, que ya está el alcance de nuestros instrumentos de medida, y después dividir por el número de hojas.Cálculo de magnitudes de la tirada de un periódico¿Te imaginas los cálculos de superfi cies que puedes hacer conociendo, al menos aproximadamente, la tirada de un periódico? Podemos realizar actividades de medida de magnitudes en las que aparecerán números enormes y que nos permitirán tener otras perspectivas de la prensa. Por ejemplo, las siguientes:a. Si extendemos todos los ejemplares que ha publicado hoy el periódico,

¿qué superfi cie cubrirían?b. Si apilamos todos los ejemplares uno encima de otro, ¿qué altura

alcanzarían? ¿Cuánto pesarán todos los ejemplares tirados hoy? ¿Cuántas camionetas serán necesarias para transportarlos?

c. ¿Cuántos rollos de papel habrán sido necesarios para realizar la tirada? En todas ellas es necesario buscar las unidades de medida apropiadas y hay que realizar aproximaciones y estimaciones.

Actividad 3Analiza las construcciones geométricas como herramientas didácticas, valorando su utilidad.■ Establece las diferencias entre las aplicaciones didácticas de las construcciones usando regla y com-

pás y la geometría con el papel.■ Analiza y comenta con tus colegas sobre las ventajas y desventajas de las aplicaciones didácticas

que se está proponiendo en el fascículo sobre el uso de la regla y el compás para realizar construcciones geométricas y la geometría del papel.

Para tales actividades revise cuidadosamente la bibliografía y los enlaces web sugeridos.

Recuerden que:Debemos respetar los diferentes puntos de vista y demostrar capacidad para escuchar, llegar a acuerdos y construir consensos.Hay que reconocer lo valioso de cada uno de los miembros del equipo.Investiga con tus colegas sobre qué otras construcciones geométricas puedes realizar con el uso de la regla y el compás, así como también qué otras aplicaciones didácticas puedes darle al papel periódico. Pueden consultar las siguientes páginas:http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/Actividades%20Estalmat-ICM2006/Doblar-papel.pdf


El papel periódico utilizado con creatividad puede convertirse en un buen aliado en nuestras clases de Geometría.

Interesante


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Responde a las siguientes preguntas aplicando tus conocimientos y buen criterio:

1. Explica sobre el pensamiento geométrico en el modelo de Van Hiele, mediante un mapa conceptual.

2. Explica cuál es la importancia de la Papirofl exia en la didáctica de la Geometría.

3. En la gráfi ca, determina la medida del ángulo ABC, siendo A, B, C puntos medios de las aristas.

4. En la fi gura se observa dos monedas del Perú que son idénticas. Una de ellas permanece en reposo mientras que la otra rueda a su alrededor sin desli-zarse, partiendo de una posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado dicha moneda?

5. ¿Qué fi guras geométricas puedes observar en las siguientes imágenes? Elabora una tabla clasifi -cándolas.

4. EVALUACIÓN

6. Elabora un listado de objetos reales donde se observen fi guras geométricas. ¿En cuáles de ellas se puede emplear regla y compás o papel periódico para su construcción?

http://capriciouspeacock.blogs.com/photos/san_cipriano/101_1717.JPG

http://centros5.pntic.mec.es/ies.arzobispo.valdes.salas/alumnos/filocien/graficos/columnas.jpg

A

BC


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Responde en una hoja aparte:

1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este fascículo?

5. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Defi ciente

¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R


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BIBLIOGRAFÍAcomentada

1. Balacheff, N. y Kaput, J. Computer-Based Learning Enviroments in Mathematics. Berlín. Kluwer Academic Publishers, 1996.

Publicación dedicada al uso de la tecnología en el aprendizaje matemático.2. Castellnuovo, E. La Matemática. Geometría. Barcelona. Editorial Ketres, 1981. Este libro presenta contenidos de análisis y refl exión que permiten al docente abordar

un correcto tratamiento de los contenidos matemáticos y así también conocer el objeto y los métodos de la didáctica de la Matemática.

