DERIVADAS

Anival Torre

ANIVAL TORRE

1

.

x

y

x

(x, f(x))

Definición de derivada

s

T

2

ANIVAL TORRE

La derivada de una función f(x), denotada por f ´(x), es la pendiente de la recta tangente a la función f(x)

.s

x

.(x, f(x))

x

yf

Dx

(x+ h, f(x+ h))

Dy

Pendiente de la recta secante a una Curva

x+hDx

Dy T

hxfhxf

XY

mS)()(

3

ANIVAL TORRE

f(x)

f(x+h)

Suponga que f(x) es contínua, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto P(x, f(x)) es:

Pendiente de la recta tangente a una Curva

ANIVAL TORRE

4

hxfhxf

LimmTh

)()(0

hxfhxf

Limxfh

)()()(

0

'

Recta normal a una gráfica

La recta normal a una gráfica en un punto dado es larecta perpendicular a la recta tangente en ese punto.

x1

Lt

Ln

y = f(x)

ANIVAL TORRE

5

6

Reglas de derivación

1. Diferenciación de una constante

Si f(x) = c, entonces, f ´(x) = 0

2. Diferenciación de potencias (n Z+)

Si f(x) = xn, entonces, f ´(x) = n x n -1

3. Diferenciación para producto con una

constante

Si h(x) = c f(x), entonces, h´(x) = c f ´(x) ANIVAL TORRE

7

4. Diferenciación de una suma

Si h(x) = f(x)+g(x), entonces, h´(x) = f ´(x) + g

´(x)

5. La derivada de la suma de un número finito de

funciones es igual a la suma de las derivadas

6. Diferenciación de un producto

Si h(x) = f(x)g(x), entonces,

h´(x) = f ´(x)g(x) + f(x)g´(x)ANIVAL TORRE

87. Diferenciación de un cociente

Si h(x) = f(x)/g(x), entonces,

h´(x) = f ´(x)g(x) - f(x)g´(x) [g(x)]2

8. Diferenciación de potencias (n Z- )

Si f(x) = x- n, entonces, f ´(x) = -n x- n -1, x 0

De esto se deduce que si r Z-{0}, entonces,

Dx[x r ] = r x r -1

ANIVAL TORRE

9

Derivada de la función compuesta

Si la función g es diferenciable en x y la función f es diferenciable en g(x), entonces la función compuesta f o g es diferenciable en x, y

(f o g)´(x) = f ´(g(x)) g´(x)

También se le conoce como “regla de la cadena”Si hacemos u = g(x), tenemos:

Dx[f(u)] = f ´(u)DxuDerivada de una Función Idéntica Si f(x)= X; entonces f΄ (x) = 1

ANIVAL TORRE

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

10

Determine la pendiente de las siguientes funciones

1. Y= 2x + 4

2. Y= 4X – 1

3. Y= -3X + 2

4. Y= 3x – 1

5. Y= 4x - 2

ANIVAL TORRE

11

Hallar la derivada de las siguientes funciones1) f(x) =2x2 en x= 3

2) f(x) = x2 + 2 en x= 2

3). f( x )= x ² - 2x + 1 en x=1

4) f(x) = x³ - 1 en x= 1/3 5) f(x) = en x=4x

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

12

1) Dada y= f(x) = x2 + 5x – 8 , hallar y, y/ x, cuando varia : a) x0= 1 a x1= 1,2 b) x0= 1 a x1= 0,8

2) Dada y= f(x) = x2 - 2x +3 , hallar y, y/ x, cuando varia : a) x0= 1 a x1= 1,5 b) x0= 1 a x1= 2

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

13

Hallar la pendiente de las siguientes curvas:

1.Y = X² en el punto X=2

2.Y= 2X² - 3X + 1 en el punto X=3

3.Y = X² + 1 en el punto X=1

4.Y= 3X² +5X + 2 en el punto X=3

5.Y= X³ - 3 en el punto X=4

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

14

1.- Probar que f (x)=ax+b (a,b,ε R; a≠0) es derivable.

