LOS FUNDAMENTOS DE LA HIDRODINÁMICA CLÁSICA

LEOPOLDO GARCÍA-COLÍN SCHERER Departamento de Física, UAM-Iztapalapa

Miembro de El Colegio Nacional

1. INTRODUCCIÓN

Aunque de apariencia simple, las ecuaciones de Navier-Stokes 3d se comportan muy mal, se pueden plantear en condiciones iniciales boni­tas, suaves y aparentemente inocuas y las soluciones pueden resultar extremadamente inestables... La gente piensa que ve rupturas, se de­sarrolla una singularidad. Parece ser muy, muy malo. Si los matemáti­cos pudiesen domar este comportamiento salvaje de las ecuaciones de Navier-Stokes habría un cambio dramático en el campo de la mecánica de fluidos.

Este párrafo parte de un texto publicado en la prestigiada revista Science vol. 288, p. 1328 (2000) y anuncia uno de los seis premios lan­zados a los matemáticos por la cantidad de un millón de dólares cada uno, por el Instituto de Matemáticas "Clay" de Cambridge, Mass. ¿Qué plantea exactamente el reto? ¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes? ¿De dónde provienen? ¿Cuáles son sus alcances y limitaciones? A la respuesta de estas interrogantes queremos dedicar este artículo y tratar de entender con mayor profundidad cuáles son los fundamentos de la mecánica de los fluidos, e. g., la hidrodinámica clásica.

Para ello el artículo está constituido por una sección II dedicada a una breve historia de las ecuaciones de la hidrodinámica; su fenome­nología la trataremos en la sección III, los fundamentos cinéticos en la sección IV, el problema de la estabilidad de sus soluciones en la sección

"Basado en una conferencia impartida en el XXXIV Congreso de la Sociedad Matemática Mexicana, Toluca, Edo. de México, octubre 8, 2001.

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V y la última sección al presentar las conclusiones de esta exposición. Con ello, esperemos que el lector adquiera un cuadro más completo de un campo de la física teórica y aplicada, todavía plagado de problemas sin respuesta.

2. BREVE HISTORIA DE LAS ECUACIONES DE LA HIDRODINÁMICA

Para la mayor parte de los físicos y/o ingenieros que trabajan en la mecánica de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes son la conser­vación de la masa,

do -P+pdivw = 0 (1) dt

y la ecuación (conservación del ímpetu),

— = g grad p + vV2w + — v grad(div u). (2) dt p ó

En estas ecuaciones p(r, t) y u(r, t) son la densidad de masa del fluido y la velocidad hidrodinámica definidas para todo punto r y tiempo t, respectivamente, p(r, t) es la presión local, g la aceleración debida a la fuerza de gravedad, v = J la viscosidad dinámica, 17 la viscosidad cortante y ¿- = Jj + u • grad la llamada derivada total, substancial o hidrodinámica. El término w • grad ü que aparece en (2) debido a esta derivada es el llamado término inercial y es no lineal en la velocidad ü.

Es curioso que asociada a las ecuaciones (1) y (2) no haya una ecuación correspondiente a la ecuación de la energía. Hasta ya entrada la segunda mitad del siglo pasado la casi totalidad de las obras de hidrodinámica hablaban a lo sumo de la energía bajo el contenido del llamado teorema de Bernoulli (1738). Para un fluido no conductor y no viscoso la función

H= -w2 + pp _ 1 + ̂ = const (3)

se conserva a lo largo de una línea de flujo. Aquí ty es la energía potencial por unidad de masa y los conceptos de temperatura y ener­gía interna no se mencionan para nada. [l]-[5].

