02 PRIMERAS PAG_GEO 3°

8/18/2019 02 PRIMERAS PAG_GEO 3°

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GeometríaTeoría



PresentaciónSer docente en Matemática en la actualidad es un granreto, pues se trata de una tarea compleja que requie-re multiplicidad de saberes; para hacer frente a este de-safío y hacer menos laborioso este trabajo presentamos laColección Intelectum Evolución para Secundaria que ha sidoelaborada en congruencia con la renovación y actualizaciónde la educación, teniendo como objetivo desarrollar las com-petencias y capacidades matemáticas de los estudiantes y quesirva como medio para comprender, analizar, describir, inter-pretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situacionesconcretas haciendo uso de conceptos y procedimientos.

Esta Colección ha sido actualizada siguiendo los lineamientosdados por el Ministerio de Educación, de modo tal que pre-sentamos por año el texto escolar compuesto de cuatro áreas(Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría), en ellas sedesarrollan los tres componentes: Número, relaciones y ope-raciones, Geometría y medición y Estadística y probabilidades.Acompañan al texto escolar los libros de actividades uno porárea, formando un paquete de cinco libros por año.

En los textos escolares se ha desarrollado el contenido teórico,los conocimientos por área, que supera los requerimientos delDiseño Curricular Nacional (DCN), complementado con la sec-ción Problemas resueltos que llevará el estudiante a un (auto)aprendizaje signicativo autónomo.

Cada libro de actividades está estructurado en cinco secciones.

La parte de Lectura mediante algunas biografías de eminentes

matemáticos y reseñas del avance de la Matemática a lo largode la historia, pretende estimular al estudiante a compenetrarsemás en el área.

Aplicamos lo aprendido, con la nalidad de evaluar los cono-cimientos procesados, a través de un grupo de problemas queel estudiante deberá resolver, a su vez como entrenamientode las diversas estrategias. Esta parte y la sección Practique- mos , conformada por un conjunto de problemas clasicadospor capacidades ( Comunicación matemática, Razonamiento ydemostración y Resolución de problemas ) y ordenados por ni-veles, determinarán el grado de avance y el logro.

La sección Maratón matemática, donde el alumno tendrá quediscernir qué conocimiento aplicar, porque son problemas detoda la unidad y con un mayor nivel de complejidad.

La parte nal, Sudoku , se propone ejercitar y entrenar el razo-namiento matemático y la destreza numérica.

Centrados en la idea de que la Matemática sirva a la ciencia yesta a la vida real y concreta, esperamos contribuir al progresode la Educación y por ende al de la humanidad.

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Ix

Ig

It



IV Intelectum 3.°

En ella están los contenidos, los indicadores de logro y una lectura de contexto matemático.

En él se presentan historias divertidas relacionadas con hechos matemáticos que serán de interésdel estudiante, para que no vea la matemática como una ciencia ajena a su realidad, sino comouna ciencia cotidiana.

Constituye el desarrollo de contenidos, los cuales se hanadecuado a los requerimientos del Diseño Curricular Nacional.Se ha hecho uso de un lenguaje sencillo, conceptos gradualesclasicados de acuerdo al grado escolar y lo principal concriterio pedagógico. Acompañan este desarrollo los mediadorescognitivos (personajes de la colección) que con sus sugerenciase indicaciones, reforzarán el aprendizaje del estudiante.

Conjuntos de problemas en los que se han utilizadodiversas estrategias, para su resolución, con el objetivode reforzar la destreza y la habilidad del estudiante.

Indicadores de logroSon las capacidades que el estudiante desarrollará

en el transcurso del año escolar: Comunicaciónmatemática, Razonamiento y demostración y

Resolución de problemas.

LecturaEstá relacionada con uno de los conocimientos

desarrollados en la unidad, para que el estudianteasocie lo que está procesando con hechos reales, como

una de las herramientas principales de las rutas delaprendizaje.

REDES GEODÉSICAS

Una red geodésica es un conjunto de puntos (vérticesgeodésicos) físicamente establecidos dentro de unterritorio que determinan sobre los mismos una redde contorno poligonal y que además se subdivide entriángulos interiores; dicha red proporciona informacióncartográfica exacta del territorio sobre la que estádispuesta la red geodésica ya que todos sus vérticesposeen coordenadas de posición (latitud, longitud,altitud) exactas .