2.- Hallar la derivada de f(x) = x² + x

3.- Hallar la derivada de f(x) = x³ + 3x²-4x + 6

4.- Hallar la derivada de f(x) = x² -7x + 4

5.- Hallar la derivada de f(x) = x³ -5x²+2x -9

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

15

1.- Si f(x) = 3x² + 6x Hallar f΄ (x)2.- Hallar la derivada de la función f(x) = ( 6x²+1) (x³ -2)3.-Hallar la derivada de la función

4.-Si f(x) = 5x3 - 7x2+ 3x-9 Hallar f΄ (x)5.-Hallar la derivada de la función f(x) = ( 2X³-X²) (3x³ +4)

324

)(2

xxx

xf

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

16

Obtener la primera derivada las siguientes funciones:

1. y = 4 + 2x – 5x² + 3x³ - 6x4 +9x5

2. y = 1/ x + 3/ x² + 2/ x³

3. y = 2x1/2 + 6x1/3 +2x3/2

4. y = 2/ x1/2 + 6/ x1/3 – 4/ x3/4

5. y = (3x2)1/3 – 1/ (5x) ½

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

17

1) Una compañía vende libros y encuentra que sus ingresos totales generados por la venta de x libros , donde x se da en miles esta dado por: I(x) = 20000(x)1/2 /(4 + x3/2 )a) HALLAR LOS INGRESOS MARGINALES I'(x) b) CALCULAR I'(3)

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

18

2)La temperatura de una persona durante una enfermedad esta dada por:

Donde t es la temperatura en g.f. en el tiempo t, en hr.

a) Hallar la razón de cambio de la temperatura respecto al tiempo.

b) Determine la razón de cambio en t=2 horas.

2

4( ) 98,6

1

tT t

t

Aplicaciones

ANIVAL TORRE

19

sea un número real cualquiera. tracemos un angulo cuya medida sea radianes de modo que su vertice este situado en el origen de un sistema cartesiano de coordenadas siendo el eje x el origen de angulos. tomando un punto p(x,y)sobre el otro lado del angulo de 0 se verifica que:sen = y ; cos = x

Y p(x,y) X

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

El dominio de sen y de cos son numeros reales; el campo de variacion : sen es: -1<= y<= 1

cos es: -1<= x<= 1

ANIVAL TORRE

20

Entonces:tg = sen / cos ctg = cos / sen sec = 1/cos csc = 1/sen

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

ANIVAL TORRE

211. sen²x+cos²x=12. 1+tg²x = sec²x3. 1+ ctg²x= csc²x4. sen²x= (1-cos2x) / 25. cos²x= (1+cos2x)/26. senx.cosx=(sen2x)/27. senx.cscx= 18. cosx.secx=19. tgx.ctgx=110. sen2x=2senxcosx11. cos2x=cos²x-sen²x

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Derivada de las funciones trigonométricas

ANIVAL TORRE

22

Si f(x) = sen x → f΄(x) = cos xSi f(x) = cos x → f΄(x) = - sen xSi f(x) = tg x → f΄(x) = sec² xSi f(x) = ctg x → f΄(x) = - csc² xSi f(x) = sec x → f΄(x) = sec x tg x

Si f(x) = csc x → f΄(x) = - csc x ctg x

ANIVAL TORRE

23

Sea u una funcion derivable

uDuctguuecD

uDtguuuD

uDuuctgD

uDutguD

uDsenuuD

uDusenuD

xx

xx

xx

xx

xx

xx

..csccos_.6

..secsec_.5

.csc_.4

.sec_.3

.cos_.2

.cos_.1

2

2

Derivada de las funciones trigonométricas

ANIVAL TORRE

24

Hallar la primera derivada de las funciones:1. y=cos² xSolución:Luego : y΄ = 2 cos x (cosx)΄ y΄ = 2 cos x (-senx) y΄ = -2 sen x cosx

