03.06 Expresiones Fraccionarias Y Radicales

Una fracción algebraica entera es el cociente indicado de dos polinomios enteros, siendo el divisor un polinomio no nulo.

3x−4y

x2−1es una fracción algebraica

• El valor numérico de una fracción algebraica es el resultado de sustituir las letras o variables por números.• Como la división por cero no es posible, una fracción no tiene valor numérico• si el denominador es cero.

La fracción anterior para x = 3 e y = 2 toma el valor: 3⋅3−4⋅2

22−1=1

3

3x−4y

x2−1no está definida para x = ± 1

1. Expresiones fraccionarias

MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 6. EXPRESIONES FRACCIONARIAS. RADICALES Javier Fernández

Dos fracciones algebraicas P(x)Q(x) y

R(x)S(x) son equivalentes si

P(x) . S(x) = Q(x) . R(x)

• Cuando dos fracciones son equivalentes se escribe:P(x)Q(x) =

R(x)S(x)

Reducir dos o más fracciones algebraicas a común denominador es hallar otrasfracciones, equivalentes a las primeras, que tengan todas ellas el mismodenominador

3x−1

,x

x1,

x1

x2−1= 3

x−1,

xx1

,x1

x−1x1 =

=3x1

x−1x1 ,

x x−1x1 x−1

,x1

x−1 x1=

3 x1x2−1

,x x−1x2−1

,x1x2−1

2.1 Fracciones algebraicas equivalentes


x3 – 3x2 + x – 3x4 – 1

• Simplificar una fracción algebraica consiste en eliminar los factores comunesen el numerador y el denominador. Se obtiene así una fracción más sencilla,equivalente a la original.• Para simplificar una fracción: primero se factorizan numerador y denominadory luego se cancelan los factores comunes

Para simplificar x3 – 3x2 + x – 3x4 – 1

1.– Factorizamos mediante la regla de Ruffini los polinomios numeradory denominador.

2.– Dividimos numerador y denominador por el máximo común divisor

(x – 3) (x2 + 1)(x – 1) (x + 1) (x2 + 1)

=x – 3x2 – 1=

2.2 Simplificación de fracciones algebraicas


• La suma o diferencia de dos fracciones que tienen igual denominador es otrafracción algebraica que tiene por numerador la suma o diferencia de losnumeradores y por denominador el denominador común.• En caso de no tener igual denominador, primero hay que reducirlas a comúndenominador y luego se procede como acabamos de ver.

3x−1

xx1

x1

x2−1

= 3x−1

xx1

x1x−1 x1

=

=3x1

x−1x1

x x−1x1 x−1

x1x−1 x1

=3 x1

x2−1

x x−1 x2−1

x1x2−1

Para operar:

3x−1

xx1

x1

x2−1

=3 x1x x−1x1

x2−1= 3x3x2−xx1

x2−1=

x23x4x2−1

3.1 Suma y diferencia de fracciones algebraicas


x4 – 12x + 1

x – 2x2 – 2x + 1 =

(x – 2) (x4 – 1)(x2 – 2x + 1) (2x + 1) =

(x – 2) (x + 1) (x2 + 1)(x – 1) (2x + 1) =

x4 – x3 – x2 – x –22x2 – x – 2=

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador elproducto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores.

(x – 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)(x – 1)2 (2x + 1) ==

4.1 Producto de fracciones algebraicas


La división de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando eldividendo por la inversa del divisor.

x3−12x2x

:x2−12x1

= x3−12x2x

⋅2x1x2−1

=x3−1 2x1

x 2x1 x2−1 =

= x3−1x x2−1

= x−1 x2x1 x x−1 x1

= x2x1x x1

4.2 Cociente de fracciones algebraicas


Una expresión radical es un polinomio bajo una raíz, cualquiera que seael índice.

Ejemplos de expresiones radicales son:

m2−n1 y4x2− xy13

•Puesto que un radical de índice par y radicando positivo tiene dos raícesconviene distinguir una de la otra. En adelante:

• La raíz positiva se designará siempre sin signo:• la raíz negativa se designará siempre por

na =+na

−na

5.1 Expresiones radicales


• Dos expresiones radicales son equivalentes si tienen el mismo valor numéricopara cualquier valor que asignemos a sus variables.• Si se multiplica el índice del radical y el exponente del radicando por el mismonúmero se obtiene otro radical equivalente, siempre que se elijan las raíces con• el mismo signo que la dada.

na m=n⋅ka m⋅k

Esta propiedad permite simplificar radicales y reducirlos a índice común.18xy 12=

18 : 6xy 12 : 6=3xy 2a)

b) Reducir a índice común y ordenar: x−y ,

4 x−y 3 ,6 x−y 5

m.c.m (2, 4, 6) = 12

12x−y 6 ,12x−y 9 ,

12x−y 10

5.2 Expresiones radicales equivalentes


• Las operaciones con expresiones radicales se hacen de forma análoga a lasoperaciones con radicales numéricos.• Si los radicales son de distinto índice para multiplicarlos o dividirlos primerose transforman en radicales equivalentes de igual índice.

I. Raíz de unproducto a · b=a ·b

El producto de dos radicales del mismoíndice es otro radical que tiene poríndice el común y por radicando el

producto de los radicandos.

II. Raíz de uncociente a :b=a : b

El cociente de dos radicales del mismoíndice es otro radical que tiene poríndice el común y por radicando el

cociente de los radicandos.

III. Raíz de unapotencia an=an

La potencia de una raíz es otra raíz quetiene por índice el mismo y por

radicando la potencia del radicando.

IV. Raíz de unaraíz

nma=nmaLa raíz de un raíz es otra raíz que tiene

por índice el producto de la índices y porradicando el mismo.

7. Operaciones con expresiones radicales


• Lo que no se puede hacer con los radicales:

• No se puede reducir xy xy≠xy

• No se puede reducir xy xy≠xy

• No se puede hallar la raíz de una suma o diferencia

x2y2≠x2y2=xy

x2−y2≠x2−y2=x−y

• Para reducir radicales por suma o diferencia tienen que ser semejantes:

xy2 x= xy2⋅x= xy x= 1y x

8.1 Cálculo con expresiones radicales


22xy 2x−y 2x y

=2

2x− y= 22xy

2x−y=

x

x= x⋅x

x⋅x= x⋅x

x2= x⋅x

x= x

22x2y2x−y

8.2 Racionalización


El proceso por el cual se pasa de una fracción a otra equivalente que no tenga en el denominador radicales se llama racionalizar.

2 2x y+

2x x=

2y y=

A B

CACEl camino es diferente de la suma

de los caminos AB y BC

Por eso 2 2 2 2x y x y+ ≠ +

y

+

x

x + y

x2

x y

y x

2y y= Superficie del cuadrado = l2 = ( ) 2

x y+

Superficie del cuadrado = suma de los cuatro trozos: 2x 2x y y+ +

Por tanto: ( ) 22x y x 2x y y+ = + +

8.3 Operaciones delicadas


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