Las redes geodésicas pueden conformar entre síenlaces geodésicos, mediante la unión de dos redesindependientes, que sumadas resultan en una redgeodésica mucho más grande, la cual pueden abarcarcontinentes enteros; por ejemplo el Enlace GeodésicoÁFRICA-EUROPA .

Intelectum Geometría

Ig

Contenido:

Indicadoresde logro

Unidad1

• Segmentos.

• Ángulos, paralelismo yperpendicularidad.

• Triángulos.• Triángulosrectángulos

notables.

Unidad2

• Congruenciadetriángulos.

• Polígonos.

• Cuadri láteros• Circunferencia.

Unidad3

• Proporcionalidad.

• Se me j an za detriángulos.

• Relacionesmétricas.• Relacionesmétricas

en triángulosoblicuángulos.

Unidad4

• Pol ígonosregulares.

• Á re as .• Geometríadel espacio.• Sól idosgeométricos.

• Identicalapropiedaddelpuntomedio enlos segmentos.

• Resuelveproblemas aplicandolas propiedades delos segmentos.

• Interpretalanotacióncientícadelrayo,semirrectaysegmentoderecta.

• Identicalas propiedades relacionadas enlas rectas paralelas.

• Identicalas propiedades delas rectas paralelas relacionandoconlosángulos suplementarios.

• Aplicarelaciones entrelos ángulos y los lados delos triángulos.

• Reconocelabisectriz, mediana, alturay lamediatriz enlos triángulos.

• Reconoceelbaricentro, ortocentro, circuncentro, incentroy excentrodelos triángulos.

• Identicalas propiedades delos triángulos notables exactos,aproximados y pitagóricos.

• DemuestraelteoremadePitágoras enlos triángulos rectángulosnotables.

• Identicalos casos de congruencia (ALA, LAL, LLLy LLA)en lasoperaciones contriángulos.

• Clasicalos polígonos simples segúnelnúmero delados y laregiónqueforman.

• Representagrácamentelos polígonos simples segúnel númerodelados.

• Identicalas características delos polígonos convexos.

• Demuestralas propiedades delos cuadriláteros (trapecio, trapezoidey paralelogramo).

• Aplicalas propiedades deltrapecio, trapezoidey paralelogramoenlosproblemas.

• Identicalas propiedades de los ángulos en la circunferenciayestablecelas posiciones relativas entredos circunferencias coplanares.

• Aplica las propiedades delos ángulos presentes enlas circunferenciasinteriores y exteriores.

• Identicalarazóny proporcióngeométricay elteoremadela cuaternaarmónicaenlas proporciones.

• Clasicalos triángulos segúnsusemejanzay aplicalos teoremas enlainterpretacióndelas propiedades.

• Relacionalos elementos homólogos enlos triángulos inscritos enlacircunferencia.

• Estableceunarelacióndesemejanzaintroduciendounarectaparalelaeneltriángulo.

• Identicalos teoremas de las relaciones métricas enel triángulorectángulo.

• Identicalas rectas isogonales interiores y exteriores.

• Formulalos teoremas delas relaciones métricas enlos triángulosoblicuángulos.

• Identicaelteoremadela medianaenlas operaciones contriángulos.

• Expresalas propiedades delos diferentes polígonos regulares segúnsunumerodelados.

• Reconocelasclasesderegionescirculares,triangularesycuadrangulares.

• Elaboralos criterios delas lúnulas deHipócrates enlacircunferencia.

• Aplicalamínimadistanciaentredos rectas alabeadas.

• Reconoceelángulodiedroentre dos planos y elángulotriedroque sedeterminaportres rayos recurrentes dos ados.

• Elaboralas proyecciones enelespaciosobre unplano.

• ReconoceelteoremadeThales y elteoremadelas tres perpendicularesenlaresolucióndeproblemas.

• Identicalas propiedades delos sólidos geométricos segúnsugénero.

• Clasicaa los pol iedros segúnelnúmerode lados y apl i casusprincipales teoremas enlas operaciones.

Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4

51GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

G

50 Intelectum 3.°

RELACIONES MÉTRICAS ENTRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

NATURALEZADE UNTRIÁNGULOSepuedeconocer lanaturalezade untriánguloa partir delaslongitudes deloslados yteniendoen cuentalos

siguientescasos.

TEOREMAS PRINCIPALES

Todoslostriánguloscumplen conlossiguientes teoremas.

A)Teoremas de las proyeccionesDependiendosieltriángulo esacutángulouobtusángulo,se puedenpresentar doscasos:

B)Teoremade EuclidesDependiendosiuntriángulo esacutángulou obtusángulo,sepuedenpresentar doscasos:

Caso IEnuntriánguloe lángu loquese

oponea unode losladosseráagudo sie l cuadradode este

ladoesmenor que lasumade

loscuadradosde los otrosdos

lados.

θ

A

B

Cc

a b

Si:a2 + c2 > b2

& El D ABC esacutángulo ` Åq esagudo(q < 90°)

Caso IIEnuntriánguloe lángu loquese

oponea unode losladosserár e ct o s i e l c u a d ra d o d e e s t e

ladoesigua la lasumadelos

cuadradosdelosotros doslados.

θ

B

A Cc

a b

Si:a2 + c2 = b2

& El D ABC esrectángulo ` Åq esrecto(q = 90°)

Caso IIIEnuntriánguloe lángu loquese

oponea unode losladosseráobtusosi e lcuadradodeeste

ladoesmayor que lasumade

loscuadradosde los otrosdos

lados.

θ

B

A

a

b

c C

S i : a2 + c2 < b2

& El D ABC esobtusángulo ` Åq esobtuso(q > 90°)

I. DABC acutángulo

A

B

CH

a

m n

b

Si m= Proy AC AB yn = Proy

AC BC

& Secumple : b2 - a2 = n2 - m2

II. DABC obtusángulo

An

B

CH

a

m

b

Si m= Proy AC AB y n= Proy

AC BC

& Secumple : b2 - a2 = n2 - m2

I. DABC acutángulo

A

B

CH

a

mc

b

θ

Sie lÅBAC esagudoym= Proy AC AB

& Secumple: b2 = a2 + c2 - 2cm

II. DABC obtusángulo

A c

B

CH

a

m

b

θ

Sie lÅ ABC esobtusoym = Proy

AC AB

& Secumple: b2 = a2 + c2 + 2cm

Recuerda

TeoremadeCarnot

θ A

B

Cc

a b

Seaqunángulotrigonométrico,

entonces secumple:

b2 = a

2 + c

2 - 2ac(cosq)

Atención

Sedebetenerencuentaqueparahallarla naturalezadeuntriánguloestedebecumplirprimeramenteconelpostuladode“existenciadeuntriángulo”.Seael T ABC:

A

B

Cc

a b

Paraafrmarqueel T ABCes acutángulo, rectángulouobtusánguloprimerodebecumplirse:

Postulado deexist encia• c - b < a < c+ b• c - a < b < c+ a• b - a < c < b + a

C)Teoremade lamediana

B

A CM

ma b

c

SiBMesmedianare la t ivaa lladoAC

& secumple : a2 + b2 = 2m2 + c2

2

D)Teoremade laproyecciónde lamediana

A

B

CH

a

e Mc

b

Si BMesmedianayHMessu proyecciónsobreAC

& secumple : b2 - a2 = 2ec

E)Teoremade Steward

B

A CP

x

m n

a b

c

SiBPes unacevianainterior

& Secumple : a2n + b2m= x2c + cmn

G)Teoremade labisectriz interior

θ θ

A

B

P C

a

m n

x b

SiBPesunab isectrizin terio r

& Secumple : x2 = ab- mn

I)Primer teoremade BoothEntodotriángu lo lasumadeloscuadradosde

laslongitudesdesus tresmedianasesigual alast rescuartaspartesde lasumadeloscuadrados

delaslongitudes desustres lados.

