Mercado de Factores Veremos modelos que permiten explicar las decisiones de demanda (por parte de las firmas) y oferta (por parte de los individuos) en el mercado de factores: capital (K) y trabajo (L) Nos concentraremos en los mercados competitivos: es decir, cuando la empresa es precio aceptante tanto en el mercado de bienes como en el de factores. Sin embargo, también existen modelos para mercados no-competitivos. Empezaremos estudiando el lado de la demanda y luego veremos la oferta.

I. Demanda de Factores La forma más común de estudiar la demanda de factores es a través de la maximización de beneficios de las firmas. Supuestos: La firmas maximizan sus beneficios La tecnología de producción requiere dos factores de producción (K y L) Las firmas son precio aceptantes: p, w y r están dados Cada firma se plantea el siguiente objetivo:

rKwLLKQpMaxLK

),(*,

Si Q(.) es continua, las condiciones de primer orden están dadas por:

wLQp o wPMp L * (1)

rKQp o rPMp K * (2)

Combinando (1) y (2) obtenemos: rw

PMPM

K

L (3)

De (1) y (2) también obtenemos que:

prwLL ,,* y prwKK ,,*

La condición 3 también se puede obtener de la minimización de costos: Cada firma se plantea el siguiente problema:

rKwLMinLK

,

s.t. qLKQ ),( (iso-cuanta) cuyo lagrangeano está dado por:

),(£ LKQqrKwL Si Q(.) es continua, las FOC son: LPMw KPMr

Combinando estas condiciones obtenemos: rw

PMPM

K

L

Lo nuevo es que es este caso: qrwLL ,,* y qrwKK ,,*

Estática comparativa: Un factor de producción Si suponemos que existe un solo factor (digamos trabajo), la estática es muy sencilla. La condición de equilibrio implica:

wLLQp

)( es decir, la demanda de L depende de p y w.

Analicemos el efecto de cambio en w. Usando el teorema de la función implícita tenemos:

LPMpwL

L

*1

Si el PML es decreciente, entonces 0 wL .

Dos factores Cuando existe más de un factor de producción el análisis debe ser más cuidadoso. Debemos tener en cuenta que, cuando cambia el precio de un factor, esto no solo afecta su demanda sino la demanda de los otros factores. Gráficamente podemos ver dichos efectos:

[Ver gráfica 1] wL se puede descomponer en dos partes: Efecto sustitución (cambio en la

demanda manteniendo constate la producción) y efecto producción (cambio en el nivel de producción).

El efecto sustitución siempre es negativo. El efecto producción siempre refuerza el sustitución. Concluimos que 0 wL

Podemos hacer una demostración matemática simple.

Descomponiendo: qq w

LwL

wL

Efecto sustitución ( 0 qwL ): sigue del lema de Shepard. Como

***,, LwLKqC 022* wCwL . Efecto producción ( 0 qwL ): Este efecto lo podemos escribir como:

wCM

CMp

pq

qL

wL

q

***

1) 1 CMp : ya que en equilibrio competitivo pCM 2) 0 pq : Cuando los bienes son ordinarios.

3) Podemos probar que wCMqL : Usando el teorema de la envolvente en la minimización de costos tenemos que:

qCMqC £ Así: qwwqwCM ££ 22 Sabemos que: qqwLw L££ 2 Conclusión: wCMqL . Así: wCMqL wCMsigqLsig 0* wCMqL . 4) Combinando todos estos cambios obtenemos que: 0 qwL y así

0

qq wL

wL

wL

¿Qué pasa con el capital? Del análisis gráfico podemos concluir que wK es ambiguo. Su signo dependerá, entre otras cosas, del tipo de tecnología (Sustitución o complementariedad de factores).

Elasticidad de sustitución Una herramienta útil es la elasticidad de sustitución: el cambio en la relación de factores demandada (K/L) cuando la relación de precios (w/r) cambia – manteniendo q constante. Formalmente definimos esta elasticidad como:

rw

LKLKrw

rwLK

lnln

Se puede demostrar que en el caso de dos factores es no-negativo. Más aún, se puede demostrar que:

01,

s

Lw

wL

rq, donde

qwLs

Así, la magnitud del cambio depende de la capacidad de la firma de sustituir factores.