Ejemplo

ANIVAL TORRE

25

2. y=sen² 3xsolución:Luego : y΄ = 2 sen 3x (sen3x)΄(3x)΄ y΄ = 2 sen 3x (cos3x)3 y΄ = 6sen 3x (cos3x)

Ejemplo

ANIVAL TORRE

26

3. y=cos² 5xSolución:Luego : y΄ = 2 cos 5x (cos5x)΄(5X) ΄ y΄ = 2 cos 5x (-sen5x)5

y΄= -10 sen5x cos5x

Ejemplo

ANIVAL TORRE

27

4. y=sen² 7x5

solución: Luego : y΄ = 2 sen 7x5DX (sen7x5)

y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) DX (7x5)

y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x5-1

y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x4

y΄ =70x4 sen 7x5 cos7x5

Ejemplo

ANIVAL TORRE

28

5.- y=sen³ 2x⁴solución: y=(sen 2x⁴) ³Luego : y΄ = 3 (sen 2x⁴)² (sen 2x⁴) ΄ y΄ = 3 (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴) (2x⁴) ΄

y΄ = 3 (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴) (8x³)

y΄ = 24x³ (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴)

Ejemplo

ANIVAL TORRE

29

6. y = ctg(1-2x2)y΄ = -csc2(1-2x2)DX(1-2x2)

y΄ = -csc2(1-2x2)(0 -4X2-1 )y΄ = -csc2(1-2x2)(-4X)y΄ = 4X csc2(1-2x2)

Ejemplo

ANIVAL TORRE

30

7. y= tg x2

y΄ = sec2x2 DX(x2)

y΄ = sec2x2 (2x)y΄ = 2x sec2x2

Ejemplo

ANIVAL TORRE

31

8. Y=tg 3x4

y΄ = sec23x4 DX(3x4)

y΄ = sec23x4 (12X4-1)y΄ = 12X3 sec23x4

Ejemplo

ANIVAL TORRE

32

9. y = tg2 3x5

y = (tg 3x5) 2

Y’= 2 (tang3x5) 2-1DX (tang3x5) = 2 (tang3x5) sec2(3x5)DX(3x5) = 2 (tang3x5) sec2(3x5)(15x5-1) = 2 (tang3x5) sec2(3x5)(15x4) =30 x4 tang3x5sec23x5

Ejemplo

ANIVAL TORRE

33

10. y=sen² 7x5

solución:Luego : y΄ = 2 sen 7x5DX (sen7x5)

y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) DX (7x5)

y΄= 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x5-1

y΄ =2 sen 7x5 (cos7x5) 35x4

y΄ =70x4 sen 7x5 cos7x5

Ejemplo

ANIVAL TORRE

34

11. y= sen3x+cos2xSOLUCION:Y’= cos3xDX(3X) + (-sen2x) DX(2X)

= cos3x(3) - sen2x(2) =3cos3x - 2sen2x

Ejemplo

ANIVAL TORRE

35

12. f (x) = sen x cos x + tg xSolución: f΄ (x) = ( sen x cos x )΄ + ( tg x )΄ f΄(x) = ( sen x)΄ cos x + sen x ( cos x )΄

+ sec² x f΄(x) = cos x cos x + sen x ( -sen x)

+ sec ² x

f΄(x) = cos² x - sen² x + sec² x

Ejemplo

ANIVAL TORRE

36

senxxsenx

xfcos

)(.13

xsen

xxsenf

senx

xxsenxxsenxxsenxf

senx

xxsenxsenxxxsenxf

senx

senxxsenxxsenxxsenxf

2

22'

2

22'

2

'

2

'''

)cos(

)(

coscoscos)(

)(

))(coscos()(cos)(

)(

)()cos()cos()(

Ejemplo

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

37

ANIVAL TORRE

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

38

ANIVAL TORRE

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

logaritmo Natural

El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el número 2,718281828…

Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos decimales, se le ha asignado la letra “e”:

e = 2,718281828…Para simplificar más esta notación, en

logaritmos se utiliza la abreviación de

logaritmo natural (ln) para referirse a un logaritmo que tenga este número como base:

