03 Se Puede Mejorar La Gestion...Usando Fractales

7/21/2019 03 Se Puede Mejorar La Gestion...Usando Fractales

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ANÁLISIS FINANCIERO26

1. INTRODUCCIÓN

Los gestores de fondos necesitan saber cuáles son las

características de los activos con respecto al índice quedesean batir.

En finanzas, el alfa de Jensen mide el exceso de rentabi-lidad obtenido por la cartera ajustada al riesgo respecto dela cartera de mercado. Es una medida de evaluación en tér-minos absolutos, que expresa la habilidad del gestor paraobtener diferencias positivas o negativas respecto de larentabilidad ajustada al riesgo sistemático de la cartera.Esta medida fue primero utilizada por Michael Jensen enlos años 70.

Para calcular el alfa de una cartera, los ‘’inputs ‘’ necesa-rios son los retornos esperados de la cartera, los retornosesperados del mercado, el retorno del activo riesgo-libre,y las betas de la cartera

Alfa de Jensen = Rendimiento total de la cartera –

[Rendimiento del activo libre de riesgo +beta de la carte-

ra* (Rendimiento del índice – Rendimiento del activo

libre de riesgo)]

La medida de Jensen es una de las maneras de ayudar a

determinar si una cartera está consiguiendo el retornoapropiado para su nivel de riesgo. Si el valor es positivo,entonces la cartera está consiguiendo exceso de rentabili-dad. Es decir, un valor positivo para el alfa de Jensen sig-nifica que el gestor del fondo ‘’ bate al mercado”.

Beta (mide la sensibilidad de un fondo ante cambios en elmercado) El concepto de beta surge del modelo de tasa-ción de activo fijo (CAPM). La idea básica del CAPM essimple: en un estado de equilibrio, los rendimientos quelos inversores deben recibir para cualquier presupuesto deriesgo tomado, es proporcional a su beta o a su covariación

con el mercado, es decir, una prima de riesgo es una fun-ción de la covarianza y no de la varianza.

Fama y French (1992), actualizan y sintetizan la eviden-cia de los fallos empíricos del CAPM. Falla como predic-tor del comportamiento del activo; no predice ningún com-portamiento cíclico de los precios aparte del causado porganancias, no expresa correctamente la relación riesgo-

* Universidad Autónoma de Madrid

Juan Antonio Sanz Sanz, Prosper Lamothe Fernández y

Santiago Carrillo Menéndez*

¿Se puede mejorar la

gestión de un fondo de

inversión usando la teoría

de fractales?



¿SE PUEDE MEJORAR LA GESTIÓN DE UN FONDO DE INVERSIÓN ? 27

retorno en muchas circunstancias.

En ningún momento intenta explicar el comportamientode los mercados y la relación con el período de la inver-

sión.

El CAPM nos dice que:

donde sk y s M son las volatilidades del subyacente y delmercado respectivamente, y donde rk,M es la correlación.El coeficiente bk mide la parte de riesgo no variable delactivo, también llamado riesgo sistemático o la tendencia

de un activo o cartera para participar en los movimientosdel mercado.

2. LA HIPÓTESIS DE UN MERCADO DE FRACTALES(FMH)

Los gráficos de precios por sí mismos no revelan ni real-zan diferencias importantes, sino las ocultan. Es decir, losdiagramas de precios son una manera muy ineficaz de pre-sentar la información.

En la teoría de gestión de carteras, cuyo objetivo es maxi-mizar los retornos para un nivel dado del riesgos, las fórmu-las que están detrás se basan en un número de premisas exi-gentes que son matemáticamente atractivas pero confían másen la esperanza aritmética que en la propia realidad.

Primero, sugiere que los cambios del precio son estadísti-camente independientes de una otra: por ejemplo, el preciode hoy no tiene ninguna influencia en los cambios entre elde hoy y el de mañana. Éste es el denominado “mercadoeficiente”. Todos los agentes en este modelo gozan en cadainstante de toda la información posible en el mercado.

La tarea es por tanto crear un modelo mucho más realis-

ta que ajuste mejor la naturaleza del propio mercado.

En la relación geométrica del conjunto a sus partes, ensus invariantes, es donde las matemáticas pueden agre-gar un cierto valor al estudio de la optimización de carte-ras y en el estudio de la actividad del mercado que es labase de la volatilidad.

Es bastante fácil observar que las distribuciones verdaderas deretornos de los diferentes índices no son normales. Podemosencontrar cientos de estudios empíricos al respecto.

Es bastante sencillo construir distribuciones que ajustan los

datos observados mejor que una distribución normal.