II. Oferta de Trabajo y Equilibrio El modelo clásico de la oferta de trabajo es el de asignación del tiempo. Este es una aplicación de la teoría de la decisión. Supuestos:

Existen dos bienes: Ocio (l) y un bien de consumo (x). El precio del Ocio es el salario que el individuo deja de recibir por no estar

trabajando: w. El precio del bien de consumo es p. Existe una restricción de tiempo: En nuestro caso tomamos 24 horas (es decir,

estudiaremos la oferta de horas de trabajo/día). Así, las horas de trabajo ofrecidas estarán dadas por: lL 24 Podemos escribir la restricción presupuestal del individuo de la siguiente forma:

)24( lwIpx donde I es un ingreso no laboral (ingresos de capital, remesas, etc.). [ver gráfica]

Elección Suponiendo que el individuo tiene preferencias convencionales por l y x, podemos usar nuestro modelo de maximización de utilidad para estudiar las decisiones de oferta de trabajo. Llamamos ),( lxu a la función de utilidad que representa dichas preferencias, el problema del individuo será:

),(max,

lxulx

s.t. Ilwpx )24( Antes de resolver el problema matemáticamente, podemos ver su solución gráfica

[Ver gráfica]

La condición de equilibrio es la de siempre: pwTMSxl

A esta condición se puede llegar resolviendo el lagrangeano:

pxIlwlxu 24,£

Las FOC: pxu y w

lu

Combinando estas dos ecuaciones obtenemos: pwTMS

xulu

xl

De estas condiciones obtenemos: Ipwll ,,*

Ipwxx ,,*

** 24 lL

Estática comparativa Ahora estudiamos los efectos de variaciones en I y w sobre L*. Cambios en I: Un aumento en I incrementa el consumo de l y reduce L. Esto es similar al efecto ingreso de cualquier bien.

[Ver gráfica] Cambios en w: Esto implica un cambio en los precios relativos (recuerde que w es el precio del ocio) y por lo tanto en la pendiente de la restricción presupuestal. Podemos descomponer el efecto en ingreso y sustitución. Cuando el bien es normal, sabemos que los dos efectos son opuestos.

Efecto sustitución: el aumento de w reduce l porque ahora el ocio es más costoso y aumenta la oferta de trabajo. Efecto ingreso: Sin embargo, el aumento w también incremente el conjunto presupuestario y hace que el individuo aumente el consumo de l y disminuya la oferta de trabajo. El efecto final depende de cuál de los dos efectos domine al otro. Los dos casos se pueden ver gráficamente:

[Ver gráfica]

La curva de oferta Usualmente se supone que el individuo aumenta L cuando aumenta w si el nivel de salario es bajo (sustitución>renta), pero disminuye L cuando aumenta w si el nivel de salario es alto (sustitución<renta).

[Ver gráfica]

Equilibrio Combinando la oferta de trabajo individual desarrollada en esta sección con la demanda de trabajo de la firma, obtenemos el equilibrio en el mercado competitivo (de bienes y factores).

[ver gráfica] Nota: Existen varias posibilidades de mercados: Monopolio en el mercado de bienes y competencia en el de factores. Competencia imperfecta en el mercado de bienes y competencia en el de

factores. Monopolio en el mercado de bienes y monopsonio en el de factores. Sindicatos (carteles en el mercado de factores). Trabajo heterogéneo y diferenciales salariales.

III. Oferta de capital y Equilibrio El capital es uno de los factores más importantes de la economía. Las teorías de crecimiento consideran la inversión como una de las principales fuentes de crecimiento económico. La única forma de producir capital es que los hogares sacrifiquen consumo presente, generen ahorro y con estos recursos se invierta en maquinaria y equipos. Esto permitirá consumir una mayor cantidad de bienes en el futuro. Así, para analizar la oferta de capital debemos estudiar las decisiones de ahorro de los hogares. Esto implica introducir una dimensión en nuestro modelo de elección: el tiempo.

Supuestos: Existen dos períodos de tiempo t=1,2 (presente y futuro). c1 es el consumo de un individuo en t=1 y c2 es el consumo de un individuo en

t=2. Los respectivos precios son p1 y p2. El consumidor posee preferencias sobre el consumo actual y futuro que se

pueden representar con una función de utilidad 21,ccu . El consumidor recibe un ingreso cada período M1 y M2 respectivamente. En el período inicial el consumidor puede pedir prestado para consumir más

en el presente y pagar en el futuro o ahorrar para consumir más en el futuro. La tasa de interés que el consumidor recibe (paga) por su ahorro (deuda) es i.