3. Corbalán, F. Prensa, matemáticas y enseñanza. Zaragoza. Mira Editores, 1991. Este libro contiene actividades sobre el uso didáctico del papel periódico.4. Chamorro, María del Carmen. Didáctica de las Matemáticas. Madrid. Editorial

Pearson, 2005. En este libro podrás encontrar contenidos que te ayudarán en el desarrollo de los temas

del área de Matemática.5. De la Cruz, José Huisa. Geometría Plana “Teórico – Práctico”. Lima. Editorial San

Marcos, 1992. Presenta nociones generales de la Geometría, ejercicios y problemas.6. Galván, Liliana. Creatividad para el cambio. Lima. UPC y El Comercio, 2001. Se enseña a crear técnicas creativas, lo que es muy útil para todo docente que desea

mejorar su trabajo pedagógico.7. Gutiérrez, A. Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la Geome-

tría: El modelo de Van Hiele. Sevilla. Alfar, 1990. El autor es uno de los mayores especialistas dedicados al análisis y estudio del modelo

de Van Hiele, por ello, esta publicación resulta interesante para entender mejor esta propuesta.

8. Novak, J. y Gowin, D. Aprendiendo a aprender. Barcelona. Martínez Roca, 1999. Este es un libro que, por su contenido, es considerado básico en la instrucción teórico-

práctica del diseño y aplicación de mapas conceptuales en el aula.9. Shwartz, J.L. A personal wiew of suposser, en Schwartz, J. y otros (eds.). The Geo-

metric suposser, What is it a case of? Hillsdale, Lawrence Erlbaum Associates, Pu-blishers, 1993.

El texto facilita el acercamiento a Cabri, al desarrollar conceptos que se relacionan con los entornos informáticos.

10. Van Hiele, P.M. El problema de la comprensión. En conexión con la comprensión de los escolares en el aprendizaje de la Geometría. Ultrecht. Universidad Real de Utrecht. Tesis doctoral, 1957.

El modelo de enseñanza de Van Hiele ha desarrollado importantes pautas para la enseñanza de la Geometría. En esta tesis se encuentran las bases de dicho modelo.

11. Yerushalmy, M. Generalization in Geometry, en Schwartz J. y otros (ed) The Geome-tric suposser, what is it a case of? Hillsdale, Lawrence Earlbaum Associates, Publis-hers, 1993. El texto desarrolla aspectos de la relación entre los programas de simulación y las propiedades geométricas.


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1. http://www.gig.etsii.upm.es/pdf/TESIS_ACD_2002.pdf Esta página es un recurso de apoyo a la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría basada en

un tutor – evaluador y un generador de ejercicios integrados.

2. http://www.ciberdocencia.gob.pe/index.php Portal educativo que contiene recursos pedagógicos y estrategias educativas que son de gran

utilidad. Además, contiene enlaces a otros temas de interés para el docente.

3. http://macareo.pucp.edu.pe/~jhenost/articulos/conmat.htm Esta página contiene recomendaciones metodológicas para facilitar el aprendizaje de la

Matemática.

4. http://www.scm.org.co/Articulos/733.pdf Esta página contiene lecturas matemáticas: el método socrático, la concepción constructivista

del aprendizaje, el modelo de Van Hiele, las fases del aprendizaje y extensiones del modelo fuera del ámbito de la Geometría.

5. http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/ Aquí podrás encontrar un tutorial de Cabrí Java que es un programa de geometría interactiva.

Se presentan actividades con CABRI que ayudan a descubrir la geometría del entorno. Están centradas en tres contenidos geométricos: lugares geométricos, los mosaicos y las transformaciones geométricas.

6. http://www.unizar.es/ttm/2004-05/ConstGeom.pdf Presenta construcciones geométricas realizadas con regla, compás y transportador.

7. http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2006/junio/nosotros121.htm Presenta la Papirofl exia como una herramienta didáctica que permite desarrollar diferentes

contenidos no sólo conceptuales, sino también procedimentales.

8. http://members.tripod.com/DE_VISU/mapas_conceptuales.html En esta página podrás encontrar amplia información sobre la utilización de los mapas concep-

tuales como herramienta didáctica.

9. http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/ En esta página encontrarás geometría dinámica – cabri II la cual presenta construcciones

geométricas para educación secundaria. Asimismo, encontrará recursos, matemática recreativa y enlaces web.

ENLACESweb


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