Sin embargo, lo que realmente parecer carecer de una expli-cación es cómo surge la propia distribución. Es evidente queutilizando distribuciones con más parámetros que la normalajustamos mejor rendimientos,(ver Figura 1 y 2) sin embar-go este no es el objetivo de este estudio.

Peters (1994), indica que los mercados son estables cuan-do contienen a inversores con una gran cantidad de diver-sos horizontes temporales, asegurando así liquidezamplia,

Los factores fundamentales llegan a ser más importantes enhorizontes de largo plazo. Si la validez de la informaciónfundamental cambia, los inversores a largo plazo paran denegociar o negocian en factores técnicos. Sin embargo, elmercado llega a ser menos estable sin los inversores a largoplazo del horizonte.

( ) ( )

M

k

M k

M

k

M k

M k

M

M k

k

r r Covr r Cov

σ

σ ρ

σ

σ

σ σ σ β

,2

,,===

Figura1

modelo normal ajustando 2417 rendimientos diarios del

Eurostoxx 50

Figura2

Unos modelo de Lévy ajustando 2417 retornos diarios del

Eurostoxx 50



De esta forma Mandelbrot relacionó la escala de la ampli-tud con la escala de las ventanas temporales en las cuales seobserva el fenómeno, desde un punto de vista matemáticopodemos decir que el horizonte temporal depende de laestructura de la distribución de frecuencia en los rendimientos.

Así el riesgo inherente al proceso de formación del precio

depende de las diversas longitudes de los horizontes de lainversión de los diferentes partícipes del mercado debido a lasimultánea existencia de una variedad de horizontes de lainversión en los mercados financieros Bierman (1997). Parademostrar la importancia de los varios horizontes de lainversión en procesos de formación del precio, Holton(1992) pone en contraste el idealista proceso de estos hori-zontes en el proceso aleatorio de formación del precio, conlas series reales.

La volatilidad observada de x(t) en diferentes ventanas tem-porales (p.ej. en minutos, horas, días, semanas, meses, años,

etc.) es medida sobre el horizontet i por la dispersión de

H ,usando diferentes escalas temporales-medias:

Bajo asunciones del estacionalidad y de independencia lasmedias son constantes y la volatilidad es también constante:

donde t i , t j T (19)

Además, se asume que hay independencia lineal entre losperíodos. Así, todas las covariaciones cruzadas entre losperíodos se asume que son cero.

donde t i , t j T (19)

El resultado es que la volatilidad ajustada (varianza) del perío-do entero de la observación, el cual es la suma de horizontes

independientes es medida como la suma de la raíz

cuadrada de la volatilidad para cada sub-período:

=

Así, podemos llegar a la conclusión de que la volatilidad delperíodo de observación es una función exponencial del tiem-po, con un exponente igual a H:

Para un dado T = longitud del sistema completo de observa-ciones, cuando el τ de los períodos de la observación llega aser más pequeño, es decir, cuando la escala de tiempo de laobservación es reducida a T 1, la unidad por observacióncrece de forma que n T , y observaremos riesgos relativospequeños.

Así podemos definir la beta para el período comodonde será la beta para el periodo

unidad son el exponente de Hurst para la cartera

y para el mercado. La beta, será mayor si la diferenciaentre ambos exponentes es mayor que el horizonte tem-poral T.

¿Tiene realmente un impacto el horizonte temporal T deltiempo en la generación del alfa? Algunos autores determi-nan el horizonte en función de la liquidez de los activos.Pero ¿qué sucede cuando aplicamos este concepto a la medi-da del “performance’’ de una cartera?


[ ] 0)()(

1≥≡ τ

τ R

S RS

H

{ } { }∑∑

=

=

=

=====

j

j

i

i

t t

t

t t t

j

t t

t

t

i

t t c s E st

st

s E 11

11

→

∑=

=n

t

it T

1

( )2

1

2)( ∑=

=T

t

t T σ σ ( )2t

T σ

H t T T σ σ =

→

→

)(

1,,

Hm H

k T k T −= β β 1,k

β

M H H ,



TABLAS Y GRÁFICOSnalysis.com/_frame/framevol.htm).Mandelbrot, Benoit B. (1982) The Fractal Geometry of Nature, W.

H. Freeman, New York, NY.Peters, E.E. (1994) "Fractal market analysis: applying chaos the-

ory to investment and economics" (New York: Wiley, ideasimmanent in nervous activity, Bulletin of MathematicalBiophysics, 7, 1943: 115 - 133.


