03.11 Sucesiones

¿Cuántas cerillas se necesitan para formar la figura n-ésima?

...

Nº de cerillas

Figura 1 2 3 ... n

4 . 1 = 4 4 . 2 = 8 4 . 3 = 12 ... ?

1. Regularidades (I)

MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 11. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Javier Fernández

¿Cuántas cerillas se necesitan para formar la figura n-ésima?

Nº de cerillas

Figura 1 2 3 ... n

3 3 + 2 = 5 3 + 2 + 2 = 7 ... ?

2. Regularidades (II)


¿Cuántos cuadrados de lado 1 tendrá la figura n-ésima?

Nº de cerillas

Figura 1 2 3 ... n

12=1 22 = 4 32 = 9 ... ?

3. Regularidades (III)


Término a1 a2 a3 ... an

Índice 1 2 3 ... n ...

...

Término general otérmino n-ésimo

4. Sucesiones de números racionales o reales


Una sucesión de números racionales o reales es de la forma (a1, a2, a3, ... ,an, ... ) donde

Los números naturales se llaman índices. Los números racionales a1, a2, a3, ... ,an, ... se llaman términos

A cada número natural (índice) se le hace corresponder un número racional o real (término)

Producto de un número por una sucesión:para multiplicar un número por una sucesión se multiplica el número por cada término de la sucesión.

k(a1, a2, a3, ... ,an, ... ) = (ka1, ka2, ka3, ... ,kan, ... )k(an) = (kan)

a n = nn3 3⋅an

... ...

a1=14

3a1=34

a 2=25

3a2=65

a 3=36= 1

23a3=

32

5. Operaciones con sucesiones: multiplicar por un número


Suma de dos sucesiones: para sumar dos sucesiones se suman término a término los elementos de cada una de las sucesiones.(a1, a2, a3, ... ,an, ...) + (b1, b2, b3, ... ,bn, ...) = (a1+b1, a2 +b2, a3 +b3, ... ,an +bn, ...)

(an) + (bn) = (an + bn)

a n = n 2

n3 a1=

12

b1=12

a 2=43

b2=23

a 3=94

b3=34

... ... ...

bn= nn1 sn =a nbn

s1=a1b1=1

s2=a2b2=2

s3=a 3b3=3

6. Operaciones con sucesiones: sumas


Producto de dos sucesiones: para multiplicar dos sucesiones se multiplican término a término los elementos de cada una de las sucesiones.(a1, a2, a3, ... ,an, ...) . (b1, b2, b3, ... ,bn, ...) = (a1

. b1, a2 . b2, a3

. b3, ... ,an . bn, ...)

(an) . (bn) = (an . bn)

a n = nn2

a1=13

b1=11

a 2=24

b2=12

a 3=35

b3=13

... ... ...

bn= 1n pn=an⋅bn

p1=a1⋅b1=13

p2=a 2⋅b2=14

p3=a3⋅b3=15

7. Operaciones con sucesiones. Producto


a1 a2 a3 a4 ......... an an+1 .......

Una sucesión de números racionales se llama progresión aritméticasi cada término se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo, llamado diferencia, que representaremos por d.

a1 + d a2 + d a3 + d an + d

8. Progresiones aritméticas


a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d

.................................................................

a20 = a19 + d = a1 + 18d + d = a1 + 19d

.................................................................

En general: an = a1 + (n – 1) d

9. Termino general de una progresión aritmética


Sn = an + an–1 + an–2 + ..... + a2 + a1

Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an–1 + an

a1 + an a2 + d + an – d =

= a1 + an

a1 + 2d + an – 2d =

= a1 + an

= a1 + an........

n veces (a1 + an) es igual a n (a1 + an)

2Sn = n (a1 + an)

Por tanto:

n (a1 + an)Sn = 2

10. Suma de términos de una progresión aritmética


a1 a2 a3 a4 ......... an an+1 .......

Una sucesión de números racionales se llama progresión geométrica si cada término se obtiene a partir del anterior multiplicándolo por un número fijo, llamado razón, que representaremos por r.

a1 . r a2 . r a3 . r an . r

11. Progresiones geométricas


a2 = a1 . r

a3 = a2 . r = a1 . r . r = a1 . r2

a4 = a3 . r = a1 . r2 . r = a1 . r3

.................................................................

a30 = a29 . r = a1 . r28 . r = a1 . r29

.................................................................

En general an = a1 . rn–1

12. Termino genral de una progresión geométrica


Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an (1)

rSn = ra1 + ra2 + ra3 + ..... + ran

rSn = a2 + a3 + a4 + ..... + ran (2)

Pretendemos obtener:

Multiplicando por r

Restando (2) de (1):

rSn – Sn = – a1 + r an ⇒ Sn (r – 1) = ran – a1

Por tanto:

ran – a1

Sn = r – 1

si r ≠ 1

Si r = 1 los términos son a1, a1, ....

Sn = n . a1

13. Suma de terminos consecutivos de una progresión geométrica


– a1

S = r – 1

En la relación: ran – a1

Sn = r – 1

en la medida en que n se hace muy grande, si | r | < 1, an . r se hace muy pequeño.

Entonces:

a1

= 1 – r

14. Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con


∣r∣1

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