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La ecuación (2) fue deducida por vez primera por Saint Vennant en el año de 1843 y por G. G. Stokes en 1845 a partir del tensor de los esfuerzos

s 1 T = 2TJ (grad u) — — div u 1 3 (4)

donde ( ) es la parte simétrica sin traza del tensor correspondiente y 1, el tensor unitario. La ecuación (4) a su vez había sido obtenida por Navier en 1822 y Poisson en 1829 a partir de modelos sobre teorías de fuerzas intermoleculares sobre fricción interna. Así pues surge la pregunta, ¿por qué la ecuación de conservación de la energía total e?, expresada por

^ + d iv4 = 0 (5) at

no aparece en la formulación de la hidrodinámica? En la ecuación (5) JeT es el flujo de energía total y suponemos que no hay fuentes ni sumideros. La respuesta a esta pregunta aunque ya aparece tratada de manera un poco más evidente en algunos textos contemporáneos, [6] [7] realmente se da hasta mediados del siglo xx, fenomenológicamente con la elaboración de la termodinámica irreversible lineal (TIL) que veremos en la sección subsecuente y a partir de la teoría cinética de los gases, en forma muy sui generis por Maxwell en el siglo xix y en forma muy sistemática en el siglo xx por Enskog, Chapman y Cowling [8] [9]. Estos trabajos los discutiremos en la sección IV.

3. FENOMENOLOGÍA, TERMODINÁMICA IRREVERSIBLE

La TIL tiene su origen en uno de los últimos trabajos de R. J. E. Clausius cuando este autor propuso que para todo cambio infinitesimal entre dos estados de equilibrio de un sistema arbitrario, el cambio en entropía dS, si el sistema es cerrado esto es, no hay intercambio de masa, está dado por

dS_f^>0 (6) donde dQ es el calor intercambiado por el sistema con una fuente tér­mica a la temperatura T. A d'Q le llama el "calor no compensado" y afirmó que su origen debería provenir de los efectos disipativos (fric­ción) en el sistema, pero no dio mayores explicaciones. Claramente,

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si el proceso es reversible d'Q = 0 y (6) se reduce a la bien conocida ecuación,

r La primera teoría matemática completa y consistente dando la expre­sión para d'Q y manteniendo al máximo los conceptos más importantes de la termostática, fue propuesta por J. Meixner entre 1941 y 1943 y para sistemas químicos de manera independiente por Prigogine en 1946. Sin entrar aquí en detalles históricos ni técnicos que el lector puede consultar en la literatura [10]-[13], la teoría de Meixner está basada en sólo dos hipótesis, i) la validez de las ecuaciones de conser­vación e. g., ecuaciones (1), (2) y (5) y ii) en la llamada hipótesis del equilibrio total (HEL). Esta hipótesis, ampliamente discutida en la lite­ratura [12]-[14] establece que, por ejemplo, si en un fluido escogemos p(r, t), ü{f, t) y T(f, t) como variables de estado, cualquier otra variable, como la entropía S(f, t) guarda la misma relación matemática con p y T, las variables escalares en equilibrio. Así,

H S(r, t) = S[p(r, t), T(r, t)] (7)

o bien, es una funcional independiente del tiempo de p y de T. Así

M = í™\ dp + (?S\ <£_ (8) dt \dp)T dt \dTjp dt K '

donde los coeficientes termodinámicos se pueden determinar, por la HEL misma, de la relación

TdS = de¡ + pdv _ l v = £, e, = €¡(T,p) la energía interna, por la misma hipótesis. Usando

las ecuaciones de conservación y la ecuación (8) es fácil ver que [12], [13],

p— + ái\Js = <T (9) dt

si Js = Jq/T donde Jq es el flujo de calor y <r, el calor no compensado de Clausius local, a(r, t) está dado por

1 - 1 • 1 o- = -j^Jq • gradT - - T : (gradí?)* - - rd iv i ? (10)

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donde (°)J es la parte simétrica sin traza de un tensor y r = 1/3 t r r , esto es,

grad u = (grad u)s + div w 1 (11) a es entonces una forma bilineal que contiene la suma de los flujos físicos (Jq, T, T, etc.) multiplicados por las fuerzas que los producen (grad T, (grad u)s, div ü, etc.)