B

AM

N

a/2

a/2

b/2

b/2

c/2c/2

Q

C

SiC N = z / AQ= x / BM= y

& Secumple: x2 + y2 + z2 = 4

3 (a2 + b2 + c2)

F)Teoremade Herón

A

B

CH

ha

c

b

Secumple: h= ( ) ( ) ( )c

p p a p b p c2- - -

Donde:p= 2

1 (a + b+ c);p:semiperímetro

H)Teoremade labisectriz exterior

β

β B

E A C

ba

y

mn

Si BE esunabisectriz exterior

& Secumple : y2 = mn- ab

J)Segundo teoremade BoothEntodotriángu lo lasumadeloscuadradosdelaslong itudesde lossegmentosqueunensus

vért icesconsu baricentroesigua la la tercera

partede lasumadeloscuadradosdesustres

lados.

x

a

A

B

C

G

y

z

c

b

SiGese lbaricentrodel D ABC

& Secumple: x2 + y2 + z2 = 3

1 (a2 + b2 + c2)

Observación

• Elteoremadela proyeccióndelamedianatambiénseaplicaentriángulosobtusángulos.

B

H

b

a

Cc/2c /2 M Ae

Si AM,MC y e = Proy AC

BM

entonces secumple:

b2 - a2 = 2ec

• ElteoremadeStewardtam-biénseaplicaparacevianasexteriores.

B

A ECc n

bya

m

Cuando BE es unacevianaexterior, entonces secumple:

b2m - a

2n = y

2c - cmn

ParademostrarelsegundoteoremadeBoothapartir delprimero, sedebetomar encuentaqueelbaricentrodivideacadamediana, ensegmentos queestánenrazóndedos auno.

Nota

41GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

G

40 Intelectum 3.°

Problemas resueltos

7 Enla f iguraPQ//AC.C alcu lax.

P

6

Q

x A

B

D C

Resolución:

Por teoremadeThales:

AP

PB

CQ

QB&= (PB)(CQ) = (AP)(QB) ...(1)

Por teoremadeCeva:

(PB)(CQ)(AD) = (AP)(QB)(DC) ...(2)

D e(1) y(2):

AD = DC ` x = 6

8 Delgráfico,calculaBC,si EC= 3,TE= 5yT espuntodetangencia.

θ

θ

T

E

AB

D

C

Resolución:

Delascircunferencias tangentesinteriores:

DA

TD

EC

TE

DA

TD

3

5&= =

DC //AB,por teoremadeThales:

DA

TD

BC

TC

BC3

5 8&= = ` BC

5

24=

9 Delgrafico,calcula: x

A

M N

B

4

3

8x C

P

Resolución:

Aplicamoselteoremade Ceva:

A

M N

B

4 a

a

3

8x C

P

10 Si:AB = 6;HC = 2;calcula:BI

IH

A

B

α α

θ

θC

H

I

Resolución

A

6

2 2

6

B

α α

θ

θC

H

I

ElT ABC esisósceles.

Aplicamosalteoremadel incentro:

3IH

BI

IH

BI

4

6 6

4

12&=

+= =

Peronospiden:BI

IH

3

1=

11 Enelgrá f ico:BE = 5yEC = 3;calculaGE.

D

A

B

C

F

G

E

Resolución:

D

a

b

nm

A

B

C

FG

5

3

E

Aplicamoselteoremade Menelaoenel T ABE:

ab(3)= mn(B)& mn

ab

3

8= ...(I)

Aplicamoselteoremade Cevaenel T ABE:

ab(x) = mn(5- x)& mn

ab

x

x5=

- ...(II)

Igualamos(I) en(II):

x

xx x

3

8 58 1 5 3&=

-= -

x = 11

15 ` GE= 11

15

1 Si // , // 3. .C B D E AC BD y OA H a lla OB=

O

C

D

B A3 E

9

Resolución:

Por proporcionalidad:

//Si AC D BCD

OC

AB

OA

AB

3& = = ...(I)

//Si C B D ECD

OC

BE

OB

AB

AB

9

3& = =

-

+ ...(II)

Igualamos(I) y(II):

AB AB

AB AB

3

9

33&=

-

+= `OB = 6

2 Calcula:x

y

4 5θ θ

β βy x

A

B

C

D

E

Resolución:

4 5

y x

A

B

C

D

Ea b

β

θθ

β

Por e lteoremadela b isectriz

interior:

a b ay

bx4 5

/= =

ba

x

y

54

& = =

3 Delafigura, calculax.

D A

B

C

65°50°

x26

20 20

Resolución:

B

A DC20 20

65°50°

x26

65°

EntoncesBD esunabisectriz exterior.