39

ANIVAL TORRE

Fórmulas de Derivación

e) base o natural log :ln ( .1

ln).2

10) base :log ( .log

log).1 a

uDu

uD

uDu

euD

xx

xax

(log )(ln )a

d uu

dx u a

40

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

Hallar las derivadas de las funciones.1. y=loga(4x3+2) P: 1/u * logae DX u

dy/dx=1/(4x3+2) *logae DX (4x3+2) = 1/(4x3+2) *logae (12x2) = 12x2 /(4x3+2) *logae

41

ANIVAL TORRE

2. y=log²a(3x3-1) P: 1/u * logae DX u y= 2loga(3x3-1)

dy/dx=2loga(3x3-1)*DXloga(3x3-1) =2loga(3x3-1)*1/(3x3-1) *logae DX (3x3-1) = 2loga(3x3-1)*1/(3x3-1) *logae (9X2) =18X2/ (3x3-1) *loga(3x3-1)* logae

42

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

3. y= ln(5x+3)2 p: 1/u * Dx u

Aplicando propiedades de logaritmos: y= 2ln(5x+3) dy/dx= 2DXln(5x+3)

= 2*1/(5X+3) DX(5x+3)

= 2*1/(5X+3) (5) =2/(5X+3)

43

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

4. y=loga(5x4+2)2 p: 1/u * logae DX u

5. y= ln3 (7x-1)4 p: 1/u * Dx u

44

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

6. y= ln(x2 +2)²(x3 -3) p: 1/u * Dx

u

7. y= ln(3x4 -2)(x2 +5)3 p: 1/u * Dx u

45

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

8. f(x)= x3 / (5x-7)2

9. f(x)= (2x+3)3 / (3x+4)2

10. y=lnsen2x 11. y=lncos3x2 12. y= ln tangx

46

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

Si f(x)=ex ; entonces f ’(x)=ex

uDuuuDvuuD

uDKKKD

uDeeD

xv

xvv

x

xuu

x

xuu

x

.ln..3

..ln.2

.1

1

Fórmulas de derivación

47

ANIVAL TORRE

DERIVADAS EXPONENCIALES

Hallar las derivadas de las funciones1. Y=e2x P: y’= eu

du

y’ = e2x DX 2X

= e2x (2)

= 2 e2x

48

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

2. Y=e3x² P: y’= eu du y’ = e3x² DX 3x² = e3x² ( 6x) =6 e3x²

49

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

3. y=a3x² P: Y’=kulnk Dxu y’= a3x² ln a .Dx(3x²) = a3x² ln a (6x) = 6x. a3x² ln a

4. y=54x³

y’= 54x³ln 5 .Dx(4x³) = 54x³ln 5 (12x²) = 12x² 54x³ ln 5

50

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

F’(x)= 3x DX(senx) + senx Dx (3x ) = 3x COSX + senx (3x ln3 ) = 3x COSX + 3x ln3 senx = 3x ( COSX + ln3 senx )

)(,3f(x) Si ' xfhallarxsenx1.

51

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

(x)fhallar ; x cos4 f(x) Si -2. '2x

52

ANIVAL TORRE

x

x

exf

xexf3'

'3'

3)(

)3()(

)(fhallar ,e f(x) Si -3. '3x x

APLICACIONES

)(fhallar x,tg21

f(x) Si -4. ' xx

53

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

x

x

ex

xex

x

4'

'4'

'4x

4)(f

)4()(f

:Solución

)(fhallar ; e f(x) Si -5.

54

ANIVAL TORRE

APLICACIONES

6. f(x) = e2x³ + 4(5x³ + 2x)

7. f(x) = e(4x³ + 3x²) + 74x³

8. f(x)= e 1/3X

55

ANIVAL TORRE

APLICACIONES