Para poder convertir a las ecuaciones de conservación en un con­junto completo de ecuaciones, es necesario introducir los análogos de las ecuaciones de estado en termostática, esto es, las ecuaciones que relacionen a los flujos con las fuerzas. Para ello tenemos que recurrir al experimento o a modelos moleculares; estas relaciones son ajenas a la teoría misma. Si elegimos relaciones lineales, también llamadas ecuaciones constitutivas lineales

Jq = —K grad T (Fourier) (Ha) o

T = — 2->j(grad uf Navier-Newton (Hb) T = — £ div ü Navier-Newton

donde K es la conductividad térmica, 17 la viscosidad cortante y £ la viscosidad volumétrica, la sustitución de ( l ia , b) en (10) da

o- = |>(grad Tf + ^ (g radÜ) s : (gradÜf + | (d ivu) 2

que es una forma bilineal cuadrática en los gradientes y necesariamente positiva definida si K, 17 y £ son mayores que cero. Esta propiedad de estos coeficientes está corroborada por el experimento de manera que

o ->0 (12)

que es la segunda ley de la termodinámica (ver referencia [13]). Este re­sultado implica que si a la teoría de Meixner le agregamos un conjunto de ecuaciones constitutivas lineales obtenemos un esquema completa­mente consistente con la segunda ley de la termodinámica.

La sustitución de ( l ia) y (11b) en las ecuaciones generales de con­servación conduce después de un álgebra engorrosa (ver referencias [12] y [13]) a las ecuaciones:

- r + p d i v « = 0 (1) dt r v '

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PYt = — ^ ~ S r a d P - ^ r - g r a d r + 2i7V2í?- í %V ~ €) graddivw

(20

pCv— = -^divu + KV2T + 2y(gradu)s : (gradw)' + £(divw)2 (13) dt Kj

Las ecuaciones (1), (2;) y (13) forman un conjunto completo de ecua­ciones en derivadas parciales de primer orden en t, segundo orden en derivadas espaciales para las variables p,uyT que además son no li­neales y están acopladas entre sí. KT es la compresibilidad isotérmica, j8 el coeficiente de expansión volumétrica y Cv el calor específico a vo­lumen constante. La HEL se usó para expresar grad p en términos de p y T. A este conjunto de ecuaciones se le conoce como ecuaciones de Navier-Stokes-Fourier de la hidrodinámica clásica y son consistentes con la segunda ley de la termodinámica. Su solución, analítica o numérica, es en principio factible dadas condiciones iniciales y condiciones a la frontera y conocidos los parámetros de equilibrio ^3, Kj y Cv así como los coeficientes de transporte 17, £ y K. Nótese que con excepción de la ecuación (1), la ecuación (2;) es diferente a la ecuación (2) y la ecuación (13) que es la expresión matemática del principio de conservación de la energía, es completamente diferente al enunciado del teorema de Bernoulli, ecuación (3).

Por último, hay que señalar que las no linealidades involucradas en las ecuaciones de Navier-Stokes-Fourier (NSF) son de dos tipos. Las contenidas en los términos inerciales ü • grad que provienen de la definición de derivada total y los dos últimos términos de la ecuación (13) que provienen de las relaciones constitutivas mismas. Para muchos propósitos es conveniente linealizar estas ecuaciones suponiendo que las variables de estado sólo fluctúan alrededor del estado de equilibrio. Esto es, si escribimos que

x(r, t) = x0 + 8x(r, t)

donde XQ = xeq, 8x es la fluctuación y x = p, T o bien u {ÜQ = 0) se obtiene que, despreciando todos los términos de orden cuadrático y superiores

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en 5, las ecuaciones se reducen a

—(Sp) + po div ü = 0 (14a) dt

•« -+ -I Q / 9 \

P0-^= g - grad(Sp)-— grad(S7>2-»7V2K- \^-T) - x£j grad div i?

(14b)

■ poCvdJ*n = KV*T-^-divu = 0 (14c)

dt KT Este sistema, aun acoplado entre sí, se presta para discutir muchas

aplicaciones, pero dejamos al lector consultar la literatura pertinente si está interesado en ellas. [12] [13] [15]

Para terminar esta sección queremos resaltar la diferencia entre las ecuaciones de NS presentadas en la introducción y las ecuaciones de NSF dadas por (1) (2') y (13). A excepción de (1), la ecuación de continuidad, no son las mismas. Si consideramos un flujo isotérmico, T = cte y los términos no lineales en la ecuación (13) se desprecian, las ecuaciones de NSF se reducen al caso de NS si además suponemos un flujo incompresible, div u = 0 y en ese caso

du _ __o _

^ = 0 dt

para una fuerza externa igual a la fuerza gravitacional. Esto ilustra en parte la ambigüedad del texto en el primer párrafo de este artículo, ¿qué vamos a entender por las ecuaciones de NS? La discusión subsecuente va a proporcionar una perspectiva totalmente diferente del problema pero difícilmente su esclarecimiento.