Por elteoremade labisectriz exterior: AD

AB

CD

BC=

Reemplazando: xx

40

26

20 13&= =

4 Enelgráfico, calculax.

70°

20°20°

A

B

ECD2 1 x

Resolución:

70°

20°

20°

A

B

ECD x2 1

70°Por cuaternaarmónica:

DC

AD

CE

AE

x

x

1

2 3&= =

+

2x= 3+ x ` x= 3

5 Enelgráfico, calculax.

1260°60°6

AD

C

x

B

Resolución:

60°

60°

60°

60°

6 12

60°

AD

C

x

B

E

12

12

TrazamosCE //BD.

Luego,el 9 BEC esequilátero.

EntoncesBE = 12yC E = 12.

Aplicamoselteoremade Thales:

4x

x1 2 6 1 2

6&=

+=

6 Hallax.

θ θ

E F

xα α

A

B

D

C 2 1

Resolución:

Delafigura:

AB //CD / BC //DE

Por teoremadeThales:

BD

DF

CE

EF

BD

DF

2

1&= = ...(1)

BD

DF

AC

CF

BD

DF

x

3&= = ...(2)

D e(1) y(2):

x2

1 3= ` x = 6

Veamos:x(4)a = (3)a(8)

x = 6

Text o e sc ol ar

Estructura del libro

Binaria motivadora

Cómic matemático

Conocimientos

Problemas resueltos



VIII Intelectum 3.°

Contenido

G e o m e t r í a

U1

Segmentos 5 Tipos de enunciados geométricos (axioma, postulado, teore-ma). La línea recta.

Ángulos, paralelismo yperpendicularidad

7 Ángulo plano. Clasicación de un ángulo por sus medidas.Clasicación respecto a la medida de otro ángulo. Clasicaciónrespecto a su posición con otro ángulo. Paralelismo yperpendicularidad.

Triángulos 12 Denición. Propiedades básicas. Líneas notables. Ángulosentre líneas notables del triángulo.

Triángulos rectángulos notables 17 Triángulo rectángulo (triángulos rectángulos notables exactosy triángulos rectángulos notables aproximados). Triángulospitagóricos.

U2

Congruencia de triángulos 19 Congruencia de guras. Congruencia de triángulos.

Aplicaciones de la congruencia de triángulos.

Polígonos 23 Denición. Clasicación de polígonos simples. Propiedades delos polígonos convexos.

Cuadriláteros 26 Denición. Clasicación. Propiedades del trapezoide, trapecioy paralelogramo.

Circunferencia 31 Denición. Medida angular y longitudinal de la circunferencia.Ángulos en la circunferencia. Posiciones relativas entredos circunferencias coplanares. Triángulos y cuadriláterosinscritos en una circunferencia. Triángulos y cuadriláteroscircunscritos a una circunferencia. Triángulos y cuadriláterosexinscritos a una circunferencia.

U3

Proporcionalidad 37 Razón y proporción geométrica. Cuaterna armónica. Teoremasde proporcionalidad.

Semejanza de triángulos 42 Denición. Casos de semejanza de triángulos. Elementoshomólogos. Teoremas de semejanza. Propiedades de semejanza.

Relaciones métricas 47 Proyección ortogonal sobre una recta. Relaciones métricas enel triángulo rectángulo.

Relaciones métricas en triángulosoblicuángulos

51 Relaciones métricas en la circunferencia. Rectas isogonales.

U4

Polígonos regulares 54 Denición. Polígonos regulares notables. Polígono regular de

n lados.

Área de una región plana 57 Denición. Comparación de regiones planas. Áreas deregiones triangulares. Áreas de regiones cuadrangulares.Área de una región circular.

Rectas y planos en el espacio 64 La recta. El plano. El espacio. Mínima distancia entre dosrectas alabeadas. Teorema de las tres perpendiculares.Teorema de Thales. Ángulos diedro y triedro. Poliedros.

Sólidos geométricos 72 Prisma. Cilindro. Pirámide. Cono. Esfera. Teoremas de Pappusy Guldim.

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