Tasa Marginal de Sustitución Intertemporal: 2

1cucuTMSI

Ahora construiremos la restricción presupuestal intertemporal (RPI): Note que el ahorro (desahorro) del individuo en t=1 está dado por:

111 cpMS En t=2 debe cumplirse que: SiMcp 1222 Reemplazando S y reorganizando términos obtenemos la RPI del individuo:

121122 11 MiMcpicp Si definimos dpp 112 , donde d es la tasa de inflación, la restricción es:

121121 111 MiMcpicdp

[ver gráfica]

La pendiente de la RPI está dada por: di

cc

11

1

2 .

Esta expresa el costo real de una unidad adicional de consumo presente respecto al consumo futuro. El consumidor: 21

,,max

21ccu

cc

s.t. RPI Gráficamente se puede observar que la condición de equilibrio implica:

diTMSI

11

Estática comparativa Tasa de interés: Un aumento de i implica un aumento de la pendiente de la RPI

di 11 . La novedad es que la PRI pivota sobre el punto donde S=0.

[ver gráfica]

El cambio afectará a los ahorradores y a los deudores de diferente forma. El efecto sustitución afecta a los dos por igual: Ahora el consumo presente es más costoso y los dos tipos de individuo reducirán el consumo presente y así aumentará el ahorro. El efecto ingreso es diferente para los dos:

a) Deudores: Ahora poseen menos ingreso porque la tasa que deben pagar para mantener su consumo presente ha crecido. Si c1 es normal, éste debe reducirse. Así los dos efectos van en igual dirección.

b) Ahorradores: Estos aumentarán c1. Así el efecto final sobre el ahorro dependerá de cuál de los dos efectos sea el dominante.

Función de oferta de ahorros Con el análisis anterior podemos construir la función de oferta de ahorros. Esta función está dada por:

dpMMiSS ,,,, 121 Para deudores: la curva tiene pendiente positiva.

[ver gráfica] Para ahorradores: la curva empieza con pendiente positiva (si S=0 y aumenta la tasa de interés se tendrá efecto sustitución>efecto ingreso, así c1 caerá y S aumentará) y cuando i es suficientemente alta la pendiente se vuelve negativa (efecto sustitución<efecto ingresos).

[ver gráfica] Juntando las dos gráficas obtenemos la oferta de ahorros que está disponible para convertirse en capital.

[ver gráfica]

Equilibrio Podemos construir una función de demanda de fondos de las firmas para invertir en capital en términos de tipo de interés, i.e. )(ifrK . Es claro que cuando los fondos que necesita la firma para invertir en capital son costosos (i sube) la demanda de fondos será menor y viceversa. Esto nos da la curva de demanda por fondos para invertir en capital. Igualando esta curva con la de oferta de de ahorros, obtenemos la tasa de interés de equilibrio.

[ver gráfica]

¿Qué ocurre con el precio del capital r? Las la firma tiene dos opciones de contratar capital:

1. comprar la maquinaria nueva, pagar por ella en ese momento y utilizarla hasta que se deprecie totalmente.

2. Alquilarla e ir pagando una cuota por el período de vida útil. En un mercado competitivo de capital (empresas que ofrecen y demandan capital), las dos opciones deben tener el mismo valor. Para saber éste valor, introducimos el concepto de valor presente descontado (VPD). Suponga que un individuo desea obtener una ganancia gt en cada período de tiempo. Para obtener g1 en el período 1 el individuo debería invertir en t=0:

igI

1

11

Para obtener g2 en el período 2 la firma debería invertir:

22

21 i

gI

Así, el VPD de su retorno está dado por:

Tt t

tTt t

igIVPD 11 1

Suponiendo que ggt t y usando algo de mates, es posible mostrar que:

igVPD

T

lim

El valor presente de un flujo de retornos es igual al retorno anual dividido por la tasa de interés. Esto nos servirá para encontrar el precio del capital.

Una firma competitiva con período infinito de tiempo es indiferente entre comprar capital nuevo al precio VPD por unidad o alquilar este a una tasa de g por unidad por año. Así:

igVPDr

Así la tasa de interés y el precio del capital se determinan simultáneamente y tienen una relación inversa.