4. TEORÍA CINÉTICA

La fundamentación cinética de la hidrodinámica tiene que estar basada en un modelo más microscópico de un fluido y por lo tanto no tiene el carácter tan general como la estructura fenomenológica presentada en la sección anterior. El modelo que usaremos es el de un gas diluido monatómico e inerte. Por diluido entenderemos que

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todos los eventos, colisiones entre moléculas involucrando tres o más de ellas son muy poco probables y por lo tanto, despreciables. Si ahora, llamamos f{f, v, t) dr dv el número de partículas que al tiempo t se encuentran en elemento de volumen dr dv de un espacio euclideano de seis dimensiones, llamado espacio ¡xt la ecuación de movimiento de esta función tiene la forma

U.^Jf^M,J{m (15) dt dr m dt KJJ' v '

—* * si F es la fuerza externa. Esta es la célebre ecuación de Boltzmann introducida a la teoría cinética en 1872. Es una ecuación de balance que establece que el cambio en / por el arrastre propio de las partículas en un volumen dr dv tiene que ser igual al cambio que sufre / por colisiones. Este cambio, plasmado en el término / ( / / ) fue calculado por Boltzmann suponiendo que la probabilidad de un evento binario en fi (colisión) es un proceso al azar, su famosa hipótesis del caos molecular, esto es se puede expresar como un producto de / ' s . Esto hace a (15) una ecuación integro-diferencial no lineal en / cuyo estudio, a pesar de haber transcurrido casi 130 años, sigue siendo un tema de suma relevancia.

No es el propósito de este artículo ni dar la deducción de la ecuación (15), ni de discutir a fondo sus propiedades ampliamente tratadas en innumerables obras sobre el tema; [8] [9] [16] [20] sólo vamos a señalar aquí los aspectos más importantes que la relacionan con la hidrodiná­mica clásica. Una de las propiedades más importantes de la ecuación de Boltzmann es que si la multiplicamos por m, mvy l/2mv2, donde v es la velocidad molecular, definimos las variables locales como:

n(r, t)

n(r, t)u{r, t) =

n(r, í)e,(r, t)

i

-i\ ( 1 ^

[¿«j \f{r,v,t)dc (16)

donde c = v — ü{r, t) es la llamada velocidad térmica o caótica y p(r, t) = mn(r, t), m la masa molecular se obtienen, respectivamente las ecuacio­nes de conservación de la masa y del ímpetu y la ecuación de balance

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de la energía interna e¡(r, i). La diferencia entre estas ecuaciones y las fenomenológicas, es que los flujos de ímpetu (o tensor de los esfuer­zos) T y el flujo de calor quedan ahora expresados en términos de la / misma,

T = m / fccdc

que en principio pueden calcularse si se conoce / . Esto claro, se logra si resolvemos la ecuación (15) lo cual está muy lejos de ser un problema fácil ni totalmente resuelto [20]. La ecuación (15) está definida en un espacio dinámico (r, v) de seis dimensiones para partículas puntuales y el problema fundamental radica en cómo meter a las variables hidro­dinámicas, p, ü y €¡(oT) en la solución.

Por el interés muy particular que el gran matemático alemán D. Hil-bert tenía en el estudio de ecuaciones integrodiferenciales [9] [21] ideó un método para resolver la ecuación (15) el cual en 1922 fue adoptado al caso particular de un fluido por D. Enskog, un profesor de secundaria sueco. El método consiste esencialmente en suponer, primero, que / es desarrolladle en serie de potencias en términos de un parámetro llamado el parámetro de Knudsen, €,

I / = /(0) + e/<1> + €2/(2) + --- (18a) donde

A € = —

L A siendo la trayectoria libre media y L la longitud característica del recipiente conteniendo al gas y segundo, que todas las / ' s apareciendo en (18a) sólo dependen del tiempo a través de las densidades locales, ecuación (16), esto es,

