1. 1. Divisin de polinomios por monomios MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez

• Elcociente de dos monomios(si es posible) es igual a otro monomio que tiene:

• comocoeficiente , el cociente de los coeficientes;

2. comoparte literal , las letras que aparecen en el dividendo,

3. cada una con exponente igual a la diferencia del exponente 4. del dividendo y del divisor. no es un un polinomioElcociente de un polinomio por un monomio(si es posible) es igual a un polinomio cuyos trminos son los que se obtienen dividiendo cada trmino del polinomio por el monomio. 5. 2.1 Divisin entera de polinomios MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez Dados los polinomios dividendo D(x) y divisor d(x)0, didivir D(x) entre d(x) es encontrar dos polinomios cociente C(x) y resto R(x) tales queD(x) = d(x).C(x) + R(x) que se suele esquematizar de la siguiente manera:

Si el resto R(x)= 0 la divisin se llamaexacta , y se dice que

6. el polinomio D(x) esdivisiblepor d(x) omltiplode d(x); o que 7. d(x) es unfactorde D(x), odivisor deD(x). D(x) d(x) C(x) R(x) 8. 2.2 Ejemplo de divisin entera MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez x 3 3x 5+ 8x 4 11x 2 3x + 6(3x 5+ 2x 44x 3 ) 6x 4+ 4x 3 11x 2 3x + 6 Primer paso ( 6x 4 + 4x 38x 2 ) 3x 2 3x + 6 x +2 + 2x 2 1 La divisin entera de polinomios se realiza del mismo modo que la divisin entera de nmeros naturales. resto ( 3x 2 2x + 4) Se resta (1).d cociente Cociente de los trminos de mayor grado Cociente de los trminos de mayor grado 3x 2 +2x4 3x 5+ 8x 4 11x 2 3x + 63x 2 +2x4 x 3 (3x 5+ 2x 44x 3 ) 6x 4 4x 3 11x 2 3x + 6 Segundo paso 3x 5+ 8x 4 11x 2 3x + 63x 2 +2x4 x 3+ 2x 2 (3x 5+ 2x 44x 3 ) 6x 4 4x 3 11x 2 3x + 6 ( 6x 4 4x 3 11x 2 ) 3x 2 3x + 6 Tercer paso Se resta x 3.d Se resta 2x 2.d Cociente de los trminos de mayor grado 9. 3. Divisin por x-a. Regla de Ruffini MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez Para dividir un polinomio P = 2x 3 6x 2 4x + 12 entre x 2 se puede usar el siguiente esquema llamado Regla de Ruffini 2 6 412 2 Se opera: 4 2 4 8 16 4 Hemos obtenido que:P = 2x 3 7x 2 4x + 12 = (2x 2 2x 8) (x 2) + ( 4)r se suma se multiplica por a Coeficientes de P a 2 6 412 2 2 10. 4.1 Teorema del resto MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez Al dividir P(x) entre x a obtenemos: Es decir: P(x) = (x a) C(x) + R Luego P(a) = (a a) C(a) + R = R El resto de dividir un polinomio P(x) por (x a) es igual al valor numrico del polinomio P(x) para x = a; es decir R = P(a) El resto de dividirP(x) = 2x 3 7x 2 4x + 12 entre x 2 se puede obtener as: P(2) = 2.2 3 7.2 2 4.2 + 12 = 4 P(x) x a C(x) R 11. 4.2 Teorema del factor MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez Si al dividir P(x) entre x a obtenemos: Entonces: P(x) = (x a) C(x) + 0 = (x a) C(x) que indica que x a es un factor o divisor del polinomio P(x) Un polinomio P(x) tiene como factor x a si el valor numrico del polinomio para x = a es 0 Un nmeroa es una razdel polinomio P(x) si el valor numrico de P(x) para x = a es cero. a es raz de P(x)P(a) = 0Teorema fundamental del lgebra. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n races reales. P(x) x a C(x) 0 12. 5. Races de un polinomio. Nmero de races MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez Un nmeroa es una razdel polinomio P(x) si el valor numrico de P(x) en x=a es cero. O lo que es lo mismo, si al dividir el polinomio P(x) entre x-a la divisin es exacta, o sea, su resto es cero. a es raz de P(x) P(a) = 0 Resto de (P(x):(x-a)) = 0 Un polinomio de gradontiene a lo sumonraces reales. Este enunciado es conocido como el Teorema fundamental del lgebra. 13. 6. Clculo de las races enteras de un polinomio MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez Si un polinomio de coeficientes enteros tiene races enteras, stas son divisores del trmino independiente. Sea por ejemplo P(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d Si r es una raz (entera) de P(x) entonces ar 3 +br 2 +cr+d = 0 Entonces: r(ar 2 +br+c) = d De aqu que se deduce que r divide a d ya que ar 2 +br+c es un nmero entero.Por tanto las races enteras de un polinomio han de ser buscadas entre los divisores del trmino independiente. 14. 7.1 Factorizacin de polinomios MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez

Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o ms polinomios,

15. no constantes,tales que su producto sea el polinomio dado. 16. Si el polinomio P(x) = a n x n+ a n1 x n1 + ... + a 1 x + a otiene n races 17. reales r 1 , r 2 , ... , r nse demuestra que la descomposicin factorial es: 18. P(x) = a n (x r 1 ) (x r 2 ) ... (x r n ) Factorizar el polinomio P = x 4+ 3x 3 x 2 3x

Se iguala el polinomio a cero: x 4+ 3x 3 x 2 3x = 0

Se saca factor comn x: x(x 3+ 3x 2 x 3) = 0

• • Una raz es x = 0
• 19. Se calculan las races de x 3+ 3x 2 x 3 = 0

• • • Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3
  • 20. Obtenemos que 1, 1 y 3 son races de x 3+ 3x 2 x 3 = 0.

• • Por tanto las races de P son: 0, 1, 1 y 3

La factorizacin de P es: (x 0)(x 1)(x + 1) (x + 4) = x(x 1)(x + 1)(x + 4)

21. 7.2 Interpretacin geomtrica de la factorizacin de polinomios MATEMTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIN DE POLINOMIOS. RACES Javier Fernndez