STOCK\WEEKS 50 40 30

AABA NA Equity 0,58483 0,55311 0,52679

AGN NA Equity 0,67237 0,60229 0,59054

AH NA Equity 0,69934 0,63846 0,61192

AI FP Equity 0,43186 0,43824 0,37653

ALV GY Equity 0,41128 0,45421 0,42649

BAS GY Equity 0,43817 0,27573 0,3061

BAY GY Equity 0,25925 0,15816 0,19255

BBVA SQ Equity 0,47855 0,47359 0,48258

BN FP Equity 0,32287 0,36569 0,46728

BNP FP Equity 0,43656 0,44971 0,53095

CA FP Equity 0,43869 0,50914 0,58058CS FP Equity 0,53657 0,53562 0,4861

DBK GY Equity 0,53094 0,4891 0,48697

DCX GY Equity 0,53492 0,516 0,43549

DTE GY Equity 0,63386 0,57823 0,5848

ELE SQ Equity 0,34918 0,31988 0,47762

ENEL IM Equity 0,2381 0,29849 0,39912

ENI IM Equity 0,53924 0,42202 0,53649

EOA GY Equity 0,46875 0,48506 0,53955

EX FP Equity 0,54263 0,49325 0,48965

FORA NA Equity 0,64244 0,56087 0,48336

FP FP Equity 0,49724 0,39779 0,50865

FTE FP Equity 0,64476 0,63148 0,52762

INGA NA Equity 0,63454 0,58832 0,56362

UNA NA Equity 0,5734 0,6014 0,61227G IM Equity 0,46233 0,38393 0,24279

GLE FP Equity 0,45455 0,45991 0,49874

IBE SQ Equity 0,20438 0,24382 0,41661

LG FP Equity 0,33748 0,32291 0,5499

MC FP Equity 0,60275 0,52056 0,49989

MUV2 GY Equito 0,54564 0,29723 0,26493

NOK1V FH Equito 0,54647 0,52567 0,58312

OR FP Equity 0,39858 0,50241 0,65346

SAN FP Equity 0,3365 0,38849 0,4765

SGO FP Equity 0,33063 0,14378 0,27363

PHIA NA Equity 0,51021 0,4004 0,51432

TIT IM Equity 0,49427 0,5441 0,58888

UC IM Equity 0,47675 0,5014 0,45765

VOW GY Equity 0,119 0,041074 0,18189TEF SQ Equity 0,50724 0,58233 0,49685

REP SQ Equity 0,43627 0,48616 0,54124

RWE GY Equity 0,6092 0,53738 0,61927

SIE GY Equity 0,52635 0,50802 0,51433

SPI IM Equity 0,45891 0,445698 0,43658

SZE FP Equity 0,57891 0,582361 0,60234

SAN SQ Equity 0,31278 0,38314 0,50451

Exponentes de Hurts para el Eurostoxx

Tabla 1



ANÁLISIS FINANCIERO32

Figura 3

Rendimientos diarios de TEF

(2.417observaciones diarias)

Figura 7

Todas las fronteras eficientes

Figura 4

Histograma de los rendimientos de TEF

Figura 5

Histograma de los exponentes de Hurst.

Figura 6

‘’Performance’’ diario de cada cartera. 1997-2007.



ENTIDADES PATRONO

de la Fundación de Estudios FinancierosABERTIS INFRAESTRUCTURAS

ACCIONAACS

ALTADISANTENA 3 TV

ASTROC MEDITERRÁNEO, S.ABAIN & COMPANY SPAIN

BAKER & MCKENZIEBANCO SABADELL

BANKINTERBBVABME

CAJA DE AHORROS Y MONTE DE PIEDAD DE NAVARRA

CAJA MADRIDCITIBANK ESPAÑA

CECACUATRECASAS ABOGADOS

DELOITTEENDESA

ERNST & YOUNGFIDELITY INVESTMENTS INTERNATIONAL

FOMENTO DE CONSTRUCCIONES Y CONTRATAS - FCCFUNDACIÓN BANCAJA

FUNDACIÓN CAIXA GALICIA - CLAUDIO SAN MARTIN

IBERDROLAINDRAJ & A GARRIGUES

KPMGLA CAIXA

METROVACESANATRA

PRICEWATERHOUSECOOPERSRECOLETOS GRUPO DE COMUNICACIÓN

RED ELÉCTRICA DE ESPAÑAREPSOL YPF

SACYR VALLEHERMOSOSANTANDER

SOCIÉTÉ GÉNÉRALE ESPAÑATELEFÓNICA

UNIÓN FENOSAURÍA MENÉNDEZ

ENTIDAD FUNDADORAINSTITUTO ESPAÑOL DE ANALISTAS FINANCIEROS

FUNDACIÓN DE ESTUDIOS FINANCIEROS

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