/(') = f) g? $ n(ft t)t U{r, t), T(r, t)) (18b)

donde el(r,t) = ^ki,T(r,t) siendo fc¿, la constante de Boltzmann. En particular,

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es una función de distribución maxwelliana local, solución de la parte inhomogénea de la ecuación (15),

■ /(/(°>/(0>) = o que se cumple sólo si se imponen las llamadas condiciones subsidiarias,

> de = 0 i > 2. (20)

El procedimiento de solución, que es un tanto engorroso, conduce a los siguientes resultados [16]-[18], [9];

a) A cero orden en e se obtienen las ecuaciones de Euler de la hidrodi­námica para un fluido no viscoso (ideal) que no escribiremos aquí.

b) A primer orden en e se obtienen las ecuaciones de NSF tal y como están escritas en la sección III con £ = 0, las relaciones constitutivas lineales (l ia) y (11b) pero ahora K y 17 están dadas en términos de las llamadas integrales de colisión, esto es integrales que contienen los detalles de las interacciones moleculares, la masa de las molécu­las y son, en general funciones de p y T. Todos los resultados son consistentes con las premisas de la TIL incluyendo las llamadas rela­ciones de reciprocidad de Onsager en el caso de mezclas de gases [22].

c) A segundo orden en e se obtienen las llamadas ecuaciones de Bur-nett y que, como veremos en un momento, son el detonador de serios problemas en lo que se llama la hidrodinámica de orden su­perior.

A órdenes 3 y mayores se obtienen las ecuaciones de super Burnett que no discutiremos aquí. Es muy importante señalar e insistir en ello, que las ecuaciones de NSF obtenidas para un gas diluido a partir de la ecuación de Boltzmann por el método de Hilbert y Enskog difieren de las fenomenológicas por dos razones:

a) En las ecuaciones de origen cinético, la viscosidad volumétrica es cero (£ = 0).

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b) La conductividad térmica K y la viscosidad cortante 17 no son parámetros desconocidos en el caso cinético. Pueden calcularse dado un potencial intermolecular y para diferentes potenciales es­tán tabuladas en la literatura [9] [23]. En las ecuaciones (2') y (13) tienen que fijarse arbitrariamente. Lo mismo ocurre con j8, Kj y Cv que en el caso fenomenológico dependen de la ecuación de estado elegida. En el caso del gas diluido, de la teoría se obtiene que p = pk¡,T y Cv = | /? donde R es la constante universal de los gases. Esto implica que las ecuaciones de NSF para un gas diluido no contienen parámetros arbitrarios, sus soluciones sólo dependen de condiciones iniciales y de frontera. Esta diferencia va a destacar en la discusión de la sección 5.

Regresemos ahora al caso de la hidrodinámica de orden superior, específicamente a las ecuaciones de Burnett (1935) [9]. Las ecuaciones constitutivas para un fluido simple pueden escribirse, simbólicamente, como:

í K a\2 a\$\ / - ^ g r a d r X a2\ 2i7 ¿*23 I -^(gradw)

Va3i «32 £ / \ - i d i v w ) (21)

donde a¡j = 0 i f j para el caso de las ecuaciones lineales ( l ia , b). Ahora, en términos de (21), queremos entender las ecuaciones de Bur­nett que por álgebra directa surgen a orden e2 por el método de Hilbert y Enskog. En efecto, por una extensión simple del argumento fenome­nológico que conduce a (11b) [7] se puede uno preguntar por la forma más general que pueden tener los coeficientes a¡j lineales en los gra­dientes, para que actuando sobre el vector de fuerzas termodinámicas nos dé los tensores más generales, isotrópicos de orden 2 para los flu­jos. Éste fue un trabajo pionero que se hizo hace 20 años y que fue prácticamente ignorado [24]-[28]. El resultado, a semejanza del caso de NSF, es que las ecuaciones que resultan no son exactamente las mis­mas que surgen del método cinético. Esto no es extraño pues en un gas diluido todos los términos proporcionales a div ü no aparecen en la teoría cinética. Pero hay otras diferencias un tanto sutiles.

