03.03 Potencias y raices

La potencia an (a > 1), es el producto de n factores iguales a la base:an = a . a . a . ... . a (n veces)

Propiedades

1. Potencia de exponente natural

MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 3. POTENCIAS Y RAÍCES Javier Fernández

Producto de potencias de la misma base am . an = am+n

Cociente de potencias de la misma base am / an = am–n

Potencia de potencia (am)n = am.n

Producto de potencias del mismo exponente am . bm = (a . b)m

Cociente de potencias del mismo exponente am / bm = (a / b)m

¿Qué sentido se le puede dar a la expresión a–m? ¿Y a las expresiones a1 ó a0?

2. Potencia de exponente entero

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández

Definición de pot y simp Propiedades de pot Concluimos

a5

a5=a ·a · a · a · aa ·a · a · a · a

=1a5

a5=a5−5=a0

a0=1

a6

a5=a · a · a · a ·a · aa · a ·a · a · a

=aa6

a5=a6−5=a1

a1=a

a3

a5=a · a · a

a ·a · a · a · a=

1

a2

a3

a5=a3−5=a−2 a−2

=1

a2

•Definimos la potencia de exponente entero de la siguiente manera:•

a n=a · a · ...· a ; n veces , con n∈ℕ , y n0

a1=a ; a0=1

a−m=1

a m; m∈ℕ ; y con m0


Las calculadoras muestran números en notación científica.Así el número que muestra la calculadora es:

9,46⋅10−3=9, 461000

=0, 00946

3 Potencias de 10. Notación científica


Un número en notación científica N = a,bcd... . 10n consta de: Una parte entera formada por una sola cifra: a Una parte decimal: bcd ... Una potencia de base 10 con exponente entero: 10n

En esta notación el exponente n indica el orden de la magnitud.


Se define de la siguiente manera:b = ⇔ b

n = a

radical radicando

Índice

par

impar

a > 0: dos raíces

a < 0: sin raícesn

cualquiera que sea a, hay exactamente una raíz

a = 0: una raíz

4. Raíces de un número. Número de raíces


na


• Dos radicales son iguales o equivalentes si tienen las mismas raíces.• Si se multiplica el índice del radical y el exponente del radicando por el

mismo número el radical no varía. na m=

n⋅ka m⋅k

Esta propiedad permite simplificar radicales, reducirlos a índice común y compararlos

18a12=

18 : 6a12 : 6=

3a2

124096=

12212

=2

c) Reducir a índice común y ordenar: 2 ,423 ,

625

m.c.m (2, 4, 6) = 12

a)

b)

1226 ,

12 29 ,

12210

1226

1229

12210

5. Raíces equivalentes

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier FernándezMATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 3. POTENCIAS Y RAÍCES Javier Fernández

•Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radical donde:•

el denominador de la fracción es el índice del radial, y

el numerador de la fracción es el exponente del radicando

amn =

nam

6. Potencias de exponente fraccionario


Def de raíz Prop potencias Concluimos

a ·a=a a12⋅a

12=a

12

12=a1=a a

12=a

3a · 3a · 3a=a a13⋅a

13⋅a

13=a

13

13

13=a1=a a

13=

3a

¿Qué sentido podemos dar a las expresiones: a1/2 ; a1/3


7 Propiedades de los radicales


I. Raíz de un producto na⋅b=na⋅n b

El producto de dos radicales delmismo índice es otro radical quetiene por índice el común y por

radicando el producto de losradicandos.

II. Raíz de un cociente n ab=

nanb

El cociente de dos radicales delmismo índice es otro radical quetiene por índice el común y por

radicando el cociente de losradicandos.

III. Raíz de unapotencia

nam= na

m

La potencia de una raíz es otraraíz que tiene por índice elmismo y por radicando lapotencia del radicando.

IV. Raíz de una raíz m na=

m⋅na

La raíz de un raíz es otra raíz quetiene por índice el producto de laíndices y por radicando el mismo.


8. Cálculo con potencias y raíces


Como raíces Como potenciasna⋅b=

na⋅

nb a⋅b

1n=a

1n⋅b

1n

n ab=

nanb a

b 1n=

a1n

b1n

mna=

m⋅na a

1n

1m=a

1n⋅

1m=a

1n⋅m

• Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades que las potencias de exponente entero.

• Las operaciones con radicales se pueden realizar recurriendo a las potencias de exponente fraccionario.


32 =

• Sacar factores:

16 2⋅ = 216 ⋅ = 24⋅

• Introducir factores:

3 72 =⋅ 3 32 7⋅ = 3 56

9. Operaciones con radicales: sacar e introducir factores


• Radicales equivalentes o iguales.

• Radicales reducibles o equivalentes.

10. Operaciones con radicales: suma y diferencia


6525−45=62−45=45

312−275227=322 · 3−252 · 3233 · 3=3·23−2·532· 33 == 63−10363=6−1063=23

33324−

33000=33

38· 3=332 33−10 33=−7 33


Para multiplicar o dividir radicales se puede utilizar las propiedades de losradicales o de sus equivalentes con fracciones.

32 15⋅ =

6 63 22 15⋅ = 6 3 22 15⋅ = 6 1800

3 26 62 15⋅ =

1 13 26 6(2 ) (15 )⋅ =

16(8 225)⋅ =

161800

46 : 3 =

4 436 : 3 = 4 36:3 = 4 12

1 12 46 :3 =

1 14 436 :3 =

14(36:3) =

1412

11. Producto y cociente de radicales


253

5−3 53=

2

5−3=

253

5−3= 53

232

=2⋅

322

32⋅

322=

2⋅322

323= 2⋅

322

2=

322

12. Racionalización


• En los cálculos a mano, a veces, conviene evitar denominadores con raíces.

• El proceso de obtener como denominador un número racional se llama racionalización.

• Este proceso puede ser necesario para simplificar.


03.03 Potencias y raices

Education

Transcript of 03.03 Potencias y raices