En el método cinético uno parte de la hipótesis funcional dada en (18b) que es esencialmente, la HEL. Sin embargo, cuando uno calcula la producción de entropía a partir de la ecuación de Boltzmann, se

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encuentra que tanto ella como la forma misma de la entropía local S(r, t) dependen de los gradientes. Hay una fuerte inconsistencia entre dicha hipótesis y las condiciones subsidiarias expresadas por la ecuación (20). En el caso fenomenológico, uno puede calcular cr, que tiene la forma tradicional dada por (10) pero ya no se puede probar que <r > 0, esto es, que haya consistencia con la segunda ley. La primera dificultad señalada originalmente por Prigogine [29] (ver referencias [12] y [13]) subsiste hoy en día sin que se le haya dado solución; la segunda plantea la pregunta de cual es la termodinámica irreversible con la que son compatibles las ecuaciones de Burnett y las de orden superior.

Por muchos años se pensó que estas cuestiones no eran muy im­portantes ya que desde la aproximación de Burnett, su uso era muy limitado, sino inútil, por la complejidad matemática de su estructura pues son de tercer orden en las derivadas espaciales. Esto es falso. Su utilidad para mejorar la concordancia de las ecuaciones de NSF con el experimento en situaciones como el flujo de enjambres de partículas [30], dispersión y absorción de sonido [31], flujo de Couette [32] y muy recientemente en proporcionar los mejores resultados en el cálculo de los perfiles de densidad, velocidad y temperatura en ondas de choque a números de Mach de 4,8, y 134 [33] [34], es manifiesta. Esta situación deja abierta una gama de preguntas muy interesantes e importantes so­bre la estructura de las ecuaciones de la hidrodinámica más allá del régimen de NSF. Esto constituye un reto para el futuro.

5. ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES

Ante el panorama descrito en las secciones anteriores, lo primero que uno se plantea es cuáles son las ecuaciones que vamos a elegir para analizar sus soluciones, ¿las de NS? ¿NSF? ¿NSF linealizadas?, o bien NSF extraídas de la teoría cinética. En este sentido la interrogante planteada por el Instituto Clay deja de estar definida con precisión. Aquí vamos a tomar la opción cinética por las razones que expondremos a conti­nuación.

Empecemos por el caso más simple, el de las ecuaciones de NS dadas en (1) y (2). Ahí aparecen dos parámetros indeterminados, la ecuación de estado p = p(p) y la viscosidad cinemática r¡p~l. Ambos deben fi­jarse de manera empírica y ya Sir Horace Lamb en su tratado sobre

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hidrodinámica (ver referencia [1] p. 575) hace ver las dificultades que eso promueve, ¿cómo escoger para un fluido una ecuación de estado y una viscosidad, usualmente función de la temperatura, que sean con­sistentes entre sí? Este problema se agrava en el caso de las ecuaciones de NSF, pues ahí aparece la consistencia entre los coeficientes de trans­porte entre sí, de los parámetros de equilibrio entre sí y de unos con otros. Recordemos que dada una ecuación de estado, Cv ya no es ar­bitrario pues la segunda ley de la termodinámica impone la condición que

(£)T"'-r(!r) ecuación que limita la forma de Cv = (ff>) si u es la energía interna por unidad de masa. Esta condición, a menudo ignorada en la aplicaciones de la termostática conduce a flagrantes contradicciones.

De esta manera, si se resuelven ya sea las ecuaciones de NS o de NSF aun haciendo £ = 0, bajo condiciones iniciales y a la frontera razo­nables y se obtienen soluciones que exhiben un comportamiento abe­rrante ¿a qué se deben?, ¿a las condiciones mismas, a los parámetros arbitrarios o a una combinación de ambas cosas? La decisión o deter­minación no es fácil. Es por ello que para estudiar el comportamiento de las soluciones, las ecuaciones deducidas de la teoría cinética son mucho más consistentes; en el caso de un gas diluido, como ya dijimos las ecuaciones de estado térmicas y calóricas así como las expresiones para Kyq están dadas por el modelo, estas dos últimas dependiendo sólo de la forma del potencial intermolecular. En estas condiciones hay un teorema demostrado por Bobylev en 1982 que establece lo siguiente [35] [36]:

Consideremos las ecuaciones de NSF obtenidas a partir del método de Hilbert y Enskog para un potencial maxwelliano (esferas suaves, 4>(r) = r ). Tomemos como referencia el estado de equilibrio caracte­rizado por po, To y üo * 0. Ahora examinamos si la solución de equilibrio es estable ante perturbaciones pequeñas,

y(*,í) = y0(l + ey'(*,r)) (22)

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con y = po o T, e es el parámetro perturbativo y

u(x,t) = \ eu (x,t) y m

donde las cantidades primadas son adimensionales. Si ahora se in­troducen variables adimensionales para la posición y el tiempo que llamaremos s y t' (ver referencia [36] ecuación (7)) e introducimos los modos normales de las ecuaciones a través de

y'(s, t') = y exp{i'Oí' + iks) lm(jfc) = 0 (23)

el análisis arroja como resultado una relación de dispersión Cl = íl (k, coeficiente transporte) de la cual se obtiene que para las ecuaciones de NSF la solución es estable para todos los valores de k no así para las ecuaciones de Burnett cinéticas donde la estabilidad existe sólo si

0 < k < kc

donde 2.5 (moléculas de Maxwell) 3.65 (esferas duras).

Este comportamiento está exhibido en las figuras 1 y 2 donde se ve claramente que Irak (o parte real de O) no es obtenible para cualquier k. Como se muestra en el trabajo original kc es equivalente a un valor crítico del número de Knudsen. Esto confirma una sospecha muy citada en la literatura de que las soluciones de las ecuaciones de Burnett no existen para parámetros de Knudsen arbitrarios.

La estabilidad a la que aquí nos referimos tanto en el caso de NSF como el de Burnett, es la estabilidad lineal; la demostración de este resultado a órdenes abritrarios en la perturbación es un problema abierto, aunque hay resultados preliminares que son promisorios [37].

6. CONCLUSIONES

Después de esta larga exposición sobre la estructura de las ecuacio­nes de la hidrodinámica clásica, vale la pena resaltar algunos puntos importantes a manera de conclusiones.

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* , =

ov.v

18.0

6.0 Re(íl) -6.0

-18.0

-.HOO

1 1

• • * * * • • • • • • *

1 \ 1

I *

• • * • • • • _ ■ ■

^p •

-

-

1 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Figura 1. Parte real de los eigenvalores (círculos) como funciones de k para el modelo de Maxwell.

15.0

-15.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Figura 2. Parte real de los eigenvalores (círculos) como funciones de k para el modelo de esferas duras.

En primer lugar, el lector podría justificadamente cuestionar por qué no se tocó el tema de la obtención de las ecuaciones de la hidrodi­námica a partir de primeros principios, esto es la ecuación de Liouville de la mecánica estadística. La respuesta es muy simple: a partir de la jerarquía BBGKY, que es el equivalente de la ecuación de Liouville expresada en términos de funciones de distribución reducidas, uno puede calcular las ecuaciones de conservación exactas para un fluido simple con expresiones generales para el flujo de calor Jq y el tensor de esfuerzos r . El problema central es que las expresiones para estos flujos está expresada en función de la función de distribución de dos partícu­las cuyo conocimiento requiere de conocer f$, f±,... etc. Hasta donde se sabe, jamás se ha hecho un cálculo de los respectivos coeficientes de transporte que pueda compararse con el experimento [38].

Una crítica similar se puede aplicar a todos los llamados métodos exactos de los procesos irreversibles, clásicos y cuánticos obtenidos de primeros principios.

En segundo lugar subsiste el problema de que la estructura de las ecuaciones de la hidrodinámica de orden superior no está bien estable­cida, especialmente su ubicación dentro de un esquema termodinámico para procesos irreversibles. Los esfuerzos que se han hecho hasta ahora para abordar esta cuestión, no han sido muy convincentes [39].

Como consecuencia del contenido de este artículo uno se podría preguntar sobre el premio Clay: ¿a qué ecuaciones de Navier Stokes se refieren los proponentes? Como consecuencia, el atractivo del reto es ahora más profundo.

En conclusión, la hidrodinámica clásica nacida en 1755 con el tra­bajo pionero de Euler [1], a pesar de tener 246 años, todavía está muy viva.

REFERENCIAS

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